「相乗平均≦相加平均」の「述語論理」。

（01）
数学の命題は、大抵の場合、定数を表す記号と関数を表す記号と述語記号を定めて、
変数および論理記号を用いて書き表すことができる。
例えば、「正の実数の相乗平均は相加平均以下である」は、
∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝
と書ける（上江洲忠弘、述語論理入門、2007年、１４頁）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　　（１）～∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝　Ａ
１　　（２）∃ｘ～∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝　１量化子の関係
１　　（３）∃ｘ∃ｙ～｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝　２量化子の関係
　４　（４）　　∃ｙ～｛（０＜ａ∧０＜ｙ）⊃√ａ・ｙ≦（ａ＋ｙ）｝　Ａ
　　５（５）　　　　～｛（０＜ａ∧０＜ｂ）⊃√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝　Ａ
　　５（６）　　　～｛～（０＜ａ∧０＜ｂ）∨√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝　５含意の定義
　　５（７）　　　　（０＜ａ∧０＜ｂ）∧～｛√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）　　６ド・モルガンの法則
　　５（８）　　　　（０＜ａ∧０＜ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　７∧Ｅ
　　５（９）　　　　　　　　　　　　　　～｛√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）　　７∧Ｅ
　　５（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　√ａ・ｂ＞（ａ＋ｂ）　　９ＤＮ
　　５（イ）　　　　　　（０＜ａ∧０＜ｂ）∧√ａ・ｂ＞（ａ＋ｂ）　　８ア∧Ｉ
　　５（ウ）　　　∃ｙ｛（０＜ａ∧０＜ｙ）∧√ａ・ｙ＞（ａ＋ｙ）｝　イＥＩ
　４　（エ）　　　∃ｙ｛（０＜ａ∧０＜ｙ）∧√ａ・ｙ＞（ａ＋ｙ）｝　４５ウＥＥ
　４　（オ）　∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝　エＥＩ
１　　（カ）　∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝　１４オＥＥ
（ⅱ）
１　　（１）　∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝　Ａ
　２　（２）　　　∃ｙ｛（０＜ａ∧０＜ｙ）∧√ａ・ｙ＞（ａ＋ｙ）｝　Ａ
　　３（３）　　　　　　（０＜ａ∧０＜ｂ）∧√ａ・ｂ＞（ａ＋ｂ）　　Ａ
　　３（４）　　　　　　（０＜ａ∧０＜ｂ）　　　　　　　　　　　　　３∧Ｅ
　　３（５）　　　　　　　　　　　　　　　　√ａ・ｂ＞（ａ＋ｂ）　　３∧Ｅ
　　３（６）　　　　　　　　　　　　　　～｛√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝　５ＤＮ
　　３（７）　　　　（０＜ａ∧０＜ｂ）＆～｛√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝　４６∧Ｉ
　　３（８）　　　～｛～（０＜ａ∧０＜ｂ）∨√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝　７ド・モルガンの法則
　　３（９）　　　　～｛（０＜ａ∧０＜ｂ）⊃√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝　８含意の定義
　　３（ア）　　∃ｙ～｛（０＜ａ∧０＜ｙ）⊃√ａ・ｙ≦（ａ＋ｙ）｝　９ＥＩ
　２　（イ）　　∃ｙ～｛（０＜ａ∧０＜ｙ）⊃√ａ・ｙ≦（ａ＋ｙ）｝　２３アＥＥ
　２　（ウ）∃ｘ∃ｙ～｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝　イＥＩ
１　　（エ）∃ｘ∃ｙ～｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝　１２ウＥＥ
１　　（オ）∃ｘ～∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝　エ量化子の関係
１　　（カ）～∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝　オ量化子の関係
従って、
（02）により、
（03）
① ～∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝
② 　∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
① ～～∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝
② 　～∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
「二重否定律」により、
① 　∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝
② ～∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（05）により、
（06）
①「正の実数の相乗平均は相加平均以下である。」
② ～∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
①「正の実数の相乗平均は相加平均以下である。」
②「正の実数の相乗平均が相加平均以下よりも大きい」といふことは無い。
に於いて、
①＝② ある。
令和５年４月１０日、毛利太。