「鼻は、象とマンモスが長い」の「述語論理」（Ⅱ）。

（01）
「先程（令和０２年０４月０９日）の記事」に於ける、
（ⅰ）
１　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛［鼻ｘｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ｘ）］＆［～（象ｙ∨マｙ）＆鼻ｘｙ→～長ｘ］｝　Ａ
１　　　（２）　　∃ｙ｛［鼻ａｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ａ）］＆［～（象ｙ∨マｙ）＆鼻ａｙ→～長ａ］｝　１ＵＥ
　３　　（３）　　　　　［鼻ａｂ＆（象ｂ∨マｂ）→長ａ）］＆［～（象ｂ∨マｂ）＆鼻ａｂ→～長ａ］　　Ａ
　３　　（４）　　　　　　鼻ａｂ＆（象ｂ∨マｂ）→長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ｂ∨マｂ）＆鼻ａｂ→～長ａ　　　３＆Ｅ
　　７　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ　　　Ａ
　　７　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～長ａ　　　７ＤＮ
　３７　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～［～（象ｂ∨マｂ）＆鼻ａｂ］　　　　　　５８ＭＴＴ
　３７　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（象ｂ∨マｂ）∨～鼻ａｂ　　　　　　　９ド・モルガンの法則
　３７　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ａｂ∨（象ｂ∨マｂ）　　　　　　　ア交換法則　　　
　３７　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ→（象ｂ∨マｂ）　　　　　　　イ含意の定義
　３　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ→［鼻ａｂ→（象ｂ∨マｂ）］　　　　　　７ウＣＰ
　　　オ（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ＆　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　オ（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
　３　オ（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ→（象ｂ∨マｂ）　　　　　　　エカＭＰＰ
　　　オ（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
　３　オ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ｂ∨マｂ　　　　　　　　キクＭＰＰ
　３　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ＆鼻ａｂ→（象ｂ∨マｂ）　　　　　　　オケＣＰ
　３　　（サ）　　　　　［鼻ａｂ＆（象ｂ∨マｂ）→長ａ）］＆［長ａ＆鼻ａｂ→（象ｂ∨マｂ）］　　　　４コ＆Ｉ
　３　　（シ）　　∃ｙ｛［鼻ａｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ａ）］＆［長ａ＆鼻ａｙ→（象ｙ∨マｙ）］｝　　　サＥＩ
１　　　（ス）　　∃ｙ｛［鼻ａｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ａ）］＆［長ａ＆鼻ａｙ→（象ｙ∨マｙ）］｝　　　２３シＥＥ
１　　　（セ）∀ｘ∃ｙ｛［鼻ｘｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ｘ）］＆［長ｘ＆鼻ｘｙ→（象ｙ∨マｙ）］｝　　　スＵＩ
（ⅱ）
１　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛［鼻ｘｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ｘ）］＆［長ｘ＆鼻ｘｙ→（象ｙ∨マｙ）］｝　　　Ａ
１　　　（２）　　∃ｙ｛［鼻ａｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ａ）］＆［長ａ＆鼻ａｙ→（象ｙ∨マｙ）］｝　　　１ＵＥ
　３　　（３）　　　　　［鼻ａｂ＆（象ｂ∨マｂ）→長ａ）］＆［長ａ＆鼻ａｂ→（象ｂ∨マｂ）］　　　　Ａ
　３　　（４）　　　　　　鼻ａｂ＆（象ｂ∨マｂ）→長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ＆鼻ａｂ→（象ｂ∨マｂ）　　　　　３＆Ｅ
　　６　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ｂ∨マｂ）　　　　　Ａ
　３６　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（長ａ＆鼻ａｂ）　　　　　　　　　　　　５６ＭＴＴ
　３６　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ∨～鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　７ド・モルガンの法則
　３６　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ａｂ∨～長ａ　　　　　　　　　　　　８交換法則
　３６　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ→～長ａ　　　　　　　　　　　　９含意の定義
　３　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ｂ∨マｂ）→（鼻ａｂ→～長ａ）　　　　６アＣＰ
　　　ウ（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ｂ∨マｂ）＆　鼻ａｂ　　　　　　　　　Ａ
　　　ウ（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ｂ∨マｂ）　　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　３　ウ（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ａｂ→～長ａ）　　　　イエＭＰＰ
　　　ウ（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　３　ウ（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　　　　オカＭＰＰ
　３　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ｂ∨マｂ）＆鼻ａｂ→～長ａ　　　ウキＣＰ
　３　　（ケ）　　　　　［鼻ａｂ＆（象ｂ∨マｂ）→長ａ）］＆［～（象ｂ∨マｂ）＆鼻ａｂ→～長ａ］　　４ク＆Ｉ
　３　　（コ）　　∃ｙ｛［鼻ａｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ａ）］＆［～（象ｙ∨マｙ）＆鼻ａｙ→～長ａ］　　ケＥＩ
１　　　（サ）　　∃ｙ｛［鼻ａｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ａ）］＆［～（象ｙ∨マｙ）＆鼻ａｙ→～長ａ］　　２３コＥＥ
１　　　（シ）∀ｘ∃ｙ｛［鼻ｘｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ｘ）］＆［～（象ｙ∨マｙ）＆鼻ｘｙ→～長ｘ］｝　１ＵＩ
といふ「計算」は、「次（02）」のやうに、「書き換へ」ることが、出来る。
（02）
（ⅰ）
１　　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛［鼻ｘｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ｘ）］＆［～（象ｙ∨マｙ）＆鼻ｘｙ→～長ｘ］｝　Ａ
１　　　　　（２）　　∃ｙ｛［鼻ａｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ａ）］＆［～（象ｙ∨マｙ）＆鼻ａｙ→～長ａ］｝　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　　　　［鼻ａｂ＆（象ｂ∨マｂ）→長ａ）］＆［～（象ｂ∨マｂ）＆鼻ａｂ→～長ａ］　　Ａ
　３　　　　（４）　　　　　　鼻ａｂ＆（象ｂ∨マｂ）→長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ｂ∨マｂ）＆鼻ａｂ→～長ａ　　　３＆Ｅ
　　６　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ　　　Ａ
　　６　　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～長ａ　　　６ＤＮ
　３６　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～［～（象ｂ∨マｂ）＆鼻ａｂ］　　　　　　５７ＭＴＴ
　３６　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（象ｂ∨マｂ）∨～鼻ａｂ　　　　　　　８ド・モルガンの法則
　　　ア　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（象ｂ∨マｂ）　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　ア　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～（象ｂ∨マｂ）　　　　　　　　　　　　アＤＮ
　　　ア　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～（象ｂ∨マｂ）∨～鼻ａｂ　　　　　　　イ∨Ｉ
　　　　エ　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ａｂ　　　　　　　Ａ
　　　　エ　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～（象ｂ∨マｂ）∨～鼻ａｂ　　　　　　　エ∨Ｉ
　３６　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～（象ｂ∨マｂ）∨～鼻ａｂ　　　　　　　９アウエオ∨Ｅ
　３６　　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ｂ∨マｂ）→～鼻ａｂ　　　　　　　カ含意の定義
　３　　　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ→［～（象ｂ∨マｂ）→～鼻ａｂ］　　　　　　６キＣＰ
　　　　　ケ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ＆　～（象ｂ∨マｂ）　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　ケ（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ケ＆Ｅ
　３　　　ケ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ｂ∨マｂ）→～鼻ａｂ　　　　　　　クコＭＰＰ
　　　　　ケ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ｂ∨マｂ）　　　　　　　　　　　　ケ＆Ｅ　　
　３　　　ケ（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ａｂ　　　　　　　サシＭＰＰ
　３　　　　（セ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ＆　～（象ｂ∨マｂ）→～鼻ａｂ　　　　　　　ケスＣＰ
　３　　　　（ソ）　　　　　［鼻ａｂ＆（象ｂ∨マｂ）→長ａ）］＆［長ａ＆～（象ｂ∨マｂ）→～鼻ａｂ］　　４セ＆Ｉ
　３　　　　（タ）　　∃ｙ｛［鼻ａｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ａ）］＆［長ａ＆～（象ｙ∨マｙ）→～鼻ａｙ］｝　ソＥＩ
　３　　　　（チ）　　∃ｙ｛［鼻ａｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ａ）］＆［長ａ＆～（象ｙ∨マｙ）→～鼻ａｙ］｝　２３タＥＥ
１　　　　　（ツ）∀ｘ∃ｙ｛［鼻ｘｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ｘ）］＆［長ｘ＆～（象ｙ∨マｙ）→～鼻ｘｙ］｝　チＵＩ
（ⅲ）
１　　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛［鼻ｘｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ｘ）］＆［長ｘ＆～（象ｙ∨マｙ）→～鼻ｘｙ］｝　Ａ
１　　　　　（２）　　∃ｙ｛［鼻ａｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ａ）］＆［長ａ＆～（象ｙ∨マｙ）→～鼻ａｙ］｝　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　　　　［鼻ａｂ＆（象ｂ∨マｂ）→長ａ）］＆［長ａ＆～（象ｂ∨マｂ）→～鼻ａｂ］　　Ａ
　３　　　　（４）　　　　　　鼻ａｂ＆（象ｂ∨マｂ）→長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ＆～（象ｂ∨マｂ）→～鼻ａｂ　　　３＆Ｅ
　　６　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　Ａ
　　６　　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～鼻ａｂ　　　６ＤＮ
　３６　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～［長ａ＆～（象ｂ∨マｂ）］　　　　　　　５７ＭＴＴ
　３６　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ∨　（象ｂ∨マｂ）　　　　　　　　８ド・モルガンの法則
　３６　　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（象ｂ∨マｂ）∨～長ａ　　　　　　　　　９交換法則
　　　イ　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（象ｂ∨マｂ）　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　イ　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～（象ｂ∨マｂ）　　　　　　　　　　　　　イＤＮ
　　　イ　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～（象ｂ∨マｂ）∨～長ａ　　　　　　　　　ウ∨Ｉ
　　　　オ　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　オ　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～（象ｂ∨マｂ）∨～長ａ　　　　　　　　　オ∨Ｉ
　３６　　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～（象ｂ∨マｂ）∨～長ａ　　　　　　　　　アイエオカ∨Ｅ
　３６　　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ｂ∨マｂ）→～長ａ　　　　　　　　　キ含意の定義
　３　　　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ→［～（象ｂ∨マｂ）→～長ａ］　　　　　　　　６クＣＰ
　　　　　コ（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ｂ∨マｂ）＆鼻ａｂ　　　　　　　　　Ａ
　　　　　コ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　コ＆Ｅ
　３　　　コ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ｂ∨マｂ）→～長ａ　　　　　　　　　ケサＭＰＰ
　　　　　コ（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ｂ∨マｂ）　　　　　　　　　　　　　コ＆Ｅ
　３　　　コ（セ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　　　　　　　　シスＭＰＰ
　３　　　　（ソ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ｂ∨マｂ）＆鼻ａｂ→～長ａ　　　　　　　　　コセＣＰ
　３　　　　（タ）　　　　　［鼻ａｂ＆（象ｂ∨マｂ）→長ａ）］＆［～（象ｂ∨マｂ）＆鼻ａｂ→～長ａ］　　４ソ＆Ｉ
　３　　　　（チ）　　∃ｙ｛［鼻ａｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ａ）］＆［～（象ｙ∨マｙ）＆鼻ａｙ→～長ａ］｝　タＥＩ
１　　　　　（ツ）　　∃ｙ｛［鼻ａｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ａ）］＆［～（象ｙ∨マｙ）＆鼻ａｙ→～長ａ］｝　２３チＥＥ
１　　　　　（テ）∀ｘ∃ｙ｛［鼻ｘｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ｘ）］＆［～（象ｙ∨マｙ）＆鼻ｘｙ→～長ｘ］｝　ツＵＩ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∀ｘ∃ｙ｛［鼻ｘｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ｘ）］＆［～（象ｙ∨マｙ）＆鼻ｘｙ→～長ｘ］｝
② ∀ｘ∃ｙ｛［鼻ｘｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ｘ）］＆［　長ｘ＆鼻ｘｙ→　（象ｙ∨マｙ）］｝
③ ∀ｘ∃ｙ｛［鼻ｘｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ｘ）］＆［長ｘ＆～（象ｙ∨マｙ）→～鼻ｘｙ］｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが（象か、マンモス）であるならば、ｘは長く、ｙが（象かマンモス）でなくてｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが（象か、マンモス）であるならば、ｘは長く、ｘが長くて、ｙの鼻であるならば、ｙは（象かマンモス）である。
③ すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが（象か、マンモス）であるならば、ｘは長く、ｘが長いのに、ｙが（象かマンモス）でないならば、ｘはｙの鼻ではない。
に於いて、
①＝②
①＝③ であって、それ故、
①＝②＝③ である。
然るに、
（04）
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが（象か、マンモス）であるならば、ｘは長く、ｙが（象かマンモス）でなくてｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが（象か、マンモス）であるならば、ｘは長く、ｘが長くて、ｙの鼻であるならば、ｙは（象かマンモス）である。
③ すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが（象か、マンモス）であるならば、ｘは長く、ｘが長いのに、ｙが（象かマンモス）でないならば、ｘはｙの鼻ではない。
といふことは、
① 鼻は、（象かマンモス）は長く、（象かマンモス）以外は、長くない。
② 鼻は、（象かマンモス）は長く、長い鼻は、（象かマンモス）の「それ」である。
③ 鼻は、（象かマンモス）は長く、長いのに、（象かマンモス）の「それ」でないならば、「鼻」ではない。
といふ、ことである。
然るに、
（05）
「ある鼻」が、「象の鼻」であって、尚且つ、「マンモスの鼻」であることは、「不可能」である。
従って、
（05）により、
（06）
「ある鼻」が、「象の鼻か、マンモスの鼻」であるならば、「長い」。
といふことは、
「象の鼻と、マンモスの鼻」が「長い」。
といふ、ことである。
従って、
（03）～（06）により、
（07）
① 鼻は、（象とマンモス）は長く、（象とマンモス）以外は、長くない。
② 鼻は、（象とマンモス）は長く、長い鼻は、（象とマンモス）の「それ」である。
③ 鼻は、（象とマンモス）は長く、長いのに、（象とマンモス）の「それ」でないならば、「鼻」ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（08）
｛象、マンモス、兎、キリン｝を、｛変域（ドメイン）｝とするならば、
① 鼻は、（象とマンモス）は長く、（象とマンモス）以外（兎とキリン）は長くない。
② 鼻は、（象とマンモス）は長く、長い鼻は、（象とマンモス）の「それ（鼻）」である。
③ 鼻は、（象とマンモス）は長く、長いのに、（象とマンモス）の「それ」でないならば、「鼻」ではなく、「兎の耳と、キリンの首」である。
に於いて、
①＝②＝③ であるものの、このことは、要するに、
① 鼻は、象とマンモスが長く、
② 耳は、兎が長く、
③ 首は、キリンが長い。
といふ、ことである。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
① 鼻は、象とマンモスが長い。⇔
① 鼻は、象とマンモスは長く、象とマンモス以外は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛［鼻ｘｙ＆（象ｙ∨マｙ）→長ｘ）］＆［～（象ｙ∨マｙ）＆鼻ｘｙ→～長ｘ］｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが（象か、マンモス）であるならば、ｘは長く、ｙが（象かマンモス）でなくてｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
令和０２年０４月０９日、毛利太。