「象が鼻が長い」の「述語論理」。

（01）
①｛象、机｝
に於いて、
①｛象が動物である。｝は、「本当」である。
（02）
②｛象、兎｝
に於いて、
②｛象が動物である。｝は、「ウソ」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
①｛象、□｝
に於いて、
① □が動物でない。ならば、そのときに限って、
①｛象が動物である。｝は、「本当」である。
従って、
（03）により、
（04）
① 象が動物である。⇔
① 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（04）により、
（05）
① 鼻が長い。⇔
① 鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（05）により、
（06）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（06）により、
（07）
① 象が鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くなく、象以外は、さうではない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（08）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
であれば、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ風に、書くことが出来る。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
① 象が鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くなく、象以外は、さうではない。
であれば、
① ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、そのときに限って、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ風に、書くことが出来る。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１　　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　Ａ
１　　　　　　（２）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　　～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝　１Ｄｆ.⇔
１　　　　　　（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　　～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　２ＵＥ
１　　　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　３＆Ｅ
１　　　　　　（５）～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　３＆Ｅ
　６　　　　　（６）～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１６　　　　　（７）　　　　～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　５６ＭＰＰ
１６　　　　　（８）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　７ド・モルガンの法則
　　９　　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　Ａ
　　９　　　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　９量化子の関係
　　　イ　　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　　Ａ
　　　　ウ　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ∨～長ｂ　　　　Ａ
　　　　ウ　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　　ウ含意の定義
　　　イウ　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）＆　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　　イエ＆Ｉ
　　　イ　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ∨～長ｂ）　　　ウオＲＡＡ
　　　イ　　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　　　カ、ド・モルガンの法則
　　　イ　　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　キＥＩ
　　９　　　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　アイクＥＥ
　　９　　　　（コ）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　ケ∨Ｉ
　　　　　サ　（サ）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　サ　（シ）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　サ∨Ｉ
１６　　　　　（ス）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　８９コサシ∨Ｅ
１６　　　　　（セ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　ス含意の定義
１　　　　　　（ソ）　　～象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　６セＣＰ
　　　　　　タ（タ）　　～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　タ（チ）　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　タ＆Ｅ
１　　　　　タ（ツ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　ソチＭＰＰ
　　　　　　タ（テ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　タ＆Ｅ
１　　　　　タ（ト）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　ツテＭＰＰ
１　　　　　　（ナ）　　～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　タトＣＰ
１　　　　　　（ニ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　　　　～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　４ナ＆Ｉ
１　　　　　　（ヌ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　　　　～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　　ニＵＩ
（ⅱ）
１　　　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　　　　　～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　　Ａ
１　　　　　　　（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　１ＵＥ
１　　　　　　　（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　２＆Ｅ
１　　　　　　　（４）　　～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　２＆Ｅ
　５　　　　　　（５）　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　６　　　　　（６）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　５６　　　　　（７）　　～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　５６＆Ｉ
１５６　　　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　４７ＭＰＰ
１５　　　　　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　６８ＣＰ
１　　　　　　　（ア）　　～象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　５９ＣＰ
　　　イ　　　　（イ）　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　イ　　　　（ウ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　アイＭＰＰ
１　　イ　　　　（エ）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　ウ含意の定義
　　　　オ　　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　Ａ
　　　　　カ　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　　　Ａ
　　　　　　キ　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　　Ａ
　　　　　カ　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　　　　　　カ＆Ｅ
　　　　　カキ　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　　キクＭＰＰ
　　　　　カ　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　カ＆Ｅ
　　　　　カキ　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　　ケコ＆Ｉ
　　　　　カ　　（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　　キサＲＡＡ
　　　　　カ　　（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　シＥＩ
　　　　オ　　　（セ）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　オカスＥＥ
　　　　オ　　　（ソ）　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　セ量化子の関係
　　　　オ　　　（タ）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　ソ∨Ｉ
　　　　　　　チ（チ）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　チ（ツ）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　タ∨Ｉ
１　　イ　　　　（テ）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　エオタチツ∨Ｅ
１　　イ　　　　（ト）　　　　～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　テ、ド・モルガンの法則
１　　　　　　　（ナ）～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　イトＣＰ
１　　　　　　　（ニ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　　　～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　３ナ＆Ｉ
１　　　　　　　（ヌ）　　　象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　ニＤｆ.⇔
１　　　　　　　（ネ）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　ヌＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
① ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
② 象が鼻が長い。⇔
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くなく、象以外は、さうではない。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、ｘが象でなくて、あるｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚはｘの鼻ではないが、ｚは長い｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（13）
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、ｘが象でなくて、あるｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚはｘの鼻ではないが、ｚは長い｝。
といふことは、
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くないものの、象以外に、鼻が長い動物がゐるのであれば、その動物は、鼻以外も長い。
といふ「意味」である。
然るに、
（14）
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くないものの、象以外に、鼻が長い動物がゐるのであれば、その動物は、鼻以外も長い。
といふことは、
② 鼻が長く、鼻以外は長くない動物は、象だけである。
といふ「意味」である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
② 象が鼻が長い。
といふ「日本語」は、
② 鼻が長く、鼻以外は長くない動物は、象だけである。
といふ「意味」である。
従って、
（08）（12）（15）により、
（16）
① 象は鼻が長い。
② 象が鼻が長い。
といふ「日本語」は、
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 鼻が長く、鼻以外は長くない動物は、象だけである。
といふ「意味」であって、
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 鼻が長く、鼻以外は長くない動物は、象だけである。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
といふ「述語論理」に、相当する。
然るに、
（17）
③ 象は動物である。
といふ「日本語」は、
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
といふ「述語論理」に、相当する。
従って、
（16）（17）により、
（18）
「番号」を付け直すと、
① 象は動物である。
② 象は鼻が長い。
③ 象が鼻が長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
といふ「述語論理」に、相当する。
然るに、
（19）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
といふ「述語論理」は、「大枠」としては、三つとも、
① ∀ｘ（象ｘ→Ｐ）。
② ∀ｘ（象ｘ→Ｐ）。
③ ∀ｘ（象ｘ→Ｐ）。
といふ「文型」をしてゐる。
従って、
（18）（19）により、
（20）
少なくとも、「述語論理」的には、
① 象は動物である。
② 象は鼻が長い。
③ 象が鼻が長い。
といふ「日本語」に於ける、
① 象は　が、「主語」であるならば、
② 象は　も、「主語」であり、
③ 象が　も、「主語」である。
としても、「何らの不都合」も、生じない。
令和元年１２月３０日、毛利太。