「対偶」と「交換法則」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２　（２）　　　～Ｑ　Ａ
　　３（３）　Ｐ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　～Ｑ＆Ｑ　２４＆Ｉ
１２　（６）～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）～Ｑ→～Ｐ　２６ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　～Ｑ→～Ｐ　Ａ
　２　（２）　　　　　Ｐ　Ａ
　　３（３）　～Ｑ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　～Ｐ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　　Ｐ＆～Ｐ　２４＆Ｉ
１２　（６）～～Ｑ　　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　Ｑ　　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　２ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① 　Ｐ→　Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
（ⅳ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
③ 　　Ｐ→　Ｑ　
④ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
（05）
（ⅴ）
１　　（１）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３（３）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ
１　３（５）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　４∨Ｉ
１２３（６）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２５＆Ｉ
１２　（７）　　　～Ｐ　　　　　　３６ＲＡＡ
１２　（８）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　７∨Ｉ
１２　（９）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）
１　　（ア）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　（イ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　アＤＮ
（ⅵ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
⑤ 　Ｐ→　Ｑ
⑥ ～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（02）（04）（06）により、
（07）
「番号」を付け直すと、
① 　　Ｐ→　Ｑ
②   ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ 　～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、すなはち、
①  ＰであるならばＱである。
②  ＱでないならばＰでない。
③（ＰであってＱでない）といふことはない。
④  Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（08）
「交換法則（commutative law）」により、
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ 　～Ｐ∨　Ｑ
③（ＰであってＱでない）といふことはない。
④  Ｐでないか、または、Ｑである。
に関しては、
⑤ ～（～Ｑ＆Ｐ）
⑥     Ｑ∨～Ｐ
⑤（ＱでなくてＰである）といふことはない。
⑥  Ｑであるか、または、Ｐでない。
に、「等しい」。
従って、
（07）（08）により、
（09）
①  ＰであるならばＱである。
といふ「仮言命題」は、
⑤（ＱでなくてＰである）といふことはない。
⑥  Ｑであるか、または、Ｐでない。
といふ、「連言命題の否定」と、「選言命題」に、「等しい」。
然るに、
（10）
⑤（ＱでなくてＰである）といふことはない。
といふ「命題」は、明らかに、
②  ＱでないならばＰでない。
といふ「命題」に、「等しい」。
然るに、
（11）
⑥ Ｑであるか、または、Ｐでない。
といふ「命題」は、
⑥ Ｑである。
⑥ Ｐでない。
といふ「２つ」の内、「両方ともが、偽（ウソ）」であることは、無い。
といふ「意味」である。
然るに、
（12）
⑥ Ｑである。が、「ウソ」であるならば、もう一方の、
⑥ Ｐでない。が、「本当」である。といふことになり、
⑥ Ｐでない。が、「ウソ」であるならば、もう一方の、
⑥ Ｑである。が、「本当」である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
⑥ Ｑであるか、または、Ｐでない。
といふ「命題」は、
⑥ Ｑである。が、「ウソ」であるならば、
⑥ Ｑでない。が、「本当」であるため、
⑥ Ｐでない。は、「ウソ」ではなく、「本当」である。
といふことなり、それ故、
⑥ Ｑでない。ならば、Ｐでない。
といふ、ことになる。
然るに、
（14）
一番、分かり易いのは、
①  ＰであるならばＱである。
といふことは、
②（ＰであってＱでない）といふことはない。
といふことであり、
②（ＰであってＱでない）といふことはない。
といふことは、
③（ＱでなくてＰである）といふことはない。
といふことであり、
③（ＱでなくてＰである）といふことはない。
といふことは、
④  ＱでないならばＰでない。
といふことである。
といふ、「説明（素朴・対偶論）」である。
従って、
（09）（14）により、
（15）
②（ＰであってＱでない）といふことはない。
③（ＱでなくてＰである）といふことはない。
に於いて、
①＝② といふ「交換法則」が、「当然」であるならば、
①  ＰであるならばＱである。
④  ＱでないならばＰでない。
に於いて、
①＝② といふことも、「当然」である。
といふ、ことになる。
令和０２年０４月０６日、毛利太。