「鼻は象が長い・象は鼻が長い」の「述語論理」。

（01）
8.2　日本語文法を見直して作文する
8.2.3　「象は鼻が長い」の文法論争
表題の文は、名詞二つ、助詞二つ、形容詞一つで構成されています。普通に読めば違和感を起こしませんが、それは文の意味論(semantics)の方を感覚的に理解しているからです。
したがって、「鼻は象が長い」「象の鼻は長い」と言い換えても、正しく理解されます。
従って、
（01）により、
（02）
① 鼻は象が長い。
② 象の鼻は長い。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
② 象の鼻は長い。
③ 象の鼻が長い。
に於いて、
②＝③ であるとは、「思へない」。
然るに、
（04）
｛象、兎、馬｝が｛変域｝であるならば、
① 鼻は象が長く、
② 耳は兎が長く、
③ 顔は馬が長い。
然るに、
（05）
｛象、兎、馬｝が｛変域｝であるならば、
① 象の鼻が長く、
② 兎の耳が長く、
③ 馬の顔が長い。
然るに、
（06）
１　　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝　Ａ
　２　　　　（２）∀ｘ∃ｙ（兎ｘ→～象ｘ＆鼻ｙｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　 　 （３）　　∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ）｝　１ＵＥ
　　４　　　（４）　　　　　（象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）＆（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ）　　Ａ
　　４　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ　　　４＆Ｅ
　２　　　　（６）　　∃ｙ（兎ａ→～象ａ＆鼻ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　　　７　（７）　　　　　兎ａ→～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　８（８）　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　７８（９）　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　７８ＭＰＰ
　　４　７８（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　５９ＭＰＰ
　　　　７８（イ）　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　　４　７８（ウ）　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　アイ＆Ｉ
　　４　７　（エ）　　　　　　　　　兎ａ→鼻ｂａ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　８ウＣＰ
　　４　７　（オ）　　　　　　∃ｙ（兎ａ→鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　エＥＩ
　２４　　　（カ）　　　　　　∃ｙ（兎ａ→鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　６７オＥＥ
１２　　　　（キ）　　　　　　∃ｙ（兎ａ→鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　３４カＥＥ
１２　　　　（ク）　　　　∀ｘ∃ｙ（兎ｘ→鼻ｙｘ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　キＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ∃ｙ（兎ｘ→～象ｘ＆鼻ｙｘ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ∃ｙ（兎ｘ→鼻ｙｘ＆～長ｙ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く）、（ｘが象ではなく、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘとあるｙについて（　ｘが兎であるならば、ｘは象ではなく、ｙはｘの鼻である）。従って、
（ⅲ）すべてのｘとあるｙについて（　ｘが兎であるならば、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎に鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎に鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 鼻は象が長い。⇔
② 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。⇔
③ ∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。⇔
④ すべてのｘとあるｙについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く）、（ｘが象ではなく、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）｝。
といふ「等式」が、「成立」する。
然るに、
（10）
１　　　　（１）　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　（２）　∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（３）　∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　（４）　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ａｘ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　　（５）　　　　兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　　６　（６）　　　　象ａ＆兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　（７）　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　（８）　　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　（９）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４７ＭＰＰ
１　　６　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　９＆Ｅ
１　　６　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂａ→～長ｂ　　　アＵＥ
１　　６　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ｂａ∨～長ｂ　　　イ含意の定義
１　　６　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～象ｂａ＆　長ｂ）　　ウ、ド・モルガンの法則
１　　６　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ～（～象ｚａ＆　長ｚ）　　エＵＩ
１　　６　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｚ（～象ｚａ＆　長ｚ）　　オ量化子の関係
　２　６　（オ）　　　　　　　∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　５７ＭＰＰ
　　　　カ（カ）　　　　　　　　　　耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｚ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　カ（キ）　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　カ＆Ｅ
　　　　カ（ク）　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｂａ＆長ｂ）　　　　　　　　　　キＥＩ
　２　６　（ケ）　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｂａ＆長ｂ）　　　　　　　　　　オカクＥＥ
１２　６　（コ）　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　エケ＆Ｉ
１２３　　（サ）　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　３６コＥＥ
１２　　　（シ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３サＲＡＡ
１２　　　（ス）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　シ量化子の関係
１２　　　（セ）　　～（象ａ＆兎ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　スＵＥ
１２　　　（ソ）　　～象ａ∨～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　セ、ド・モルガンの法則
１２　　　（タ）　　　象ａ→～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ソ、含意の定義
１２　　　（チ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　タＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であり、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。然るに、
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、鼻ではないが、長い）｝。従って、
③ すべてのｘについて（ｘが象ならば、ｘは兎ではない）。
といふ「推論」、すなはち、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、
② 兎の耳は、鼻ではないが、長い。従って、
③ 兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（12）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
③ 兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① 象は鼻が長い。⇔
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。⇔
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であり、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
といふ「等式」が、「成立」する。
従って、
（09）（13）により、
（14）
① 鼻は象が長い。
② 象は鼻が長い。
③ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
④ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である。
従って、
（14）により、
（15）
① ＢはＡがＣである。
② ＡはＢがＣである。
③ ＡのＢはＣであり、Ａ以外のＢはＣではない。
④ ＡはＢはＣであり、Ｂ以外はＣではない。
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である。
令和５年４月１９日、毛利太。