「象の鼻は長い・鼻は象が長い」の「述語論理」。

（01）
① 象の鼻は長い。 　 然るに、
② 兎の鼻は長くない。従って、
③ 象の鼻は兎の鼻ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（02）
１　　（１）∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ→　長ｙ）　　　　　Ａ
　２　（２）∀ｘ∀ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）　　　　　Ａ
１　　（３）　　∀ｙ（象ａ＆鼻ｙａ→　長ｙ）　　　　　１ＵＥ
１　　（４）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→　長ｂ　　　　　　３ＵＥ
　２　（５）　　∀ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ→～長ｂ）　　　　　２ＵＥ
　２　（６）　　　　　兎ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　５ＵＥ
　　７（７）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　Ａ
１　７（８）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　４７ＭＰＰ
１　７（９）　　　　　　　　　　　～～長ｂ　　　　　　８ＤＮ
１２７（ア）　　　～（兎ａ＆鼻ｂａ）　　　　　　　　　６９ＭＴＴ
１２７（イ）　　　　～兎ａ∨～鼻ｂａ　　　　　　　　　ア、ド・モルガンの法則
１２７（ウ）　　　　～鼻ｂａ∨～兎ａ　　　　　　　　　イ交換法則
１２７（エ）　　　　　鼻ｂａ→～兎ａ　　　　　　　　　ウ含意の定義
　　７（オ）　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
１２７（カ）　　　　　　　　　～兎ａ　　　　　　　　　エオＭＰＰ
１２７（キ）　　　　～兎ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　オカ＆Ｉ
１２　（ク）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→～兎ａ＆鼻ｂａ　　７キＣＰ
１２　（ケ）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→～兎ａ＆鼻ｂａ　　７クＣＰ
１２　（コ）　　∀ｙ（象ａ＆鼻ｙａ→～兎ａ＆鼻ｙａ）　ケＵＩ
１２　（サ）∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ→～兎ｘ＆鼻ｙｘ）　コＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ→　長ｙ）。然るに、
② ∀ｘ∀ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）。従って、
③ ∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ→～兎ｘ＆鼻ｙｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘとｙについて、ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長い。 　　然るに、
② すべてのｘとｙについて、ｘが兎であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。 従って、
③ すべてのｘとｙについて、ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｘは兎ではなく、ｙはｘの鼻である。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（04）
① すべてのｘとｙについて、ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長い。 　　然るに、
② すべてのｘとｙについて、ｘが兎であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。 従って、
③ すべてのｘとｙについて、ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｘは兎ではなく、ｙはｘの鼻である。
といふことは、
① 象の鼻は長い。 　 然るに、
② 兎の鼻は長くない。従って、
③ 象の鼻は兎の鼻ではない。
といふ、ことである。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① 象の鼻は長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）。
といふ「述語論理」に、相当する。
然るに、
（06）
① 鼻は象が長い。
② 鼻は兎は長くない。
③ 兎の鼻は象の鼻ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（07）
１　　（１）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ⇔　長ｙ）　　　　　Ａ
　２　（２）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆兎ｙ→～長ｙ）　　　　　Ａ
１　　（３）　　∀ｙ（鼻ａｙ＆象ｙ⇔　長ｙ）　　　　　１ＵＥ
１　　（４）　　　　　鼻ａｂ＆象ｂ⇔　長ｂ　　　　　　３ＵＥ
１　　（５）　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ→　長ｂ）＆
　　　　　　　　　　（長ｂ→鼻ａｂ＆　象ｂ）　　　　　４Ｄｆ.⇔
１　　（６）　　　　　鼻ａｂ＆象ｂ→　長ｂ　　　　　　５＆Ｅ
　２　（７）　　∀ｙ（鼻ａｙ＆兎ｙ→～長ｙ）　　　　　２ＵＥ
　２　（８）　　　　　鼻ａｂ＆兎ｂ→～長ｂ　　　　　　７ＵＥ
　　９（９）　　　　　兎ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　　　　Ａ
　　９（ア）　　　　　鼻ａｂ＆兎ｂ　　　　　　　　　　９交換法則
　２９（イ）　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　　　　８９ＭＰＰ
１２９（ウ）　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ）　　　　　　　　　６アＭＴＴ
１２９（エ）　　　　～鼻ａｂ∨～象ｂ　　　　　　　　　イ、ド・モルガンの法則
１２９（オ）　　　　　鼻ａｂ→～象ｂ　　　　　　　　　ウ含意の定義
　　９（カ）　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
１２９（キ）　　　　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　エオＭＰＰ
１２９（ク）　　　　～象ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　　　　オカ＆Ｉ
１２　（ケ）　　　　　兎ｂ＆鼻ａｂ→～象ｂ＆鼻ａｂ　　９クＣＰ
１２   (コ）　　∀ｘ（兎ｂ＆鼻ｘｂ→～象ｂ＆鼻ｘｂ）　ケＵＩ
１２　（サ）∀ｙ∀ｘ（兎ｙ＆鼻ｘｙ→～象ｙ＆鼻ｘｙ）　コＵＩ
ｃｆ.
∀ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）と、
∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）は、「等しい」。
従って、
（07）により、
（08）
① ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ⇔　長ｙ）。然るに、
② ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆兎ｙ→～長ｙ）。従って、
③ ∀ｙ∀ｘ（兎ｙ＆鼻ｘｙ→～象ｙ＆鼻ｘｙ）。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、そのときに限って、ｙは長い。 　　然るに、
② すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、　　　　　　　　　ｙは長くない。 従って、
③ すべてのｙとｘについて、ｙが兎であって、ｘがｙの鼻であるならば、ｙは象ではなく、　ｘはｙの鼻である。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（09）
① すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、そのときに限って、ｙは長い。 　　然るに、
② すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、　　　　　　　　　ｙは長くない。 従って、
③ すべてのｙとｘについて、ｙが兎であって、ｘがｙの鼻であるならば、ｙは象ではなく、　ｘはｙの鼻である。
といふことは、
① 鼻は象が長い。
② 鼻は兎は長くない。
③ 兎の鼻は象の鼻ではない。
といふ、ことである。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
① 鼻は象が長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ⇔長ｙ）。
といふ「述語論理」に、相当する。
従って、
（05）（10）により、
（11）
① 象の鼻は長い。
② 鼻は象が長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）。
② ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ⇔長ｙ）。
といふ「述語論理」に、相当する。
令和元年１２月３０日、毛利太。