―「昨日（令和０３年０９月２９日）の記事」を補足します。―
（01）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
②（Ｐであって、Ｑである）といふことはない。
③（Ｐが真であって、Ｑが偽である）といふことは偽である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
②（Ｐであって、Ｑである）といふことはない。
③（Ｐが真であって、Ｑが偽である）といふことは偽である。
といふ「論理式（と日本語）」は、
（ⅰ）Ｐ（真）＆Ｑ（真）
（ⅱ）Ｐ（真）＆Ｑ（偽）
（ⅲ）Ｐ（偽）＆Ｑ（真）
（ⅳ）Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）
に於いて、
（ⅰ）であれば、「真」であり、
（ⅱ）であれば、「偽」であり、
（ⅲ）であれば、「真」であり、
（ⅳ）であれば、「真」である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
②（Ｐであって、Ｑである）といふことはない。
③（Ｐが真であって、Ｑが偽である）といふことは偽である。
といふ「論理式（と日本語）」は、
（ａ）Ｐ（真）＆Ｑ（真）
（ｂ）Ｐ（偽）＆Ｑ（真）
（ｃ）Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）
といふ「３通り」に於いて、「真（本当）」である。
然るに、
（04）
（ａ）Ｐ（真）＆Ｑ（真）
（ｂ）Ｐ（偽）＆Ｑ（真）
（ｃ）Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）
といふ「３通り」に於いて、「真（本当）」である。
といふことは、
（α）Ｐが「偽」であれば、それだけで、「真」であり、
（β）Ｑが「真」であれば、それだけで、「真」である。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
②（Ｐであって、Ｑである）といふことはない。
③（Ｐが真であって、Ｑが偽である）といふことは偽である。
といふ「論理式（と日本語）」は、
（α）Ｐが「偽」であれば、それだけで、「真」であり、
（β）Ｑが「真」であれば、それだけで、「真」である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＤＮ
（ⅳ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
１２（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２（５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
従って、
（06）により、
（07）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ Ｐ→ Ｑ
に於いて、
①＝④ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
④ Ｐ→Ｑ
⑤ Ｐならば、Ｑである。
⑥ Ｐが真であるならば、Ｑも真である。
といふ「論理式（と日本語）」も、
（α）Ｐが「偽」であれば、それだけで、「真」であり、
（β）Ｑが「真」であれば、それだけで、「真」である。
従って、
（08）により、
（09）
⑦ Ｑ→Ｒ
⑧ Ｑならば、Ｒである。
⑨ Ｑが真であるならば、Ｒも真である。
といふ「論理式（と日本語）」も、
（γ）Ｑが「偽」であれば、それだけで、「真」であり、
（δ）Ｒが「真」であれば、それだけで、「真」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
④ Ｐ→Ｑ
⑦ Ｑ→Ｒ
に於いて、
（β）Ｑが「真」であれば、それだけで、「真」である。
（γ）Ｑが「偽」であれば、それだけで、「真」である。
従って、
（10）により、
（11）
④ Ｐ→Ｑ
⑦ Ｑ→Ｒ
に於いて、
④ Ｐ→真
⑦ 真→Ｒ
であれば、
④ の「真」は「確定」であり、
⑦ の「真」は「不明」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
④ Ｐ→Ｑ
⑦ Ｑ→Ｒ
に於いて、
④ Ｐ→偽
⑦ 偽→Ｒ
であれば、
④ の「真」は「不明」であり、
⑦ の「真」は「確定」である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
④ Ｐ→Ｑ
⑦ Ｑ→Ｒ
に於いて、
④ Ｐ→真
⑦ 偽→Ｒ
であれば、
④ は「真」であり、
⑦ も「真」である。
従って、
（13）により、
（14）
④ Ｐ→Ｑ
⑦ Ｑ→Ｒ
の場合は、「Ｑの真・偽」に拘はらず、
④ または、⑦。
の、どちらか一方が、「必ず、真」である。
従って、
（14）により、
（15）
④（Ｐ→Ｑ）または、⑦（Ｑ→Ｒ）。
の、どちらか一方が、「必ず、真」である。
従って、
（15）により、
（16）
「番号」を付け直すと、
①（Ｐ→Ｑ）または、（Ｑ→Ｒ）。
の、どちらか一方が、「必ず、真」である。
従って、
（16）により、
（17）
「記号」で書くと、
①（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（17）により、
（18）
①（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝東洋人である。
Ｑ＝日本人である。
Ｒ＝男性である。
として、
①（東洋人であるならば、日本人であるか、）または、（日本人であるならば、男性である。）
といふ「命題」は、「必ず、真」である。
然るに、
（19）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
１２ （ウ） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （エ） ～Ｑ＆Ｑ イウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２エＤＮ
１ （カ） ～Ｐ∨Ｑ オＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （８） Ｑ Ａ
２ （９） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
７ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７イ∨Ｅ
エ （エ） Ｐ Ａ
オ（オ） ～Ｑ Ａ
エオ（カ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｑ エＤＮ
１ （コ） Ｐ→ Ｑ エケＣＰ
従って、
（19）により、
（20）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（18）（19）（20）により、
（21）
① （Ｐ→Ｑ）∨ （Ｑ→Ｒ）
②（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（22）
「結合法則・交換法則」により、
②（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｑ∨Ｒ）
③（Ｑ∨～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（18）（22）により、
（23）
① （Ｐ→Ｑ）∨ （Ｑ→Ｒ）
②（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｑ∨Ｒ）
③（Ｑ∨～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝東洋人である。
Ｑ＝日本人である。
Ｒ＝男性である。
として、
①（東洋人であるならば、 日本人であるか、）または、（日本人であるならば、 男性である。）
②（東洋人でないか、または、日本人であるか、）または、（日本人でないか、または、男性である。）
③（日本人であるか、または、日本人でないか、）または、（東洋人でないか、または、男性である。）
といふ「命題」は、三つとも、「必ず、真」である。
令和０３年０９月３０日、毛利太。
2021年9月30日木曜日
2021年9月29日水曜日
「排中律」と（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）と「常識」。
（01）
練習問題５：１０個の原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
（論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、８０頁）
〔私による解答〕
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
（１） Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（定理導入の規則）
２ （２） Ｑ Ａ
２ （３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ４∨Ｉ
６（６） ～Ｑ Ａ
６（７） ～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
６（８） Ｑ→Ｒ ７含意の定義
６（９）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ８∨Ｉ
（ア）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） １２５６９∨Ｅ
然るに、
（02）
練習問題５：１０個の原始的規則だけを用いて、つぎの連式を証明せよ。
（論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、８０頁改）
〔私による解答〕
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
１ （１） ～（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
２ （３） Ｑ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４） ～（Ｑ∨～Ｑ）＆
（Ｑ∨～Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｑ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｑ∨～Ｑ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｑ∨～Ｑ）＆
（Ｑ∨～Ｑ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｑ∨～Ｑ） １７ＲＡＡ
（９） Ｑ∨～Ｑ ８ＤＮ
ア （ア） Ｑ Ａ（９の選言項左）
ア （イ）～Ｐ∨Ｑ ア∨Ｉ
ウ （ウ）Ｐ＆～Ｑ Ａ
エ （エ）～Ｐ Ａ（イの選言項左）
ウ （オ）Ｐ ウ＆Ｅ
ウエ （カ）～Ｐ＆Ｐ エオ＆Ｉ
エ （キ）～（Ｐ＆～Ｑ） ウカＲＡＡ
ク （ク） Ｑ Ａ（イの選言項右）
ウ （ケ） ～Ｑ ウ＆Ｅ
ウ ク （コ）Ｑ＆～Ｑ クケ＆Ｉ
ク （サ）～（Ｐ＆～Ｑ） ウコＲＡＡ
ア （シ）～（Ｐ＆～Ｑ） アエキクサ∨Ｅ
ス （ス） Ｐ Ａ
セ （セ） ～Ｑ Ａ
スセ （ソ） Ｐ＆～Ｑ スセ＆Ｉ
ア スセ （タ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） シソ＆Ｉ
ア ス （チ） ～～Ｑ セタＲＡＡ
ア ス （ツ） Ｑ チＤＮ
ア （テ） Ｐ→Ｑ スツＣＰ
ア （ト）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） テ∨Ｉ
ナ （ナ） ～Ｑ Ａ（９の選言項右）
ナ （ニ） ～Ｑ∨Ｒ ナ∨Ｉ
ヌ （ヌ） Ｑ＆～Ｒ Ａ
ネ （ネ） ～Ｑ Ａ（ニの選言項左）
ヌ （ノ） Ｑ ヌ＆Ｅ
ヌネ （ハ） ～Ｑ＆Ｑ ネノ＆Ｉ
ネ （ヒ） ～（Ｑ＆～Ｒ） ヌハＲＡＡ
フ （フ） Ｒ Ａ（ニの選言項右）
ヌ （ヘ） ～Ｒ ヌ＆Ｅ
ヌ フ （ホ） Ｒ＆～Ｒ フヘ＆Ｉ
フ （マ） ～（Ｑ＆～Ｒ） ヌホＲＡＡ
ナ （ミ） ～（Ｑ＆～Ｒ） ナネヒフマ∨Ｅ
ム （ム） Ｑ Ａ
メ（メ） ～Ｒ Ａ
ムメ（モ） Ｑ＆～Ｒ ムメ＆Ｉ
ナ ムメ（ヤ） ～（Ｑ＆～Ｒ）＆
（Ｑ＆～Ｒ） ミモ＆Ｉ
ナ ム （イ） ～～Ｒ メヤＲＡＡ
ナ ム （ユ） Ｒ イＤＮ
ナ （エ） Ｑ→Ｒ ムユＣＰ
ナ （ヨ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） エ∨Ｉ
（ラ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ＿アトナヨ∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
いづれにせよ、
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「連式」は、「恒真式（トートロジー）」であって、
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「連式」は、
（ｂ）├ Ｑ∨～Ｑ（排中律）
に、由来する。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① Ｑ∨～Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
① が、「恒真式（トートロジー）」であるが故に、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（04）により、
（05）
① Ｑ∨～Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
Ｑ＝日本人である。
～Ｑ＝外国人である。
Ｐ＝東洋人である。
Ｒ＝男性である。
として、
① 日本人であるか、または、外国人である。
②（東洋人であるならば、日本人であるか）、または（日本人であるならば、男性である）。
に於いて、
① が、「恒真式（トートロジー）」であるが故に、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（06）
「普通の感覚（常識）」からすれば、
① 日本人であるか、または、外国人である。
②（東洋人であるならば、日本人であるか）、または（日本人であるならば、男性である）。
に於いて、
① が、「真」なのだから、
② も、「真」である。
とすることには、「違和感」があるに、違いない。
然るに、
（07）
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
（１） Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（定理導入の規則）
２ （２） Ｑ Ａ
２ （３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ４∨Ｉ
６（６） ～Ｑ Ａ
６（７） ～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
６（８） Ｑ→Ｒ ７含意の定義
６（９）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ８∨Ｉ
（ア）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） １２５６９∨Ｅ
といふ「計算」に慣れてしまふと、
① Ｑ∨～Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふことからすれば、
① 日本人であるか、または、外国人である。
②（東洋人であるならば、日本人であるか）、または（日本人であるならば、男性である）。
に於いても、
① が、「真（本当）」であるが故に、
② も、「真（本当）」である。
といふことに対して、それほど、「違和感」は無い（？）。
ｃｆ.
② （Ｐ→Ｑ）∨（ Ｑ→Ｒ）
③（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｑ∨Ｒ）：含意の定義
④（～Ｐ∨Ｒ）∨（Ｑ∨～Ｑ）：交換法則・結合法則
令和０３年０９月２９日、毛利太。
練習問題５：１０個の原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
（論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、８０頁）
〔私による解答〕
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
（１） Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（定理導入の規則）
２ （２） Ｑ Ａ
２ （３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ４∨Ｉ
６（６） ～Ｑ Ａ
６（７） ～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
６（８） Ｑ→Ｒ ７含意の定義
６（９）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ８∨Ｉ
（ア）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） １２５６９∨Ｅ
然るに、
（02）
練習問題５：１０個の原始的規則だけを用いて、つぎの連式を証明せよ。
（論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、８０頁改）
〔私による解答〕
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
１ （１） ～（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
２ （３） Ｑ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４） ～（Ｑ∨～Ｑ）＆
（Ｑ∨～Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｑ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｑ∨～Ｑ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｑ∨～Ｑ）＆
（Ｑ∨～Ｑ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｑ∨～Ｑ） １７ＲＡＡ
（９） Ｑ∨～Ｑ ８ＤＮ
ア （ア） Ｑ Ａ（９の選言項左）
ア （イ）～Ｐ∨Ｑ ア∨Ｉ
ウ （ウ）Ｐ＆～Ｑ Ａ
エ （エ）～Ｐ Ａ（イの選言項左）
ウ （オ）Ｐ ウ＆Ｅ
ウエ （カ）～Ｐ＆Ｐ エオ＆Ｉ
エ （キ）～（Ｐ＆～Ｑ） ウカＲＡＡ
ク （ク） Ｑ Ａ（イの選言項右）
ウ （ケ） ～Ｑ ウ＆Ｅ
ウ ク （コ）Ｑ＆～Ｑ クケ＆Ｉ
ク （サ）～（Ｐ＆～Ｑ） ウコＲＡＡ
ア （シ）～（Ｐ＆～Ｑ） アエキクサ∨Ｅ
ス （ス） Ｐ Ａ
セ （セ） ～Ｑ Ａ
スセ （ソ） Ｐ＆～Ｑ スセ＆Ｉ
ア スセ （タ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） シソ＆Ｉ
ア ス （チ） ～～Ｑ セタＲＡＡ
ア ス （ツ） Ｑ チＤＮ
ア （テ） Ｐ→Ｑ スツＣＰ
ア （ト）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） テ∨Ｉ
ナ （ナ） ～Ｑ Ａ（９の選言項右）
ナ （ニ） ～Ｑ∨Ｒ ナ∨Ｉ
ヌ （ヌ） Ｑ＆～Ｒ Ａ
ネ （ネ） ～Ｑ Ａ（ニの選言項左）
ヌ （ノ） Ｑ ヌ＆Ｅ
ヌネ （ハ） ～Ｑ＆Ｑ ネノ＆Ｉ
ネ （ヒ） ～（Ｑ＆～Ｒ） ヌハＲＡＡ
フ （フ） Ｒ Ａ（ニの選言項右）
ヌ （ヘ） ～Ｒ ヌ＆Ｅ
ヌ フ （ホ） Ｒ＆～Ｒ フヘ＆Ｉ
フ （マ） ～（Ｑ＆～Ｒ） ヌホＲＡＡ
ナ （ミ） ～（Ｑ＆～Ｒ） ナネヒフマ∨Ｅ
ム （ム） Ｑ Ａ
メ（メ） ～Ｒ Ａ
ムメ（モ） Ｑ＆～Ｒ ムメ＆Ｉ
ナ ムメ（ヤ） ～（Ｑ＆～Ｒ）＆
（Ｑ＆～Ｒ） ミモ＆Ｉ
ナ ム （イ） ～～Ｒ メヤＲＡＡ
ナ ム （ユ） Ｒ イＤＮ
ナ （エ） Ｑ→Ｒ ムユＣＰ
ナ （ヨ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） エ∨Ｉ
（ラ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ＿アトナヨ∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
いづれにせよ、
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「連式」は、「恒真式（トートロジー）」であって、
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「連式」は、
（ｂ）├ Ｑ∨～Ｑ（排中律）
に、由来する。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① Ｑ∨～Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
① が、「恒真式（トートロジー）」であるが故に、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（04）により、
（05）
① Ｑ∨～Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
Ｑ＝日本人である。
～Ｑ＝外国人である。
Ｐ＝東洋人である。
Ｒ＝男性である。
として、
① 日本人であるか、または、外国人である。
②（東洋人であるならば、日本人であるか）、または（日本人であるならば、男性である）。
に於いて、
① が、「恒真式（トートロジー）」であるが故に、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（06）
「普通の感覚（常識）」からすれば、
① 日本人であるか、または、外国人である。
②（東洋人であるならば、日本人であるか）、または（日本人であるならば、男性である）。
に於いて、
① が、「真」なのだから、
② も、「真」である。
とすることには、「違和感」があるに、違いない。
然るに、
（07）
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
（１） Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（定理導入の規則）
２ （２） Ｑ Ａ
２ （３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ４∨Ｉ
６（６） ～Ｑ Ａ
６（７） ～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
６（８） Ｑ→Ｒ ７含意の定義
６（９）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ８∨Ｉ
（ア）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） １２５６９∨Ｅ
といふ「計算」に慣れてしまふと、
① Ｑ∨～Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふことからすれば、
① 日本人であるか、または、外国人である。
②（東洋人であるならば、日本人であるか）、または（日本人であるならば、男性である）。
に於いても、
① が、「真（本当）」であるが故に、
② も、「真（本当）」である。
といふことに対して、それほど、「違和感」は無い（？）。
ｃｆ.
② （Ｐ→Ｑ）∨（ Ｑ→Ｒ）
③（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｑ∨Ｒ）：含意の定義
④（～Ｐ∨Ｒ）∨（Ｑ∨～Ｑ）：交換法則・結合法則
令和０３年０９月２９日、毛利太。
2021年9月27日月曜日
「ド・モルガンの法則」と「選言三段論法」と「肯定肯定式（ＭＰＰ）」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） （Ｐ∨ Ｑ） ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７９ＲＡＡ
２ （イ） （～Ｐ＆～Ｑ） ６ア＆Ｉ
１２ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） Ｐ∨ Ｑ エＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨ Ｑ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ６オ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＤＮ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） ～Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） Ｐ Ａ
９ （ア） Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～Ｐ ９イＲＡＡ
エ（オ） Ｑ Ａ
エ（カ） Ｐ∨ Ｑ オ∨Ｉ
８ エ（キ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ エキＲＡＡ
８ （ケ） ～Ｐ＆～Ｑ ウク＆Ｉ
１ ８ （コ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
従って、
（02）（03）により、
（04）
「ド・モルガンの法則」を介して、
① Ｐ∨Ｑ（Ｐであるか、または、Ｑである。）
② ～Ｐ→Ｑ（Ｐでないならば、 Ｑである。）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）「Ｐであるか、または、Ｑである。」然るに、
（ⅱ）「Ｐでない。」故に、
（ⅲ）「Ｑである。」
といふ「推論（選言三段論法）」は、
（ⅰ）「Ｐでないならば、Ｑである。」然るに、
（ⅱ）「Ｐでない。」故に、
（ⅲ）「Ｑである。」
といふ「推論（肯定肯定式）」に、「等しい」。 従って、
（05）により、
（06）
① Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
② ～Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
① Ｐ＝～Ｐ
② Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～Ｐ∨Ｑ，～～Ｐ├ Ｑ
② ～～Ｐ→Ｑ，～～Ｐ├ Ｑ
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～Ｐ∨Ｑ，Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
令和０３年０９月２７日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） （Ｐ∨ Ｑ） ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７９ＲＡＡ
２ （イ） （～Ｐ＆～Ｑ） ６ア＆Ｉ
１２ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） Ｐ∨ Ｑ エＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨ Ｑ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ６オ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＤＮ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） ～Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） Ｐ Ａ
９ （ア） Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～Ｐ ９イＲＡＡ
エ（オ） Ｑ Ａ
エ（カ） Ｐ∨ Ｑ オ∨Ｉ
８ エ（キ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ エキＲＡＡ
８ （ケ） ～Ｐ＆～Ｑ ウク＆Ｉ
１ ８ （コ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
従って、
（02）（03）により、
（04）
「ド・モルガンの法則」を介して、
① Ｐ∨Ｑ（Ｐであるか、または、Ｑである。）
② ～Ｐ→Ｑ（Ｐでないならば、 Ｑである。）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）「Ｐであるか、または、Ｑである。」然るに、
（ⅱ）「Ｐでない。」故に、
（ⅲ）「Ｑである。」
といふ「推論（選言三段論法）」は、
（ⅰ）「Ｐでないならば、Ｑである。」然るに、
（ⅱ）「Ｐでない。」故に、
（ⅲ）「Ｑである。」
といふ「推論（肯定肯定式）」に、「等しい」。 従って、
（05）により、
（06）
① Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
② ～Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
① Ｐ＝～Ｐ
② Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～Ｐ∨Ｑ，～～Ｐ├ Ｑ
② ～～Ｐ→Ｑ，～～Ｐ├ Ｑ
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～Ｐ∨Ｑ，Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
令和０３年０９月２７日、毛利太。
2021年9月25日土曜日
「私が理事長です（理事長は私です）」の「述語論理」。
（01）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。 と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（01）により、
（02）
① 私が理事長です。
② 理事長は、私である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） 理事長→私 Ａ
２ （２） ～私 Ａ
３（３） 理事長 Ａ
１ ３（４） 私 １３ＭＰＰ
１２３（５） ～私＆私 ２４＆Ｉ
１２ （６）～理事長 ３５ＲＡＡ
１ （７）～私→～理事長 ２６ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） ～私→～理事長 Ａ
２ （２） 理事長 Ａ
３（３） ～私 Ａ
１ ３（４） ～理事長 １３ＭＰＰ
１２３（５） 理事長＆～理事長 ２４＆Ｉ
１２ （６）～～私 ３５ＲＡＡ
１２ （７） 私 ６ＤＮ
１ （８） 理事長→私 ２７ＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
② 理事長→私
③ ～私→～理事長
に於いて、すなはち、
② 理事長ならば、 私である。
③ 私でないならば、理事長ではない。
に於いて、
②＝③ である（対偶）。
従って、
（04）により、
（05）
② 理事長ならば、 私である。
③ 私でないならば、理事長ではない。
に於いて、すなはち、
② 理事長は、私です。
③ 私以外は、理事長ではない。
②＝③ である（対偶）。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は、私である。
③ タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は、理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（07）
④ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
⑤ すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］。｝
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は、私である。
③ タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は、理事長ではない。
④ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
⑤ すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］。｝
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤ である。
然るに、
（09）
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｔ会の会員ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 私ｂ＆理事長ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （８） 理事長ｃａ→ｂ＝ｃ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ） Ａ
ア （ア） 小倉ｃ＆～私ｃ Ａ
ア （イ） 小倉ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～私ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｂ＝ｃ Ａ
アエ（オ） ～私ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 私ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～私ｂ＆私ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｂ≠ｃ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～理事長ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 小倉ｃ＆～理事長ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （ソ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝ セＵＩ
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
（ⅱ）∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ）
（ⅲ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］。｝
（ⅱ）あるｚは（小倉氏であって、ｚは私ではない。）
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｚは（小倉氏であって、ｚはｘの理事長ではない）。｝
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
（ⅰ）タゴール記念会は、私が理事長です。然るに、
（ⅱ）小倉氏は私ではない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会は、小倉氏は理事長ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（12）
「私は、一人しかゐない。」ものの、
「私は、一人しかゐない。」といふことは、
「私以外に、私はゐない。」といふことに、他ならない。
従って、
（12）により、
（13）
② 理事長は私です。
といふのであれば、それだけで、
③ 私以外は、理事長ではない。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
いづれにせよ、
① 私が理事長です。
② 私は理事長であり、理事長は、私である。
③ 私は理事長であり、私以外は、理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（15）
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
といふ「言ひ方」からも分かるやうに、三上章先生は、
① 私が理事長です。
② 私は理事長であり、理事長は、私である。
③ 私は理事長であり、私以外は、理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことに、気付いてはゐない。
従って、
（15）により、
（16）
三上章先生は、
① 象は鼻が長い。
② 象で、長いのは鼻である。
③ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことにも、気付いてはゐない。
令和０３年０９月２５日、毛利太。
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。 と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（01）により、
（02）
① 私が理事長です。
② 理事長は、私である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） 理事長→私 Ａ
２ （２） ～私 Ａ
３（３） 理事長 Ａ
１ ３（４） 私 １３ＭＰＰ
１２３（５） ～私＆私 ２４＆Ｉ
１２ （６）～理事長 ３５ＲＡＡ
１ （７）～私→～理事長 ２６ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） ～私→～理事長 Ａ
２ （２） 理事長 Ａ
３（３） ～私 Ａ
１ ３（４） ～理事長 １３ＭＰＰ
１２３（５） 理事長＆～理事長 ２４＆Ｉ
１２ （６）～～私 ３５ＲＡＡ
１２ （７） 私 ６ＤＮ
１ （８） 理事長→私 ２７ＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
② 理事長→私
③ ～私→～理事長
に於いて、すなはち、
② 理事長ならば、 私である。
③ 私でないならば、理事長ではない。
に於いて、
②＝③ である（対偶）。
従って、
（04）により、
（05）
② 理事長ならば、 私である。
③ 私でないならば、理事長ではない。
に於いて、すなはち、
② 理事長は、私です。
③ 私以外は、理事長ではない。
②＝③ である（対偶）。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は、私である。
③ タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は、理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（07）
④ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
⑤ すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］。｝
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は、私である。
③ タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は、理事長ではない。
④ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
⑤ すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］。｝
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤ である。
然るに、
（09）
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｔ会の会員ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 私ｂ＆理事長ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （８） 理事長ｃａ→ｂ＝ｃ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ） Ａ
ア （ア） 小倉ｃ＆～私ｃ Ａ
ア （イ） 小倉ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～私ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｂ＝ｃ Ａ
アエ（オ） ～私ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 私ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～私ｂ＆私ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｂ≠ｃ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～理事長ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 小倉ｃ＆～理事長ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （ソ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝ セＵＩ
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
（ⅱ）∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ）
（ⅲ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］。｝
（ⅱ）あるｚは（小倉氏であって、ｚは私ではない。）
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｚは（小倉氏であって、ｚはｘの理事長ではない）。｝
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
（ⅰ）タゴール記念会は、私が理事長です。然るに、
（ⅱ）小倉氏は私ではない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会は、小倉氏は理事長ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（12）
「私は、一人しかゐない。」ものの、
「私は、一人しかゐない。」といふことは、
「私以外に、私はゐない。」といふことに、他ならない。
従って、
（12）により、
（13）
② 理事長は私です。
といふのであれば、それだけで、
③ 私以外は、理事長ではない。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
いづれにせよ、
① 私が理事長です。
② 私は理事長であり、理事長は、私である。
③ 私は理事長であり、私以外は、理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（15）
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
といふ「言ひ方」からも分かるやうに、三上章先生は、
① 私が理事長です。
② 私は理事長であり、理事長は、私である。
③ 私は理事長であり、私以外は、理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことに、気付いてはゐない。
従って、
（15）により、
（16）
三上章先生は、
① 象は鼻が長い。
② 象で、長いのは鼻である。
③ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことにも、気付いてはゐない。
令和０３年０９月２５日、毛利太。
2021年9月23日木曜日
｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝と｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝を、明確に、区別せよ（Ⅱ）。
―「昨日（令和０３年０９月２２日）」の記事を、書きなおします。―
（01）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２） ～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
４ （４）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
５ （５） ～Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ∨～Ｑ ５∨Ｉ
４５ （７）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ４６＆Ｉ
４ （８） ～～Ｐ ５ＲＡＡ
４ （９） Ｐ ８ＤＮ
ア （ア） ～Ｑ Ａ
ア （イ） ～Ｐ∨～Ｑ ア∨Ｉ
４ ア （ウ）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ４ア＆Ｉ
４ （エ） ～～Ｑ アウＲＡＡ
４ （オ） Ｑ エＤＮ
４ （カ） Ｐ＆ Ｑ ９オ＆Ｉ
３４ （キ）～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） ３カ＆Ｉ
３ （ク）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ４キＲＡＡ
３ （ケ） ～Ｐ∨～Ｑ クＤＮ
３ （コ）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ケ∨Ｉ
サ （サ） Ｒ Ａ
サ （シ） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ サ∨Ｉ
１ （ス） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３コサシ∨Ｅ
１ （セ）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ス結合法則
ソ （ソ）～Ｐ Ａ
ソ （タ）～Ｐ∨Ｒ ソ∨Ｉ
ソ （チ） Ｐ→Ｒ タ含意の定義
ソ （ツ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） チ∨Ｉ
テ（テ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
テ（ト） Ｑ→Ｒ テ∨Ｉ
テ（ナ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ト∨Ｉ
１ （ニ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） １ソツテナ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
然るに、
（02）
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ Ａ
１ （２） ｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝ １Ｄｆ⇔
１ （３） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２＆Ｅ
１ （４） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
５ （５） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
６ （６） Ｐ＆ Ｑ Ａ
７ （７） ～Ｐ Ａ
６ （８） Ｐ ６＆Ｅ
６７ （９） ～Ｐ＆Ｐ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆Ｑ） ６８ＲＡＡ
イ （イ） ～Ｑ Ａ
６ （ウ） Ｑ ６＆Ｅ
６ イ （エ） ～Ｑ＆Ｑ ウエ＆Ｉ
イ （オ） ～（Ｐ＆Ｑ） ６オＲＡＡ
５ （カ） ～（Ｐ＆Ｑ） ５７アイオ
キ（キ） Ｒ Ａ
１ キ（ク） （Ｐ＆Ｑ） ４キＭＰＰ
１５ キ（ケ） ～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） カク＆I
１５ （コ） ～Ｒ キケＲＡＡ
１ （サ） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ ５コＣＰ
１ （シ）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝ ３サ＆I
（ⅳ）
１ （１）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝ Ａ
１ （２） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ １＆Ｅ
１ （３） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ １＆Ｅ
４ （４） Ｒ Ａ
５ （５） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
６ （６） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
７ （７） ～Ｐ Ａ
７ （８） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
６７ （９） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ６８＆Ｉ
６ （ア） ～～Ｐ ７９ＲＡＡ
６ （イ） Ｐ アＤＮ
ウ（ウ） ～Ｑ Ａ
ウ（エ） ～Ｐ∨～Ｑ ウ∨Ｉ
６ ウ（オ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ６ウ＆Ｉ
６ （カ） ～～Ｑ ウオＲＡＡ
６ （キ） Ｑ カ＆Ｉ
６ （ク） Ｐ＆ Ｑ イキ＆Ｉ
５６ （ケ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） ５６＆Ｉ
５ （コ） ～～（～Ｐ∨～Ｑ） ６ケＲＡＡ
５ （サ） （～Ｐ∨～Ｑ） コＤＮ
１ ５ （シ） ～Ｒ ３サＭＰＰ
１４５ （ス） Ｒ＆～Ｒ ４シ＆Ｉ
１４ （セ） ～～（Ｐ＆ Ｑ） ５スＲＡＡ
１４ （ソ） （Ｐ＆ Ｑ） セＤＮ
１ （タ） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ４ソＣＰ
１ （チ）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝ ２タ＆Ｉ
１ （ツ） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ チＤｆ.⇔
従って、
（01）（02）により、
（03）
「記号」書くと、
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
② （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③ （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（03）により、
（04）
「日本語」で書くと、
① （Ｐであって、尚且つ、Ｑである）ならば、Ｒである。
② （Ｐであるならば、Ｒであるか、）または、（Ｑであるならば、Ｒである。）
③ （Ｐであって、尚且つ、Ｑである）ならば、そのとき限って、Ｒである。
④｛（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）ならば、Ｒであり、｝尚且つ、｛（Ｐでないか、または、Ｑでない）ならば、Ｒではない。｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（04）により、
（05）
Ｐ＝ ２の倍数
Ｑ＝ ５の倍数
Ｒ＝１０の倍数
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① （２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
② （２の倍数であるならば、１０の倍数であるか、）または、（５の倍数であるならば、１０の倍数である。）
③ （２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、そのとき限って、１０の倍数である。
④｛（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数であり、｝尚且つ、｛（２の倍数でないか、または、５の倍数でない）ならば、１０の倍数ではない。｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（06）
② ２×３＝ ６は、１０の倍数ではなく、５×３も、１０の倍数ではないが、
④ ２×５＝１０は、１０の倍数であって、５×４も、１０の倍数である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② （２の倍数であるならば、１０の倍数であるか、）または、（５の倍数であるならば、１０の倍数である。）
④｛（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数であり、｝尚且つ、｛（２の倍数でないか、または、５の倍数でない）ならば、１０の倍数ではない。｝
に於いて、
② は、「偽（ウソ）」であるが、
④ は、「真（本当）」である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① （２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
② （２の倍数であるならば、１０の倍数であるか、）または、（５の倍数であるならば、１０の倍数である。）
③ （２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、そのとき限って、１０の倍数である。
④｛（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数であり、｝尚且つ、｛（２の倍数でないか、または、５の倍数でない）ならば、１０の倍数ではない。｝
に於いて、
①＝② であって、② は、「偽（ウソ）」であり、
③＝④ であって、④ は、「真（本当）」である。
従って、
（08）により、
（09）
「必然的」に、
①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
③（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、そのとき限って、１０の倍数である。
に於いて、
① は、「偽（ウソ）」であり、
③ は、「真（本当）」である。
然るに、
（10）
① Ａならば、Ｂである。
③ Ａならば、そのときに限って、Ｂである。
に於いて、
① Ａは、Ｂの「十分条件」であって、「必要・十分条件」ではなく、
③ Ａは、Ｂの「必要・十分条件」であって、「十分条件」である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
といふ「仮言命題」に於いて、
①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）といふことは、１０の倍数であることの、「十分条件」であって、「必要十分条件」ではない。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
生徒Ａ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数ですよね。
教師Ｂ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ことは、「１０の倍数」であるための、「必要十分条件」であるため、「そう（ＹＥＳ）である。」
に於いて、
生徒Ａ は、「間違って」ゐて、
教師Ｂ も、「間違って」ゐる。
然るに、
（13）
思ふに、普通の、高校の数学の教師は、
生徒Ａ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数ですよね。
教師Ｂ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ことは、「１０の倍数」であるための、「必要十分条件」であるため、「そう（ＹＥＳ）である。」
に於いて、
生徒Ａ は、「正しい」し、
教師Ｂ も、「正しい」と、思ふに、「違ひ」ない。
然るに、
（01）（02）により、
（14）
「ド・モルガンの法則」を用ひるのであれば、
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６ （６） Ｒ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ３結合法則
ア （ア）～Ｐ Ａ
ア （イ）～Ｐ∨Ｒ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｐ→Ｒ イ含意の定義
ア （エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ウ∨Ｉ
オ （オ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
オ （カ） Ｑ→Ｒ オ含意の定義
オ （キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２アエオキ∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ Ａ
１ （２） ｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝ １Ｄｆ⇔
１ （３） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２＆Ｅ
１ （４） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
５ （５） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
５ （カ） ～（Ｐ＆Ｑ） ４ド・モルガンの法則
キ（キ） Ｒ Ａ
１ キ（ク） （Ｐ＆Ｑ） ４キＭＰＰ
１５ キ（ケ） ～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） カク＆I
１５ （コ） ～Ｒ キケＲＡＡ
１ （サ） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ ５コＣＰ
１ （シ）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝ ３サ＆I
（ⅳ）
１ （１）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝ Ａ
１ （２） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ １＆Ｅ
１ （３） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ １＆Ｅ
４ （４） Ｒ Ａ
５ （５） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
５ （サ） （～Ｐ∨～Ｑ） ５ド・モルガンの法則
１ ５ （シ） ～Ｒ ３サＭＰＰ
１４５ （ス） Ｒ＆～Ｒ ４シ＆Ｉ
１４ （セ） ～～（Ｐ＆ Ｑ） ５スＲＡＡ
１４ （ソ） （Ｐ＆ Ｑ） セＤＮ
１ （タ） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ４ソＣＰ
１ （チ）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝ ２タ＆Ｉ
１ （ツ） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ チＤｆ.⇔
従って、
（01）（02）（14）により、
（15）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
② （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③ （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
生徒Ａ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数ですよね。
教師Ｂ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ことは、「１０の倍数」であるための、「必要十分条件」であるため、「そう（ＹＥＳ）である。」
といふ「会話」は、「論理的」には、「間違ひ」であって、
生徒Ａ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、そのときに限って、１０の倍数ですよね。
教師Ｂ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ことは、「１０の倍数」であるための、「必要十分条件」であるため、「そう（ＹＥＳ）である。」
といふ「会話」こそが、「正しい」。
といふ、ことになる。
然るに、
（17）
このやうに、書いてゐるにも、拘はらず、
私自身は、まだ何となく、スッキリとは、してゐない。
令和０３年０９月２３日、毛利太。
（01）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２） ～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
４ （４）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
５ （５） ～Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ∨～Ｑ ５∨Ｉ
４５ （７）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ４６＆Ｉ
４ （８） ～～Ｐ ５ＲＡＡ
４ （９） Ｐ ８ＤＮ
ア （ア） ～Ｑ Ａ
ア （イ） ～Ｐ∨～Ｑ ア∨Ｉ
４ ア （ウ）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ４ア＆Ｉ
４ （エ） ～～Ｑ アウＲＡＡ
４ （オ） Ｑ エＤＮ
４ （カ） Ｐ＆ Ｑ ９オ＆Ｉ
３４ （キ）～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） ３カ＆Ｉ
３ （ク）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ４キＲＡＡ
３ （ケ） ～Ｐ∨～Ｑ クＤＮ
３ （コ）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ケ∨Ｉ
サ （サ） Ｒ Ａ
サ （シ） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ サ∨Ｉ
１ （ス） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３コサシ∨Ｅ
１ （セ）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ス結合法則
ソ （ソ）～Ｐ Ａ
ソ （タ）～Ｐ∨Ｒ ソ∨Ｉ
ソ （チ） Ｐ→Ｒ タ含意の定義
ソ （ツ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） チ∨Ｉ
テ（テ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
テ（ト） Ｑ→Ｒ テ∨Ｉ
テ（ナ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ト∨Ｉ
１ （ニ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） １ソツテナ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
然るに、
（02）
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ Ａ
１ （２） ｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝ １Ｄｆ⇔
１ （３） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２＆Ｅ
１ （４） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
５ （５） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
６ （６） Ｐ＆ Ｑ Ａ
７ （７） ～Ｐ Ａ
６ （８） Ｐ ６＆Ｅ
６７ （９） ～Ｐ＆Ｐ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆Ｑ） ６８ＲＡＡ
イ （イ） ～Ｑ Ａ
６ （ウ） Ｑ ６＆Ｅ
６ イ （エ） ～Ｑ＆Ｑ ウエ＆Ｉ
イ （オ） ～（Ｐ＆Ｑ） ６オＲＡＡ
５ （カ） ～（Ｐ＆Ｑ） ５７アイオ
キ（キ） Ｒ Ａ
１ キ（ク） （Ｐ＆Ｑ） ４キＭＰＰ
１５ キ（ケ） ～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） カク＆I
１５ （コ） ～Ｒ キケＲＡＡ
１ （サ） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ ５コＣＰ
１ （シ）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝ ３サ＆I
（ⅳ）
１ （１）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝ Ａ
１ （２） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ １＆Ｅ
１ （３） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ １＆Ｅ
４ （４） Ｒ Ａ
５ （５） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
６ （６） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
７ （７） ～Ｐ Ａ
７ （８） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
６７ （９） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ６８＆Ｉ
６ （ア） ～～Ｐ ７９ＲＡＡ
６ （イ） Ｐ アＤＮ
ウ（ウ） ～Ｑ Ａ
ウ（エ） ～Ｐ∨～Ｑ ウ∨Ｉ
６ ウ（オ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ６ウ＆Ｉ
６ （カ） ～～Ｑ ウオＲＡＡ
６ （キ） Ｑ カ＆Ｉ
６ （ク） Ｐ＆ Ｑ イキ＆Ｉ
５６ （ケ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） ５６＆Ｉ
５ （コ） ～～（～Ｐ∨～Ｑ） ６ケＲＡＡ
５ （サ） （～Ｐ∨～Ｑ） コＤＮ
１ ５ （シ） ～Ｒ ３サＭＰＰ
１４５ （ス） Ｒ＆～Ｒ ４シ＆Ｉ
１４ （セ） ～～（Ｐ＆ Ｑ） ５スＲＡＡ
１４ （ソ） （Ｐ＆ Ｑ） セＤＮ
１ （タ） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ４ソＣＰ
１ （チ）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝ ２タ＆Ｉ
１ （ツ） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ チＤｆ.⇔
従って、
（01）（02）により、
（03）
「記号」書くと、
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
② （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③ （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（03）により、
（04）
「日本語」で書くと、
① （Ｐであって、尚且つ、Ｑである）ならば、Ｒである。
② （Ｐであるならば、Ｒであるか、）または、（Ｑであるならば、Ｒである。）
③ （Ｐであって、尚且つ、Ｑである）ならば、そのとき限って、Ｒである。
④｛（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）ならば、Ｒであり、｝尚且つ、｛（Ｐでないか、または、Ｑでない）ならば、Ｒではない。｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（04）により、
（05）
Ｐ＝ ２の倍数
Ｑ＝ ５の倍数
Ｒ＝１０の倍数
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① （２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
② （２の倍数であるならば、１０の倍数であるか、）または、（５の倍数であるならば、１０の倍数である。）
③ （２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、そのとき限って、１０の倍数である。
④｛（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数であり、｝尚且つ、｛（２の倍数でないか、または、５の倍数でない）ならば、１０の倍数ではない。｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（06）
② ２×３＝ ６は、１０の倍数ではなく、５×３も、１０の倍数ではないが、
④ ２×５＝１０は、１０の倍数であって、５×４も、１０の倍数である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② （２の倍数であるならば、１０の倍数であるか、）または、（５の倍数であるならば、１０の倍数である。）
④｛（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数であり、｝尚且つ、｛（２の倍数でないか、または、５の倍数でない）ならば、１０の倍数ではない。｝
に於いて、
② は、「偽（ウソ）」であるが、
④ は、「真（本当）」である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① （２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
② （２の倍数であるならば、１０の倍数であるか、）または、（５の倍数であるならば、１０の倍数である。）
③ （２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、そのとき限って、１０の倍数である。
④｛（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数であり、｝尚且つ、｛（２の倍数でないか、または、５の倍数でない）ならば、１０の倍数ではない。｝
に於いて、
①＝② であって、② は、「偽（ウソ）」であり、
③＝④ であって、④ は、「真（本当）」である。
従って、
（08）により、
（09）
「必然的」に、
①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
③（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、そのとき限って、１０の倍数である。
に於いて、
① は、「偽（ウソ）」であり、
③ は、「真（本当）」である。
然るに、
（10）
① Ａならば、Ｂである。
③ Ａならば、そのときに限って、Ｂである。
に於いて、
① Ａは、Ｂの「十分条件」であって、「必要・十分条件」ではなく、
③ Ａは、Ｂの「必要・十分条件」であって、「十分条件」である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
といふ「仮言命題」に於いて、
①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）といふことは、１０の倍数であることの、「十分条件」であって、「必要十分条件」ではない。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
生徒Ａ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数ですよね。
教師Ｂ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ことは、「１０の倍数」であるための、「必要十分条件」であるため、「そう（ＹＥＳ）である。」
に於いて、
生徒Ａ は、「間違って」ゐて、
教師Ｂ も、「間違って」ゐる。
然るに、
（13）
思ふに、普通の、高校の数学の教師は、
生徒Ａ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数ですよね。
教師Ｂ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ことは、「１０の倍数」であるための、「必要十分条件」であるため、「そう（ＹＥＳ）である。」
に於いて、
生徒Ａ は、「正しい」し、
教師Ｂ も、「正しい」と、思ふに、「違ひ」ない。
然るに、
（01）（02）により、
（14）
「ド・モルガンの法則」を用ひるのであれば、
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６ （６） Ｒ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ３結合法則
ア （ア）～Ｐ Ａ
ア （イ）～Ｐ∨Ｒ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｐ→Ｒ イ含意の定義
ア （エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ウ∨Ｉ
オ （オ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
オ （カ） Ｑ→Ｒ オ含意の定義
オ （キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２アエオキ∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ Ａ
１ （２） ｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝ １Ｄｆ⇔
１ （３） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２＆Ｅ
１ （４） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
５ （５） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
５ （カ） ～（Ｐ＆Ｑ） ４ド・モルガンの法則
キ（キ） Ｒ Ａ
１ キ（ク） （Ｐ＆Ｑ） ４キＭＰＰ
１５ キ（ケ） ～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） カク＆I
１５ （コ） ～Ｒ キケＲＡＡ
１ （サ） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ ５コＣＰ
１ （シ）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝ ３サ＆I
（ⅳ）
１ （１）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝ Ａ
１ （２） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ １＆Ｅ
１ （３） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ １＆Ｅ
４ （４） Ｒ Ａ
５ （５） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
５ （サ） （～Ｐ∨～Ｑ） ５ド・モルガンの法則
１ ５ （シ） ～Ｒ ３サＭＰＰ
１４５ （ス） Ｒ＆～Ｒ ４シ＆Ｉ
１４ （セ） ～～（Ｐ＆ Ｑ） ５スＲＡＡ
１４ （ソ） （Ｐ＆ Ｑ） セＤＮ
１ （タ） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ４ソＣＰ
１ （チ）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝ ２タ＆Ｉ
１ （ツ） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ チＤｆ.⇔
従って、
（01）（02）（14）により、
（15）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
② （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③ （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
生徒Ａ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数ですよね。
教師Ｂ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ことは、「１０の倍数」であるための、「必要十分条件」であるため、「そう（ＹＥＳ）である。」
といふ「会話」は、「論理的」には、「間違ひ」であって、
生徒Ａ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、そのときに限って、１０の倍数ですよね。
教師Ｂ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ことは、「１０の倍数」であるための、「必要十分条件」であるため、「そう（ＹＥＳ）である。」
といふ「会話」こそが、「正しい」。
といふ、ことになる。
然るに、
（17）
このやうに、書いてゐるにも、拘はらず、
私自身は、まだ何となく、スッキリとは、してゐない。
令和０３年０９月２３日、毛利太。
2021年9月20日月曜日
『括弧』と『返り点』と「補足構造」。
（01）
① 読（漢文）。
に於いて、
① 読（ ）⇒（ ）読
といふ「移動」を行ふと、
① 読（漢文）⇒
① （漢文）読＝
① （漢文を）を読む。
然るに、
（02）
② 文（読〔漢）〕。
に於いて、
② 文（ ）⇒（ ）文
② 読〔 〕⇒〔 〕読
といふ「移動」を行ふと、
② 文（読〔漢）〕⇒
② （〔漢）文〕読＝
② （〔漢）文を〕読む。
然るに、
（03）
① 読二漢文一。
② 文二読三漢一。
であれば、
① 漢文一を読二む。
② 漢一文二を読三む。
である。
然るに、
（04）
① 読（漢文）。
② 文（読〔漢）〕。
に於いて、
①（ ） は、『括弧』であるが、
②（〔 ）〕は、『括弧』ではないし、
① 読二漢文一。
② 文二読三漢一。
に於いて、
①「二 一」 は、『返り点』であるが、
②「二 三 一」は、『返り点』ではないし、
固より、
① 読漢文（Dú hànwén）。
② 文読漢（wén dú hàn）。
に於いて、
① は、「漢文」であるが、
② は、「デタラメ」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① 読二漢文一。
① 読（漢文）。
といふ『括弧』が、そうであるやうに、『括弧』は、「返り点の役割」を果たすものと、思はれる。
然るに、
（06）
通常の包含関係に従って甲乙点を打った後、その外側で四つの返り点が必要になったら、どうするのでしょうか。天地人点（の三つ） では足りません。その場合も、やはり、次のやうに、甲乙点と天地人点の順序を逆転させるしかないのです。そのような例を一つ示しましょう。根気のよい方は、訓読に従って字を逐ってみてください。あまりの複雑さゆえに嫌気のさす方は、読み飛ばしても結構です。
何ぞ人をして韓の公叔に謂ひて「秦の敢へて周を絶つて韓を伐たんとするは、東周を信ずればなり、公何ぞ周に地を与へ、質使を発して楚に之かしめざる、秦必ず楚を疑ひ、周を信ぜざらん、是れ韓伐たれざらん」と曰ひ、又秦に謂ひて「韓彊ひて周に地を与ふるは、将に以て周を秦に疑はしめんとするなり、周敢へて受けずんばあらず」と曰は令めざる。
何不レ令丁人謂二韓公叔一曰地秦之敢絶レ周而伐レ韓者、信二東周一也、公何不下与二周地一発二質使一之上レ楚、秦必疑レ楚、不レ信レ周、是韓不天レ伐也、又謂レ秦曰丙、韓彊与二周地一、将三以疑二周於秦一也、周不乙敢不甲レ受。
（これならわかる返り点、古田島洋介、九一頁改）
然るに、
（07）
② 何不〈令｛人謂（韓公叔）曰［秦之敢絶（周）而伐（韓）者、信（東周）也、公何不〔与（周地）発（質使）之（楚）〕、秦必疑（楚）、不〔信（周）〕、是韓不（伐）也］、又謂（秦）曰、［韓彊与（周地）、将〔以疑（周於秦）〕也、周不〔敢不（受）〕］｝〉。
に於いて、
② □〈 〉⇒〈 〉□
② □｛ ｝⇒｛ ｝□
② □［ ］⇒［ ］□
② □〔 〕⇒〔 〕□
② □（ ）⇒（ ）□
といふ「移動」を行ふと、
② 何不〈令｛人謂（韓公叔）曰［秦之敢絶（周）而伐（韓）者、信（東周）也、公何不〔与（周地）発（質使）之（楚）〕、秦必疑（楚）、不〔信（周）〕、是韓不（伐）也］、又謂（秦）曰、［韓彊与（周地）、将〔以疑（周於秦）〕也、周不〔敢不（受）〕］｝〉⇒
② 何〈｛人（韓公叔）謂［秦之敢（周）絶而（韓）伐者、（東周）信也、公何〔（周地）与（質使）発（楚）之〕不、秦必（楚）疑、〔（周）信〕不、是韓（伐）不也］曰、又（秦）謂、［韓彊（周地）与、将〔以（周於秦）疑〕也、周〔敢（受）不〕不］曰｝令〉不＝
② 何ぞ〈｛人をして（韓の公叔に）謂ひて［秦之敢へて（周を）絶つ而（韓を）伐んとする者、（東周を）信ずれば也、公何ぞ〔（周に地を）与へ（質使を）発して（楚に）之かしめ〕不る、秦必ず（楚を）疑ひ、〔（周を）信ぜ〕不らん、是れ韓（伐たれ）不らん也と］曰ひ、又（秦に）謂ひて、［韓彊ひて（周に地を）与ふるは、将に〔以て（周を於秦に）疑はしめんとする〕也、周〔敢へて（受け）不んば〕不ずと］曰は｝令め〉不る。
従って、
（06）（07）により、
（08）
② レ 丁 二 一 地 レ レ 二 一 下 二 一 二 一 上レ レ レ レ 天レ レ 二 一 三 二 一 乙 甲レ
といふ『返り点』は、
②〈 ｛ （ ）［ （ ）（ ）（ ）〔 （ ）（ ）（ ） 〕（ ）〔 （ ） 〕（ ） ］（ ）［ （ ）〔 （ ） 〕〔 （ ） 〕 ］ ｝ 〉
といふ『括弧』に、「置き換へる」ことが出来る。
従って、
（08）により、
（09）
② 何不令人謂韓公叔曰秦之敢絶周而伐韓者信東周也公何不与周地発質使之楚秦必疑楚不信周是韓不伐也又謂秦曰韓彊与周地将以疑周於秦也周不敢不受。
のやうに、「極端に長い、ワンセンテンスの漢文」であっても、
〈 ｛ ［ 〔 （ ） 〕 ］ ｝ 〉
といふ、「五組の括弧」があれば、「十分」である。
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ）〈 〉｛ ｝［ ］〔 〕（ ）
といふ『括弧』は、
（ⅰ）レ 一レ 上レ 甲レ 天レ
（ⅱ）一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
（ⅲ）上 中 下
（ⅳ）甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
（ⅴ）天 地 人
といふ『返り点』を、「カバーする」。
然るに、
（11）
漢語における語順は、国語と大きく違っているところがある。すなわち、その補足構造における語順は、国語とは全く反対である。しかし、訓読は、国語の語順に置きかえて読むことが、その大きな原則となっている。それでその補足構造によっている文も、返り点によって、国語としての語順が示されている（鈴木直治、中国語と漢文、1975年、２９６頁）。
従って、
（01）（07）（11）により、
（12）
① 読（漢文）。
② 何不〈令｛人謂（韓公叔）曰［秦之敢絶（周）而伐（韓）者、信（東周）也、公何不〔与（周地）発（質使）之（楚）〕、秦必疑（楚）、不〔信（周）〕、是韓不（伐）也］、又謂（秦）曰、［韓彊与（周地）、将〔以疑（周於秦）〕也、周不〔敢不（受）〕］｝〉。
に於ける、
①（ ）
②〈 ｛ （ ）［ （ ）（ ）（ ）〔 （ ）（ ）（ ） 〕（ ）〔 （ ） 〕（ ） ］（ ）［ （ ）〔 （ ） 〕〔 （ ） 〕 ］ ｝ 〉
といふ『括弧』は、
① 読漢文。
② 何不令人謂韓公叔曰秦之敢絶周而伐韓者信東周也公何不与周地発質使之楚秦必疑楚不信周是韓不伐也又謂秦曰韓彊与周地将以疑周於秦也周不敢不受。
といふ「漢文」に於ける、「補足構造」を、表してゐる。
従って、
（13）
「逆」に言へば、
① 読漢文。
② 何不令人謂韓公叔曰秦之敢絶周而伐韓者信東周也公何不与周地発質使之楚秦必疑楚不信周是韓不伐也又謂秦曰韓彊与周地将以疑周於秦也周不敢不受。
といふ「漢文」に、「補足構造」があるのであれば、「二つの漢文」には、
①（ ）
②〈 ｛ （ ）［ （ ）（ ）（ ）〔 （ ）（ ）（ ） 〕（ ）〔 （ ） 〕（ ） ］（ ）［ （ ）〔 （ ） 〕〔 （ ） 〕 ］ ｝ 〉
といふ『括弧』がある。
といふ、ことになる。
然るに、
（14）
① 読漢文。
② 何不令人謂韓公叔曰秦之敢絶周而伐韓者信東周也公何不与周地発質使之楚秦必疑楚不信周是韓不伐也又謂秦曰韓彊与周地将以疑周於秦也周不敢不受。
といふ「漢文」に、
①（ ）
②〈 ｛ （ ）［ （ ）（ ）（ ）〔 （ ）（ ）（ ） 〕（ ）〔 （ ） 〕（ ） ］（ ）［ （ ）〔 （ ） 〕〔 （ ） 〕 ］ ｝ 〉
といふ「補足構造（括弧）」がある。
といふことは、飽くまでも、「漢文」自体の「性格」である。
従って、
（01）（07）（14）により、
（15）
① 漢文を読む。
② 何ぞ人をして韓の公叔に謂ひて「秦の敢へて周を絶つて韓を伐たんとするは、東周を信ずればなり、公何ぞ周に地を与へ、質使を発して楚に之かしめざる、秦必ず楚を疑ひ、周を信ぜざらん、是れ韓伐たれざらん」と曰ひ、又秦に謂ひて「韓彊ひて周に地を与ふるは、将に以て周を秦に疑はしめんとするなり、周敢へて受けずんばあらず」と曰は令めざる。
といふ風に、「訓読」をしようと、
① Dú hànwén.
② hébù lìng rén wèi hángōngshū yuē qín zhī gǎn jué zhōu ér fá hán zhě xìn dōngzhōu yě gōng hébù yǔ zhōu de fā zhì shǐ zhī chǔ qín bì yí chǔ bùxìn zhōu shì hán bù fá yě yòu wèi qín yuē hán jiàng yǔ zhōu de jiāng yǐ yí zhōu yú qín yě zhōu bù gǎn bù shòu.
といふ風に、「音読」をしようと、
① 読漢文。
② 何不令人謂韓公叔曰秦之敢絶周而伐韓者信東周也公何不与周地発質使之楚秦必疑楚不信周是韓不伐也又謂秦曰韓彊与周地将以疑周於秦也周不敢不受。
といふ風に、「音読」をしようと、「これらの、二つの漢文」には、
① 読（漢文）。
② 何不〈令｛人謂（韓公叔）曰［秦之敢絶（周）而伐（韓）者、信（東周）也、公何不〔与（周地）発（質使）之（楚）〕、秦必疑（楚）、不〔信（周）〕、是韓不（伐）也］、又謂（秦）曰、［韓彊与（周地）、将〔以疑（周於秦）〕也、周不〔敢不（受）〕］｝〉。
といふ「補足構造」が、有ることになる。
然るに、
（16）
① 読漢文。
② 何不令人謂韓公叔曰秦之敢絶周而伐韓者信東周也公何不与周地発質使之楚秦必疑楚不信周是韓不伐也又謂秦曰韓彊与周地将以疑周於秦也周不敢不受。
といふ「漢文」を、
① Dú hànwén.
② hébù lìng rén wèi hángōngshū yuē qín zhī gǎn jué zhōu ér fá hán zhě xìn dōngzhōu yě gōng hébù yǔ zhōu de fā zhì shǐ zhī chǔ qín bì yí chǔ bùxìn zhōu shì hán bù fá yě yòu wèi qín yuē hán jiàng yǔ zhōu de jiāng yǐ yí zhōu yú qín yě zhōu bù gǎn bù shòu.
といふ風に、「音読」出来たとしても、「これらの漢文」の、
① 読（漢文）。
② 何不〈令｛人謂（韓公叔）曰［秦之敢絶（周）而伐（韓）者、信（東周）也、公何不〔与（周地）発（質使）之（楚）〕、秦必疑（楚）、不〔信（周）〕、是韓不（伐）也］、又謂（秦）曰、［韓彊与（周地）、将〔以疑（周於秦）〕也、周不〔敢不（受）〕］｝〉。
といふ「補足構造」を、「把握」出来るわけではない。
然るに、
（17）
大学（京都帝国大学）に入った二年め（昭和５年）の秋、倉石武四郎先生が中国の留学から帰られ、授業を開始されたことは、私だけではなく、当時の在学生に一大衝撃を与えた。先生は従来の漢文訓読を全くすてて、漢籍を読むのにまず中国語の現代の発音に従って音読し、それをただちに口語に訳することにすると宣言されたのである。この説はすぐさま教室で実行された。私どもは魯迅の小説集『吶喊』と江永の『音学弁徴』を教わった。これは破天荒のことであって、教室で中国の現代小説を読むことも、京都大学では最初であり、全国のほかの大学でもまだなかったろうと思われる（『心の履歴』、「小川環樹著作集 第五巻」、筑摩書房、１７６頁）。
（18）
大学では、これまでなじみのある訓読という方法によらず、現代中国語の知識を前提として、中国語の音によってそのまま読んでいきます。音そのもののひびきの美しさを体得できるよう、古典・現代のいずれに関心がある場合でも、入学後は現代中国語を充分に習得してください。
（京都大学、文学部受験生向けメッセージ）
（19）
「大学に入っても、一般に中国文学科では訓読法を指導しない。漢文つまり古典中国語も現代中国語で発音してしまうのが通例で、訓読法なぞ時代遅れの古臭い方法だと蔑む雰囲気さえ濃厚だという。
（古田島洋介、日本近代史を学ぶための、文語文入門、2013年、はじめに ⅳ）
従って、
（16）～（19）により、
（20）
私としては、「大学の、漢文の先生」に対して、
① 読漢文。
② 何不令人謂韓公叔曰秦之敢絶周而伐韓者信東周也公何不与周地発質使之楚秦必疑楚不信周是韓不伐也又謂秦曰韓彊与周地将以疑周於秦也周不敢不受。
といふ「漢文」に於ける、
① 読（漢文）。
② 何不〈令｛人謂（韓公叔）曰［秦之敢絶（周）而伐（韓）者、信（東周）也、公何不〔与（周地）発（質使）之（楚）〕、秦必疑（楚）、不〔信（周）〕、是韓不（伐）也］、又謂（秦）曰、［韓彊与（周地）、将〔以疑（周於秦）〕也、周不〔敢不（受）〕］｝〉。
といふ『括弧（補足構造）』を、どのやうに「評価」するのかといふことを、機会があれば、質問をしてみたい。
令和０３年０９月２０日、毛利太。
① 読（漢文）。
に於いて、
① 読（ ）⇒（ ）読
といふ「移動」を行ふと、
① 読（漢文）⇒
① （漢文）読＝
① （漢文を）を読む。
然るに、
（02）
② 文（読〔漢）〕。
に於いて、
② 文（ ）⇒（ ）文
② 読〔 〕⇒〔 〕読
といふ「移動」を行ふと、
② 文（読〔漢）〕⇒
② （〔漢）文〕読＝
② （〔漢）文を〕読む。
然るに、
（03）
① 読二漢文一。
② 文二読三漢一。
であれば、
① 漢文一を読二む。
② 漢一文二を読三む。
である。
然るに、
（04）
① 読（漢文）。
② 文（読〔漢）〕。
に於いて、
①（ ） は、『括弧』であるが、
②（〔 ）〕は、『括弧』ではないし、
① 読二漢文一。
② 文二読三漢一。
に於いて、
①「二 一」 は、『返り点』であるが、
②「二 三 一」は、『返り点』ではないし、
固より、
① 読漢文（Dú hànwén）。
② 文読漢（wén dú hàn）。
に於いて、
① は、「漢文」であるが、
② は、「デタラメ」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① 読二漢文一。
① 読（漢文）。
といふ『括弧』が、そうであるやうに、『括弧』は、「返り点の役割」を果たすものと、思はれる。
然るに、
（06）
通常の包含関係に従って甲乙点を打った後、その外側で四つの返り点が必要になったら、どうするのでしょうか。天地人点（の三つ） では足りません。その場合も、やはり、次のやうに、甲乙点と天地人点の順序を逆転させるしかないのです。そのような例を一つ示しましょう。根気のよい方は、訓読に従って字を逐ってみてください。あまりの複雑さゆえに嫌気のさす方は、読み飛ばしても結構です。
何ぞ人をして韓の公叔に謂ひて「秦の敢へて周を絶つて韓を伐たんとするは、東周を信ずればなり、公何ぞ周に地を与へ、質使を発して楚に之かしめざる、秦必ず楚を疑ひ、周を信ぜざらん、是れ韓伐たれざらん」と曰ひ、又秦に謂ひて「韓彊ひて周に地を与ふるは、将に以て周を秦に疑はしめんとするなり、周敢へて受けずんばあらず」と曰は令めざる。
何不レ令丁人謂二韓公叔一曰地秦之敢絶レ周而伐レ韓者、信二東周一也、公何不下与二周地一発二質使一之上レ楚、秦必疑レ楚、不レ信レ周、是韓不天レ伐也、又謂レ秦曰丙、韓彊与二周地一、将三以疑二周於秦一也、周不乙敢不甲レ受。
（これならわかる返り点、古田島洋介、九一頁改）
然るに、
（07）
② 何不〈令｛人謂（韓公叔）曰［秦之敢絶（周）而伐（韓）者、信（東周）也、公何不〔与（周地）発（質使）之（楚）〕、秦必疑（楚）、不〔信（周）〕、是韓不（伐）也］、又謂（秦）曰、［韓彊与（周地）、将〔以疑（周於秦）〕也、周不〔敢不（受）〕］｝〉。
に於いて、
② □〈 〉⇒〈 〉□
② □｛ ｝⇒｛ ｝□
② □［ ］⇒［ ］□
② □〔 〕⇒〔 〕□
② □（ ）⇒（ ）□
といふ「移動」を行ふと、
② 何不〈令｛人謂（韓公叔）曰［秦之敢絶（周）而伐（韓）者、信（東周）也、公何不〔与（周地）発（質使）之（楚）〕、秦必疑（楚）、不〔信（周）〕、是韓不（伐）也］、又謂（秦）曰、［韓彊与（周地）、将〔以疑（周於秦）〕也、周不〔敢不（受）〕］｝〉⇒
② 何〈｛人（韓公叔）謂［秦之敢（周）絶而（韓）伐者、（東周）信也、公何〔（周地）与（質使）発（楚）之〕不、秦必（楚）疑、〔（周）信〕不、是韓（伐）不也］曰、又（秦）謂、［韓彊（周地）与、将〔以（周於秦）疑〕也、周〔敢（受）不〕不］曰｝令〉不＝
② 何ぞ〈｛人をして（韓の公叔に）謂ひて［秦之敢へて（周を）絶つ而（韓を）伐んとする者、（東周を）信ずれば也、公何ぞ〔（周に地を）与へ（質使を）発して（楚に）之かしめ〕不る、秦必ず（楚を）疑ひ、〔（周を）信ぜ〕不らん、是れ韓（伐たれ）不らん也と］曰ひ、又（秦に）謂ひて、［韓彊ひて（周に地を）与ふるは、将に〔以て（周を於秦に）疑はしめんとする〕也、周〔敢へて（受け）不んば〕不ずと］曰は｝令め〉不る。
従って、
（06）（07）により、
（08）
② レ 丁 二 一 地 レ レ 二 一 下 二 一 二 一 上レ レ レ レ 天レ レ 二 一 三 二 一 乙 甲レ
といふ『返り点』は、
②〈 ｛ （ ）［ （ ）（ ）（ ）〔 （ ）（ ）（ ） 〕（ ）〔 （ ） 〕（ ） ］（ ）［ （ ）〔 （ ） 〕〔 （ ） 〕 ］ ｝ 〉
といふ『括弧』に、「置き換へる」ことが出来る。
従って、
（08）により、
（09）
② 何不令人謂韓公叔曰秦之敢絶周而伐韓者信東周也公何不与周地発質使之楚秦必疑楚不信周是韓不伐也又謂秦曰韓彊与周地将以疑周於秦也周不敢不受。
のやうに、「極端に長い、ワンセンテンスの漢文」であっても、
〈 ｛ ［ 〔 （ ） 〕 ］ ｝ 〉
といふ、「五組の括弧」があれば、「十分」である。
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ）〈 〉｛ ｝［ ］〔 〕（ ）
といふ『括弧』は、
（ⅰ）レ 一レ 上レ 甲レ 天レ
（ⅱ）一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
（ⅲ）上 中 下
（ⅳ）甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
（ⅴ）天 地 人
といふ『返り点』を、「カバーする」。
然るに、
（11）
漢語における語順は、国語と大きく違っているところがある。すなわち、その補足構造における語順は、国語とは全く反対である。しかし、訓読は、国語の語順に置きかえて読むことが、その大きな原則となっている。それでその補足構造によっている文も、返り点によって、国語としての語順が示されている（鈴木直治、中国語と漢文、1975年、２９６頁）。
従って、
（01）（07）（11）により、
（12）
① 読（漢文）。
② 何不〈令｛人謂（韓公叔）曰［秦之敢絶（周）而伐（韓）者、信（東周）也、公何不〔与（周地）発（質使）之（楚）〕、秦必疑（楚）、不〔信（周）〕、是韓不（伐）也］、又謂（秦）曰、［韓彊与（周地）、将〔以疑（周於秦）〕也、周不〔敢不（受）〕］｝〉。
に於ける、
①（ ）
②〈 ｛ （ ）［ （ ）（ ）（ ）〔 （ ）（ ）（ ） 〕（ ）〔 （ ） 〕（ ） ］（ ）［ （ ）〔 （ ） 〕〔 （ ） 〕 ］ ｝ 〉
といふ『括弧』は、
① 読漢文。
② 何不令人謂韓公叔曰秦之敢絶周而伐韓者信東周也公何不与周地発質使之楚秦必疑楚不信周是韓不伐也又謂秦曰韓彊与周地将以疑周於秦也周不敢不受。
といふ「漢文」に於ける、「補足構造」を、表してゐる。
従って、
（13）
「逆」に言へば、
① 読漢文。
② 何不令人謂韓公叔曰秦之敢絶周而伐韓者信東周也公何不与周地発質使之楚秦必疑楚不信周是韓不伐也又謂秦曰韓彊与周地将以疑周於秦也周不敢不受。
といふ「漢文」に、「補足構造」があるのであれば、「二つの漢文」には、
①（ ）
②〈 ｛ （ ）［ （ ）（ ）（ ）〔 （ ）（ ）（ ） 〕（ ）〔 （ ） 〕（ ） ］（ ）［ （ ）〔 （ ） 〕〔 （ ） 〕 ］ ｝ 〉
といふ『括弧』がある。
といふ、ことになる。
然るに、
（14）
① 読漢文。
② 何不令人謂韓公叔曰秦之敢絶周而伐韓者信東周也公何不与周地発質使之楚秦必疑楚不信周是韓不伐也又謂秦曰韓彊与周地将以疑周於秦也周不敢不受。
といふ「漢文」に、
①（ ）
②〈 ｛ （ ）［ （ ）（ ）（ ）〔 （ ）（ ）（ ） 〕（ ）〔 （ ） 〕（ ） ］（ ）［ （ ）〔 （ ） 〕〔 （ ） 〕 ］ ｝ 〉
といふ「補足構造（括弧）」がある。
といふことは、飽くまでも、「漢文」自体の「性格」である。
従って、
（01）（07）（14）により、
（15）
① 漢文を読む。
② 何ぞ人をして韓の公叔に謂ひて「秦の敢へて周を絶つて韓を伐たんとするは、東周を信ずればなり、公何ぞ周に地を与へ、質使を発して楚に之かしめざる、秦必ず楚を疑ひ、周を信ぜざらん、是れ韓伐たれざらん」と曰ひ、又秦に謂ひて「韓彊ひて周に地を与ふるは、将に以て周を秦に疑はしめんとするなり、周敢へて受けずんばあらず」と曰は令めざる。
といふ風に、「訓読」をしようと、
① Dú hànwén.
② hébù lìng rén wèi hángōngshū yuē qín zhī gǎn jué zhōu ér fá hán zhě xìn dōngzhōu yě gōng hébù yǔ zhōu de fā zhì shǐ zhī chǔ qín bì yí chǔ bùxìn zhōu shì hán bù fá yě yòu wèi qín yuē hán jiàng yǔ zhōu de jiāng yǐ yí zhōu yú qín yě zhōu bù gǎn bù shòu.
といふ風に、「音読」をしようと、
① 読漢文。
② 何不令人謂韓公叔曰秦之敢絶周而伐韓者信東周也公何不与周地発質使之楚秦必疑楚不信周是韓不伐也又謂秦曰韓彊与周地将以疑周於秦也周不敢不受。
といふ風に、「音読」をしようと、「これらの、二つの漢文」には、
① 読（漢文）。
② 何不〈令｛人謂（韓公叔）曰［秦之敢絶（周）而伐（韓）者、信（東周）也、公何不〔与（周地）発（質使）之（楚）〕、秦必疑（楚）、不〔信（周）〕、是韓不（伐）也］、又謂（秦）曰、［韓彊与（周地）、将〔以疑（周於秦）〕也、周不〔敢不（受）〕］｝〉。
といふ「補足構造」が、有ることになる。
然るに、
（16）
① 読漢文。
② 何不令人謂韓公叔曰秦之敢絶周而伐韓者信東周也公何不与周地発質使之楚秦必疑楚不信周是韓不伐也又謂秦曰韓彊与周地将以疑周於秦也周不敢不受。
といふ「漢文」を、
① Dú hànwén.
② hébù lìng rén wèi hángōngshū yuē qín zhī gǎn jué zhōu ér fá hán zhě xìn dōngzhōu yě gōng hébù yǔ zhōu de fā zhì shǐ zhī chǔ qín bì yí chǔ bùxìn zhōu shì hán bù fá yě yòu wèi qín yuē hán jiàng yǔ zhōu de jiāng yǐ yí zhōu yú qín yě zhōu bù gǎn bù shòu.
といふ風に、「音読」出来たとしても、「これらの漢文」の、
① 読（漢文）。
② 何不〈令｛人謂（韓公叔）曰［秦之敢絶（周）而伐（韓）者、信（東周）也、公何不〔与（周地）発（質使）之（楚）〕、秦必疑（楚）、不〔信（周）〕、是韓不（伐）也］、又謂（秦）曰、［韓彊与（周地）、将〔以疑（周於秦）〕也、周不〔敢不（受）〕］｝〉。
といふ「補足構造」を、「把握」出来るわけではない。
然るに、
（17）
大学（京都帝国大学）に入った二年め（昭和５年）の秋、倉石武四郎先生が中国の留学から帰られ、授業を開始されたことは、私だけではなく、当時の在学生に一大衝撃を与えた。先生は従来の漢文訓読を全くすてて、漢籍を読むのにまず中国語の現代の発音に従って音読し、それをただちに口語に訳することにすると宣言されたのである。この説はすぐさま教室で実行された。私どもは魯迅の小説集『吶喊』と江永の『音学弁徴』を教わった。これは破天荒のことであって、教室で中国の現代小説を読むことも、京都大学では最初であり、全国のほかの大学でもまだなかったろうと思われる（『心の履歴』、「小川環樹著作集 第五巻」、筑摩書房、１７６頁）。
（18）
大学では、これまでなじみのある訓読という方法によらず、現代中国語の知識を前提として、中国語の音によってそのまま読んでいきます。音そのもののひびきの美しさを体得できるよう、古典・現代のいずれに関心がある場合でも、入学後は現代中国語を充分に習得してください。
（京都大学、文学部受験生向けメッセージ）
（19）
「大学に入っても、一般に中国文学科では訓読法を指導しない。漢文つまり古典中国語も現代中国語で発音してしまうのが通例で、訓読法なぞ時代遅れの古臭い方法だと蔑む雰囲気さえ濃厚だという。
（古田島洋介、日本近代史を学ぶための、文語文入門、2013年、はじめに ⅳ）
従って、
（16）～（19）により、
（20）
私としては、「大学の、漢文の先生」に対して、
① 読漢文。
② 何不令人謂韓公叔曰秦之敢絶周而伐韓者信東周也公何不与周地発質使之楚秦必疑楚不信周是韓不伐也又謂秦曰韓彊与周地将以疑周於秦也周不敢不受。
といふ「漢文」に於ける、
① 読（漢文）。
② 何不〈令｛人謂（韓公叔）曰［秦之敢絶（周）而伐（韓）者、信（東周）也、公何不〔与（周地）発（質使）之（楚）〕、秦必疑（楚）、不〔信（周）〕、是韓不（伐）也］、又謂（秦）曰、［韓彊与（周地）、将〔以疑（周於秦）〕也、周不〔敢不（受）〕］｝〉。
といふ『括弧（補足構造）』を、どのやうに「評価」するのかといふことを、機会があれば、質問をしてみたい。
令和０３年０９月２０日、毛利太。
2021年9月19日日曜日
「古典論理（実質含意）」としての「（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ」（Ⅱ）
―「一昨日（令和３年９月１７日）の記事」を、補足します。―
（01）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
に於いて、
①＝② ではない。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６ （６） Ｒ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ３結合法則
ア （ア）～Ｐ Ａ
ア （イ）～Ｐ∨Ｒ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｐ→Ｒ イ含意の定義
ア （エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ウ∨Ｉ
オ （オ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
オ （カ） Ｑ→Ｒ オ含意の定義
オ （キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２アエオキ∨Ｉ
（ⅲ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② ではないが、
①＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
を「日本語」で書くと、
①（Ｐであって、Ｑである）ならば、Ｒである。
②（Ｐであって、Ｑである）ならば、そのときに限って、Ｒである。
③（Ｐであるならば、それだけで、１０の倍数であるか、）または（Ｑであるならば、それだけで、１０の倍数である。）
に於いて、
①＝② ではないが、
①＝③ である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝ ２の倍数である。
Ｑ＝ ５の倍数である。
Ｒ＝１０の倍数である。
とするならば、
①（２の倍数であって、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
②（２の倍数であって、５の倍数である）ならば、そのときに限って、１０の倍数である。
③（２の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数であるか、）または（５の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数である。）
に於いて、
①＝② ではないが、
①＝③ である。
然るに、
（06）により、
（07）
①（２の倍数であって、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
②（２の倍数であって、５の倍数である）ならば、そのときに限って、１０の倍数である。
③（２の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数であるか、）または（５の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数である。）
に於いて、
①＝② ではないのに、
①＝② であると、『誤解』すると、
②＝③ ではないのに、
②＝③ であるとの『誤解』が、生じることになる。
然るに、
（08）
②「２×５＝１０」は、１０の倍数であって、
③「５×４＝２０」も、１０の倍数である。
としても、
②「２×３＝ ６」は、１０の倍数ではなく、
③「５×７＝３５」も、１０の倍数ではない。
従って、
（08）により、
（09）
②（２の倍数であって、５の倍数である）ならば、そのときに限って、１０の倍数である。
③（２の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数であるか、）または（５の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数である。）
に於いて、
② は、「真（本当）」であるが、
③ は、「偽（ウソ）」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
①（２の倍数であって、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
②（２の倍数であって、５の倍数である）ならば、そのときに限って、１０の倍数である。
③（２の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数であるか、）または（５の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数である。）
に於いて、
①＝② ではないのに、
①＝② であると、『誤解』すると、
②＝③ ではないのに、
②＝③ であるとの『誤解』が生じ、その「結果」として、
②「真（本当）」なのに、
③「偽（ウソ）」であるといふ、「矛盾」が生じる。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② ではないのに、
①＝② であると、『誤解』すると、
②＝③ ではないのに、
②＝③ であるとの『誤解』が生じ、その「結果」として、
②「真（本当）」なのに、
③「偽（ウソ）」であるといふ、「矛盾」が生じる。
従って、
（02）（11）により、
（12）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② ではないのに、
①＝② であると、『誤解』すると、
②＝③ であるとの『誤解』が生じ、その「結果」として、
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６ （６） Ｒ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ３結合法則
ア （ア）～Ｐ Ａ
ア （イ）～Ｐ∨Ｒ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｐ→Ｒ イ含意の定義
ア （エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ウ∨Ｉ
オ （オ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
オ （カ） Ｑ→Ｒ オ含意の定義
オ （キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２アエオキ∨Ｉ
コ （コ） Ｐ ＆ Ｑ Ａ
サ （サ） Ｐ→Ｒ Ａ
コ （シ） Ｐ コ＆Ｅ
コサ （ス） Ｒ サシＭＰＰ
セ（セ） Ｑ→Ｒ Ａ
コ （ソ） Ｑ コ＆Ｅ
コ セ（タ） Ｒ ソタＭＰＰ
１ コ （チ） Ｒ クサスセタ∨Ｅ
１ （ツ） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ コチＣＰ
といふ「計算（古典論理）」自体が、「誤り」である。
といふ『誤解』が生じる。
然るに、
（13）
大西拓郎先生（京都大学）は、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に関して、 ［厳密含意の論理（１） [修正版]（ユーチューブ：９分１０秒頃）］に於いて、
③ ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。
実質含意（古典論理）にはこういう変な推論がどうしてもつきまとうんですが、厳密含意になると、それがちゃんと妥当ではなくなってくれるという、ことです。
といふ風に、述べてゐる。
従って、
（12）（13）により、
（14）
大西拓郎先生（京都大学）は、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② ではないのに、
①＝② であると、『誤解』し、
その「結果」として、「実質含意（古典論理）」は、「ヲカシナ論理」であると、述べてゐる。
然るに、
（15）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝③ であるが、
②＝③ ではない。
といふ「論理（理屈）」は、「カクテル（焼酎割を含む）の例」で考えると、「分かり易い」。
（16）
焼酎は種類が多いが、いろいろな割り方、飲み方で楽しめるのも焼酎の魅力のひとつだ。たとえばオン・ザ・ロック、水割り、お湯割り、ソーダ割りなど、ほかにもいろいろな方法がある。人気の飲み方、これぞ王道、伝統の飲み方などをベスト10形式でご紹介。もちろん、あなた流にアレンジして楽しんでほしい（焼酎の美味しい飲み方ランキングTOP10！おすすめの割りもの ...）。
従って、
（16）により、
（17）
「焼酎割を飲むと、酔ふ。」といふことは、例へば、
「焼酎を飲み、お茶を飲むと、酔ふ。」といふことである。
従って、
（17）により、
（18）
Ｐ＝焼酎を飲む。
Ｑ＝お茶を飲む。
Ｒ＝酔ふ。
といふ「代入」を行ふと、
① 焼酎割を飲むらば、酔ふ。
といふ「含意（仮言命題）」は、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ風に、書くことが、出来る。
然るに、
（19）
（ⅰ）「経験的（アポステオリ）」ではなく、
（ⅱ）「論理的（アプリオリ）」 には、
①（焼酎を飲むならば、酔ふ） が、（お茶を飲んでも、 酔はない。）
②（焼酎を飲んでも、 酔はない）が、（お茶を飲むならば、酔ふ。）
③（焼酎を飲むならば、酔ふ） し、（お茶を飲んでも、 酔ふ。）
といふことは、「３つ」とも「可能」である。
従って、
（18）（19）により、
（20）
①「焼酎のお茶割」を飲むらば、酔ふ。
といふことは、「論理的（アプリオリ）」には、
③（焼酎を飲むと酔ふか）、または（お茶を飲むと酔ふか）、または（その両方である）。
といふことに、他ならない。
従って、
（18）（19）（20）により、
（21）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ≡焼酎割を飲むらば、酔ふ。
といふことは、「論理的（アプリオリ）」には、
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）≡（焼酎を飲むと酔ふか）、または（お茶を飲むと酔ふか）、または（その両方である）。
といふことに、他ならない。
令和０３年０９月１９日、毛利太。
（01）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
に於いて、
①＝② ではない。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６ （６） Ｒ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ３結合法則
ア （ア）～Ｐ Ａ
ア （イ）～Ｐ∨Ｒ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｐ→Ｒ イ含意の定義
ア （エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ウ∨Ｉ
オ （オ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
オ （カ） Ｑ→Ｒ オ含意の定義
オ （キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２アエオキ∨Ｉ
（ⅲ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② ではないが、
①＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
を「日本語」で書くと、
①（Ｐであって、Ｑである）ならば、Ｒである。
②（Ｐであって、Ｑである）ならば、そのときに限って、Ｒである。
③（Ｐであるならば、それだけで、１０の倍数であるか、）または（Ｑであるならば、それだけで、１０の倍数である。）
に於いて、
①＝② ではないが、
①＝③ である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝ ２の倍数である。
Ｑ＝ ５の倍数である。
Ｒ＝１０の倍数である。
とするならば、
①（２の倍数であって、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
②（２の倍数であって、５の倍数である）ならば、そのときに限って、１０の倍数である。
③（２の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数であるか、）または（５の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数である。）
に於いて、
①＝② ではないが、
①＝③ である。
然るに、
（06）により、
（07）
①（２の倍数であって、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
②（２の倍数であって、５の倍数である）ならば、そのときに限って、１０の倍数である。
③（２の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数であるか、）または（５の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数である。）
に於いて、
①＝② ではないのに、
①＝② であると、『誤解』すると、
②＝③ ではないのに、
②＝③ であるとの『誤解』が、生じることになる。
然るに、
（08）
②「２×５＝１０」は、１０の倍数であって、
③「５×４＝２０」も、１０の倍数である。
としても、
②「２×３＝ ６」は、１０の倍数ではなく、
③「５×７＝３５」も、１０の倍数ではない。
従って、
（08）により、
（09）
②（２の倍数であって、５の倍数である）ならば、そのときに限って、１０の倍数である。
③（２の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数であるか、）または（５の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数である。）
に於いて、
② は、「真（本当）」であるが、
③ は、「偽（ウソ）」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
①（２の倍数であって、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
②（２の倍数であって、５の倍数である）ならば、そのときに限って、１０の倍数である。
③（２の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数であるか、）または（５の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数である。）
に於いて、
①＝② ではないのに、
①＝② であると、『誤解』すると、
②＝③ ではないのに、
②＝③ であるとの『誤解』が生じ、その「結果」として、
②「真（本当）」なのに、
③「偽（ウソ）」であるといふ、「矛盾」が生じる。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② ではないのに、
①＝② であると、『誤解』すると、
②＝③ ではないのに、
②＝③ であるとの『誤解』が生じ、その「結果」として、
②「真（本当）」なのに、
③「偽（ウソ）」であるといふ、「矛盾」が生じる。
従って、
（02）（11）により、
（12）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② ではないのに、
①＝② であると、『誤解』すると、
②＝③ であるとの『誤解』が生じ、その「結果」として、
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６ （６） Ｒ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ３結合法則
ア （ア）～Ｐ Ａ
ア （イ）～Ｐ∨Ｒ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｐ→Ｒ イ含意の定義
ア （エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ウ∨Ｉ
オ （オ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
オ （カ） Ｑ→Ｒ オ含意の定義
オ （キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２アエオキ∨Ｉ
コ （コ） Ｐ ＆ Ｑ Ａ
サ （サ） Ｐ→Ｒ Ａ
コ （シ） Ｐ コ＆Ｅ
コサ （ス） Ｒ サシＭＰＰ
セ（セ） Ｑ→Ｒ Ａ
コ （ソ） Ｑ コ＆Ｅ
コ セ（タ） Ｒ ソタＭＰＰ
１ コ （チ） Ｒ クサスセタ∨Ｅ
１ （ツ） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ コチＣＰ
といふ「計算（古典論理）」自体が、「誤り」である。
といふ『誤解』が生じる。
然るに、
（13）
大西拓郎先生（京都大学）は、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に関して、 ［厳密含意の論理（１） [修正版]（ユーチューブ：９分１０秒頃）］に於いて、
③ ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。
実質含意（古典論理）にはこういう変な推論がどうしてもつきまとうんですが、厳密含意になると、それがちゃんと妥当ではなくなってくれるという、ことです。
といふ風に、述べてゐる。
従って、
（12）（13）により、
（14）
大西拓郎先生（京都大学）は、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② ではないのに、
①＝② であると、『誤解』し、
その「結果」として、「実質含意（古典論理）」は、「ヲカシナ論理」であると、述べてゐる。
然るに、
（15）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝③ であるが、
②＝③ ではない。
といふ「論理（理屈）」は、「カクテル（焼酎割を含む）の例」で考えると、「分かり易い」。
（16）
焼酎は種類が多いが、いろいろな割り方、飲み方で楽しめるのも焼酎の魅力のひとつだ。たとえばオン・ザ・ロック、水割り、お湯割り、ソーダ割りなど、ほかにもいろいろな方法がある。人気の飲み方、これぞ王道、伝統の飲み方などをベスト10形式でご紹介。もちろん、あなた流にアレンジして楽しんでほしい（焼酎の美味しい飲み方ランキングTOP10！おすすめの割りもの ...）。
従って、
（16）により、
（17）
「焼酎割を飲むと、酔ふ。」といふことは、例へば、
「焼酎を飲み、お茶を飲むと、酔ふ。」といふことである。
従って、
（17）により、
（18）
Ｐ＝焼酎を飲む。
Ｑ＝お茶を飲む。
Ｒ＝酔ふ。
といふ「代入」を行ふと、
① 焼酎割を飲むらば、酔ふ。
といふ「含意（仮言命題）」は、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ風に、書くことが、出来る。
然るに、
（19）
（ⅰ）「経験的（アポステオリ）」ではなく、
（ⅱ）「論理的（アプリオリ）」 には、
①（焼酎を飲むならば、酔ふ） が、（お茶を飲んでも、 酔はない。）
②（焼酎を飲んでも、 酔はない）が、（お茶を飲むならば、酔ふ。）
③（焼酎を飲むならば、酔ふ） し、（お茶を飲んでも、 酔ふ。）
といふことは、「３つ」とも「可能」である。
従って、
（18）（19）により、
（20）
①「焼酎のお茶割」を飲むらば、酔ふ。
といふことは、「論理的（アプリオリ）」には、
③（焼酎を飲むと酔ふか）、または（お茶を飲むと酔ふか）、または（その両方である）。
といふことに、他ならない。
従って、
（18）（19）（20）により、
（21）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ≡焼酎割を飲むらば、酔ふ。
といふことは、「論理的（アプリオリ）」には、
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）≡（焼酎を飲むと酔ふか）、または（お茶を飲むと酔ふか）、または（その両方である）。
といふことに、他ならない。
令和０３年０９月１９日、毛利太。
2021年9月17日金曜日
「古典論理（実質含意）」としての「（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ Ａ
２ （２） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ Ａ
２ （３） （Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
１２ （４） Ｒ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｒ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｒ＆～Ｒ ４５＆Ｉ
１ （７）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝ ２６ＲＡＡ
１ （８） ～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ ７ド・モルガンの法則
９ （９） ～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９ド・モルガンの法則
イ （イ） ～Ｐ Ａ
イ （ウ） ～Ｐ∨Ｒ イ∨Ｉ
イ （エ） Ｐ→Ｒ ウ含意の定義
イ （オ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） エ∨Ｉ
カ （カ） ～Ｑ Ａ
カ （キ） ～Ｑ∨Ｒ カ∨Ｉ
カ （ク） Ｑ→Ｒ キ含意の定義
カ （ケ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ク∨Ｉ
９ （コ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ９イオカケ∨Ｅ
ケ（ケ） Ｒ Ａ
ケ（コ） ～Ｑ∨Ｒ Ｒ∨Ｉ
ケ（サ） Ｑ→Ｒ コ含意の定義
ケ（シ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） サ∨Ｉ
１ （ス） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） １９コケシ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ Ａ
１ （２） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆
Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） １Ｄｆ．⇔
１ （３） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
４（４） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
４（５） ～（Ｐ＆Ｑ） ４ド・モルガンの法則
１４（６） ～Ｒ ３５ＭＴＴ
１ （７）（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ ４６ＣＰ
１ （８） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ ２＆Ｅ
１ （９） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ＆
（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ ７８＆I
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ＆
（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ Ａ
１ （２） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ １＆Ｅ
３（３） Ｒ Ａ
３（４） ～～Ｒ ３ＤＮ
１３（５）～（～Ｐ∨～Ｑ） ２４ＭＴＴ
１３（６） （Ｐ＆Ｑ） ５ド・モルガンの法則
１ （７） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ３６ＣＰ
１ （８）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆
Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） １７＆Ｉ
１ （９）（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ ８Ｄｆ.
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（03）
Ｐ＝ ２の倍数である。
Ｑ＝ ５の倍数である。
Ｒ＝１０の倍数である。
であるとして、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（04）
Ｐ＝ ２の倍数である。
Ｑ＝ ５の倍数である。
Ｒ＝１０の倍数である。
であるとして、
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
④（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ
といふことは、
②（２の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数であるか、）または、（５の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数である。）
④（２の倍数であって、５の倍数ならば、１０の倍数であって、）尚且つ、（２の倍数でないか、５の倍数でないか、または、その両方であるならば、１０の倍数ではない。）
といふ、ことである。
然るに、
（05）
②（２の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数であるか、）または、（５の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数である。）
④（２の倍数であって、５の倍数ならば、１０の倍数であって、）尚且つ、（２の倍数でないか、５の倍数でないか、または、両方であるならば、１０の倍数ではない。）
に於いて、
② は、「偽（ウソ）」であって、
④ は、「真（本当）」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
Ｐ＝ ２の倍数である。
Ｑ＝ ５の倍数である。
Ｒ＝１０の倍数である。
であるとして、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ
に於いて、
① は、「偽（ウソ）」であって、
② も、「偽（ウソ）」であって、
③ は、「真（本当）」であって、
④ も、「真（本当）」である。
従って、
（06）により、
（07）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ
に於いて、
①＝③ であるとすると、
①「偽（ウソ）」は、
③「真（本当）」である。
といふことになり、「矛盾」する。
然るに、
（08）
大西拓郎先生（京都大学）は、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に関して、
［厳密含意の論理（1） [修正版]（ユーチューブ：９分１０秒頃）］に於いて、
② ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。
実質含意（古典論理）にはこういう変な推論がどうしてもつきまとうんですが、厳密含意になると、それがちゃんと妥当ではなくなってくれるという、ことです。
といふ風に、述べてゐる。
従って、
（07）（08）により、
（09）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ
に於ける、
① と、
③ を、「混同」した上で、
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に対して、
② ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。
といふ風に、述べてゐる。
従って、
（08）（09）により、
（10）
大西拓郎先生（京都大学）による、
② ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。
といふ「説明」は、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「含意」と、
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
といふ「相互含意」を、「混同」してゐる。
といふ「意味」に於いて、「誤り」である。
令和０３年０９月１７日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ Ａ
２ （２） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ Ａ
２ （３） （Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
１２ （４） Ｒ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｒ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｒ＆～Ｒ ４５＆Ｉ
１ （７）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝ ２６ＲＡＡ
１ （８） ～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ ７ド・モルガンの法則
９ （９） ～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９ド・モルガンの法則
イ （イ） ～Ｐ Ａ
イ （ウ） ～Ｐ∨Ｒ イ∨Ｉ
イ （エ） Ｐ→Ｒ ウ含意の定義
イ （オ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） エ∨Ｉ
カ （カ） ～Ｑ Ａ
カ （キ） ～Ｑ∨Ｒ カ∨Ｉ
カ （ク） Ｑ→Ｒ キ含意の定義
カ （ケ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ク∨Ｉ
９ （コ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ９イオカケ∨Ｅ
ケ（ケ） Ｒ Ａ
ケ（コ） ～Ｑ∨Ｒ Ｒ∨Ｉ
ケ（サ） Ｑ→Ｒ コ含意の定義
ケ（シ） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） サ∨Ｉ
１ （ス） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） １９コケシ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ Ａ
１ （２） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆
Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） １Ｄｆ．⇔
１ （３） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
４（４） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
４（５） ～（Ｐ＆Ｑ） ４ド・モルガンの法則
１４（６） ～Ｒ ３５ＭＴＴ
１ （７）（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ ４６ＣＰ
１ （８） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ ２＆Ｅ
１ （９） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ＆
（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ ７８＆I
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ＆
（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ Ａ
１ （２） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ １＆Ｅ
３（３） Ｒ Ａ
３（４） ～～Ｒ ３ＤＮ
１３（５）～（～Ｐ∨～Ｑ） ２４ＭＴＴ
１３（６） （Ｐ＆Ｑ） ５ド・モルガンの法則
１ （７） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ３６ＣＰ
１ （８）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆
Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） １７＆Ｉ
１ （９）（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ ８Ｄｆ.
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（03）
Ｐ＝ ２の倍数である。
Ｑ＝ ５の倍数である。
Ｒ＝１０の倍数である。
であるとして、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（04）
Ｐ＝ ２の倍数である。
Ｑ＝ ５の倍数である。
Ｒ＝１０の倍数である。
であるとして、
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
④（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ
といふことは、
②（２の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数であるか、）または、（５の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数である。）
④（２の倍数であって、５の倍数ならば、１０の倍数であって、）尚且つ、（２の倍数でないか、５の倍数でないか、または、その両方であるならば、１０の倍数ではない。）
といふ、ことである。
然るに、
（05）
②（２の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数であるか、）または、（５の倍数であるならば、それだけで、１０の倍数である。）
④（２の倍数であって、５の倍数ならば、１０の倍数であって、）尚且つ、（２の倍数でないか、５の倍数でないか、または、両方であるならば、１０の倍数ではない。）
に於いて、
② は、「偽（ウソ）」であって、
④ は、「真（本当）」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
Ｐ＝ ２の倍数である。
Ｑ＝ ５の倍数である。
Ｒ＝１０の倍数である。
であるとして、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ
に於いて、
① は、「偽（ウソ）」であって、
② も、「偽（ウソ）」であって、
③ は、「真（本当）」であって、
④ も、「真（本当）」である。
従って、
（06）により、
（07）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ
に於いて、
①＝③ であるとすると、
①「偽（ウソ）」は、
③「真（本当）」である。
といふことになり、「矛盾」する。
然るに、
（08）
大西拓郎先生（京都大学）は、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に関して、
［厳密含意の論理（1） [修正版]（ユーチューブ：９分１０秒頃）］に於いて、
② ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。
実質含意（古典論理）にはこういう変な推論がどうしてもつきまとうんですが、厳密含意になると、それがちゃんと妥当ではなくなってくれるという、ことです。
といふ風に、述べてゐる。
従って、
（07）（08）により、
（09）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ
に於ける、
① と、
③ を、「混同」した上で、
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に対して、
② ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。
といふ風に、述べてゐる。
従って、
（08）（09）により、
（10）
大西拓郎先生（京都大学）による、
② ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。
といふ「説明」は、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「含意」と、
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
といふ「相互含意」を、「混同」してゐる。
といふ「意味」に於いて、「誤り」である。
令和０３年０９月１７日、毛利太。
2021年9月14日火曜日
「焼酎割を飲むと酔ふ」の「否定」の「命題論理」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６ （６） Ｒ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ３結合法則
ア （ア）～Ｐ Ａ
ア （イ）～Ｐ∨Ｒ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｐ→Ｒ イ含意の定義
ア （エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ウ∨Ｉ
オ（オ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
オ（カ） Ｑ→Ｒ オ含意の定義
オ（キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２アエオキ∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） （Ｐ→Ｒ） Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｒ ２含意の定義
４ （４） ～Ｐ Ａ
４ （５） ～Ｐ∨～Ｑ ４∨Ｉ
４ （６）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ ５∨Ｉ
７ （７） Ｒ Ａ
７ （８）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ ７∨Ｉ
２ （９）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ ３４６７８∨Ｅ
ア （ア） （Ｑ→Ｒ） Ａ
ア （イ） ～Ｑ∨Ｒ ア含意の定義
ウ （ウ） ～Ｑ Ａ
ウ （エ） （～Ｐ∨～Ｑ） ウ∨Ｉ
ウ （オ）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ エ∨Ｉ
カ（カ） Ｒ Ａ
カ（キ） （～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ ∨Ｉ
ア （ク） （～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ イウオカキ∨Ｅ
１ （ケ） （～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ １２９アク∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） （～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） 結合法則
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｒ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ→Ｒ ４含意の定義
３ （６）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ５∨Ｉ
７（７） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
７（８） （Ｑ→Ｒ） ７含意の定義
７（９）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ８∨Ｉ
１ （ア）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２３６７９∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
① ～｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝
② ～｛（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）｝
③ ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（07）
③ ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝
④（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
といふことは、「暗算」でも、分かる。
然るに、
（08）
（ⅲ）
１（１）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）∨ Ｒ｝ Ａ
１（２） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ １ド・モルガンの法則
１（３） ～（～Ｐ∨～Ｑ） ２＆Ｅ
１（４） Ｐ＆ Ｑ ３ド・モルガンの法則
１（５） ～Ｒ ２＆Ｅ
１（６）（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ ４５＆Ｉ
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ Ａ
２ （２） （～Ｐ∨～Ｑ）∨ Ｒ Ａ
３ （３） （～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （４） ～（Ｐ＆ Ｑ） ３ド・モルガンの法則
１ （５） （Ｐ＆ Ｑ） １＆Ｅ
１ ３ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） ４５＆Ｉ
３ （７）～｛（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ｝ １６ＲＡＡ
８（８） Ｒ Ａ
１ （９） ～Ｒ １＆Ｅ
１ ８（ア） Ｒ＆～Ｒ ８９＆Ｉ
８（イ）～｛（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ｝ １アＲＡＡ
２ （ウ）～｛（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ｝ ２３７８イ∨Ｅ
１２ （エ） ｛（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ｝＆
～｛（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ｝ １ウ＆Ｉ
１ （オ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝ ２エＲＡＡ
従って、
（07）（08）により、
（09）
③ ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝
④（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（06）（09）により、
（10）
① ～｛（Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ｝
② ～｛（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）｝
③ ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝
④ （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（10）により、
（11）
「番号」を付け直すと、
①（Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
① の「否定」は、③ であり、
② の「否定」も、③ である。
従って、
（11）により、
（12）
Ｐ＝焼酎を飲む。
Ｑ＝お茶を飲む。
Ｒ＝酔ふ。
であるとして、
①（焼酎のお茶割を飲む）ならば、酔ふ。
②（焼酎を飲むならば、酔ふか、）または（お茶を飲むならば、酔ふか、）または、その両方である。
③（焼酎のお茶割を飲ん）だのに、酔はない。
に於いて、
① の「否定」は、③ であり、
② の「否定」も、③ である。
従って、
（12）により、
（13）
③（焼酎のお茶割を飲ん）だのに、酔はない。
といふのであれば、そのときに限って、
①（焼酎のお茶割を飲む）ならば、酔ふ。
②（焼酎を飲むならば、酔ふか、）または（お茶を飲むならば、酔ふか、）または、その両方である。
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」である。
従って、
（13）により、
（14）
④ 焼酎だけを飲んだのに、酔はないとしても、
⑤ お茶だけを飲んだのに、酔はないとしても、
その場合は、
①（焼酎のお茶割を飲む）ならば、酔ふ。
②（焼酎を飲むならば、酔ふか、）または（お茶を飲むならば、酔ふか、）または、その両方である。
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」には、ならない。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
（ⅰ）「焼酎のお茶割を飲むならば酔ふ。」従って、
（ⅱ）「焼酎を飲むならば酔ふ。」
といふ「推論」は、
「経験的（ア・ポステリオリ）には妥当」であるが、
「論理的（ア・プリオリ）に妥当」である。といふわけではない。
令和０３年０９月１４日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６ （６） Ｒ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ３結合法則
ア （ア）～Ｐ Ａ
ア （イ）～Ｐ∨Ｒ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｐ→Ｒ イ含意の定義
ア （エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ウ∨Ｉ
オ（オ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
オ（カ） Ｑ→Ｒ オ含意の定義
オ（キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２アエオキ∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） （Ｐ→Ｒ） Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｒ ２含意の定義
４ （４） ～Ｐ Ａ
４ （５） ～Ｐ∨～Ｑ ４∨Ｉ
４ （６）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ ５∨Ｉ
７ （７） Ｒ Ａ
７ （８）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ ７∨Ｉ
２ （９）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ ３４６７８∨Ｅ
ア （ア） （Ｑ→Ｒ） Ａ
ア （イ） ～Ｑ∨Ｒ ア含意の定義
ウ （ウ） ～Ｑ Ａ
ウ （エ） （～Ｐ∨～Ｑ） ウ∨Ｉ
ウ （オ）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ エ∨Ｉ
カ（カ） Ｒ Ａ
カ（キ） （～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ ∨Ｉ
ア （ク） （～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ イウオカキ∨Ｅ
１ （ケ） （～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ １２９アク∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） （～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） 結合法則
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｒ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ→Ｒ ４含意の定義
３ （６）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ５∨Ｉ
７（７） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
７（８） （Ｑ→Ｒ） ７含意の定義
７（９）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ８∨Ｉ
１ （ア）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２３６７９∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
① ～｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝
② ～｛（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）｝
③ ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（07）
③ ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝
④（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
といふことは、「暗算」でも、分かる。
然るに、
（08）
（ⅲ）
１（１）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）∨ Ｒ｝ Ａ
１（２） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ １ド・モルガンの法則
１（３） ～（～Ｐ∨～Ｑ） ２＆Ｅ
１（４） Ｐ＆ Ｑ ３ド・モルガンの法則
１（５） ～Ｒ ２＆Ｅ
１（６）（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ ４５＆Ｉ
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ Ａ
２ （２） （～Ｐ∨～Ｑ）∨ Ｒ Ａ
３ （３） （～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （４） ～（Ｐ＆ Ｑ） ３ド・モルガンの法則
１ （５） （Ｐ＆ Ｑ） １＆Ｅ
１ ３ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） ４５＆Ｉ
３ （７）～｛（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ｝ １６ＲＡＡ
８（８） Ｒ Ａ
１ （９） ～Ｒ １＆Ｅ
１ ８（ア） Ｒ＆～Ｒ ８９＆Ｉ
８（イ）～｛（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ｝ １アＲＡＡ
２ （ウ）～｛（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ｝ ２３７８イ∨Ｅ
１２ （エ） ｛（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ｝＆
～｛（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ｝ １ウ＆Ｉ
１ （オ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝ ２エＲＡＡ
従って、
（07）（08）により、
（09）
③ ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝
④（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（06）（09）により、
（10）
① ～｛（Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ｝
② ～｛（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）｝
③ ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝
④ （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（10）により、
（11）
「番号」を付け直すと、
①（Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
① の「否定」は、③ であり、
② の「否定」も、③ である。
従って、
（11）により、
（12）
Ｐ＝焼酎を飲む。
Ｑ＝お茶を飲む。
Ｒ＝酔ふ。
であるとして、
①（焼酎のお茶割を飲む）ならば、酔ふ。
②（焼酎を飲むならば、酔ふか、）または（お茶を飲むならば、酔ふか、）または、その両方である。
③（焼酎のお茶割を飲ん）だのに、酔はない。
に於いて、
① の「否定」は、③ であり、
② の「否定」も、③ である。
従って、
（12）により、
（13）
③（焼酎のお茶割を飲ん）だのに、酔はない。
といふのであれば、そのときに限って、
①（焼酎のお茶割を飲む）ならば、酔ふ。
②（焼酎を飲むならば、酔ふか、）または（お茶を飲むならば、酔ふか、）または、その両方である。
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」である。
従って、
（13）により、
（14）
④ 焼酎だけを飲んだのに、酔はないとしても、
⑤ お茶だけを飲んだのに、酔はないとしても、
その場合は、
①（焼酎のお茶割を飲む）ならば、酔ふ。
②（焼酎を飲むならば、酔ふか、）または（お茶を飲むならば、酔ふか、）または、その両方である。
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」には、ならない。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
（ⅰ）「焼酎のお茶割を飲むならば酔ふ。」従って、
（ⅱ）「焼酎を飲むならば酔ふ。」
といふ「推論」は、
「経験的（ア・ポステリオリ）には妥当」であるが、
「論理的（ア・プリオリ）に妥当」である。といふわけではない。
令和０３年０９月１４日、毛利太。
2021年9月12日日曜日
「象は鼻が長い」の「否定」の「述語論理」の「否定」。
（01）
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ） １量化子の関係
３（３） ～（象ａ→動物ａ） Ａ
３（４） ～（～象ａ∨動物ａ） ３含意の定義
３（５） 象ａ＆～動物ａ ４ド・モルガンの法則
３（６）∃ｘ（象ａ＆～動物ａ） ３ＥＩ
１ （７）∃ｘ（象ａ＆～動物ａ） １３６ＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） Ａ
２（２） 象ａ＆～動物ａ Ａ
２（３）～（～象ａ∨ 動物ａ） ２ド・モルガンの法則
２（４） ～（象ａ→動物ａ） ３含意の定義
２（５）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ） １２５ＥＥ
１ （７）～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ６量化子の関係
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
②（象であって、動物でないｘ）は存在しない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
① 象は動物である。
② 動物でない象はゐない（無三象而非二動物一）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１） ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １量化子の関係
３ （３） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ Ａ
３ （４） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ３ド・モルガンの法則
５ （５） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ Ａ
５ （６）～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ ５含意の定義
５ （７） 象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６ド・モルガンの法則
５ （８） 象ａ ７＆Ｅ
５ （９） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ７＆Ｅ
５ （ア） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） ９量化子の関係
５ （イ） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） アＵＥ
５ （ウ） ～鼻ｂａ∨～長ｂ イ、ド・モルガンの法則
５ （エ） 鼻ｂａ→～長ｂ ウ含意の定義
５ （オ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） エＵＩ
５ （カ） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ８オ＆Ｉ
５ （キ） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） カ∨Ｉ
ク （ク） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
ク （ケ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ク量化子の関係
コ（コ） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） Ａ
コ（サ） ～（鼻ｃａ∨～長ｃ） コ含意の定義
コ（シ） （～鼻ｃａ＆長ｃ） サ、ド・モルガンの法則
コ（ス） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） シＥＩ
ク （セ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） クコスＥＥ
ク （ソ） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） セ∨Ｉ
３ （タ） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ４５キクソ∨Ｅ
３ （チ） ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ タＥＩ
１ （ツ） ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ １３チＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
２ （２） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） Ａ
３ （３） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） Ａ
３ （４） 象ａ ３＆Ｅ
３ （５） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ３＆Ｅ
３ （６） 鼻ｂａ→～長ｂ ５ＵＥ
３ （７） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ６含意の定義
３ （８） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ７ド・モルガンの法則
３ （９） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） ８ＵＩ
３ （ア） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９量化子の関係
３ （イ） 象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４ア＆Ｉ
３ （ウ） ～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ イ、ド・モルガンの法則
３ （エ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ ウ含意の定義
３ （オ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ∨Ｉ
カ （カ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） Ａ
キ（キ） ～鼻ｃａ＆長ｃ Ａ
キ（ク） ～（鼻ｃａ∨～長ｃ） キ、ド・モルガンの法則
キ（ケ） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） ク含意の定義
キ（コ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ケＥＩ
カ （サ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） カキコＥＥ
カ （シ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） サ量化子の関係
カ （ス） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） シ∨Ｉ
２ （セ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３オカス∨Ｅ
２ （ソ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ セ、ド・モルガンの法則
２ （タ） ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ソＥＩ
１ （チ） ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １２タＥＥ
１ （ツ） ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ チ量化子の関係
従って、
（06）により、
（07）
① ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
従って、
（07）により、
（08）
① ～～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）により、
（09）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でなならば、ｚは長くない）｝。
②｛ｘが象であって、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻ならば、ｙが長くない）か、または、あるｚが（ｘの鼻ではなくて、長い）｝といふ、そのやうなｘは存在しない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（10）
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でなならば、ｚは長くない）｝。
②｛ｘが象であって、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻ならば、ｙが長くない）か、または、あるｚが（ｘの鼻ではなくて、長い）｝といふ、そのやうなｘは存在しない。
といふことは、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ、ことである。
然るに、
（11）
Ｑ：象で長いのは、どこか？
Ａ：象は鼻が長い。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
② 象は鼻は長い。⇔
② 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でなならば、ｚは長くない）｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（04）（05）（12）により、
（13）
① 象は動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② 象は、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（13）により、
（14）
① 象は・・・・・≡すべてのｘについて（ｘが象ならば、・・・・・
② 象は・・・・・≡すべてのｘについて｛ｘが象ならば、・・・・・
といふ「等式」が、成立する。
令和０３年０９月１２日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ） １量化子の関係
３（３） ～（象ａ→動物ａ） Ａ
３（４） ～（～象ａ∨動物ａ） ３含意の定義
３（５） 象ａ＆～動物ａ ４ド・モルガンの法則
３（６）∃ｘ（象ａ＆～動物ａ） ３ＥＩ
１ （７）∃ｘ（象ａ＆～動物ａ） １３６ＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） Ａ
２（２） 象ａ＆～動物ａ Ａ
２（３）～（～象ａ∨ 動物ａ） ２ド・モルガンの法則
２（４） ～（象ａ→動物ａ） ３含意の定義
２（５）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ） １２５ＥＥ
１ （７）～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ６量化子の関係
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
②（象であって、動物でないｘ）は存在しない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
① 象は動物である。
② 動物でない象はゐない（無三象而非二動物一）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１） ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １量化子の関係
３ （３） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ Ａ
３ （４） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ３ド・モルガンの法則
５ （５） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ Ａ
５ （６）～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ ５含意の定義
５ （７） 象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６ド・モルガンの法則
５ （８） 象ａ ７＆Ｅ
５ （９） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ７＆Ｅ
５ （ア） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） ９量化子の関係
５ （イ） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） アＵＥ
５ （ウ） ～鼻ｂａ∨～長ｂ イ、ド・モルガンの法則
５ （エ） 鼻ｂａ→～長ｂ ウ含意の定義
５ （オ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） エＵＩ
５ （カ） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ８オ＆Ｉ
５ （キ） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） カ∨Ｉ
ク （ク） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
ク （ケ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ク量化子の関係
コ（コ） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） Ａ
コ（サ） ～（鼻ｃａ∨～長ｃ） コ含意の定義
コ（シ） （～鼻ｃａ＆長ｃ） サ、ド・モルガンの法則
コ（ス） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） シＥＩ
ク （セ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） クコスＥＥ
ク （ソ） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） セ∨Ｉ
３ （タ） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ４５キクソ∨Ｅ
３ （チ） ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ タＥＩ
１ （ツ） ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ １３チＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
２ （２） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） Ａ
３ （３） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） Ａ
３ （４） 象ａ ３＆Ｅ
３ （５） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ３＆Ｅ
３ （６） 鼻ｂａ→～長ｂ ５ＵＥ
３ （７） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ６含意の定義
３ （８） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ７ド・モルガンの法則
３ （９） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） ８ＵＩ
３ （ア） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９量化子の関係
３ （イ） 象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４ア＆Ｉ
３ （ウ） ～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ イ、ド・モルガンの法則
３ （エ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ ウ含意の定義
３ （オ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ∨Ｉ
カ （カ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） Ａ
キ（キ） ～鼻ｃａ＆長ｃ Ａ
キ（ク） ～（鼻ｃａ∨～長ｃ） キ、ド・モルガンの法則
キ（ケ） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） ク含意の定義
キ（コ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ケＥＩ
カ （サ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） カキコＥＥ
カ （シ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） サ量化子の関係
カ （ス） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） シ∨Ｉ
２ （セ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３オカス∨Ｅ
２ （ソ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ セ、ド・モルガンの法則
２ （タ） ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ソＥＩ
１ （チ） ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １２タＥＥ
１ （ツ） ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ チ量化子の関係
従って、
（06）により、
（07）
① ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
従って、
（07）により、
（08）
① ～～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）により、
（09）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でなならば、ｚは長くない）｝。
②｛ｘが象であって、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻ならば、ｙが長くない）か、または、あるｚが（ｘの鼻ではなくて、長い）｝といふ、そのやうなｘは存在しない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（10）
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でなならば、ｚは長くない）｝。
②｛ｘが象であって、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻ならば、ｙが長くない）か、または、あるｚが（ｘの鼻ではなくて、長い）｝といふ、そのやうなｘは存在しない。
といふことは、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ、ことである。
然るに、
（11）
Ｑ：象で長いのは、どこか？
Ａ：象は鼻が長い。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
② 象は鼻は長い。⇔
② 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でなならば、ｚは長くない）｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（04）（05）（12）により、
（13）
① 象は動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② 象は、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（13）により、
（14）
① 象は・・・・・≡すべてのｘについて（ｘが象ならば、・・・・・
② 象は・・・・・≡すべてのｘについて｛ｘが象ならば、・・・・・
といふ「等式」が、成立する。
令和０３年０９月１２日、毛利太。
2021年9月9日木曜日
「鼻は象が長い」の「論理構造（Predeicate logic）」。
（01）
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛兎の耳、象の耳、馬の耳｝
③｛馬の顔、象の顔、兎の顔｝
に於いて、
① 鼻は、象が長い。
② 耳は、兎が長い。
③ 顔は、馬が長い。
従って、
（01）により、
（02）
① 鼻は、象が長い。
といふ「日本語」は、
① 象の鼻は長く、象以外（兎や馬）の鼻は長くなく、
② 象以外で、ある部分が長いのであれば、鼻以外（耳や顔）である。
といふ「命題」の、「複合命題（連言）」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ Ａ
３ （４） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ３＆Ｅ
３ （６） ～（鼻ａｂ＆～象ｂ）∨～長ａ ５含意の定義
７ （７） ～（鼻ａｂ＆～象ｂ） Ａ
７ （８） ～鼻ａｂ∨～～象ｂ ７ド・モルガンの法則
７ （９） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ ８交換法則
７ （ア） ～象ｂ→～鼻ａｂ ９含意の定義
７ （イ） ～長ａ∨（～象ｂ→～鼻ａｂ） ア∨Ｉ
ウ （ウ） ～長ａ Ａ
ウ （エ） ～長ａ∨（～象ｂ→～鼻ａｂ） ウ∨Ｉ
３ （オ） ～長ａ∨（～象ｂ→～鼻ａｂ） ３７イウエ∨Ｅ
３ （カ） 長ａ→（～象ｂ→～鼻ａｂ） オ含意の定義
キ（キ） ～象ｂ＆長ａ Ａ
キ（ク） 長ａ キ＆Ｅ
３ キ（ケ） ～象ｂ→～鼻ａｂ カクＭＰＰ
キ（コ） ～象ｂ キ＆Ｅ
３ キ（サ） ～鼻ａｂ ケコＭＰＰ
３ （シ） （～象ｂ＆長ａ）→～鼻ａｂ キサＣＰ
３ （ス） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆長ａ）→～鼻ａｂ ３シ＆Ｉ
３ （セ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆長ａ）→～鼻ａｙ｝ スＥＩ
１ （ソ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆長ａ）→～鼻ａｙ｝ １３セＥＥ
１ （タ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ｘｙ｝ ソＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ｘｙ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ａｙ｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆長ａ）→～鼻ａｂ Ａ
３ （４） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） （～象ｂ＆長ａ）→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
３６ （６） 鼻ａｂ Ａ
３６ （７） ～～鼻ａｂ ６ＤＮ
３６ （８） ～（～象ｂ＆長ａ） ５７ＭＴＴ
３６ （９） ～～象ｂ∨～長ａ ８ド・モルガンの法則
３６ （ア） ～象ｂ→～長ａ ９含意の定義
３ （イ） 鼻ａｂ→（～象ｂ→～長ａ） ６アＣＰ
ウ （ウ） 鼻ａｂ＆ ～象ｂ Ａ
ウ （エ） 鼻ａｂ ウ＆Ｅ
３ ウ （オ） ～象ｂ→～長ａ イエＭＰＰ
ウ （カ） ～象ｂ ウ＆Ｅ
３ ウ （キ） ～長ａ オカＭＰＰ
３ （ク） （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ウキＣＰ
３ （ケ） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ４ク＆Ｉ
３ （コ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ ケＥＩ
１ （サ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ １３コＥＥ
１ （シ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ サＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ｘｙ｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。
② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘは、ｙの鼻でない｝。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
① 象の鼻は長く、象以外（兎や馬）の鼻は長くなく、
② 象以外で、ある部分が長いのであれば、鼻以外（耳や顔）である。
といふことは、
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。
② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘは、ｙの鼻でない｝。
といふことである。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 鼻は象が長い。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ Ａ
３ （４） （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ＆Ｅ
５ （５）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ） Ａ
６ （６） ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ａｙ） Ａ
７（７） 兎ｂ＆～象ｂ＆鼻ａｂ Ａ
７（８） 兎ｂ＆ ７＆Ｅ
７（９） ～象ｂ ７＆Ｅ
７（ア） 鼻ａｂ ７＆Ｅ
７（イ） 鼻ａｂ＆～象ｂ ９ア＆Ｉ
３ ７（ウ） ～長ａ ４イＭＰＰ
３ ７（エ） 兎ｂ＆鼻ａｂ ８ア＆Ｉ
３ ７（オ） 兎ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ ウエ＆Ｉ
３ ７（カ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） オＥＩ
３ ６ （キ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） ６７カＥＥ
３ ６ （ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） キＥＩ
３５ （ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） ５６クＥＥ
１ ５ （コ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） ２３ケＥＥ
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。
（ⅱ） あるｘと、あるｙについて（ｙは兎であって、象ではなく。ｘはｙの鼻である）。従って、
（ⅲ） あるｘと、あるｙについて（ｙは兎であって、ｘはｙの鼻であって、ｘは長くない）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）ある兎は、象ではないが鼻がある。従って、
（ⅲ）ある兎の鼻は、長くない。
といふ「日本語の推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
令和０３年０９月０９日、毛利太。
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛兎の耳、象の耳、馬の耳｝
③｛馬の顔、象の顔、兎の顔｝
に於いて、
① 鼻は、象が長い。
② 耳は、兎が長い。
③ 顔は、馬が長い。
従って、
（01）により、
（02）
① 鼻は、象が長い。
といふ「日本語」は、
① 象の鼻は長く、象以外（兎や馬）の鼻は長くなく、
② 象以外で、ある部分が長いのであれば、鼻以外（耳や顔）である。
といふ「命題」の、「複合命題（連言）」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ Ａ
３ （４） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ３＆Ｅ
３ （６） ～（鼻ａｂ＆～象ｂ）∨～長ａ ５含意の定義
７ （７） ～（鼻ａｂ＆～象ｂ） Ａ
７ （８） ～鼻ａｂ∨～～象ｂ ７ド・モルガンの法則
７ （９） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ ８交換法則
７ （ア） ～象ｂ→～鼻ａｂ ９含意の定義
７ （イ） ～長ａ∨（～象ｂ→～鼻ａｂ） ア∨Ｉ
ウ （ウ） ～長ａ Ａ
ウ （エ） ～長ａ∨（～象ｂ→～鼻ａｂ） ウ∨Ｉ
３ （オ） ～長ａ∨（～象ｂ→～鼻ａｂ） ３７イウエ∨Ｅ
３ （カ） 長ａ→（～象ｂ→～鼻ａｂ） オ含意の定義
キ（キ） ～象ｂ＆長ａ Ａ
キ（ク） 長ａ キ＆Ｅ
３ キ（ケ） ～象ｂ→～鼻ａｂ カクＭＰＰ
キ（コ） ～象ｂ キ＆Ｅ
３ キ（サ） ～鼻ａｂ ケコＭＰＰ
３ （シ） （～象ｂ＆長ａ）→～鼻ａｂ キサＣＰ
３ （ス） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆長ａ）→～鼻ａｂ ３シ＆Ｉ
３ （セ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆長ａ）→～鼻ａｙ｝ スＥＩ
１ （ソ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆長ａ）→～鼻ａｙ｝ １３セＥＥ
１ （タ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ｘｙ｝ ソＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ｘｙ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ａｙ｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆長ａ）→～鼻ａｂ Ａ
３ （４） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） （～象ｂ＆長ａ）→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
３６ （６） 鼻ａｂ Ａ
３６ （７） ～～鼻ａｂ ６ＤＮ
３６ （８） ～（～象ｂ＆長ａ） ５７ＭＴＴ
３６ （９） ～～象ｂ∨～長ａ ８ド・モルガンの法則
３６ （ア） ～象ｂ→～長ａ ９含意の定義
３ （イ） 鼻ａｂ→（～象ｂ→～長ａ） ６アＣＰ
ウ （ウ） 鼻ａｂ＆ ～象ｂ Ａ
ウ （エ） 鼻ａｂ ウ＆Ｅ
３ ウ （オ） ～象ｂ→～長ａ イエＭＰＰ
ウ （カ） ～象ｂ ウ＆Ｅ
３ ウ （キ） ～長ａ オカＭＰＰ
３ （ク） （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ウキＣＰ
３ （ケ） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ４ク＆Ｉ
３ （コ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ ケＥＩ
１ （サ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ １３コＥＥ
１ （シ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ サＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ｘｙ｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。
② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘは、ｙの鼻でない｝。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
① 象の鼻は長く、象以外（兎や馬）の鼻は長くなく、
② 象以外で、ある部分が長いのであれば、鼻以外（耳や顔）である。
といふことは、
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。
② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘは、ｙの鼻でない｝。
といふことである。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 鼻は象が長い。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ Ａ
３ （４） （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ＆Ｅ
５ （５）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ） Ａ
６ （６） ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ａｙ） Ａ
７（７） 兎ｂ＆～象ｂ＆鼻ａｂ Ａ
７（８） 兎ｂ＆ ７＆Ｅ
７（９） ～象ｂ ７＆Ｅ
７（ア） 鼻ａｂ ７＆Ｅ
７（イ） 鼻ａｂ＆～象ｂ ９ア＆Ｉ
３ ７（ウ） ～長ａ ４イＭＰＰ
３ ７（エ） 兎ｂ＆鼻ａｂ ８ア＆Ｉ
３ ７（オ） 兎ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ ウエ＆Ｉ
３ ７（カ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） オＥＩ
３ ６ （キ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） ６７カＥＥ
３ ６ （ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） キＥＩ
３５ （ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） ５６クＥＥ
１ ５ （コ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） ２３ケＥＥ
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。
（ⅱ） あるｘと、あるｙについて（ｙは兎であって、象ではなく。ｘはｙの鼻である）。従って、
（ⅲ） あるｘと、あるｙについて（ｙは兎であって、ｘはｙの鼻であって、ｘは長くない）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）ある兎は、象ではないが鼻がある。従って、
（ⅲ）ある兎の鼻は、長くない。
といふ「日本語の推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
令和０３年０９月０９日、毛利太。
2021年9月8日水曜日
「象は鼻が長い。」等の「述語論理」。
（01）
① 象は鼻は長い。
② 象は鼻が長い。
③ 象が鼻が長い。
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑥ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑦ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
⑧ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
⑨ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、そのときに限って、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
に於いて、
①＝④＝⑦ であって、
②＝⑤＝⑧ であって、
③＝⑥＝⑨ である。
従って、
（01）により、
（02）
① 象は鼻は長い。
② 象は鼻が長い。
③ 象が鼻が長い。
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑥ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑦「象の鼻は長いが、鼻以外は、不明である。」＆「象以外の動物も、そうであるかは、不明である。」
⑧「象の鼻は長いが、鼻以外は、長くない。」 ＆「象以外の動物も、そうであるかは、不明である。」
⑨「象の鼻は長いが、鼻以外は、長くない。」 ＆「象以外の動物は、そうではない。」
に於いて、
①＝④＝⑦ であって、
②＝⑤＝⑧ であって、
③＝⑥＝⑨ である。
従って、
（02）により、
（03）
① 象は鼻は長い。然るに、兎の鼻は長くない。故に、兎は象ではない。
② 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、（鼻以外である、耳が長いので、）兎は象ではない。
③ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（の例へば、耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
といふ「推論」は、３つとも、「妥当」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） １ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ７＆Ｅ
６ （８） 象ａ ７＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） ５８ＭＰＰ
イ （イ） 鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
ウ（ウ） 鼻ｂａ＆～長ｂ Ａ
イ （エ） 長ｂ イ＆Ｅ
ウ（オ） ～長ｂ ウ＆Ｅ
イウ（カ） 長ｂ＆～長ｂ エオ＆Ｉ
２ ６イ （キ） 長ｂ＆～長ｂ アウカＥＥ
１２ ６ （ク） 長ｂ＆～長ｂ クイキＥＥ
１２３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３６クＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３ケＲＡＡ
１２ （サ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） コ含意の定義
１２ （シ） ～（兎ａ＆象ａ） サＵＥ
１２ （ス） ～兎ａ∨～象ａ シ、ド・モルガンの法則
１２ （セ） 兎ａ→～象ａ ス含意の定義
１２ （ソ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） セＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ カクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ ３Ｄｆ．⇔
１ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ ４＆Ｉ
６ （６） ～象ａ Ａ
７ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
１ ７ （８） 象ａ ５７ＭＰＰ
１ ６７ （９） ～象ａ＆象ａ ６８＆Ｉ
１ ６ （ア） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ７９ＲＡＡ
１ ６ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア、ド・モルガンの法則
１ ６ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） イ交換法則
エ （エ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
エ （オ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ量化子の関係
カ （カ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
カ （キ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） カ含意の定義
カ （ク） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ キ、ド・モルガンの法則
カ （ケ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） クＥＩ
エ （コ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） エカケＥＥ
エ （サ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨ ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） コ∨Ｉ
シ （シ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
シ （ス） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） シ量化子の関係
シ （セ） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） スＵＥ
シ （ソ） ～鼻ｂａ∨～長ｂ セ、ド・モルガンの法則
シ （タ） 鼻ｂａ→～長ｂ ソ含意の定義
シ （チ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） タＵＩ
シ （ツ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） チ∨Ｉ
１ ６ （テ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ウエサシツ∨Ｅ
１ （ト） ～象ａ→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ６テＣＰ
２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ２ＵＥ
ニ（ニ） 兎ａ Ａ
２ ニ（ヌ） ～象ａ ナニＭＰＰ
１２ ニ（ネ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） トヌＭＰＰ
１２ （ノ） 兎ａ→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ニネＣＰ
１２ （ハ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ ノＵＩ
従って、
（03）（04）により、
（05）
① 象は鼻は長い。然るに、兎の鼻は長くない。故に、兎は象ではない。
② 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、（鼻以外である、耳が長いので、）兎は象ではない。
③ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（例へば耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
といふ「推論」、すなはち、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝，∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝├
∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝├
∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
③ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）├∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
といふ「推論」は、「妥当」である。
令和０３年０９月０８日、毛利太。
① 象は鼻は長い。
② 象は鼻が長い。
③ 象が鼻が長い。
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑥ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑦ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
⑧ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
⑨ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、そのときに限って、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
に於いて、
①＝④＝⑦ であって、
②＝⑤＝⑧ であって、
③＝⑥＝⑨ である。
従って、
（01）により、
（02）
① 象は鼻は長い。
② 象は鼻が長い。
③ 象が鼻が長い。
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑥ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑦「象の鼻は長いが、鼻以外は、不明である。」＆「象以外の動物も、そうであるかは、不明である。」
⑧「象の鼻は長いが、鼻以外は、長くない。」 ＆「象以外の動物も、そうであるかは、不明である。」
⑨「象の鼻は長いが、鼻以外は、長くない。」 ＆「象以外の動物は、そうではない。」
に於いて、
①＝④＝⑦ であって、
②＝⑤＝⑧ であって、
③＝⑥＝⑨ である。
従って、
（02）により、
（03）
① 象は鼻は長い。然るに、兎の鼻は長くない。故に、兎は象ではない。
② 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、（鼻以外である、耳が長いので、）兎は象ではない。
③ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（の例へば、耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
といふ「推論」は、３つとも、「妥当」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） １ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ７＆Ｅ
６ （８） 象ａ ７＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） ５８ＭＰＰ
イ （イ） 鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
ウ（ウ） 鼻ｂａ＆～長ｂ Ａ
イ （エ） 長ｂ イ＆Ｅ
ウ（オ） ～長ｂ ウ＆Ｅ
イウ（カ） 長ｂ＆～長ｂ エオ＆Ｉ
２ ６イ （キ） 長ｂ＆～長ｂ アウカＥＥ
１２ ６ （ク） 長ｂ＆～長ｂ クイキＥＥ
１２３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３６クＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３ケＲＡＡ
１２ （サ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） コ含意の定義
１２ （シ） ～（兎ａ＆象ａ） サＵＥ
１２ （ス） ～兎ａ∨～象ａ シ、ド・モルガンの法則
１２ （セ） 兎ａ→～象ａ ス含意の定義
１２ （ソ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） セＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ カクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ ３Ｄｆ．⇔
１ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ ４＆Ｉ
６ （６） ～象ａ Ａ
７ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
１ ７ （８） 象ａ ５７ＭＰＰ
１ ６７ （９） ～象ａ＆象ａ ６８＆Ｉ
１ ６ （ア） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ７９ＲＡＡ
１ ６ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア、ド・モルガンの法則
１ ６ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） イ交換法則
エ （エ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
エ （オ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ量化子の関係
カ （カ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
カ （キ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） カ含意の定義
カ （ク） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ キ、ド・モルガンの法則
カ （ケ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） クＥＩ
エ （コ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） エカケＥＥ
エ （サ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨ ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） コ∨Ｉ
シ （シ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
シ （ス） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） シ量化子の関係
シ （セ） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） スＵＥ
シ （ソ） ～鼻ｂａ∨～長ｂ セ、ド・モルガンの法則
シ （タ） 鼻ｂａ→～長ｂ ソ含意の定義
シ （チ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） タＵＩ
シ （ツ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） チ∨Ｉ
１ ６ （テ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ウエサシツ∨Ｅ
１ （ト） ～象ａ→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ６テＣＰ
２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ２ＵＥ
ニ（ニ） 兎ａ Ａ
２ ニ（ヌ） ～象ａ ナニＭＰＰ
１２ ニ（ネ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） トヌＭＰＰ
１２ （ノ） 兎ａ→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ニネＣＰ
１２ （ハ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ ノＵＩ
従って、
（03）（04）により、
（05）
① 象は鼻は長い。然るに、兎の鼻は長くない。故に、兎は象ではない。
② 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、（鼻以外である、耳が長いので、）兎は象ではない。
③ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（例へば耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
といふ「推論」、すなはち、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝，∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝├
∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝├
∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
③ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）├∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
といふ「推論」は、「妥当」である。
令和０３年０９月０８日、毛利太。
2021年9月7日火曜日
「象が鼻が長い。」等の「述語論理」。
（01）
① 象は動物である。
② 象は、鼻は長い。
③ 象は、鼻が長い。
④ 象が、鼻が長い。
（02）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（03）
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、そのときに限って、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ→ 動物ａ １ＵＥ
４（４） ～動物ａ＆象ａ Ａ
４（５） 象ａ ４＆Ｅ
１ ４（６） 動物ａ ３５ＭＰＰ
４（７） ～動物ａ ４＆Ｅ
１ ４（８） 動物ａ＆～動物ａ ６７＆Ｉ
１２ （９） 動物ａ＆～動物ａ ２４８ＥＥ
１ （ア）～∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ） ２９ＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）├ ～∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ）
① 象は動物である。従って、動物でない象は、存在しない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（06）
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｘ（～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆象ｙ｝ Ａ
１ （３） 象ａ→ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
４（４） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆象ａ Ａ
４（５） 象ａ ４＆Ｅ
１ ４（６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３５ＭＰＰ
４（７） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１ ４（８）∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６７＆Ｉ
１２ （９）∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２４８ＥＥ
１ （ア）～∃ｘ（～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆象ｙ｝ ２９ＲＡＡ
従って、
（06）により、
（07）
② ∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝├ ～∃ｘ（～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆象ｙ｝
② 象は鼻は長い。従って、鼻が長くない象は、存在しない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（08）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ カクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
従って、
（08）により、
（09）
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝├
∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
③ 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（10）
（ⅳ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ ３Ｄｆ．⇔
１ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ ４＆Ｉ
６ （６） ～象ａ Ａ
７ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
１ ７ （８） 象ａ ５７ＭＰＰ
１ ６７ （９） ～象ａ＆象ａ ６８＆Ｉ
１ ６ （ア） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ７９ＲＡＡ
１ ６ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア、ド・モルガンの法則
１ ６ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） イ交換法則
エ （エ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
エ （オ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ量化子の関係
カ （カ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
カ （キ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） カ含意の定義
カ （ク） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ キ、ド・モルガンの法則
カ （ケ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） クＥＩ
エ （コ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） エカケＥＥ
エ （サ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨ ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） コ∨Ｉ
シ （シ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
シ （ス） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） シ量化子の関係
シ （セ） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） スＵＥ
シ （ソ） ～鼻ｂａ∨～長ｂ セ、ド・モルガンの法則
シ （タ） 鼻ｂａ→～長ｂ ソ含意の定義
シ （チ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） タＵＩ
シ （ツ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） チ∨Ｉ
１ ６ （テ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ウエサシツ∨Ｅ
１ （ト） ～象ａ→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ６テＣＰ
２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ２ＵＥ
ニ（ニ） 兎ａ Ａ
２ ニ（ヌ） ～象ａ ナニＭＰＰ
１２ ニ（ネ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） トヌＭＰＰ
１２ （ノ） 兎ａ→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ニネＣＰ
１２ （ハ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ ノＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）├ ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
④ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
従って、
（04）～（11）により、
（12）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）├ ～∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝├ ～∃ｘ（～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆象ｙ｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝├
∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）├ ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
といふ「推論」、すなはち、
① 象は動物である。従って、動物でない象は、存在しない。
② 象は鼻は長い。従って、鼻が長くない象は、存在しない。
③ 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
④ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（12）により、
（13）
① 象は動物である。
② 象は、鼻は長い。
③ 象は、鼻が長い。
④ 象が、鼻が長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理式」に、「対応」する。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
① 象は動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② 象は、鼻は長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
③ 象は、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ 象が、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「等式」が、「正しく」はないのであれば、
① 象は動物である。従って、動物でない象は、存在しない。
② 象は鼻は長い。従って、鼻が長くない象は、存在しない。
③ 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
④ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（15）
① 象は動物である。従って、動物でない象は、存在しない。
② 象は鼻は長い。従って、鼻が長くない象は、存在しない。
③ 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
④ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
「否定否定式（ＭＴＴ）」により、
① 象は動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② 象は、鼻は長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
③ 象は、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ 象が、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「等式」は、「正しい」。
令和０３年０９月０７日、毛利太。
① 象は動物である。
② 象は、鼻は長い。
③ 象は、鼻が長い。
④ 象が、鼻が長い。
（02）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（03）
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、そのときに限って、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ→ 動物ａ １ＵＥ
４（４） ～動物ａ＆象ａ Ａ
４（５） 象ａ ４＆Ｅ
１ ４（６） 動物ａ ３５ＭＰＰ
４（７） ～動物ａ ４＆Ｅ
１ ４（８） 動物ａ＆～動物ａ ６７＆Ｉ
１２ （９） 動物ａ＆～動物ａ ２４８ＥＥ
１ （ア）～∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ） ２９ＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）├ ～∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ）
① 象は動物である。従って、動物でない象は、存在しない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（06）
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｘ（～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆象ｙ｝ Ａ
１ （３） 象ａ→ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
４（４） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆象ａ Ａ
４（５） 象ａ ４＆Ｅ
１ ４（６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３５ＭＰＰ
４（７） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１ ４（８）∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６７＆Ｉ
１２ （９）∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２４８ＥＥ
１ （ア）～∃ｘ（～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆象ｙ｝ ２９ＲＡＡ
従って、
（06）により、
（07）
② ∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝├ ～∃ｘ（～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆象ｙ｝
② 象は鼻は長い。従って、鼻が長くない象は、存在しない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（08）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ カクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
従って、
（08）により、
（09）
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝├
∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
③ 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（10）
（ⅳ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ ３Ｄｆ．⇔
１ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ ４＆Ｉ
６ （６） ～象ａ Ａ
７ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
１ ７ （８） 象ａ ５７ＭＰＰ
１ ６７ （９） ～象ａ＆象ａ ６８＆Ｉ
１ ６ （ア） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ７９ＲＡＡ
１ ６ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア、ド・モルガンの法則
１ ６ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） イ交換法則
エ （エ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
エ （オ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ量化子の関係
カ （カ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
カ （キ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） カ含意の定義
カ （ク） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ キ、ド・モルガンの法則
カ （ケ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） クＥＩ
エ （コ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） エカケＥＥ
エ （サ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨ ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） コ∨Ｉ
シ （シ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
シ （ス） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） シ量化子の関係
シ （セ） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） スＵＥ
シ （ソ） ～鼻ｂａ∨～長ｂ セ、ド・モルガンの法則
シ （タ） 鼻ｂａ→～長ｂ ソ含意の定義
シ （チ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） タＵＩ
シ （ツ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） チ∨Ｉ
１ ６ （テ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ウエサシツ∨Ｅ
１ （ト） ～象ａ→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ６テＣＰ
２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ２ＵＥ
ニ（ニ） 兎ａ Ａ
２ ニ（ヌ） ～象ａ ナニＭＰＰ
１２ ニ（ネ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） トヌＭＰＰ
１２ （ノ） 兎ａ→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ニネＣＰ
１２ （ハ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ ノＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）├ ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
④ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
従って、
（04）～（11）により、
（12）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）├ ～∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝├ ～∃ｘ（～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆象ｙ｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝├
∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）├ ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
といふ「推論」、すなはち、
① 象は動物である。従って、動物でない象は、存在しない。
② 象は鼻は長い。従って、鼻が長くない象は、存在しない。
③ 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
④ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（12）により、
（13）
① 象は動物である。
② 象は、鼻は長い。
③ 象は、鼻が長い。
④ 象が、鼻が長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理式」に、「対応」する。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
① 象は動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② 象は、鼻は長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
③ 象は、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ 象が、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「等式」が、「正しく」はないのであれば、
① 象は動物である。従って、動物でない象は、存在しない。
② 象は鼻は長い。従って、鼻が長くない象は、存在しない。
③ 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
④ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（15）
① 象は動物である。従って、動物でない象は、存在しない。
② 象は鼻は長い。従って、鼻が長くない象は、存在しない。
③ 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
④ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
「否定否定式（ＭＴＴ）」により、
① 象は動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② 象は、鼻は長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
③ 象は、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ 象が、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「等式」は、「正しい」。
令和０３年０９月０７日、毛利太。
2021年9月5日日曜日
「パースの法則」よりも「パラドキシカルな論理式」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
１ （２） Ｐ １＆Ｅ
１ （３） Ｑ∨～Ｑ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
１４ （５） Ｐ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１４ （６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ５∨Ｉ
７（７） ～Ｑ Ａ
１ ７（８） Ｐ＆～Ｑ ２７＆Ｉ
１ ７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ８∨Ｉ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ３４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｑ ２＆Ｅ
２ （５） Ｑ∨～Ｑ ４∨Ｉ
２ （６）Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ） ３５＆Ｉ
７（７） Ｐ＆～Ｑ Ａ
７（８） Ｐ ７＆Ｅ
７（９） ～Ｑ ７＆Ｅ
７（ア） Ｑ∨～Ｑ ９∨Ｉ
７（イ） Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ） ８ア＆Ｉ
１ （ウ） Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ） １２６７イ∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である（分配法則）。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｑ ３４ＭＰＰ
２ （６） Ｑ ２＆Ｅ
２３ （７） ～Ｑ＆Ｑ ５６＆Ｉ
２ （８）～（Ｐ→～Ｑ） ３７ＲＡＡ
２ （９）～（Ｐ→～Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ８∨Ｉ
ア（ア） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
ア（イ）～（Ｐ→～Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ア∨Ｉ
１ （ウ）～（Ｐ→～Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） １２９アイＥ
１ （エ） （Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ） ウ含意の定義
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→～Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ＆～Ｑ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ） ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆ Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） （Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ８∨Ｉ
ア（ア） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
ア（イ） （Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） １７９アイ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
②（Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）
③（Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ）
②（Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）
③（Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
１（２） Ｐ １ＵＥ
（３）｛Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ）｝→Ｐ １２ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ＆～Ｑ Ａ
４（５） Ｐ ４＆Ｅ
１ （６） Ｐ １２３４５∨Ｅ
（７）｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ １６ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２（４） Ｐ→～Ｑ ３含意の定義
１２（５） Ｐ＆～Ｑ １４ＭＰＰ
１２（６） Ｐ ５＆Ｅ
１２（７） ～Ｐ＆Ｐ ２６＆Ｉ
１ （８）～～Ｐ ２７ＲＡＡ
１ （９） Ｐ ８ＤＮ
（ア）｛（Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ １９ＣＰ
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ｛Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ）｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ
③｛（Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
これらは、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（07）により、
（08）
Ｐ＝学生である。
Ｑ＝男子である。
～Ｑ＝女子である。
として、
①｛学生であって（男子か、女子）である｝ならば、学生である。
②｛（男子学生）か、（女子学生）である｝ならば、学生である。
③｛（学生ならば、女子である）ならば、（女子学生）である｝ならば、学生である。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
これらの「命題」は、「真」である。
然るに、
（09）
①｛学生であって（男子か、女子）である｝ならば、学生である。
②｛（男子学生）か、（女子学生）である｝ならば、学生である。
といふ「命題」が、「真」であることは、「当然」である。
然るに、
（10）
①｛学生であって（男子か、女子）である｝ならば、学生である。
②｛（男子学生）か、（女子学生）である｝ならば、学生である。
であるならば、
① 男子学生も、女子学生も、学生である。
② 男子学生も、女子学生も、学生である。
と言ってゐるものの、
③｛（学生ならば、女子である）ならば、（女子学生）である｝ならば、学生である。
の場合は、
③ 女子学生だけに、言及してゐて、男子学生には、言及がない。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
①｛学生であって（男子か、女子）である｝ならば、学生である。
②｛（男子学生）か、（女子学生）である｝ならば、学生である。
③｛（学生ならば、女子である）ならば、（女子学生）である｝ならば、学生である。
に於いて、
［①＝②＝③］ であって、尚且つ、
これらの「命題」は、「真」である。
といふことは、「論理的」には、「正しい」ものの、「日本語」としては、
［①＝②］≠③ であるとしか、思へない。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
① ｛Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ）｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ
といふ「論理式」は、そうではないが、
③｛（Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ
といふ「論理式」は、「背理的（paradoxical）」であると、言はざるを得ない。
令和０３年０９月０５日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
１ （２） Ｐ １＆Ｅ
１ （３） Ｑ∨～Ｑ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
１４ （５） Ｐ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１４ （６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ５∨Ｉ
７（７） ～Ｑ Ａ
１ ７（８） Ｐ＆～Ｑ ２７＆Ｉ
１ ７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ８∨Ｉ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ３４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｑ ２＆Ｅ
２ （５） Ｑ∨～Ｑ ４∨Ｉ
２ （６）Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ） ３５＆Ｉ
７（７） Ｐ＆～Ｑ Ａ
７（８） Ｐ ７＆Ｅ
７（９） ～Ｑ ７＆Ｅ
７（ア） Ｑ∨～Ｑ ９∨Ｉ
７（イ） Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ） ８ア＆Ｉ
１ （ウ） Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ） １２６７イ∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である（分配法則）。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｑ ３４ＭＰＰ
２ （６） Ｑ ２＆Ｅ
２３ （７） ～Ｑ＆Ｑ ５６＆Ｉ
２ （８）～（Ｐ→～Ｑ） ３７ＲＡＡ
２ （９）～（Ｐ→～Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ８∨Ｉ
ア（ア） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
ア（イ）～（Ｐ→～Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ア∨Ｉ
１ （ウ）～（Ｐ→～Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） １２９アイＥ
１ （エ） （Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ） ウ含意の定義
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→～Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ＆～Ｑ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ） ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆ Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） （Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ８∨Ｉ
ア（ア） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
ア（イ） （Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） １７９アイ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
②（Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）
③（Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ）
②（Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）
③（Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
１（２） Ｐ １ＵＥ
（３）｛Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ）｝→Ｐ １２ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ＆～Ｑ Ａ
４（５） Ｐ ４＆Ｅ
１ （６） Ｐ １２３４５∨Ｅ
（７）｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ １６ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２（４） Ｐ→～Ｑ ３含意の定義
１２（５） Ｐ＆～Ｑ １４ＭＰＰ
１２（６） Ｐ ５＆Ｅ
１２（７） ～Ｐ＆Ｐ ２６＆Ｉ
１ （８）～～Ｐ ２７ＲＡＡ
１ （９） Ｐ ８ＤＮ
（ア）｛（Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ １９ＣＰ
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ｛Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ）｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ
③｛（Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
これらは、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（07）により、
（08）
Ｐ＝学生である。
Ｑ＝男子である。
～Ｑ＝女子である。
として、
①｛学生であって（男子か、女子）である｝ならば、学生である。
②｛（男子学生）か、（女子学生）である｝ならば、学生である。
③｛（学生ならば、女子である）ならば、（女子学生）である｝ならば、学生である。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
これらの「命題」は、「真」である。
然るに、
（09）
①｛学生であって（男子か、女子）である｝ならば、学生である。
②｛（男子学生）か、（女子学生）である｝ならば、学生である。
といふ「命題」が、「真」であることは、「当然」である。
然るに、
（10）
①｛学生であって（男子か、女子）である｝ならば、学生である。
②｛（男子学生）か、（女子学生）である｝ならば、学生である。
であるならば、
① 男子学生も、女子学生も、学生である。
② 男子学生も、女子学生も、学生である。
と言ってゐるものの、
③｛（学生ならば、女子である）ならば、（女子学生）である｝ならば、学生である。
の場合は、
③ 女子学生だけに、言及してゐて、男子学生には、言及がない。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
①｛学生であって（男子か、女子）である｝ならば、学生である。
②｛（男子学生）か、（女子学生）である｝ならば、学生である。
③｛（学生ならば、女子である）ならば、（女子学生）である｝ならば、学生である。
に於いて、
［①＝②＝③］ であって、尚且つ、
これらの「命題」は、「真」である。
といふことは、「論理的」には、「正しい」ものの、「日本語」としては、
［①＝②］≠③ であるとしか、思へない。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
① ｛Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ）｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ
といふ「論理式」は、そうではないが、
③｛（Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ
といふ「論理式」は、「背理的（paradoxical）」であると、言はざるを得ない。
令和０３年０９月０５日、毛利太。
2021年9月4日土曜日
「パースの法則」と「同値」の「論理式」。
（01）
① （学生であるか、または、学生である）ならば、学生である。
②｛（学生で、男子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
③｛（学生で、女子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
といふ「命題」は、３つとも、明らかに、「真」である。
従って、
（02）
Ｐ＝学生である。
Ｑ＝男子である。
～Ｑ＝女子である。
として、
① （Ｐ∨ Ｐ）→Ｐ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
といふ「論理式」は、３つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ （４） Ｐ １２２３３∨Ｅ
（５）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ １４ＣＰ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）｛（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ １５ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ １５ＣＰ
従って、
（02）（03）により、
（04）
① （Ｐ∨ Ｐ）→Ｐ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
といふ「論理式」は、３つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｑ ３４＆Ｉ
２ （６） ～Ｑ ２＆Ｅ
２３ （７） Ｑ＆～Ｑ ５６
２ （８）～（Ｐ→ Ｑ） ３ＲＡＡ
２ （９）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ２∨Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １２９アイ∨Ｅ
１ （エ） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ ウ含意の定義
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ８∨Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ １７９アイ∨Ｅ
従って、
（05）により、
（06）
③（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
④（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（06）により、
（07）
③｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
④｛（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
① （Ｐ∨ Ｐ）→Ｐ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
④｛（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
といふ「論理式」は、４つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（09）
（ⅴ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （３） （Ｐ→～Ｑ） ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨～Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆ Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）｛（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ １イＣＰ
従って、
（09）により、
（10）
⑤｛（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① （Ｐ∨ Ｐ）→Ｐ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
④｛（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
⑤｛（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
といふ「論理式」は、５つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（01）（02）（11）により、
（12）
Ｐ＝学生である。
Ｑ＝男子である。
～Ｑ＝女子である。
として、
① （学生であるか、または、学生である）ならば、学生である。
②｛（学生で、男子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
③｛（学生で、女子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
④｛（学生であるならば、男子であるならば）、学生であるならば｝、学生である。
⑤｛（学生であるならば、女子であるならば）、学生であるならば｝、学生である。
といふ「命題」は、５つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
④｛（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
④｛（学生であるならば、男子であるならば）、学生であるならば｝、学生である。
は、「パースの法則」である。
然るに、
（11）（12）（14）により、
（15）
④｛（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
④｛（学生であるならば、男子であるならば）、学生であるならば｝、学生である。
が、「パースの法則」である以上、
⑤｛（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
⑤｛（学生であるならば、男子でないならば）、学生であるならば｝、学生である。
も、「パースの法則」である。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
といふ「言ひ方」が、私には、全く、理解出来ない。
（17）
④｛（学生であるならば、男子であるならば）、学生であるならば｝、学生である。
⑤｛（学生であるならば、男子でないならば）、学生であるならば｝、学生である。
の両方が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、
⑥｛（学生であるならば、男子であっても、男子でなくとも）、学生であるならば｝、学生である。
といふ、ことである。
然るに、
（01）（17）により、
（18）
① （学生であるか、または、学生である）ならば、学生である。
②｛（学生で、男子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
③｛（学生で、女子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
⑥｛（学生であるならば、男子であっても、男子でなくとも）、学生であるならば｝、学生である。
といふ「命題」は、４つとも、明らかに、「真」である。
従って、
（14）～（18）により、
（19）
「パースの法則」は、少しも、「変」ではなく、極めて、「普通」である。
令和０３年０９月０４日、毛利太。
① （学生であるか、または、学生である）ならば、学生である。
②｛（学生で、男子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
③｛（学生で、女子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
といふ「命題」は、３つとも、明らかに、「真」である。
従って、
（02）
Ｐ＝学生である。
Ｑ＝男子である。
～Ｑ＝女子である。
として、
① （Ｐ∨ Ｐ）→Ｐ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
といふ「論理式」は、３つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ （４） Ｐ １２２３３∨Ｅ
（５）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ １４ＣＰ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）｛（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ １５ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ １５ＣＰ
従って、
（02）（03）により、
（04）
① （Ｐ∨ Ｐ）→Ｐ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
といふ「論理式」は、３つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｑ ３４＆Ｉ
２ （６） ～Ｑ ２＆Ｅ
２３ （７） Ｑ＆～Ｑ ５６
２ （８）～（Ｐ→ Ｑ） ３ＲＡＡ
２ （９）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ２∨Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １２９アイ∨Ｅ
１ （エ） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ ウ含意の定義
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ８∨Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ １７９アイ∨Ｅ
従って、
（05）により、
（06）
③（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
④（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（06）により、
（07）
③｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
④｛（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
① （Ｐ∨ Ｐ）→Ｐ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
④｛（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
といふ「論理式」は、４つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（09）
（ⅴ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （３） （Ｐ→～Ｑ） ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨～Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆ Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）｛（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ １イＣＰ
従って、
（09）により、
（10）
⑤｛（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① （Ｐ∨ Ｐ）→Ｐ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
④｛（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
⑤｛（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
といふ「論理式」は、５つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（01）（02）（11）により、
（12）
Ｐ＝学生である。
Ｑ＝男子である。
～Ｑ＝女子である。
として、
① （学生であるか、または、学生である）ならば、学生である。
②｛（学生で、男子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
③｛（学生で、女子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
④｛（学生であるならば、男子であるならば）、学生であるならば｝、学生である。
⑤｛（学生であるならば、女子であるならば）、学生であるならば｝、学生である。
といふ「命題」は、５つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
④｛（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
④｛（学生であるならば、男子であるならば）、学生であるならば｝、学生である。
は、「パースの法則」である。
然るに、
（11）（12）（14）により、
（15）
④｛（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
④｛（学生であるならば、男子であるならば）、学生であるならば｝、学生である。
が、「パースの法則」である以上、
⑤｛（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
⑤｛（学生であるならば、男子でないならば）、学生であるならば｝、学生である。
も、「パースの法則」である。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
といふ「言ひ方」が、私には、全く、理解出来ない。
（17）
④｛（学生であるならば、男子であるならば）、学生であるならば｝、学生である。
⑤｛（学生であるならば、男子でないならば）、学生であるならば｝、学生である。
の両方が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、
⑥｛（学生であるならば、男子であっても、男子でなくとも）、学生であるならば｝、学生である。
といふ、ことである。
然るに、
（01）（17）により、
（18）
① （学生であるか、または、学生である）ならば、学生である。
②｛（学生で、男子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
③｛（学生で、女子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
⑥｛（学生であるならば、男子であっても、男子でなくとも）、学生であるならば｝、学生である。
といふ「命題」は、４つとも、明らかに、「真」である。
従って、
（14）～（18）により、
（19）
「パースの法則」は、少しも、「変」ではなく、極めて、「普通」である。
令和０３年０９月０４日、毛利太。
2021年9月3日金曜日
「パースの法則」は、「変」ではない。
―「昨日（令和０３年０９月０２日）」の「記事」を書き直します。―
（01）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ。
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） （～Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （３） （Ｐ→Ｑ） ２含意の定義
１２ （４） Ｐ ２３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６） ～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ １７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） （～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
２ （３） （Ｐ→～Ｑ） ２含意の定義
１２ （４） Ｐ ２３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨～Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６） ～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ １７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、
①（（ＰならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰである）ならばＰである。
といふ「命題（パースの法則））」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
①（（ＰならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
であって、尚且つ、
②（（ＰならばＱでない）ならばＰである）ならばＰである。
といふことは、
③（（Ｐならば、Ｑであっても、Ｑでなくとも）Ｐである）ならばＰである。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
「パースの法則」とは、
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐならば、Ｑであっても、Ｑでなくとも、）Ｐである）ならばＰである。
といふことに、他ならない。
然るに、
（06）
例へば、
③（（日本人ならば、男性であっても、女性であっても）日本人である）ならば日本人である。
であるといふ「命題（パースの法則）」は、「明らかに、真」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐならば、Ｑであっても、Ｑでなくとも、）Ｐである）ならばＰである。
である所の「パースの法則」は、「変」ではなく、「普通」である。
然るに、
（08）
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ８∨Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ １７９アイ∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｑ ３４＆Ｉ
２ （６） ～Ｑ ２＆Ｅ
２３ （７） Ｑ＆～Ｑ ５６
２ （８）～（Ｐ→ Ｑ） ３ＲＡＡ
２ （９）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ２∨Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １２９アイ∨Ｅ
１ （エ） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ ウ含意の定義
従って、
（08）により、
（09）
③（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ
④（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
（10）
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（11）
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」は、「日本語」で言ふと、
④（（ＰであってＱでない）か、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ「意味」である。
然るに、
（12）
例へば、
④（（日本人であって男性でない）か、日本人である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
といふ「命題」は、「明らかに、真である」。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ であって、尚且つ、
④ は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（13）により、
（14）
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於ける、
③ も、必然的に、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（05）（14）により、
（15）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「４通りの、恒真式」を、「１つの、パースの法則」と、捉える限り、「パースの法則」は、「変」ではなく、「普通」である。
令和０３年０９月０２日、毛利太。
（01）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ。
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） （～Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （３） （Ｐ→Ｑ） ２含意の定義
１２ （４） Ｐ ２３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６） ～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ １７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） （～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
２ （３） （Ｐ→～Ｑ） ２含意の定義
１２ （４） Ｐ ２３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨～Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６） ～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ １７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、
①（（ＰならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰである）ならばＰである。
といふ「命題（パースの法則））」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
①（（ＰならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
であって、尚且つ、
②（（ＰならばＱでない）ならばＰである）ならばＰである。
といふことは、
③（（Ｐならば、Ｑであっても、Ｑでなくとも）Ｐである）ならばＰである。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
「パースの法則」とは、
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐならば、Ｑであっても、Ｑでなくとも、）Ｐである）ならばＰである。
といふことに、他ならない。
然るに、
（06）
例へば、
③（（日本人ならば、男性であっても、女性であっても）日本人である）ならば日本人である。
であるといふ「命題（パースの法則）」は、「明らかに、真」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐならば、Ｑであっても、Ｑでなくとも、）Ｐである）ならばＰである。
である所の「パースの法則」は、「変」ではなく、「普通」である。
然るに、
（08）
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ８∨Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ １７９アイ∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｑ ３４＆Ｉ
２ （６） ～Ｑ ２＆Ｅ
２３ （７） Ｑ＆～Ｑ ５６
２ （８）～（Ｐ→ Ｑ） ３ＲＡＡ
２ （９）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ２∨Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １２９アイ∨Ｅ
１ （エ） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ ウ含意の定義
従って、
（08）により、
（09）
③（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ
④（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
（10）
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（11）
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」は、「日本語」で言ふと、
④（（ＰであってＱでない）か、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ「意味」である。
然るに、
（12）
例へば、
④（（日本人であって男性でない）か、日本人である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
といふ「命題」は、「明らかに、真である」。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ であって、尚且つ、
④ は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（13）により、
（14）
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於ける、
③ も、必然的に、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（05）（14）により、
（15）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「４通りの、恒真式」を、「１つの、パースの法則」と、捉える限り、「パースの法則」は、「変」ではなく、「普通」である。
令和０３年０９月０２日、毛利太。
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