「偶数は１つしかない」の「述語論理」。

（01）
① ∀ｘ｛偶数ｘ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝。
といふ「命題」、すなはち、
① いかなるｘであっても｛ｘが偶数であるならば、あるｙは（偶数であって、尚且つ、ｘとｙは、「同じ数」ではない）｝。
といふ「命題」は、
① 偶数は「１つ」でない。
といふ「命題」に、「他ならない」。
従って、
（01）により、
（02）
① 　∀ｘ｛偶数ｘ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝。
といふ「命題の否定」、すなはち、
② ～∀ｘ｛偶数ｘ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝。
といふ「命題」は、
② 偶数は「１つ」である。
といふ「命題」に、「他ならない」。
ｃｆ.
素数２は、唯一の偶数の素数であり、これを「偶素数」と呼ぶ。
即ち、２以外の偶数は、２で割り切れるので、合成数である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１　（１）～∀ｘ｛偶数ｘ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝　Ａ
１　（２）∃ｘ～｛偶数ｘ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝　１量化子の関係
　３（３）　　～｛偶数ａ→∃ｙ（偶数ｙ＆ａ≠ｙ）｝　Ａ
　３（４）　～｛～偶数ａ∨∃ｙ（偶数ｙ＆ａ≠ｙ）｝　３含意の定義
　３（５）　　　偶数ａ＆～∃ｙ（偶数ｙ＆ａ≠ｙ）　　４ド・モルガンの法則
　３（６）　　　偶数ａ　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　３（７）　　　　　　　～∃ｙ（偶数ｙ＆ａ≠ｙ）　　５＆Ｅ
　３（８）　　　　　　　∀ｙ～（偶数ｙ＆ａ≠ｙ）　　７量化子の関係
　３（９）　　　　　　　　　～（偶数ｂ＆ａ≠ｂ）　　８ＵＥ
　３（ア）　　　　　　　　　　～偶数ｂ∨ａ＝ｂ　　　９ド・モルガンの法則
　３（イ）　　　　　　　　　　　偶数ｂ→ａ＝ｂ　　　ア含意の定義
　３（ウ）　　　　　　　　∀ｙ（偶数ｙ→ａ＝ｙ）　　イＵＩ
　３（エ）　　　　偶数ａ＆∀ｙ（偶数ｙ→ａ＝ｙ）　　６ウ＆Ｉ
　３（オ）　∃ｘ｛偶数ｘ＆∀ｙ（偶数ｙ→ｘ＝ｙ）｝　エＥＩ
１　（カ）　∃ｘ｛偶数ｘ＆∀ｙ（偶数ｙ→ｘ＝ｙ）｝　１３オＥＥ
（ⅲ）
１　（１）　∃ｘ｛偶数ｘ＆∀ｙ（偶数ｙ→ｘ＝ｙ）｝　１３オＥＥ
　２（２）　　　　偶数ａ＆∀ｙ（偶数ｙ→ａ＝ｙ）　　Ａ
　２（３）　　　　偶数ａ　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　　　　　∀ｙ（偶数ｙ→ａ＝ｙ）　　２＆Ｅ
　２（５）　　　　　　　　　　　偶数ｂ→ａ＝ｂ　　　４ＵＩ
　２（６）　　　　　　　　　　～偶数ｂ∨ａ＝ｂ　　　５含意の定義
　２（７）　　　　　　　　　～（偶数ｂ＆ａ≠ｂ）　　６ド・モルガンの法則
　２（８）　　　　　　　∀ｙ～（偶数ｙ＆ａ≠ｙ）　　７ＵＩ
　２（９）　　　　　　　～∃ｙ（偶数ｙ＆ａ≠ｙ）　　８量化子の関係
　２（ア）　　　偶数ａ＆～∃ｙ（偶数ｙ＆ａ≠ｙ）　　３９＆Ｉ
　２（イ）　～（～偶数ａ∨∃ｙ（偶数ｙ＆ａ≠ｙ）　　ア、ド・モルガンの法則
　２（ウ）　　～｛偶数ａ→∃ｙ（偶数ｙ＆ａ≠ｙ）｝　イ含意の定義
　２（エ）∃ｘ～｛偶数ｃ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝　ウＥＩ
１　（オ）∃ｘ～｛偶数ｘ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝　１２エＥＥ
１　（カ）～∀ｘ｛偶数ｘ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝　オ量化子の関係
従って、
（03）により、
（04）
① 偶数（の素数）は１つ（２）だけである。
② ～∀ｘ｛偶数ｘ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝
③   ∃ｘ｛偶数ｘ＆∀ｙ（偶数ｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
一般に、
① 性質Ｆを持つ対象は、１つしか無い。
② ～∀ｘ｛Ｆｘ→∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝
③   ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１　　（１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　　Ａ
　２　（２）　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　Ａ
　２　（３）　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　　　　３ＵＥ
　　５（５）　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　　　　　Ａ
　　５（６）　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　２５（７）　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　　　　４６ＭＰＰ
　２　（８）　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　　　　５７ＣＰ
　２　（９）　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　８ＵＩ
　２　（ア）　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　　　　９ＵＩ
　２　（イ）　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（ウ）∃ｘＦｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　イＥＩ
　２　（エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　アウ＆Ｉ
１　　（ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　１２エＥＥ
（ⅳ）
１　　（１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　Ａ
１　　（２）∃ｘＦｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　（３）　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　（４）　　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　１＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　４ＵＥ
１　　（６）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　５ＵＥ
　　７（７）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　Ａ
　３７（８）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　３７＆Ｉ
１３７（９）　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　６８ＭＰＰ
１３　（ア）　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　　　７９ＣＰ
１３　（イ）　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　アＵＩ
１３　（ウ）　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　３イ＆Ｉ
１３　（エ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　ウＥＩ
１　　（オ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　２３エＥＥ
従って、
（06）により、
（07）
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
④ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① 性質Ｆを持つ対象は、１つしか無い。
② ～∀ｘ｛Ｆｘ→∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
④ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、すなはち、
① 性質Ｆを持つ対象は、１つしか無い。
② いかなるｘであっても｛ｘが偶数であるならば、あるｙは（偶数であって、尚且つ、ｘとｙは、「同一」ではない）｝。といふことはない。
③ あるｘは｛Ｆであって、すべてのｙについて（ｙがＦであるならば、ｘとｙは「同一」である）｝。
④ あるｘはＦであって、すべてのｘとｙについて｛ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、 ｘとｙは「同一」である）｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
令和５年４月２４日、毛利太。