「象が（も・は）動物である」の「述語論理」。

（01）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
　理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
　タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（01）により、
（02）
① 私が理事長です。
② 理事長は私です。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 私が理事長です。
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
① 象が動物である。
② 動物は象である。
③ 象以外は動物ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
①｛ｘの変域｝が｛象、机、本｝であるならば、
① すべてのｘ は｛象、机、本｝である。
然るに、
（07）
① 象は、動物であり、
② 机は、動物ではなく、
③ 本は、動物ではない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
①｛ｘの変域｝が｛象、机、本｝であるならば、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
然るに、
（09）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
といふことは、
③ 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふことである。
然るに、
（10）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）
といふ「論理式（述語論理）」は、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
といふ「意味」である。
従って、
（05）～（10）により、
（11）
① 象が動物である。⇔
① 象は動物であり、象以外は動物ではない。⇔
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
といふ「等式」が、成立し、尚且つ、
①｛ｘの変域｝が｛象、机、本｝であるならば、
① 象が動物である。
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
然るに、
（12）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「論理式（述語論理）」は、
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。といふわけではない。
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
（ⅱ）
１（１）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝　　　Ａ
１（２）　　　象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ）　　　　１ＵＥ
１（３）　　　象ａ→動物ａ　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　３ＵＩ
１（５）　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　　　２＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　　　　５ＵＩ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　４６＆Ｉ
（ⅲ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　Ａ
１（２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　象ａ→動物ａ　　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
１（４）　　　　　　　　　　　∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　１＆Ｅ
１（５）　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　４ＵＥ
１（６）　　　象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ）　　　　３５＆Ｉ
１（７）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝　　　６ＵＩ
従って、
（13）により、
（14）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ  ＆    ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）
に於いて、
②＝③ であるものの、「この等式」を、「定理（14）」とする。
然るに、
（15）
（ⅱ）
１　　　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ　＆　　～（～象ｘ→～動物ｘ）｝　Ａ
１　　　　　　　（２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　　１定理（14）
１　　　　　　　（３）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　　　　　　（４）　　　　　　　　　　　∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　　２＆Ｅ
１　　　　　　　（５）　　　　　　　　　　　～∃ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　　４量化子の関係
　６　　　　　　（６）　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　Ａ
　　７　　　　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　象ａ∨～動物ａ　　　Ａ
　　　８　　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　Ａ
　　　　９　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　象ａ　　　　　　　　Ａ
　　　８　　　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　８９　　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　象ａ＆～動物ａ　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ＆　動物ａ）　　８イＲＡＡ
　　　　　エ　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～動物ａ　　　Ａ
　　　８　　　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　動物ａ　　　８＆Ｅ
　　　８　エ　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　～動物ａ＆動物ａ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ　　（キ）　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ＆　動物ａ）　　８カＲＡＡ
　　７　　　　　（ク）　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ＆　動物ａ）　　７９ウエキ∨Ｅ
　　　　　　ケ　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　コ（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　動物ａ　　　Ａ
　　　　　　ケコ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　ケコ＆Ｉ
　　７　　　ケコ（シ）　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ＆　動物ａ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ＆　動物ａ）　　クサ＆Ｉ
　　７　　　ケ　（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～動物ａ　　　コシＲＡＡ
　　７　　　　　（ソ）　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～動物ａ　　　ケスＣＰ
　６７　　　　　（タ）　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ→～動物ａ）　　６ス＆Ｉ
　６　　　　　　（チ）　　　　　　　　　　　　　　～（象ａ∨～動物ａ）　　７タＲＡＡ
　６　　　　　　（ツ）　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　チ、ド・モルガンの法則
　６　　　　　　（テ）　　　　　　　　　　　　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　　ツＥＩ
１　　　　　　　（ト）　　　　　　　　　　　　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　　５６テＥＥ
１　　　　　　　（ナ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　　３ト＆Ｉ　　　　　　
（ⅲ）
１　　　　　　　（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　　Ａ
１　　　　　　　（２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　　　　　　（３）　　　　　　　　　　　　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　　１＆Ｅ
　４　　　　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　Ａ
　　５　　　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～動物ａ　　　Ａ
　４　　　　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　４＆Ｅ
　４５　　　　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～動物ａ　　　５６ＭＰＰ
　４　　　　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　動物ａ　　　４＆Ｅ
　４５　　　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　～動物ａ＆動物ａ　　　７８＆Ｉ
　４　　　　　　（ア）　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　５９ＲＡＡ
１　　　　　　　（イ）　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　１４アＥＥ
　　　ウ　　　　（ウ）　　　　　　　　　　　　∃ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　　Ａ
　　　　エ　　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～動物ａ　　　Ａ
１　　　エ　　　（オ）　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ→～動物ａ）　　イエ＆Ｉ
１　　ウ　　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ→～動物ａ）　　イエ＆Ｉ
１　　　　　　　（キ）　　　　　　　　　　　～∃ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　　ウカＲＡＡ
１　　　　　　　（ク）　　　　　　　　　　　∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　　キ量化子の関係
１　　　　　　　（ケ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　　２９＆Ｉ
１　　　　　　　（コ）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ　＆　　～（～象ｘ→～動物ｘ）｝　ケ定理（14）
従って、
（15）により、
（16）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ　＆  ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（17）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　
といふ「論理式」は、
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、あるｘは象ではなくて、動物である。
といふ「意味」である。
従って、
（12）（16）（16）により、
（18）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ　＆  ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
に於いて、
②＝③ であるが故に、
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。といふわけではない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、象ではない、動物も存在する。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（19）
②｛ｘの変域｝が｛象、兎、本｝であるならば、
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、ｘが象でない（兎）ならば、ｘは動物ではない。といふわけではない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、象ではない、動物（兎）も存在する。
といふ「日本語」は、「本当（真）」である。
然るに、
（20）
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、ｘが象でない（兎）ならば、ｘは動物ではない。といふわけではない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、象ではない、動物（兎）も存在する。
といふことは、両方とも、
② 象は動物であるが、象以外も動物である。
② 象は動物であるが、象以外も動物である。
といふことである。
然るに、
（21）
②｛ｘの変域｝が｛象、兎、本｝であるならば、
② 象も兎も、動物であるが、本は動物ではない。
といふ「日本語」は、「本当（真）」である。
従って、
（21）により、
（22）
②｛ｘの変域｝が｛象、兎、本｝であるならば、
② 象も動物である。
といふ「日本語」は、「本当（真）」である。
従って、
（16）～（22）により、
（23）
② 象も動物である。⇔
② 象は動物であり、象以外も動物である。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝⇔
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。といふわけではない。
といふ「等式」が、成立し、尚且つ、
②｛ｘの変域｝が｛象、兎、本｝であるならば、
② 象も動物である。
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
従って、
（11）（23）により、
（24）
① 象が動物である。
② 象も動物である。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆　　～象ｘ→～動物ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「論理式」に、対応する。
然るに、
（25）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆　　～象ｘ→～動物ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「論理式」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝
といふ「部分論理式」は、「共通」であって、
① ∀ｘ　（～象ｘ→～動物ｘ）
② ∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）
といふ「部分論理式」が、「矛盾」する。
然るに、
（26）
① 象が動物である。ならば、象は動物である。
② 象も動物である。ならば、象は動物である。
従って、
（11）（23）～（26）により、
（27）
「番号」を付け直すと、
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆　　～象ｘ→～動物ｘ）
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「論理式」に、相当する。
令和０２年０４月１１日、毛利太。