「排中律」は「正しく」はない！？

（01）
１（１）Ｐ　　　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　　　１∨Ｉ（選言導入）
　（３）Ｐ→Ｐ∨Ｑ　１２ＣＰ
然るに、
（02）
１（１）Ｐ　　　　　Ａ
　（３）Ｐ→Ｐ∨Ｑ　１２ＣＰ
に於いて、「（１）の仮定の数」は「１個」であって、
　　　　　「（３）の仮定の数」は「０個」である。
（03）
１　（１）　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
１　（２）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　１∨Ｉ（選言導入）
　　（３）　　～Ｐ→～Ｐ∨～Ｑ　　　１２ＣＰ
  ４（４）　～～Ｐ＆～～Ｑ　　　　　Ａ
　４（５）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　４ド・モルガンの法則
　４（６）　～～Ｐ　　　　　　　　　３５ＭＴＴ
　　（７）　～～Ｐ＆～～Ｑ→～～Ｐ　４６ＣＰ
　　（８）　　　Ｐ＆　　Ｑ→　　Ｐ　７ＤＮ
然るに、
（04）
１　（１）～Ｐ　　　　　Ａ
　　（８）　Ｐ＆Ｑ→Ｐ　７ＤＮ
に於いて、「（１）の仮定の数」は「１個」であって、
　　　　　「（８）の仮定の数」は「０個」である。
（05）
１　（１）　～（Ｐ∨～Ｐ）　　Ａ
　２（２）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　２（３）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　２∨Ｉ（選言導入）
１２（４）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　２３＆Ｉ
１　（５）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
１　（６）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　５∨
１　（７）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　１６＆Ｉ
　　（８）～～（Ｐ∨～Ｐ）　　１７ＲＡＡ
　　（９）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　８ＤＮ
然るに、
（06）
１　（１）　～（Ｐ∨～Ｐ）　　Ａ
　　（９）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　８ＤＮ
に於いて、「（１）の仮定の数」は「１個」であって、
　　　　　「（９）の仮定の数」は「０個」である。
然るに、
（07）
定理（theorem）とは、仮定（assumptions）の数がゼロ個の証明可能な連式の結論である。
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、６５頁改）
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① Ｐ→Ｐ∨Ｑ≡Ｐであるならば、ＰかＱである。　
② Ｐ＆Ｑ→Ｐ≡ＰであってＱであるならば、Ｐである。
③ Ｐ∨～Ｐ　≡Ｐであるか、Ｐでない。
といふ「論理式」、すなはち、
① 付加律
② 単純化律
③ 排中律
は、三つとも、「定理（theorem）」である。
然るに、
（09）
① 付加律
すなはち、
① Ｐ→Ｐ∨Ｑ≡Ｐであるならば、ＰかＱである。　
は、「ヒルベルト・アッカーマンの、公理２」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① Ｐ→Ｐ∨Ｑ≡Ｐであるならば、ＰかＱである。　
② Ｐ＆Ｑ→Ｐ≡ＰであってＱであるならば、Ｐである。
③ Ｐ∨～Ｐ　≡Ｐであるか、Ｐでない。
といふ「論理式」は、３つとも、「公理（axiom）」であるとしても、「不自然」ではない。
然るに、
（11）
（１）Ｐならば、ＰかＱである。 然るに、
（２）Ｐである。 　　　　　　　従って、
（３） 　　　　 ＰかＱである。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
然るに、
（12）
（２）Ｐである。 　　　　　　　従って、
（３） 　　　　 ＰかＱである。
といふのであれば、いづれにせよ、
（２）Ｐである。
従って、
（12）により、
（13）
（２）Ｐである。 　　　　　　　従って、
（３） 　　　　 ＰかＱである。
といふのであれば、「正しく」は、
（２）Ｐであるが、
（３）Ｑであるかどうかは、分からない。
といふ。ことになる。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
１（１）Ｐ　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ（選言導入）
といふ「計算」は、
（１）Ｐであるが、
（２）Ｑであるかどうかは、分からない。
といふ、ことであり、
１（１）～Ｐ　　　　Ａ
１（２）～Ｐ∨～Ｑ　１∨Ｉ（選言導入）
といふ「計算」は、
（１）Ｐでないが、
（２）Ｑでないかどうかは、分からない。
といふ、ことであり、
２（２）Ｐ　　　　Ａ
２（３）Ｐ∨～Ｐ　２∨Ｉ（選言導入）
といふ「計算」は、
（２）Ｐであるが、
（３）Ｐでないかどうかは、分からない。
といふ、ことである。
然るに、
（15）
① Ｐであるが、Ｑであるかどうかは、分からない。
② Ｐでないが、Ｑでないかどうかは、分からない。
であれば、二つとも、「正常」であるが、
③ Ｐであるが、Ｐでないかどうかは、分からない。
の場合は、
③ Ｐである。と「断定」してゐながら、そのことを「否定」してゐる。
といふ点に於いて、明らかに、「異常」である。
従って、
（01）（03）（05）（14）（15）により、
（16）
① Ｐ→Ｐ∨Ｑ≡Ｐであるならば、ＰかＱである。　
② Ｐ＆Ｑ→Ｐ≡ＰであってＱであるならば、Ｐである。
③ Ｐ∨～Ｐ　≡Ｐであるか、Ｐでない。
といふ「定理」の「証明」に於いて、
① には「問題」はなく、
② にも「問題」はないものの、
③ には「問題」がある。
従って、
（10）（16）により、
（17）
① Ｐ→Ｐ∨Ｑ≡Ｐであるならば、ＰかＱである。　
② Ｐ＆Ｑ→Ｐ≡ＰであってＱであるならば、Ｐである。
③ Ｐ∨～Ｐ　≡Ｐであるか、Ｐでない。
といふ「論理式」は、すなはち、
① 付加律
② 単純化律
③ 排中律
といふ「法則」は、３つとも、「公理（axiom）」であるとしても、「不自然」ではない。
とは言ふものの、実際には、
③ に関しては、「計算の過程」で、
③ Ｐであるが、Ｐでないかどうかは、分からない。
としているため、あるいは、「公理（axiom）」であるとしては、ならないのかも、知れない。
然るに、
（18）
④ ～（～Ｐ＆Ｐ）≡～～Ｐ∨～Ｐ≡Ｐ∨～Ｐ
は、「ド・モルガンの法則」であって、
④ ～（～Ｐ＆Ｐ）
は、「矛盾律」である。
従って、
（19）
③       Ｐ∨～Ｐ　≡Ｐであるか、Ｐでない。
④ ～（～Ｐ＆  Ｐ）≡Ｐでなくて、Ｐである。といふことはない。
に於いて、
③「矛盾律」を「否定」することは、
④ Ｐではないが、Ｐである。といふこともある。
といふことを、「肯定」することに、「等しい」。
従って、
（20）
④ Ｐではないが、Ｐである。といふこともある。
といふことは、ない。
とするならば、
③ Ｐであるか、Ｐでない。
といふ「排中律」も、認めざるを、得ない。
令和元年１２月２０日、毛利太。