「対偶」と「交換法則」（Ⅱ）。

（01）
（ⅰ）
１　　　　　（１）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　～Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　～Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣ～Ｐ
（ⅱ）
１　　（１）　　～Ｐ→Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　～（Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　３（３）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ
１　３（５）　　　Ｐ∨Ｑ　　　４∨Ｉ
１２３（６）　～（Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　２５＆Ｉ
１２　（７）　～～Ｐ　　　　　３６ＲＡＡ
１２　（８）　　　Ｐ　　　　　７ＤＮ
１２　（９）　　　Ｐ∨Ｑ　　　７∨Ｉ
１２　（ア）　～（Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）
１　　（イ）～～（Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① 　Ｐ∨Ｑ
② ～Ｐ→Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐか、あるいは、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　（１）Ｐ∨Ｑ　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　Ａ
　２　（３）Ｑ∨Ｐ　２∨Ｉ
　　４（４）　　Ｑ　Ａ
　　４（５）Ｑ∨Ｐ　４∨Ｉ
１　　（６）Ｑ∨Ｐ　１２３４５∨Ｅ
（ⅲ）
１　　（１）Ｑ∨Ｒ　Ａ
　２　（２）Ｑ　　　Ａ
　２　（３）Ｒ∨Ｑ　２∨Ｉ
　　４（４）　　Ｒ　Ａ
　　４（５）Ｒ∨Ｑ　４∨Ｉ
１　　（６）Ｒ∨Ｑ　１２３４５∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐか、あるいは、Ｑである。
③ Ｑか、あるいは、Ｐである。
に於いて、
①＝③ は、「交換法則（Commutative law）」である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① Ｐか、あるいは、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑである。
③ Ｑか、あるいは、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
① Ｐか、あるいは、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑである。
③ Ｑか、あるいは、Ｐである。
④ Ｑでないならば、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（06）により、
（07）
「番号」を付け直すと、
① 　Ｐ∨Ｑ
②   Ｑ∨Ｐ
③ ～Ｐ→Ｑ
④ ～Ｑ→Ｐ
に於いて、すなはち、
① Ｐか、あるいは、Ｑである。
② Ｑか、あるいは、Ｐである。
③ Ｐでないならば、Ｑである。
④ Ｑでないならば、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ であるが、
そんなことは、「当り前」である。
然るに、
（08）
① 　Ｐ∨Ｑ
②   Ｑ∨Ｐ
③ ～Ｐ→Ｑ
④ ～Ｑ→Ｐ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入」を行ふと、
① 　～Ｐ∨　Ｑ
②   　Ｑ∨～Ｐ
③ ～～Ｐ→　Ｑ
④ 　～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（09）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
③ ～～Ｐ
⑤     Ｐ
に於いて、すなはち、
③ Ｐでない。ではない。
⑤ Ｐである。
に於いて、
③＝⑤ である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① ～Ｐ∨　Ｑ
②   Ｑ∨～Ｐ
③ 　Ｐ→　Ｑ
④ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、すなはち、
① Ｐでないか、あるいは、Ｑである。
② Ｑであるか、あるいは、Ｐでない。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
④ Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（11）
③ 　Ｐ→　Ｑ
④ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、すなはち、
③ Ｐであるならば、Ｑである。
④ Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
③＝④ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
① Ｐでないか、あるいは、Ｑである。
② Ｑであるか、あるいは、Ｐでない。
に於いて、
①＝② である。
といふ「交換法則（commutative law）」を認め、尚且つ、
③ Ｐでない。ではない。
⑤ Ｐである。
に於いて、
③＝⑤ である。
といふ「二重否定律（ＤＮ）」を認めるのであれば、
③ Ｐであるならば、Ｑである。
④ Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
③＝④ である。
といふ「対偶（Contraposition）」を認めざるを得ない。
令和０２年０４月０８日、毛利太。