― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
象は 鼻が長い。
「象」はこの文の主題です。「鼻は長い」は全体で「象の説明」を行っているという構造をしています。これがもし「象の鼻が長い」であれば、単に「象の鼻＝長い」といっているだけで、「象」が主題となっているとは言えません。ところが、「象は鼻が長い」にすると、「象について言えば、鼻が長い」という意味になります。
（橋本陽介、日本語の謎を解く、2016年、１４１・１４２頁）
然るに、
（02）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。⇔
① すべての象について、象をｘとするならば、ｘは動物である。⇔
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）⇔
① 象は動物である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
「象は」は「（すべての）象について言えば、」という意味である。
「∀ｘ｛象ｘ」は「（すべての）象について言えば、」という意味である。
然るに、
（04）
② Elephants are animals. ⇔
② ∀ｘ（ELEPHANTｘ→ANIMALｘ）⇔
② For all x, if x is an elephant then x is an animal.⇔
② すべての象について、象をｘとするならば、ｘは動物である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
「象は」は「（すべての）象について言えば、」という意味である。
「Elephants」は「（すべての）象について言えば、」という意味である。
従って、
（01）（05）により、
（06）
「象は」が「主題」であるならば、
「Elephants」も「主題」である。
然るに、
（07）
② Elephants are animals.
に於いて、
② Elephants は「主語」である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① 象は動物である。
② Elephants are animals.
に於いて、
「Elephants」が「主語」であるならば、
「象は」も「主語」である。
（09）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ｝ １ＵＥ
１ （３） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ２ＵＥ
１ （４） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ３＆Ｅ
５ （５） 長ｂ Ａ
５ （６） ～～長ｂ ５ＤＮ
１５ （７） ～（～象ａ＆鼻ｂａ） ４６ＭＴＴ
１５ （８） 象ａ∨～鼻ｂａ ７ド・モルガンの法則
１５ （９） ～鼻ｂａ∨象ａ ８交換法則
１５ （ア） 鼻ｂａ→象ａ ９含意の定義
１ （イ） 長ｂ→鼻ｂａ→象ａ ５アＣＰ
ウ（ウ） 長ｂ＆鼻ｂａ Ａ
ウ（エ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ウ（オ） 鼻ｂａ→象ａ イエＭＰＰ
ウ（カ） 鼻ｂａ ウ＆Ｅ
１ ウ（キ） 象ａ オカＭＰＰ
１ （ク） 長ｂ＆鼻ｂａ→象ａ ウキＣＰ
１ （ケ） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ ３＆Ｅ
１ （コ） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆長ｂ＆鼻ｂａ→象ａ クケ＆Ｉ
１ （サ） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆長ｙ＆鼻ｙａ→象ａ｝ コＵＩ
１ （シ）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆長ｙ＆鼻ｙｘ→象ｘ｝ サＵＩ
１ （〃）すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｙが長く、ｙがｘの鼻ならば、ｘは象である。 サＵＩ
１ （〃）象の鼻ならば長く、長い鼻ならば、象である。 サＵＩ
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆長ｙ＆鼻ｙｘ→象ｘ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆長ｙ＆鼻ｙａ→象ａ｝ １ＵＥ
１ （３） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆長ｂ＆鼻ｂａ→象ａ ２ＵＥ
１ （４） 長ｂ＆鼻ｂａ→象ａ ３＆Ｅ
５ （５） ～象ａ Ａ
１５ （６） ～（長ｂ＆鼻ｂａ） ４５ＭＴＴ
１５ （７） ～長ｂ∨～鼻ｂａ ６ド・モルガンの法則
１５ （８） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ７交換法則
１５ （９） 鼻ｂａ→～長ｂ ８含意の定義
１ （ア） ～象ａ→鼻ｂａ→～長ｂ ５９ＣＰ
イ（イ） ～象ａ＆鼻ｂａ Ａ
イ（ウ） ～象ａ イ＆Ｅ
１ イ（エ） 鼻ｂａ→～長ｂ アウＭＰＰ
イ（オ） 鼻ｂａ イ＆Ｅ
１ イ（カ） ～長ｂ エオＭＰＰ
１ （キ） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ イカＣＰ
１ （ク） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ ３＆Ｅ
１ （ケ） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ キク＆Ｉ
１ （コ） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ｝ ケＵＩ
１ （サ）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝ コＵＩ
１ （〃）すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
従って、
（09）により、
（10）
③ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝
④ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆ 長ｙ＆鼻ｙｘ→ 象ｘ｝
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｙが長く、ｙがｘの鼻ならば、ｘは象である。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（10）により、
（11）
③ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｙが長く、ｙがｘの鼻ならば、ｘは象である。
に於いて、すなはち、
③ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
④ 象の鼻は長く、長い鼻ならば象である。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（12）
｛馬、兎、象｝であるならば、
③ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
④ 象の鼻は長く、長い鼻ならば象である。
然るに、
（13）
｛馬、兎、象｝であるならば、
① 顔は、馬は長く、馬以外（兎と象）は長くない。
② 耳は、兎は長く、兎以外（馬と象）は長くない。
③ 鼻は、象は長く、象以外（馬と兎）は長くない。
従って、
（13）により、
（14）
｛馬、兎、象｝であるならば、
① 馬の顔が長く、
② 兎の耳が長く、
③ 象の鼻が長い。
従って、
（10）～（14）により、
（15）
③ 象の鼻が長い。⇔
③ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。⇔
③ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝⇔
③ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
といふ「等式」が成立する。
従って、
（15）により、
（16）
④ 象の鼻は長い。⇔
④ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ｝⇔
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長い。
といふ「等式」が成立する。
従って、
（15）（16）により、
（17）
「番号」を付け直すと、
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
といふ「等式」が成立する。
従って、
（14）（17）により、
（18）
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
に於いて、
① の｛変域（ドメイン）｝は｛象｝だけであって、
② の｛変域（ドメイン）｝は｛馬｝＆｛兎｝＆｛象｝である。
従って、
（19）
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
に於いて、
① は、「象」だけを「取り上げてゐる」が、
② は、「象、兎、馬」に「言及」してゐる。
従って、
（19）により、
（20）
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
に於いて、
① は、「象の鼻」を「話題（主題）」にしてゐるが、
② は、「象の鼻と、その他の鼻」を「話題（主題）」にしてゐる。
従って、
（20）により、
（21）
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
に於いて、「象の鼻」を「主題」にしてゐるのは、「どちらか」と問はれるならば、
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
が、さうである。
然るに、
（08）により、
（22）
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
に於いても、
①「象の鼻」は、「主語（Subject）」である。
然るに、
（23）
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
であるが故に、
③ 鼻が長い。⇔ 鼻は長く、鼻以外は長くない。
でなければ、ならない。
従って、
（23）により、
（24）
③ 鼻が長い。⇔ 鼻は長く、鼻以外は長くない。
であるが故に、
③ 象は鼻が長い。⇔ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
でなければ、ならない。
従って、
（24）により、
（25）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（26）
② 兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。⇔
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝⇔
② すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳でないならば、ｚは長くないが、ｚはｘの鼻ではない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（27）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （エ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エＵＥ
２ ６ （カ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
キ（キ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （ク） ∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） ～耳ｂａ→～長ｂ＆耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
２ ６ （コ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ケ＆Ｅ
キ（サ） 耳ｂａ キ＆Ｅ
２ ６ キ（シ） ～鼻ｂａ コサＭＰＰ
１２ ６ キ（ス） ～長ｂ オシＭＰＰ
ウ （セ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１２ ６ウキ（ソ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ウ （タ） 長ｂ＆～長ｂ カキソＥＥ
１２ ６ （チ） 長ｂ＆～長ｂ イウタＥＥ
１２３ （ツ） 長ｂ＆～長ｂ ３６チＥＥ
１２ （テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ツＲＡＡ
１２ （ト）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） テ量化子の関係
１２ （ナ） ～（象ａ＆兎ａ） トＵＥ
１２ （ニ） ～象ａ∨～兎ａ ナ、ド・モルガンの法則
１２ （ヌ） ～兎ａ∨～象ａ ニ交換法則
１２ （ネ） 兎ａ→～象ａ ヌ含意の定義
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 ネＵＩ
従って、
（25）（26）（27）により、
（28）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
といふ「推論」、すなはち、
（１）象は鼻が長い。然るに、
（２）兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（３）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（25）～（28）により、
（29）
「逆」に言へば、
（１）象は鼻が長い。然るに、
（２）兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（３）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」であるが故に、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」は、「正しい」。
従って、
（29）により、
（30）
仮に、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、「マチガイ」であるならば、「述語論理（Predicate logic）そのもの」が、「正しくはない」。
然るに、
（31）
「一階述語論理の完全性定理」によれば、「述語論理（Predicate logic）」は、「完全」である。
従って、
（30）（31）により、
（32）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」は、「正しい」。
令和元年１２月０５日、毛利太。
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