「象は鼻が長い（兎は耳が長い）」の「述語論理」（Ⅱ）。

（01）
１　　　（１）　　∀ｘ｛象ｘ→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　Ａ
　２　　（２）　　∀ｘ｛兎ｘ→　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　Ａ
１　　　（３）　　　　　象ａ→～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　（４）　　　　　兎ａ→　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　２ＵＥ
　　５　（５）　～∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　Ａ
　　５　（６）　∃ｘ～（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　５量化子の関係
　　　７（７）　　　～（象ａ→～兎ａ）　　　　　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　～（～象ａ∨～兎ａ）　　　　　　　　　　７含意の定義
　　　７（９）　　　　　象ａ＆　兎ａ　　　　　　　　　　　８ド・モルガンの法則
　　　７（ア）　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　　　７（イ）　　　　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
１　　７（ウ）　　　　　　　　～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　３アＭＰＰ
　２　７（エ）　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　４イＭＰＰ
１２　７（オ）　　　　　　　　～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　イウ＆I
１２５　（カ）　　　　　　　　～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　６７オＥＥ
１２　　（キ）～～∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　５カＲＡＡ
１２　　（ク）　　∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　キＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛象ｘ→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
（演繹推理は）前提を追加しても結論は不変でよい。結論は前提が含むものだけを導出するのであるから、
新前提を加えても、これから新結論を引き出す必要はないからである（岩波全書、論理学入門、１５６頁）。
然るに、
（04）
① ∀ｘ｛象ｘ→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛兎ｘ→　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
に対して、
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
② 耳ｚｘ
を「追加」すると、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
然るに、
（05）
１　　　　（１）　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　Ａ
　２　　　（２）　∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（３）　∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　（４）　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　　（５）　　　　兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　　６　（６）　　　　象ａ＆兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　（７）　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　（８）　　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　（９）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　４７ＭＰＰ
１　　６　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　９＆Ｅ
　２　６　（イ）　　　　　　　∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　５８ＭＰＰ
　　　　ウ（ウ）　　　　　　　　　　耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ウ（エ）　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　　　ウ（オ）　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　エＥＩ
　２　６　（カ）　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　イウオＥＥ
１２　６　（キ）　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　アカ＆Ｉ
１２３　　（ク）　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　３６キＥＥ
１２　　　（ケ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３クＲＡＡ
１２　　　（コ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ケ量化子の関係
１２　　　（サ）　　～（象ａ＆兎ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　コＵＥ
１２　　　（シ）　　～象ａ∨～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　サ、ド・モルガンの法則
１２　　　（ス）　　　象ａ→～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　シ含意の定義
１２　　　（セ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　スＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」、すなはち、
① すべてのｘについて｛もしそのｘが象であるならば（ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い）が、あるｚが（ｘの鼻以外であって、長い）といふことはない｝。然るに、
② すべてのｘについて｛もしそのｘが兎であるならば（ｙなるものが存在し、そのｙは耳であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い）が、あるｚは（ｘの鼻以外であって、長い）｝。従って、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「演繹推理」、すなはち、
① 象は鼻が長く、鼻以外は長くない。然るに、
② 兎の耳は鼻ではないが、長い。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は「妥当」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
といふ「命題」に「含まれる」、
① ∀ｘ｛象ｘ→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛兎ｘ→　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
といふ「命題」が、
③ ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）。
といふ「命題」と「矛盾」するため、
① ∀ｘ｛象ｘ→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛兎ｘ→　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
といふ「命題」が「真」である限り、
③ ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）。
が「偽」となり、その「結果」として、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「命題」が「真」になる。
従って、
（07）により、
（08）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
といふ「命題」から、
① ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
といふ「命題（関数）」を「取り除いた」場合は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」ではない。
然るに、
（09）
沢田充茂の『現代論理学入門』（一九六ニ年）には楽しい解説が載っています。
・・・・・・たとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」といえば・・・・・・たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている。常識（すなはち共通にもっている情報）でわかっているものはいちいち言明の中にいれないで、いわば暗黙の了解事項として、省略し、できるだけ短い記号の組み合せで、できるだけ多くの情報を伝えることが日常言語の合理性の一つである。・・・・・・
（山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、２１４頁）
従って、
（09）により、
（10）
「沢田先生」は、
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」を、
① すべてのｘについて｛もしそのｘが象であるならば（ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い）が、あるｚは（ｘの鼻以外であって、長い）といふことはない｝。
といふ「意味」に、すなはち、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
といふ「意味」ではなく、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
といふ「意味」に、「翻訳」してゐる。
従って、
（06）（10）により、
（11）
「沢田先生」の「誤訳」からすると、
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎の耳は鼻ではないが、長い。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は、「妥当」ではない。
令和５年４月１８日、毛利太。