～∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｐｘ＆Ｐｙ）≡ ∀ｘ∀ｙ（Ｐｘ＆Ｐｙ→ｘ＝ｙ）

（01）
① ∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｐｘ＆Ｐｙ）
といふ「論理式」は、
① 性質Ｐを持つものが「少なくとも２個有る」。
といふ「命題」に「等しい」。
然るに、
（02）
① 少なくとも、２個有る。
といふことは、
① ２個以上有る。
といふことである。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 　∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｐｘ＆Ｐｙ）
の「否定」である、
② ～∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｐｘ＆Ｐｙ）
といふ「論理式」は、
② 性質Ｐを持つものが「０個か１個しか無い」。
といふ「命題」に「等しい」。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１（１）～∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｐｘ＆Ｐｙ）　Ａ
１（２）∀ｘ～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｐｘ＆Ｐｙ）　１量化子の関係
１（３）∀ｘ∀ｙ～（ｘ≠ｙ＆Ｐｘ＆Ｐｙ）　２量化子の関係
１（４）　　∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｐａ＆Ｐｙ）　３ＵＥ
１（５）　　　　～（ａ≠ｂ＆Ｐａ＆Ｐｂ）　４ＵＥ
１（６）　　　　ａ＝ｂ∨～Ｐａ∨～Ｐｂ　　５ド・モルガンの法則
１（７）　　　ａ＝ｂ∨（～Ｐａ∨～Ｐｂ）　６結合法則
１（８）　　（～Ｐａ∨～Ｐｂ）∨ａ＝ｂ　　７交換法則
１（９）　　　～（Ｐａ＆Ｐｂ）∨ａ＝ｂ　　８ド・モルガンの法則
１（ア）　　　　　Ｐａ＆Ｐｂ　→ａ＝ｂ　　９含意の定義
１（イ）　　∀ｙ（Ｐａ＆Ｐｙ　→ａ＝ｙ）　アＵＩ
１（ウ）∀ｘ∀ｙ（Ｐｘ＆Ｐｙ　→ｘ＝ｙ）　イＵＩ
（ⅲ）
１（１）∀ｘ∀ｙ（Ｐｘ＆Ｐｙ　→ｘ＝ｙ）　Ａ
１（２）　　∀ｙ（Ｐａ＆Ｐｙ　→ａ＝ｙ）　１ＵＥ
１（３）　　　　　Ｐａ＆Ｐｂ　→ａ＝ｂ　　２ＵＥ
１（４）　　　～（Ｐａ＆Ｐｂ）∨ａ＝ｂ　　３含意の定義
１（５）　　（～Ｐａ∨～Ｐｂ）∨ａ＝ｂ　　４ド・モルガンの法則
１（６）　　　ａ＝ｂ∨（～Ｐａ∨～Ｐｂ）　５交換法則
１（７）　　　　ａ＝ｂ∨～Ｐａ∨～Ｐｂ　　６結合法則
１（８）　　　　～（ａ≠ｂ＆Ｐａ＆Ｐｂ）　７ド・モルガンの法則
１（９）　　∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｐａ＆Ｐｙ）　８ＵＩ
１（ア）∀ｘ∀ｙ～（ｘ≠ｙ＆Ｐｘ＆Ｐｙ）　９ＵＩ
１（イ）∀ｘ～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｐｘ＆Ｐｙ）　１量化子の関係
１（ウ）～∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｐｘ＆Ｐｙ）　イ量化子の関係
従って、
（04）により、
（05）
① ～∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｐｘ＆Ｐｙ）
② 　∀ｘ∀ｙ（Ｐｘ＆Ｐｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、すなはち、
① ～∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｐｘ＆Ｐｙ）
② いかなるｘとｙであっても（ｘがＰでｙもＰであるならば、ｘとｙは「等しい」）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｐｘ＆Ｐｙ→ｘ＝ｙ）⇔
② いかなるｘとｙであっても（ｘがＰでｙもＰであるならば、ｘとｙは「等しい」）。
の場合は、「仮言命題」であるため、
②（ｘがＰでｙもＰである）
といふ「前提」が「偽」であるとしても「真」である。
従って、
（03）（05）（06）により、
（07）
① ∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｐｘ＆Ｐｙ）
の「否定」である所の、
② ∀ｘ∀ｙ（Ｐｘ＆Ｐｙ→ｘ＝ｙ）⇔
② いかなるｘとｙであっても（ｘがＰでｙもＰであるならば、ｘとｙは「等しい」）。
といふ「命題」は、
② 性質Ｐを持つものが「０個か１個しか無い」。
といふ場合に於いて、「真」になる。
令和５年４月９日、毛利太。