「タゴール記念会は、私と彼が理事です（理事は私と彼です）。」の「述語論理」（Ⅱ）。

（01）
（ⅰ）
１　（１）　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→　ｘ＝ｙ）　　Ａ
１　（２）　　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→　ａ＝ｙ）　　１ＵＥ
１　（３）　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→　ａ＝ｂ　　　２ＵＥ
　４（４）　　　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ）　　　　　　　Ａ
　４（５）　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　　　４ド・モルガンの法則
１４（６）　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　３５ＭＰＰ
１　（７）　　　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ）→ａ＝ｂ　　　４６ＣＰ
１　（８）　　　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）　　７含意の定義
１　（９）　　∀ｙ｛～Ｆａ∨～Ｆｙ∨（ａ＝ｙ）｝　８ＵＩ
１　（ア）∀ｘ∀ｙ｛～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨（ｘ＝ｙ）｝　９ＵＩ
（ⅱ）
１　（１）∀ｘ∀ｙ｛～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨（ｘ＝ｙ）｝　Ａ
１　（２）　　∀ｙ｛～Ｆａ∨～Ｆｙ∨（ａ＝ｙ）｝　１ＵＥ
１　（３）　　　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）　　２ＵＥ
１　（４）　　　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ）→ａ＝ｂ　　　３含意の定義
　５（５）　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　　　Ａ
　５（６）　　　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ）　　　　　　　５ド・モルガンの法則
１５（７）　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　４６ＭＰＰ
１　（８）　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→　ａ＝ｂ　　　５７ＣＰ
１　（９）　　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→　ａ＝ｙ）　　８ＵＩ
１　（ア）　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→　ｘ＝ｙ）　　９ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ｛～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨（ｘ＝ｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、ｘとｙは「同一」である）。
② すべてのｘとｙについて｛ｘはＦでないか、ｙはＦでないか、または、ｘとｙは「同一」である｝。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）により、
（03）
② すべてのｘとｙについて｛ｘはＦでないか、ｙはＦでないか、または、ｘとｙは「同一」である｝。
といふのであれば、
② Ｆであるモノの「個数」は、「０個、または、１個である」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ｛～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨（ｘ＝ｙ）｝
であるならば、両方とも、
① Ｆであるモノの「個数」は、「０個、または、１個」である。
② Ｆであるモノの「個数」は、「０個、または、１個」である。
従って、
（04）により、
（05）
① 　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
の「否定」である、
① ～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、
① Ｆであるモノの「個数」は、「２個以上」である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１　　（１）～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　　Ａ
１　　（２）∃ｘ～∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　　１量化子の関係
１　　（３）∃ｘ∃ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　　２量化子の関係
　４　（４）　　∃ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　Ａ
　　５（５）　　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ）　　　Ａ
　　５（６）　　～｛～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ｝　　５含意の定義
　　５（７）　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）　　６ド・モルガンの法則
　　５（８）　　　∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝　７ＥＩ
　４　（９）　　　∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝　４５８ＥＥ
　４　（ア）　∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝　９ＥＩ
　４　（イ）　∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝　アＥＩ
１　　（ウ）　∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝　３４イＥＥ
（ⅱ）
１　　（１）　∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝　Ａ
　２　（２）　　　∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝　Ａ
　　３（３）　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）　　Ａ
　　３（４）　　～｛～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ｝　　３ド・モルガンの法則
　　３（５）　　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ）　　　４含意の定義
　　３（６）　　∃ｙ～（Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ）　　　５ＥＩ
　２　（７）　　∃ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　２３６ＥＥ
　２　（８）∃ｘ∃ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　　７ＥＩ
１　　（９）∃ｘ∃ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　　１２８ＥＥ
１　　（ア）∃ｘ～∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　　９量化子の関係
１　　（イ）～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　　ア量化子の関係
従って、
（06）により、
（07）
① ～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ ｘ＝ｙ）
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① ～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ ｘ＝ｙ）
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
であるならば、両方とも、
① Ｆであるモノの「個数」は、「２個以上」である。
② Ｆであるモノの「個数」は、「２個以上」である。
然るに、
（09）
① Ｆであるモノの「個数」は、「２個以上」である。
② Ｆであるモノの「個数」は、「２個以上」である。
といふことは、
① 性質Ｆをもつ少なくとも２つの対象が存在する。
② 性質Ｆをもつ少なくとも２つの対象が存在する。
といふことである。
従って、
（08）（09）により、
（10）
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
ではなく、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
であるならば、
① 性質Ｆをもつ少なくとも２つの対象が存在する。
といふことには、ならない。
然るに、
（11）
１４２　∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１　（１）　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　２（２）　　　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　２（３）　　　　　Ｆａ＆Ｆａ　　２２＆Ｉ
　２（４）　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）　３ＥＩ
　２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｘ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）　１２５ＥＥ
（この結果は事実上、強化して相互導出可能にすることができる。）この連式の妥当性から、
ひとつだけの対象がＦをもっているならば、∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）ということが帰結する。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１０頁）
従って、
（10）（11）により、
（12）
① 性質Ｆをもつ少なくとも２つの対象が存在する。
といふことを、「示したい」のであれば、
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
といふ「論理式」を、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
といふ風に、「書き換へ」ては、ならない。
然るに、
（13）
∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｚ＝ｙ）
といふことは、
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛変域（ドメイン）」であるとして、
① Ｆａ＆Ｆｂ
② Ｆａ＆Ｆｃ
③ Ｆｂ＆Ｆｃ
といふことは、有り得ても、
④ Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
⑤ Ｆａ＆Ｆｃ＆Ｆｂ
⑥ Ｆｂ＆Ｆｃ＆Ｆａ
といふことは、「有り得ない」。
といふ「意味」である。
従って、
（12）（13）により、
（14）
ところで、Ｆをもつ正確に２つのものが存在すると言いたいならば、幾つかの道が開かれている。
恐らく最も簡単なのはつぎのように書くことであろう。
　（19）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｚ＝ｙ）｝
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１２頁）
従って、
（14）により、
（15）
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｚ＝ｙ）｝
を「書き換へる」と、
② ∃ｙ∃ｚ［ｙ≠ｚ＆私ｙ＆彼ｚ＆理事ｙｘ＆理事ｚｘ＆∀ｕ（理事ｕｘ→ｕ＝ｙ∨ｕ＝ｚ）］
といふ「命題関数」は、すなはち、
② あるｙとあるｚについて［ｙとｚは同一ではなく、ｙは私、ｚは彼であって、ｙはｘの理事であって、ｚもｘの理事であって、すべてのｕについて（ｕがｘの理事であるならば、ｕはｙであるか、または、ｚである）］。
といふ「命題関数」は、
② ｘの理事は、私と彼だけある。
といふ、「意味」になる。
従って、
（15）により、
（16）
③ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ∃ｚ［ｙ≠ｚ＆私ｙ＆彼ｚ＆理事ｙｘ＆理事ｚｘ＆∀ｕ（理事ｕｘ→ｕ＝ｙ∨ｕ＝ｚ）］｝。
といふ「命題」、すなはち、
③ すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙとあるｚについて［ｙとｚは同一ではなく、ｙは私、ｚは彼であって、ｙはｘの理事であって、ｚもｘの理事であって、すべてのｕについて（ｕがｘの理事であるならば、ｕはｙであるか、または、ｚである）］｝。
といふ「命題」は、
③ タゴール記念会は、私と彼だけが理事である。
といふ、「意味」になる。
令和５年４月２２日、毛利太。