「象は鼻が長い。」の「否定」の「述語論理」。

（01）
これまでも、何度も書いて来た通り、「結論」として、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象ならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（01）により、
（02）
① 象は鼻が長い。の「否定」は、
② ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１　　　　（１）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
１　　　　（２）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　１量化子の関係
　３　　　（３）　　～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　Ａ
　３　　　（４）　～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　３含意の定義
　３　　　（５）　　象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　３ド・モルガンの法則
　３　　　（６）　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　３　　　（７）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　５＆Ｅ
　　８　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　Ａ
　　８　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　８量化子の関係
　　　ア　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　Ａ
　　　ア　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（　鼻ｂａ∨～長ｂ）　　ア、含意の定義
　　　ア　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　　イ、ド・モルガンの法則
　　　ア　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　ウＥＩ
　　８　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　９アエＥＥ
　　８　　（カ）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　オ∨Ｉ
　　　　キ（キ）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　キ（ク）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　キ∨Ｉ
　３　　　（ケ）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　７８カキクＥＥ
　３　　　（コ）　　　象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　６ケ＆Ｉ
　３　　　（サ）∃ｘ｛象ｘ＆～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　コＥＩ
１　　　　（シ）∃ｘ｛象ｘ＆～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　２３サＥＥ
（ⅲ）
１　　　　（１）　∃ｘ｛象ｘ＆～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　Ａ
　２　　　（２）　　　　象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　Ａ
　２　　　（３）　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　　（４）　　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　２＆Ｅ
　　５　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　Ａ
　　　６　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　Ａ
　　　６　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ∨～長ｂ）　６ド・モルガンの法則
　　　６　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　７含意の定義
　　　６　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　８ＥＩ
　　５　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　５６９ＥＥ
　　５　　（イ）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　ア∨Ｉ
　　　　ウ（ウ）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ウ（エ）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　ウ∨Ｉ
　２　　　（オ）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　４５イウエ∨Ｉ
　２　　　（カ）   　 象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）  ３オ＆Ｉ
　２　　　（キ）　～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　カ、ド・モルガンの法則
　２　　　（ク）　　～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　キ含意の定義
　２　　　（ケ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　クＥＩ
１　　　　（コ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　１２ケＥＥ
１　　　　（サ）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　コ量化子の関係
従って、
（03）により、
（04）
② ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① 象は鼻が長い。の「否定」は、
② ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
である。
然るに、
（06）
③ ∃ｘ｛象ｘ＆～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
といふ「論理式」は、
③ 長い鼻を持たないか、または、鼻以外が長いか、または、長い鼻を持たないで、尚且つ、鼻以外が長い、象が存在する。
といふ、「意味」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
③ 鼻が長くないか、鼻以外が長いか、または、鼻が長くなくて、鼻以外が長い、象が存在する。
ならば、
① 象は鼻が長い。
といふ「命題」の否定は、「偽（ウソ）」になる。
従って、
（07）により、
（08）
③ 鼻が長くないか、鼻以外が長いか、または、鼻が長くなくて、鼻以外が長い、象が存在しない。
のであれば、
① 象は鼻が長い。
といふ「命題」は、「真（本当）」になる。
然るに、
（09）
③ 兎は耳が長い。⇔
③ 兎は耳は長く、耳以外は長くない。
従って、
（08）（09）により、
（10）
③ 兎　に関しては、
③ 鼻が長くないか、鼻以外が長いか、または、鼻が長くなくて、鼻以外が長い。
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
③ 兎は、象ではない。
令和０２年０４月０５日、毛利太。