「対偶（transposition）」について（Ⅲ）。

（01）
①「Ａである」と「Ｂである」は、「同時には」成り立たない。
といふことは、すなはち、
②「Ｂである」と「Ａである」が、「同時には」成り立たない。
といふことに、他ならない。
然るに、
（02）
①「Ａである」と「Ｂである」が、「同時には」成り立たない。
のであれば、
①「Ａである」ならば「Ｂでない」。
（03）
②「Ｂである」と「Ａである」が、「同時には」成り立たない。
のであれば、
②「Ｂである」ならば「Ａでない」。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
①「Ａである」と「Ｂである」は、「同時には」成り立たない。
②「Ｂである」と「Ａである」は、「同時には」成り立たない。
に於いて、
①＝② であるが故に、
①「Ａである」ならば「Ｂでない」。
②「Ｂである」ならば「Ａでない」。
に於いて、
①＝② である。
（05）
③「Ａである」と「Ｂでない」は、「同時には」成り立たない。
といふことは、すなはち、
④「Ｂでない」と「Ａである」が、「同時には」成り立たない。
といふことに、他ならない。
然るに、
（06）
③「Ａである」と「Ｂでない」が、「同時には」成り立たない。
のであれば、
③「Ａである」ならば、「Ｂでない」ではなく、「Ｂである」。
（07）
④「Ｂでない」と「Ａである」が、「同時には」成り立たない。
のであれば、
④「Ｂでない」ならば、「Ａである」ではなく、「Ａでない」。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
③「Ａである」と「Ｂでない」は、「同時には」成り立たない。
④「Ｂでない」と「Ａである」は、「同時には」成り立たない。
に於いて、
③＝④ であるが故に、
③「Ａである」ならば、「Ｂである」。
④「Ｂでない」ならば、「Ａでない」。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（08）により、
（09）
③「Ａである」ならば、「Ｂである」。
といふ「仮言命題」は、その「対偶」である所の、
④「Ｂでない」ならば、「Ａでない」。
といふ「仮言命題」に、「等しい」。
然るに、
（10）
⑤「Ａでない」と「Ｂである」は、「同時には」成り立たない。　
⑥「Ｂである」と「Ａでない」は、「同時には」成り立たない。　
に於いて、
⑤＝⑥ であるが故に、
⑤「Ａでない」ならば、「Ｂである」ではなく、「Ｂでない」。
⑥「Ｂである」ならば、「Ａでない」ではなく、「Ａである」。
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（10）により、
（11）
⑤「Ａでない」ならば、「Ｂでない」。
といふ「仮言命題」は、その「対偶」である所の、
⑥「Ｂである」ならば、「Ａである」。
といふ「仮言命題」に、「等しい」。
然るに、
（12）
③「Ａである」と「Ｂでない」。
⑤「Ａでない」と「Ｂである」。　
に於いて、
③＝⑤ ではないし、
④「Ｂでない」と「Ａである」。
⑥「Ｂである」と「Ａでない」。　
に於いて、
④＝⑥ ではない。
従って、
（08）～（12）により、
（13）
③「Ａである」ならば、「Ｂである」。
④「Ｂでない」ならば、「Ａでない」。
⑤「Ａでない」ならば、「Ｂでない」。
⑥「Ｂである」ならば、「Ａである」。
に於いて、
｛③＝④｝≠｛⑤＝⑥｝
であって、
｛③＝④｝＝｛⑤＝⑥｝
ではない。
従って、
（13）により、
（14）
③「Ａである」ならば、「Ｂである」。
であるからと言って、
⑤「Ａでない」ならば、「Ｂでない」。
であるとは、限らず、
④「Ｂでない」ならば、「Ａでない」。
であるからと言って、
⑥「Ｂである」ならば、「Ａである」。
であるとは、限らない。
（15）
論理は「日常会話」でいつも使っているものだから改めて（国語ではなく）数学で教える必要はない、という考え方もあるだろう。しかし、日常の論理と数学の論理には微妙な用法の違いがあり、日常の論理の経験に期待するのはとても危険である（小島寛之、数学でつまづくのはなぜか、2008年、９１頁）。
（16）
「数学の論理」といふのは、「論理学の論理」であるものの、「論理学の教科書」が教へる所の、
「ＡならばＢである。：Ａ→Ｂ」は、「ＡであってＢでない。といふことはない。：～（Ａ＆～Ｂ）」といふ「意味」である。
従って、
（17）
日常で言ふ「ＡならばＢである。」が、数学で言ふ「ＡならばＢである。」と、「微妙に異なる」のであれば、
日常で言ふ「ＡならばＢである。」は、必ずしも、「ＡであってＢでない。といふことはない。」といふ「意味」ではない。
といふ、ことになる。
平成２９年０４月１６日、毛利太。