「象が（も・は）動物である」の「述語論理」（Ⅱ）。

（01）
（ⅰ）　　
１　　　　（１）∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　　Ａ
１　　　　（２）　　～（～象ａ→～動物ａ）　　１ＵＥ
　３　　　（３）　　　　　象ａ∨～動物ａ　　　Ａ
　　４　　（４）　　　　　象ａ　　　　　　　　Ａ
　　４　　（５）　　　～～象ａ　　　　　　　　４ＤＮ
　　４　　（６）　　　～～象ａ∨～動物ａ　　　５∨Ｉ
　　　７　（７）　　　　　　　　～動物ａ　　　Ａ
　　　７　（８）　　　～～象ａ∨～動物ａ　　　７∨Ｉ　
　３　　　（９）　　　～～象ａ∨～動物ａ　　　３４６７８∨Ｅ
　３　　　（ア）　　　　～象ａ→～動物ａ　　　９含意の定義
１３　　　（イ）　　～（～象ａ→～動物ａ）＆
　　　　　　　　　　　（～象ａ→～動物ａ）　　２ア＆Ｉ
１　　　　（ウ）　　　～（象ａ∨～動物ａ）　　３イＲＡＡ
１　　　　（エ）　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　ウ、ド・モルガンの法則
１　　　　（オ）　∃ｘ（～象ａ＆　動物ａ）　　エＥＩ
（ⅱ）
１　　　　（１）　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　　Ａ
　２　　　（２）　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　Ａ
　　３　　（３）　　　　～象ａ→～動物ａ　　　Ａ
　２　　　（４）　　　　～象ａ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　（５）　　　　　　　　～動物ａ　　　３４ＭＰＰ
　２　　　（６）　　　　　　　　　動物ａ　　　２＆Ｅ
　２３　　（７）　　　　～動物ａ＆動物ａ　　　５６＆Ｉ
　２　　　（８）　　～（～象ａ→～動物ａ）　　３９ＲＡＡ
１　　　　（９）　　～（～象ａ→～動物ａ）　　１２８ＥＥ
　　　ア　（ア）　∃ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　　Ａ
　　　　イ（イ）　　　　～象ａ→～動物ａ　　　Ａ
１　　　イ（ウ）　　～（～象ａ→～動物ａ）＆
　　　　　　　　　　　（～象ａ→～動物ａ）　　９イ＆Ｉ
１　　ア　（エ）　　～（～象ａ→～動物ａ）＆
　　　　　　　　　　　（～象ａ→～動物ａ）　　アイウＥＥ
１　　　　（オ）～∃ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　　アエＲＡＡ
１　　　　（カ）∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　　オ量化子の関係
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）
② 　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）
「両辺」を「否定」しても、「等式」は、成り立つため、
① ～∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）
② 　～∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
に於いても、
①＝② である。
然るに、
（04）
「量化子の関係」と「二重否定律」により、
① 　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
② ～∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
に於いても、
①＝② である。
然るに、
（05）
（ⅰ）　　
１（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）　　　　　Ａ
１（２）　　　象ａ→動物ａ＆～象ａ→～動物ａ　　　　　　１ＵＥ
１（３）　　　象ａ→動物ａ　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）　　　　　　　　　　　　　　３ＵＩ
１（５）　　　　　　　　　　～象ａ→～動物ａ　　　　　　２＆Ｅ
１（６）　　　　　　　∀ｘ（～象ａ→～動物ａ）　　　　　５ＵＩ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　４６＆Ｉ
（ⅱ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　Ａ
１（２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　象ａ→動物ａ　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
１（４）　　　　　　　　　　　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　１＆Ｅ
１（５）　　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～動物ａ　　４ＵＥ
１（６）　　　象ａ→動物ａ＆～象ａ→～動物ａ　　　　　　３５＆Ｉ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）　　　　　６ＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）（06）により、
（07）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ　＆～象ｘ→～動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、象でなくて、動物であるｘは、存在しない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆　∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
に於いて、すなはち、
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、象でなくて、動物であるｘは、存在しない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｘは、象ではないが、動物である。
に於いて、
②＝③ ではなく、
②と③ は「矛盾」する。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ　＆～象ｘ→～動物ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｘは、象ではないが、動物である。
に於いて、
①＝③ ではなく、
①と③ は「矛盾」する。
然るに、
（10）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｘは、象ではないが、動物である。
といふことは、
③ 象も動物である。
といふ、ことである。
従って、
（10）により、
（11）
③ 象も動物である。⇔
③ 象は動物であり、象以外も動物である。⇔
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｘは、象ではないが、動物である。
といふ「等式」が成立する。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１　　（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）　Ａ
１　　（２）　　　象ａ→動物ａ＆～象ａ→～動物ａ　　１ＵＥ
１　　（３）　　　象ａ→動物ａ　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　（４）　　　　　　　　　　～象ａ→～動物ａ　　２＆Ｅ
　５　（５）　　　　　　　　　　　　　　　動物ａ　　Ａ
　　６（６）　　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　Ａ
１　６（７）　　　　　　　　　　　　　　～動物ａ　　４６ＭＰＰ
１５６（８）　　　　　　　　　　動物ａ＆～動物ａ　　５７＆Ｉ
１５　（９）　　　　　　　　　～～象ａ　　　　　　　６８ＲＡＡ
１５　（ア）　　　　　　　　　　　象ａ　　　　　　　９ＤＮ
１　　（イ）　　　　　　　　　　動物ａ→象ａ　　　　５アＣＰ
１　　（ウ）　　　象ａ→動物ａ＆動物ａ→象ａ　　　　３イ＆Ｉ
１　　（エ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆動物ｘ→象ｘ）　　　ウＵＩ
（ⅱ）
１　　（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆動物ｘ→象ｘ）　　　１
１　　（２）　　　象ａ→動物ａ＆動物ａ→象ａ　　　　１ＵＥ
１　　（３）　　　象ａ→動物ａ　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　（４）　　　　　　　　　　動物ａ→象ａ　　　　２＆Ｅ
　５　（５）　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　　　Ａ
　　６（６）　　　　　　　　　　動物ａ　　　　　　　Ａ
１　６（７）　　　　　　　　　　　　　　象ａ　　　　４６ＭＰＰ
１５６（８）　　　　　　　　　　～象ａ＆象ａ　　　　５７＆Ｉ
１５　（９）　　　　　　　　　　～動物ａ　　　　　　６８ＲＡＡ
１　　（ア）　　　　　　　　　　～象ａ→～動物ａ　　５９ＣＰ
１　　（イ）　　　象ａ→動物ａ＆～象ａ→～動物ａ　　３ア＆Ｉ
１　　（ウ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）　イＵＩ
従って、
（12）により、
（13）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆　動物ｘ→　象ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが動物であるならば、ｘは象である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（13）により、
（14）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆　動物ｘ→　象ｘ）
に於いて、すなはち、
① 象は動物であり、象以外は動物ではない。
② 象は動物であり、動物は象である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（14）により、
（15）
① 私は理事長であり、私以外は理事長ではない。
② 私は理事長であり、理事長は私である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（16）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
　理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
　タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（16）により、
（17）
① 私が理事長です。
② 理事長は私です。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（18）
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
① 私が理事長です。
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（19）により、
（20）
① 象が動物である。
② 動物は象である。
③ 象以外は動物ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（14）（20）により、
（21）
① 象が動物である。
② 象は動物であり、動物は象である。
③ 象は動物であり、象以外は動物ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（14）（21）により、
（22）
② 象が動物である。⇔
② 象は動物であり、象以外は動物ではない。⇔
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）⇔
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
といふ「等式」が成立する。
（23）
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
に対して、
① 象は動物である。
の場合は、
① 象以外については、何も、述べてはゐない。
然るに、
（24）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
の場合も、
① 象以外については、何も、述べてはゐない。
従って、
（23）（24）により、
（25）
① 象は動物である。⇔
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
といふ「等式」が成立する。
従って、
（11）（22）（25）により、
（26）
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
といふ「論理式」に、相当する。
令和０２年０４月１２日、毛利太。