「パースの法則」は「当然」である（Ⅲ）。

（01）
　―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　イＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　～Ｐ∨Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
（02）
　―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅰ）。―
（ⅲ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
（ⅳ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
（03）
　―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅱ）。―
（ⅴ）
１　　（１）～（　Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　２∨Ｉ
１２　（４）～（　Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ）　　１２＆Ｉ
１　　（５）　　～Ｐ　　　　　　２４ＲＡＡ
　　６（６）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　６（７）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　６∨Ｉ
１　６（８）～（　Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ）　　１７＆Ｉ
１　　（９）　　　　　～Ｑ　　　６８ＲＡＡ
１　　（ア）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　５９＆Ｉ
（ⅵ）
１　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（５）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　４　（６）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３５＆Ｉ
　　４　（７）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１６ＲＡＡ
１　　　（８）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
　　　９（９）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
１　　９（ア）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　８９＆Ｉ
　　　９（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１アＲＡＡ
　２　　（ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２４７９イ∨Ｅ
１２　　（エ）　（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ＆Ｉ
１　　　（オ）～（　Ｐ∨　Ｑ）　　２エＲＡＡ
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
「１０個の原始的規則」により、
① 　　　Ｐ→　Ｑ
② 　　～Ｐ∨　Ｑ
③ ～（　Ｐ＆　Ｑ）
④ 　（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ ～（　Ｐ∨　Ｑ）
⑥　　 ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
１０個の原始的規則、あるいは既に証明された「定理」を用いて、つぎの連式を証明せよ（Using 10 primitive rules or theorems already proved, prove the following sequent）。
｛（Ｐ→Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ ┤├｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
（ⅰ）
１　　　（１）　｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ　Ａ
　２　　（２）　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ
　　３　（３）　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　Ａ
　　３　（４）～～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　３ＤＮ
　　３　（５）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　４ド・モルガンの法則
　　３　（６）　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　　　５含意の定義
　　３　（７）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　　６∨Ｉ
　　　８（８）　　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　８（９）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　　８∨Ｉ
　２　　（ア）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　　２３７８９∨Ｅ
　２　　（イ）　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　　　ア含意の定義
１２　　（ウ）　　　　　　　　　　　　Ｐ　１イＭＰＰ
１　　　（エ）　｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ　２ウＣＰ
（ⅱ）
１　　　（１）　　｛（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ｝→Ｐ　Ａ
１　　　（２）　～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ｝∨Ｐ　１含意の定義
　３　　（３）　～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ｝　　　Ａ
　３　　（４）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　　３ド・モルガンの法則
　３　　（５）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　４＆Ｅ
　３　　（６）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
　３　　（７）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　６含意の定義
　３　　（８）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　４＆Ｅ
　３　　（９）　　　（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ　　　　７８＆Ｉ
　３　　（ア）　　｛（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ｝∨Ｐ　９∨Ｉ
　　イ　（イ）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　イ　（ウ）　　｛（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ｝∨Ｐ　イ∨Ｉ
１　　　（エ）　　｛（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ｝∨Ｐ　２３アイウ∨Ｅ
１　　　（オ）～～｛（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ｝∨Ｐ　エＤＮ
１　　　（カ）～｛～（Ｐ→　Ｑ）∨　Ｐ｝∨Ｐ　オ、ド・モルガンの法則
１　　　（キ）　～｛（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ｝∨Ｐ　カ含意の定義
１　　　（ク）　　｛（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ｝→Ｐ　キ含意の定義
従って、
（05）により、
（06）
①｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
②（Ｐであって、Ｑでない）とすれば、Ｐであり、
②（Ｐであって、Ｑである）としても、Ｐである。
といふことは、「当然」である。
従って、
（07）により、
（08）
②｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
②｛（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである｝ならば、Ｐである。
といふことは、「当然」である。
従って、
（06）（08）により、
（09）
②｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
②｛（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである｝ならば、Ｐである。
と、「同値」である所の、
①｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
①｛（Ｐならば、Ｑである）ならばＰ｝ならばＰである。
であっても、「当然」でなければ、ならない。
然るに、
（08）（09）により、
（10）
①｛（Ｐならば、　Ｑである）ならばＰ｝ならばＰである。
②｛（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである｝ならば、Ｐである。
に於いて、
① は、何故か、「奇異」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　２含意の定義
１２　　（４）　　　　　　　　Ｐ　　　１３ＭＰＰ
１　　　（５）　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ　　　２４ＣＰ
１　　　（６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　５含意の定義
１　　　（７）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　６ド・モルガンの法則
　　８　（８）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　Ａ
　　８　（９）　　Ｐ　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　ア（ア）　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　　（イ）　　Ｐ　　　　　　　　　１８９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）｛（Ｐ→Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ　１イＣＰ
従って、
（11）により、
（12）
①｛（Ｐ→Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（12）により、
（13）
①｛（Ｐ→Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
といふ「式」は、「恒に真」であるが故に、
① Ｑが「真」であっても、
① Ｑが「偽」であっても、いづれにせよ、
①｛（Ｐ→Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
といふ「式」自体は、「真」である。
従って、
（13）により、
（14）
①｛（Ｐ→Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
といふ「式」は、
①｛（Ｐならば、Ｑであっても、Ｑでなくとも）、Ｐならば｝Ｐである。
といふ「意味」になる。
従って、
（09）（12）（14）により、
（15）
①｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
といふ「恒真式（トートロジー）」は、
①｛（Ｐならば、　Ｑであっても、Ｑでなくとも）、Ｐならば｝Ｐである。
②｛（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである｝ならば、Ｐである。
といふ「意味」になる。
従って、
（15）により、
（16）
①｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
といふ「パースの法則」は、例へば、
①｛（日本人ならば、　男性であっても、女性であっても）、日本人ならば｝日本人である。
②｛（日本人であって、男性でない）か、または、日本人である｝ならば、　日本人である。
といふ「意味」になる。
然るに、
（17）
①｛（日本人ならば、　男性であっても、女性であっても）、日本人ならば｝日本人である。
②｛（日本人であって、男性でない）か、または、日本人である｝ならば、　日本人である。
といふ「命題」は、少しも、「奇異」ではない。
従って、
（16）（17）により、
（18）
①｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
といふ「パースの法則」が「恒真式（トートロジー）」であることは、「当然」である。
令和０３年０１月２０日、毛利太。