「パースの法則」の「対偶（？）」。

（01）
（ａ）「対偶の証明」は、　　　（13）を参照せよ。
（ｂ）「含意の定義の証明」は、（14）を参照せよ。
（ｃ）「ド・モルガンの法則」は（15）を参照せよ。
（02）
　―「パースの法則」の証明。―
１　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　２含意の定義
１２　　（４）　　　　　　　　Ｐ　　　１３ＭＰＰ
１　　　（５）　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ　　　２４ＭＰＰ
１　　　（６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　５含意の定義
　　７　（７）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　Ａ
　　７　（８）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　７ド・モルガンの法則
　　７　（９）　　Ｐ　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　ア（ア）　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　　（イ）　　Ｐ　　　　　　　　　１７９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１イＣＰ
然るに、
（03）
１　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→～Ｑ　　　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　２含意の定義
１２　　（４）　　　　　　　　～Ｑ　　　　　１３ＭＰＰ
１　　　（５）　（～Ｐ∨Ｑ）→～Ｑ　　　　　２４ＭＰＰ
１　　　（６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨～Ｑ　　　　　５含意の定義
　　７　（７）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　Ａ
　　７　（８）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　７ド・モルガンの法則
　　７　（９）　　　　～Ｑ　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　ア（ア）　　　　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ
１　　　（イ）　　　　～Ｑ　　　　　　　　　６７９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）　（（Ｐ→Ｑ）→～Ｑ）→～Ｑ　１イＣＰ
従って、
（02）（03）により、
（04）
①（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→　Ｐ
②（（Ｐ→Ｑ）→～Ｑ）→～Ｑ
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
②   Ｐ→　Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
②＝③ は、「対偶」である。
従って、
（05）により、
（06）
②（（　Ｐ→　Ｑ）→～Ｑ）→～Ｑ
③（（～Ｑ→～Ｐ）→～Ｑ）→～Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（07）
①（（　Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→　Ｐ
に於いて、
Ｐ＝～Ｑ
Ｑ＝～Ｐ
といふ「代入」を行ふと、
③（（～Ｑ→～Ｐ）→～Ｑ）→～Ｑ
従って、
（07）により、
（08）
Ｐ＝～Ｑ
Ｑ＝～Ｐ
であるとすると、
①（（　Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→　Ｐ
③（（～Ｑ→～Ｐ）→～Ｑ）→～Ｑ
に於いて、
①＝③ である。
ｅ．ｇ．
Ｐ（奇数である）＝～Ｑ（偶数でない）。
Ｑ（偶数である）＝～Ｐ（奇数でない）。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
Ｐ＝～Ｑ
Ｑ＝～Ｐ
であるとすると、
①（（　Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→　Ｐ
②（（　Ｐ→　Ｑ）→～Ｑ）→～Ｑ
③（（～Ｑ→～Ｐ）→～Ｑ）→～Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
Ｐである＝Ｑでない。
Ｑである＝Ｐでない。
とすると、
①（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならばＰである。
②（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｑでない）ならばＱでない。
③（（Ｑでないならば、Ｐでない）ならば、Ｑでない）ならばＱでない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（11）
命題計算では、パースの法則は（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。
（ウィキペディア）
従って、
（10）（11）により、
（12）
①（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならばＰである。
②（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｑでない）ならばＱでない。
③（（Ｑでないならば、Ｐでない）ならば、Ｑでない）ならばＱでない。
といふ「不思議なトートロジー」は、「パースの法則」である。
（13）
　―「対偶」の証明。―
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２　（２）　　　～Ｑ　Ａ
　　３（３）　Ｐ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　～Ｑ＆Ｑ　２４＆Ｉ
１２　（６）～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）～Ｑ→～Ｐ　２６ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　～Ｑ→～Ｐ　２６ＣＰ
　２　（２）　　Ｐ　　　　Ａ
　　３（３）　～Ｑ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　～Ｐ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　　Ｐ＆～Ｐ　２４＆Ｉ
１２　（６）～～Ｑ　　　　３ＲＡＡ
１２　（７）　　Ｑ　　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→Ｑ　　２７ＣＰ
（14）
　―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　イＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　～Ｐ∨Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
（15）
　―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅰ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
（ⅱ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
令和０３年０１月２０日、毛利太。