（01）
練習問題
１ 証明を発見する練習の追加として、またつぎの節でその結果が必要となるので、つぎの連式を証明せよ。
１ As a further exercise in proof-discovery, and because we need the results in the next section, so prove the following sequence.
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→Ｑ
（ｂ）
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→Ｑ
（ｄ）
・・・・・・・・・・・・・・
（ｌ）
（E.j.レモン 著、竹尾治一郎・楢英 訳、1973年、１０５頁改と、原文）
然るに、
（02）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→Ｑ
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→Ｑ
といふ「連式」は、
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰならばＱである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰならばＱである。」
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」
といふことは、
（ａ）「Ｑであって、Ｐである。」
（ｃ）「Ｑでなくて、Ｐでない。」
といふことである。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→Ｑ
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→Ｑ
といふ「連式」、すなはち、
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰならばＱである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰならばＱである。」
が「証明」出来るのであれば、
（ａ） Ｑ＆ Ｐ├ Ｑ→Ｐ
（ｃ）～Ｑ＆～Ｐ├ Ｑ→Ｐ
といふ「連式」、すなはち、
（ａ）「Ｑであって、Ｐである。」故に、「ＱならばＰである。」
（ｃ）「Ｑでなくて、Ｐでない。」故に、「ＱならばＰである。」
が「証明」出来る。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
練習問題
１ 証明を発見する練習の追加として、またつぎの節でその結果が必要となるので、つぎの連式を証明せよ。
１ As a further exercise in proof-discovery, and because we need the results in the next section, so prove the following sequence.
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→Ｑ
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→Ｑ
といふ「問題」は、
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
といふ「連式」、すなはち、
（ａ）「Ｑであって、Ｐである。」故に、「ＰならばＱであり、ＱならばＰである。」
（ｃ）「Ｑでなくて、Ｐでない。」故に、「ＰならばＱであり、ＱならばＰである。」
といふ「連式」を「証明」せよ。
といふ「問題」に、他ならない。
然るに、
（06）
（ａ）Ｐ＆Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１ （２） Ｑ １＆Ｅ
１ （３） ～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ＆～Ｑ Ａ
５ （５） ～Ｐ Ａ
２ （６） Ｐ ４＆Ｅ
２５ （７） ～Ｐ＆Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８）～（Ｐ＆～Ｑ） ２７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
２ （ア） ～Ｑ ４＆Ｅ
２ ９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（Ｐ＆～Ｑ） ２イＲＡＡ
１ （エ）～（Ｐ＆～Ｑ） ３５８９ウ∨Ｅ
オ （オ） Ｐ Ａ
カ （カ） ～Ｑ Ａ
オカ （キ） Ｐ＆～Ｑ オカ＆Ｉ
１ オカ （ク）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ８キ
１ オ （ケ） ～～Ｑ カクＣＰ
１ オ （コ） Ｑ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ→ Ｑ オコＣＰ
１ （シ） Ｐ １＆Ｅ
１ （ス） ～Ｑ∨ Ｐ シ∨Ｉ
セ （セ） Ｑ＆～Ｐ Ａ
ソ （ソ） ～Ｑ Ａ
セ （タ） Ｑ セ＆Ｅ
セソ （チ） ～Ｑ＆Ｑ ソタ＆Ｉ
ソ （ツ）～（Ｑ＆～Ｐ） セチＲＡＡ
テ （テ） Ｐ Ａ
セ （ト） ～Ｐ セ＆Ｅ
セ テ （ナ） Ｐ＆～Ｐ テト＆Ｉ
テ （ニ）～（Ｑ＆～Ｐ） セナＲＡＡ
１ （ヌ）～（Ｑ＆～Ｐ） スソツテニ∨Ｅ
ネ （ネ） Ｑ Ａ
ノ（ノ） ～Ｐ Ａ
ネノ（ハ） Ｑ＆～Ｐ ネノ＆Ｉ
１ ネノ（ヒ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ヌハ＆Ｉ
１ ネ （フ） ～～Ｐ ノヒＲＡＡ
１ ネ （ヘ） Ｐ フＤＮ
１ （ホ） Ｑ→ Ｐ ネヘＣＰ
１ （マ） （Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） サホ＆Ｉ
（07）
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ １＆Ｅ
１ （３） ～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
４ （４） Ｐ＆～Ｑ Ａ
５ （５） ～Ｐ Ａ
４ （６） Ｐ ４＆Ｅ
４５ （７） ～Ｐ＆Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８）～（Ｐ＆～Ｑ） ４７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
４ （ア） ～Ｑ ４＆Ｅ
４ ９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（Ｐ＆～Ｑ） ４イＲＡＡ
１ （エ）～（Ｐ＆～Ｑ） ３５８９ウ∨Ｅ
オ （オ） Ｐ Ａ
カ （カ） ～Ｑ Ａ
オカ （キ） Ｐ＆～Ｑ オカ＆Ｉ
１ オカ （ク）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） エキ＆Ｉ
１ オ （ケ） ～～Ｑ カクＲＡＡ
１ オ （コ） Ｑ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ→ Ｑ オコＣＰ
１ （シ） ～Ｑ １＆Ｅ
１ （ス） ～Ｑ∨ Ｐ シ∨Ｉ
セ （セ） Ｑ＆～Ｐ Ａ
ソ （ソ） ～Ｑ Ａ
セ （タ） Ｑ セ＆Ｅ
セソ （チ） ～Ｑ＆Ｑ ソタ＆Ｉ
ソ （ツ）～（Ｑ＆～Ｐ） セチＲＡＡ
テ （テ） Ｐ Ａ
セ （ト） ～Ｐ セ＆Ｅ
セ テ （ナ） Ｐ＆～Ｐ テト＆Ｉ
テ （ニ）～（Ｑ＆～Ｐ） セナＲＡＡ
１ （ヌ）～（Ｑ＆～Ｐ） スソツテニ∨Ｅ
ネ （ネ） Ｑ Ａ
ノ（ノ） ～Ｐ Ａ
ネノ（ハ） Ｑ＆～Ｐ ネノ＆Ｉ
１ ネノ（ヒ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ヌハ＆Ｉ
１ ネ （フ） ～～Ｐ ノヒＲＡＡ
１ ネ （ヘ） Ｐ フＤＮ
１ （ホ） Ｑ→ Ｐ ネヘＣＰ
１ （マ） （Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） サホ＆Ｉ
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
といふ「連式」、すなはち、「日本語」でいふならば、
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰならばＱであり、ＱならばＰである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰならばＱであり、ＱならばＰである。」
といふ「連式」は、確かに、「妥当（Valid）」である。
然るに、
（09）
（ａ）「ＰならばＱであり、ＱならばＰである。」
（ｃ）「ＰならばＱであり、ＱならばＰである。」
といふことは、
（ａ）「ＰはＱに等しい。」
（ｃ）「ＰとＱは同じである。」
といふことに、他ならない。
従って、
（08）（09）により、
（10）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
といふ「連式」は、
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰはＱに等しい。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰとＱは同じである。」
といふ「意味」である。
然るに、
（11）
例へば、
（ａ）「日本人であって、学生である。」故に、「日本人は学生に、等しい。」
（ｂ）「日本人であって、学生である。」故に、「日本人である。」
（ｃ）「日本人でなくて、学生でない。」故に、「日本人と学生は、同じである。」
といふ「推論」に於いて、
（ａ）は、ヲカシイ。
（ｂ）は当然である。
（ｃ）は、ヲカシイ。
としか、言ひやうがない。
然るに、
（12）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
といふ「連式」は、「含意の定義」といふ「定理（公式）」を用ひれば、それぞれ、次にやうに、「証明」出来る。
（ａ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１（５） Ｐ １＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨ Ｐ ５∨Ｉ
１（７） Ｑ→ Ｐ ６含意の定義
１（８）（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） ４７＆Ｉ
（ｃ）
１（１）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１（５） ～Ｑ １＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨ Ｐ ５∨Ｉ
１（７） Ｑ→ Ｐ ６含意の定義
１（８）（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） ４７＆Ｉ
従って、
（06）（07）（12）により、
（13）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
といふ「連式」、すなはち、
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰはＱに等しい。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰとＱは同じである。」
といふ「連式」が、「妥当」であることは、「疑ふ余地」が無い。
（14）
練習問題
１ 証明を発見する練習の追加として、またつぎの節でその結果が必要となるので、つぎの連式を証明せよ。
１ As a further exercise in proof-discovery, and because we need the results in the next section, so prove the following sequence.
（E.j.レモン 著、竹尾治一郎・楢英 訳、1973年、１０５頁と原文）
でいふ、「次の節（the next section）」といふのは、「命題計算の完全性（The completeness of propositional calculus）」のことをいふ。
従って、
（15）
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰはＱに等しい。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰとＱは同じである。」
といふ「連式」が、「妥当」でることを、疑ふのであれば、結局は、「命題計算の完全性（The completeness of propositional calculus）」を疑ふことになる。
然るに、
（16）
とはいふものの、「普通」に考へれば、
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰはＱに等しい。」
（ｂ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「Ｐである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰとＱは同じである。」
に於いて、「正しい」のは、
（ｂ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「Ｐである。」
だけであって、
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰはＱに等しい。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰとＱは同じである。」
といふのは、どう考へても「ヲカシイ」。
然るに、
（17）
（ａ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１（５） Ｐ １＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨ Ｐ ５∨Ｉ
１（７） Ｑ→ Ｐ ６含意の定義
１（８）（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） ４７＆Ｉ
（ｂ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
（ｃ）
１（１）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１（５） ～Ｑ １＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨ Ｐ ５∨Ｉ
１（７） Ｑ→ Ｐ ６含意の定義
１（８）（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） ４７＆Ｉ
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
「普通」に考へれば、
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰはＱに等しい。」
（ｂ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「Ｐである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰとＱは同じである。」
に於いて、「正しい」のは、
（ｂ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「Ｐである。」
だけであるが、「命題計算」としては、「３つとも正しい」のであって、そのことが、私には、「とても、不思議である。」
（19）
分かりました。不思議でない（５月７日、１９時０７分）。
令和０２年０５月０７日、毛利太。
2020年5月7日木曜日
2020年5月6日水曜日
「命題計算」に於ける「代入」による「ド・モルガンの法則」の「拡張」。
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１）～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨ Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） １７＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６＆ＲＡＡ
１ （ア） ～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（ Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」は、「命題計算」としても、「正しい」。
然るに、
（02）により、
（03）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、例へば、
Ｑ＝～Ｑ＆Ｒ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～｛Ｐ＆ （～Ｑ＆Ｒ）｝
② ～Ｐ∨～（～Ｑ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１ （１）～Ｐ∨～（～Ｑ＆ Ｒ） Ａ
２ （２） ～（～Ｑ＆ Ｒ） Ａ
３ （３） ～（ Ｑ∨～Ｒ） Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
４ （５） Ｑ∨～Ｒ ４∨Ｉ
３４ （６） ～（ Ｑ∨～Ｒ）＆
（ Ｑ∨～Ｒ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～Ｑ ４６ＲＡＡ
８ （８） ～Ｒ Ａ
８ （９） Ｑ∨～Ｒ ８∨Ｉ
３ ８ （ア） ～（ Ｑ∨～Ｒ）＆
（ Ｑ∨～Ｒ） ３９＆Ｉ
３ （イ） ～～Ｒ ８アＲＡＡ
３ （ウ） Ｒ イＤＮ
３ （エ） ～Ｑ＆ Ｒ ７ウ＆Ｉ
２３ （カ） ～（～Ｑ＆ Ｒ）＆
（～Ｑ＆ Ｒ） ２エ＆Ｉ
２ （キ） ～～（ Ｑ∨～Ｒ） ３カＲＡＡ
２ （ク） （ Ｑ∨～Ｒ） キＤＮ
２ （ケ）～Ｐ∨ （ Ｑ∨～Ｒ） ２ク∨Ｉ
コ（コ）～Ｐ Ａ
コ（サ）～Ｐ∨ （ Ｑ∨～Ｒ） コ∨Ｉ
１ （シ）～Ｐ∨ （ Ｑ∨～Ｒ） １３ケコサ∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨（ Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆（～Ｑ＆ Ｒ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～｛Ｐ＆（～Ｑ＆ Ｒ）｝ ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （８） ～Ｑ＆ Ｒ ２＆Ｅ
９ （９） Ｑ Ａ
２ （ア） ～Ｑ ８＆Ｅ
２ ９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～｛Ｐ＆（～Ｑ＆ Ｒ）｝ ２イＲＡＡ
エ（エ） ～Ｒ Ａ
２ （オ） Ｒ ８＆Ｅ
２ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～｛Ｐ＆（～Ｑ＆ Ｒ）｝ ２カＲＡＡ
７ （ク）～｛Ｐ＆（～Ｑ＆ Ｒ）｝ ７９ウエキ∨Ｅ
１ （ケ）～｛Ｐ＆（～Ｑ＆ Ｒ）｝ １３６７ク∨Ｅ
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ～｛Ｐ＆ （～Ｑ＆Ｒ）｝
② ～Ｐ∨～（～Ｑ＆Ｒ）
③ ～Ｐ∨ （Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
「番号」を付け直すと、
① ～｛Ｐ＆（～Ｑ＆Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
「結合法則」により、
① ～（Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ）
② ～Ｐ∨ Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）により、
（08）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、例へば、
Ｑ＝～Ｑ∨Ｒ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ～｛Ｐ∨ （～Ｑ∨Ｒ）｝
④ ～Ｐ＆～（～Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（09）
（ⅳ）
１ （１）～Ｐ＆～（～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
１ （２）～Ｐ １＆Ｅ
１ （３） ～（～Ｑ∨ Ｒ） １＆Ｅ
４ （４） ～Ｑ Ａ
４ （５） ～Ｑ∨ Ｒ ４∨Ｉ
１４ （６） ～（～Ｑ∨ Ｒ）＆
（～Ｑ∨ Ｒ） ３５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｑ ７ＤＮ
９（９） Ｒ Ａ
９（ア） ～Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
１ ９（イ） ～（～Ｑ∨ Ｒ）＆
（～Ｑ∨ Ｒ） ３ア＆Ｉ
１ （ウ） ～Ｒ ９イＲＡＡ
１ （エ） Ｑ＆～Ｒ ８ウ＆Ｉ
１ （オ）～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ ２エ＆Ｉ
（ⅴ）
１ （１）～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ （２）～Ｐ １＆Ｅ
１ （３） Ｑ＆～Ｒ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （５） Ｑ ３＆Ｅ
６ （６） ～Ｑ Ａ
１ ６ （７） Ｑ＆～Ｑ ５６＆Ｉ
６ （８） ～（Ｑ＆～Ｒ） ３７ＲＡＡ
９（９） Ｒ Ａ
１ （ア） ～Ｒ ３＆Ｅ
１ ９（イ） Ｒ＆～Ｒ ９ア＆Ｉ
９（ウ） ～（Ｑ＆～Ｒ） ３イＲＡＡ
４ （エ） ～（Ｑ＆～Ｒ） ４６８９ウ∨Ｅ
１４ （オ） （Ｑ＆～Ｒ）＆
～（Ｑ＆～Ｒ） ３エ＆Ｉ
１ （カ） ～（～Ｑ∨ Ｒ） ４オＲＡＡ
１ （キ）～Ｐ＆～（～Ｑ∨ Ｒ） ２カ＆Ｉ
従って、
（09）により、
（10）
④ ～Ｐ＆～（～Ｑ∨ Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（08）（10）により、
（11）
③ ～｛Ｐ∨ （～Ｑ∨ Ｒ）｝
④ ～Ｐ＆～（～Ｑ∨ Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（11）により、
（12）
「番号」を付け直すと、
③ ～｛Ｐ∨（～Ｑ∨ Ｒ）｝
④ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（12）により、
（13）
「結合法則」により、
③ ～（Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
④ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）（13）により、
（14）
① ～（Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ）
② ～Ｐ∨ Ｑ∨～Ｒ）
③ ～（Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
④ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（14）により、
（15）
① ～（Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ）
② ～Ｐ∨ Ｑ∨～Ｒ）
③ ～（Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
④ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～（Ｐ＆～～Ｑ＆ Ｒ）
② ～Ｐ∨ ～Ｑ∨～Ｒ）
③ ～（Ｐ∨～～Ｑ∨ Ｒ）
④ ～Ｐ＆ ～Ｑ＆～Ｒ
従って、
（14）（15）により、
（16）
「二重否定（ＤＮ）」により、
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
② ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（02）（16）により、
（17）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
② ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（18）
「以前」に、「別の計算」で「証明」した通り、
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ）
② ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ＆～Ｓ）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ＆ Ｓ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ＆～Ｓ）
であっても、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（19）
ここではいろいろな演算（ド・モルガンの法則など）を説明するのに、もっぱら二つの集合についてやったが、これらの性質はすべて任意の有限個の集合について成立するということである。
（川尻信夫、「集合」の話、1972年、６１頁改）
従って、
（18）（19）により、
（20）
「（命題計算の）ド・モルガンの法則」と、「（集合論の）ド・モルガンの法則」は、「（実質的に）同じ」である。
然るに、
（21）
クラスの理論は命題計算よりも難しいものではなく、また以下に見られる通り、それに密接な類似性をもっている。
（E.j.レモン 著、竹尾治一郎・楢英 訳、1973年、２５９頁）
（22）
クラス（集合論)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類（るい、英: class）は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、ツエルメロ＝フレンケル集合論（ZF）ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論（たとえば、ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論（NBG)）では、「クラス」の概念は公理化されている（NBG の例だと、別の量（entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される）。
従って、
（20）（21）（22）により、
（23）
「（命題計算の）ド・モルガンの法則」と、「（クラス理論の）ド・モルガンの法則」は、「（実質的に）同じ」である。
といふことに、なりそうであるが、私には、「集合」と「クラス」が「どう違ふ」のかが、分からない。
令和０２年０５月０６日、毛利太。
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１）～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨ Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） １７＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６＆ＲＡＡ
１ （ア） ～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（ Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」は、「命題計算」としても、「正しい」。
然るに、
（02）により、
（03）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、例へば、
Ｑ＝～Ｑ＆Ｒ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～｛Ｐ＆ （～Ｑ＆Ｒ）｝
② ～Ｐ∨～（～Ｑ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１ （１）～Ｐ∨～（～Ｑ＆ Ｒ） Ａ
２ （２） ～（～Ｑ＆ Ｒ） Ａ
３ （３） ～（ Ｑ∨～Ｒ） Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
４ （５） Ｑ∨～Ｒ ４∨Ｉ
３４ （６） ～（ Ｑ∨～Ｒ）＆
（ Ｑ∨～Ｒ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～Ｑ ４６ＲＡＡ
８ （８） ～Ｒ Ａ
８ （９） Ｑ∨～Ｒ ８∨Ｉ
３ ８ （ア） ～（ Ｑ∨～Ｒ）＆
（ Ｑ∨～Ｒ） ３９＆Ｉ
３ （イ） ～～Ｒ ８アＲＡＡ
３ （ウ） Ｒ イＤＮ
３ （エ） ～Ｑ＆ Ｒ ７ウ＆Ｉ
２３ （カ） ～（～Ｑ＆ Ｒ）＆
（～Ｑ＆ Ｒ） ２エ＆Ｉ
２ （キ） ～～（ Ｑ∨～Ｒ） ３カＲＡＡ
２ （ク） （ Ｑ∨～Ｒ） キＤＮ
２ （ケ）～Ｐ∨ （ Ｑ∨～Ｒ） ２ク∨Ｉ
コ（コ）～Ｐ Ａ
コ（サ）～Ｐ∨ （ Ｑ∨～Ｒ） コ∨Ｉ
１ （シ）～Ｐ∨ （ Ｑ∨～Ｒ） １３ケコサ∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨（ Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆（～Ｑ＆ Ｒ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～｛Ｐ＆（～Ｑ＆ Ｒ）｝ ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （８） ～Ｑ＆ Ｒ ２＆Ｅ
９ （９） Ｑ Ａ
２ （ア） ～Ｑ ８＆Ｅ
２ ９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～｛Ｐ＆（～Ｑ＆ Ｒ）｝ ２イＲＡＡ
エ（エ） ～Ｒ Ａ
２ （オ） Ｒ ８＆Ｅ
２ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～｛Ｐ＆（～Ｑ＆ Ｒ）｝ ２カＲＡＡ
７ （ク）～｛Ｐ＆（～Ｑ＆ Ｒ）｝ ７９ウエキ∨Ｅ
１ （ケ）～｛Ｐ＆（～Ｑ＆ Ｒ）｝ １３６７ク∨Ｅ
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ～｛Ｐ＆ （～Ｑ＆Ｒ）｝
② ～Ｐ∨～（～Ｑ＆Ｒ）
③ ～Ｐ∨ （Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
「番号」を付け直すと、
① ～｛Ｐ＆（～Ｑ＆Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
「結合法則」により、
① ～（Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ）
② ～Ｐ∨ Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）により、
（08）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、例へば、
Ｑ＝～Ｑ∨Ｒ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ～｛Ｐ∨ （～Ｑ∨Ｒ）｝
④ ～Ｐ＆～（～Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（09）
（ⅳ）
１ （１）～Ｐ＆～（～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
１ （２）～Ｐ １＆Ｅ
１ （３） ～（～Ｑ∨ Ｒ） １＆Ｅ
４ （４） ～Ｑ Ａ
４ （５） ～Ｑ∨ Ｒ ４∨Ｉ
１４ （６） ～（～Ｑ∨ Ｒ）＆
（～Ｑ∨ Ｒ） ３５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｑ ７ＤＮ
９（９） Ｒ Ａ
９（ア） ～Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
１ ９（イ） ～（～Ｑ∨ Ｒ）＆
（～Ｑ∨ Ｒ） ３ア＆Ｉ
１ （ウ） ～Ｒ ９イＲＡＡ
１ （エ） Ｑ＆～Ｒ ８ウ＆Ｉ
１ （オ）～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ ２エ＆Ｉ
（ⅴ）
１ （１）～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ （２）～Ｐ １＆Ｅ
１ （３） Ｑ＆～Ｒ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （５） Ｑ ３＆Ｅ
６ （６） ～Ｑ Ａ
１ ６ （７） Ｑ＆～Ｑ ５６＆Ｉ
６ （８） ～（Ｑ＆～Ｒ） ３７ＲＡＡ
９（９） Ｒ Ａ
１ （ア） ～Ｒ ３＆Ｅ
１ ９（イ） Ｒ＆～Ｒ ９ア＆Ｉ
９（ウ） ～（Ｑ＆～Ｒ） ３イＲＡＡ
４ （エ） ～（Ｑ＆～Ｒ） ４６８９ウ∨Ｅ
１４ （オ） （Ｑ＆～Ｒ）＆
～（Ｑ＆～Ｒ） ３エ＆Ｉ
１ （カ） ～（～Ｑ∨ Ｒ） ４オＲＡＡ
１ （キ）～Ｐ＆～（～Ｑ∨ Ｒ） ２カ＆Ｉ
従って、
（09）により、
（10）
④ ～Ｐ＆～（～Ｑ∨ Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（08）（10）により、
（11）
③ ～｛Ｐ∨ （～Ｑ∨ Ｒ）｝
④ ～Ｐ＆～（～Ｑ∨ Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（11）により、
（12）
「番号」を付け直すと、
③ ～｛Ｐ∨（～Ｑ∨ Ｒ）｝
④ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（12）により、
（13）
「結合法則」により、
③ ～（Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
④ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）（13）により、
（14）
① ～（Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ）
② ～Ｐ∨ Ｑ∨～Ｒ）
③ ～（Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
④ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（14）により、
（15）
① ～（Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ）
② ～Ｐ∨ Ｑ∨～Ｒ）
③ ～（Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
④ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～（Ｐ＆～～Ｑ＆ Ｒ）
② ～Ｐ∨ ～Ｑ∨～Ｒ）
③ ～（Ｐ∨～～Ｑ∨ Ｒ）
④ ～Ｐ＆ ～Ｑ＆～Ｒ
従って、
（14）（15）により、
（16）
「二重否定（ＤＮ）」により、
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
② ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（02）（16）により、
（17）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
② ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（18）
「以前」に、「別の計算」で「証明」した通り、
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ）
② ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ＆～Ｓ）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ＆ Ｓ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ＆～Ｓ）
であっても、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（19）
ここではいろいろな演算（ド・モルガンの法則など）を説明するのに、もっぱら二つの集合についてやったが、これらの性質はすべて任意の有限個の集合について成立するということである。
（川尻信夫、「集合」の話、1972年、６１頁改）
従って、
（18）（19）により、
（20）
「（命題計算の）ド・モルガンの法則」と、「（集合論の）ド・モルガンの法則」は、「（実質的に）同じ」である。
然るに、
（21）
クラスの理論は命題計算よりも難しいものではなく、また以下に見られる通り、それに密接な類似性をもっている。
（E.j.レモン 著、竹尾治一郎・楢英 訳、1973年、２５９頁）
（22）
クラス（集合論)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
ナビゲーションに移動検索に移動
集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類（るい、英: class）は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、ツエルメロ＝フレンケル集合論（ZF）ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論（たとえば、ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論（NBG)）では、「クラス」の概念は公理化されている（NBG の例だと、別の量（entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される）。
従って、
（20）（21）（22）により、
（23）
「（命題計算の）ド・モルガンの法則」と、「（クラス理論の）ド・モルガンの法則」は、「（実質的に）同じ」である。
といふことに、なりそうであるが、私には、「集合」と「クラス」が「どう違ふ」のかが、分からない。
令和０２年０５月０６日、毛利太。
2020年5月5日火曜日
「吸収法則」は「当然」である。
（01）
吸収法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
2つの二項演算について閉じている集合があるとする。これらの演算に交換法則と結合法則が成り立ち、吸収法則も成り立つ場合、これらを抽象代数学的には束と呼ぶ。また、2つの演算子を「交わり」と「結び」と呼ぶ。交換法則と結合法則は、一般的な代数的構造でも成り立つことが多いので（例えば、実数の加算と乗算など）、吸収法則が束を特徴付けていると言える。ブール代数やハイティング代数は束の一種なので、これらも吸収法則に従う。
古典論理学がブール代数のモデルであるように、直観論理とハイティング代数には同様の関係がある。そのため、それぞれ論理和と論理積に対応する演算 ∨と∧ に吸収法則が成り立つ。
ａ∨（ａ∧ｂ）＝ａ∧（ａ∨ｂ）＝ａ
ここで、＝は論理式における同値の意味である。
吸収法則は、適切さの論理、線形論理、部分構造論理では成り立たない。
従って、
（01）により、
（02）
「記号」を変へると、
Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）＝Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）＝Ｐ
ここで、＝ は論理式における同値の意味である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１）Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２）Ｐ Ａ
３（３） Ｐ＆Ｑ Ａ
３（４） Ｐ ３＆Ｉ
１ （５）Ｐ １２２３４∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）Ｐ Ａ
１ （２）Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ） １∨Ｉ
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）
② Ｐ
に於いて、
①＝② である。
（05）
（ⅲ）
１（１）Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ） Ａ
１（２）Ｐ １＆Ｅ
（ⅳ）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（３）Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ） １２＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
③ Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）
④ Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）（06）により、
（07）
① Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）
② Ｐ
③ Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）
④ Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
「番号」を付け直すと、
① Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）
② Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）
③ Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）により、
（09）
「記号」を変へると、
① ａ∨（ａ∧ｂ）
② ａ∧（ａ∨ｂ）
③ ａ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
① ａまたは（ａであってｂ）
② ａであって（ａまたはｂ）
③ ａ
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（11）
① 日本人または（日本人の男性）
② 日本人であって（日本人または男性）
といふのは、要するに、
③ 日本人（日本人の男性と女性）
に、他ならない。
従って、
（11）により、
（12）
① ａ∨（ａ∧ｂ）
② ａ∧（ａ∨ｂ）
③ ａ
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふこと、すなはち、
① ａまたは（ａであってｂ）
② ａであって（ａまたはｂ）
③ ａ
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことは、「当然」である。
令和０２年０５月０５日、毛利太。
吸収法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
2つの二項演算について閉じている集合があるとする。これらの演算に交換法則と結合法則が成り立ち、吸収法則も成り立つ場合、これらを抽象代数学的には束と呼ぶ。また、2つの演算子を「交わり」と「結び」と呼ぶ。交換法則と結合法則は、一般的な代数的構造でも成り立つことが多いので（例えば、実数の加算と乗算など）、吸収法則が束を特徴付けていると言える。ブール代数やハイティング代数は束の一種なので、これらも吸収法則に従う。
古典論理学がブール代数のモデルであるように、直観論理とハイティング代数には同様の関係がある。そのため、それぞれ論理和と論理積に対応する演算 ∨と∧ に吸収法則が成り立つ。
ａ∨（ａ∧ｂ）＝ａ∧（ａ∨ｂ）＝ａ
ここで、＝は論理式における同値の意味である。
吸収法則は、適切さの論理、線形論理、部分構造論理では成り立たない。
従って、
（01）により、
（02）
「記号」を変へると、
Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）＝Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）＝Ｐ
ここで、＝ は論理式における同値の意味である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１）Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２）Ｐ Ａ
３（３） Ｐ＆Ｑ Ａ
３（４） Ｐ ３＆Ｉ
１ （５）Ｐ １２２３４∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）Ｐ Ａ
１ （２）Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ） １∨Ｉ
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）
② Ｐ
に於いて、
①＝② である。
（05）
（ⅲ）
１（１）Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ） Ａ
１（２）Ｐ １＆Ｅ
（ⅳ）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（３）Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ） １２＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
③ Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）
④ Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）（06）により、
（07）
① Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）
② Ｐ
③ Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）
④ Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
「番号」を付け直すと、
① Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）
② Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）
③ Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）により、
（09）
「記号」を変へると、
① ａ∨（ａ∧ｂ）
② ａ∧（ａ∨ｂ）
③ ａ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
① ａまたは（ａであってｂ）
② ａであって（ａまたはｂ）
③ ａ
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（11）
① 日本人または（日本人の男性）
② 日本人であって（日本人または男性）
といふのは、要するに、
③ 日本人（日本人の男性と女性）
に、他ならない。
従って、
（11）により、
（12）
① ａ∨（ａ∧ｂ）
② ａ∧（ａ∨ｂ）
③ ａ
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふこと、すなはち、
① ａまたは（ａであってｂ）
② ａであって（ａまたはｂ）
③ ａ
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことは、「当然」である。
令和０２年０５月０５日、毛利太。
「ド・モルガンの法則」の「（命題計算による）証明」の「説明」。
（01）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
といふ「式」は、
①（Ｐであって、尚且つ、Ｑである。）といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（02）
② ～Ｐ∨～Ｑ
といふ「式」は、
② Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
①（Ｐであって、尚且つ、Ｑである。）といふことはない。
② Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である。
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、① である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② である。
（05）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
といふ「式」は、
③（Ｐであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。）といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（06）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
といふ「式」は、
④ Ｐではないし、Ｑでもない。
といふ「意味」である。
然るに、
（07）
③（Ｐであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。）といふことはない。
④ Ｐではないし、Ｑでもない。
に於いて、
③ ならば、④ であり、
④ ならば、③ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）（08）により、
（09）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。ものの、
これらの「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
①（Ｐであって、尚且つ、Ｑである。）といふことはない。
② Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である。
③（Ｐであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。）といふことはない。
④ Ｐではないし、Ｑでもない。
に於いて、すなはち、
①（Ｑであって、尚且つ、Ｐである。）といふことはない。
② Ｑでないか、または、Ｐでないか、または、その両方である。
③（Ｑであるか、または、Ｐであるか、または、その両方である。）といふことはない。
④ Ｑではないし、Ｐでもない。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふことが、「理解」出来るのであれば、その人は既に、「ド・モルガンの法則」を知ってゐる。
といふ、ことになる。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふ「ド・モルガンの法則」は、「当り前」のことを、述べてゐるに、過ぎない。
のであって、そのため、わざわざ、
のやうな「ベン図」を用ひて、「説明」する「必要」は無い。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１）～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨ Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） １７＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６＆ＲＡＡ
１ （ア） ～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（ Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（12）により、
（13）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」は、「命題計算」としても、「正しい」。
然るに、
（14）
（12）で示した、例へば、
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
といふ「計算」を「説明」すると、
（ａ）
１ （１） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
といふ「２つの仮定」は、「矛盾」してゐるため、その「矛盾」を示すことが出来れば、「背理法（ＲＡＡ）」により、
（１） ～（Ｐ＆ Ｑ）
（２） ～（～Ｐ∨～Ｑ）
といふ「２つの仮定」の、「どちらか一方」を、「否定」することが出来る。
（ｂ）
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
といふ「２つの仮定」は、「矛盾」してゐるため、その「矛盾」を示すことが出来れば、「背理法（ＲＡＡ）」により、
（２） ～（～Ｐ∨～Ｑ）
（３） ～Ｐ
といふ「２つの仮定」の、例へば、
（３） ～Ｐ
を「否定」することが出来る。
（ｃ）
実際に、
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
といふ「矛盾」が示せたため、「背理法（ＲＡＡ）」により、
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
となって、次に、「二重否定（ＤＮ）」により、
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
となる。
（ｄ）
同様にして、
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
を得る。
（ｅ）
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
から、
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
を得る。
（ｅ）
１ （１） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
から、
１２ （オ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
といふ「矛盾」を得ることが出来た。
従って、
（ａ）（ｅ）により、
（ｆ）
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
を「否定」して、
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
となって、「二重否定（ＤＮ）」により、
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
となる。
従って、
（ａ）（ｆ）により、
（ｇ）
１ （１） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
から、
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
を得ることになる。
従って、
（14）（ａ）により、
（15）
１２ （オ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
といふ「計算」の他に、
１２ （オ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
２ （カ） ～～（Ｐ＆ Ｑ） １オＲＡＡ
２ （キ） Ｐ＆ Ｑ カＤＮ
といふ「計算」も、「可能」である。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
２ （カ） ～～（Ｐ＆ Ｑ） １オＲＡＡ
２ （キ） Ｐ＆ Ｑ カＤＮ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ ４ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｅ
４ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） Ｑ １＆Ｅ
８（８） ～Ｑ Ａ
１ ８（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（～Ｐ∨～Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（16）により、
（17）
① Ｐ＆ Ｑ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、すなはち、
① Ｐであって、尚且つ、Ｑである。
②（Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
令和０２年０５月０５日、毛利太。
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
といふ「式」は、
①（Ｐであって、尚且つ、Ｑである。）といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（02）
② ～Ｐ∨～Ｑ
といふ「式」は、
② Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
①（Ｐであって、尚且つ、Ｑである。）といふことはない。
② Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である。
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、① である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② である。
（05）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
といふ「式」は、
③（Ｐであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。）といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（06）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
といふ「式」は、
④ Ｐではないし、Ｑでもない。
といふ「意味」である。
然るに、
（07）
③（Ｐであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。）といふことはない。
④ Ｐではないし、Ｑでもない。
に於いて、
③ ならば、④ であり、
④ ならば、③ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）（08）により、
（09）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。ものの、
これらの「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
①（Ｐであって、尚且つ、Ｑである。）といふことはない。
② Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である。
③（Ｐであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。）といふことはない。
④ Ｐではないし、Ｑでもない。
に於いて、すなはち、
①（Ｑであって、尚且つ、Ｐである。）といふことはない。
② Ｑでないか、または、Ｐでないか、または、その両方である。
③（Ｑであるか、または、Ｐであるか、または、その両方である。）といふことはない。
④ Ｑではないし、Ｐでもない。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふことが、「理解」出来るのであれば、その人は既に、「ド・モルガンの法則」を知ってゐる。
といふ、ことになる。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふ「ド・モルガンの法則」は、「当り前」のことを、述べてゐるに、過ぎない。
のであって、そのため、わざわざ、
のやうな「ベン図」を用ひて、「説明」する「必要」は無い。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１）～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨ Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） １７＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６＆ＲＡＡ
１ （ア） ～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（ Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（12）により、
（13）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」は、「命題計算」としても、「正しい」。
然るに、
（14）
（12）で示した、例へば、
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
といふ「計算」を「説明」すると、
（ａ）
１ （１） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
といふ「２つの仮定」は、「矛盾」してゐるため、その「矛盾」を示すことが出来れば、「背理法（ＲＡＡ）」により、
（１） ～（Ｐ＆ Ｑ）
（２） ～（～Ｐ∨～Ｑ）
といふ「２つの仮定」の、「どちらか一方」を、「否定」することが出来る。
（ｂ）
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
といふ「２つの仮定」は、「矛盾」してゐるため、その「矛盾」を示すことが出来れば、「背理法（ＲＡＡ）」により、
（２） ～（～Ｐ∨～Ｑ）
（３） ～Ｐ
といふ「２つの仮定」の、例へば、
（３） ～Ｐ
を「否定」することが出来る。
（ｃ）
実際に、
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
といふ「矛盾」が示せたため、「背理法（ＲＡＡ）」により、
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
となって、次に、「二重否定（ＤＮ）」により、
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
となる。
（ｄ）
同様にして、
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
を得る。
（ｅ）
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
から、
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
を得る。
（ｅ）
１ （１） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
から、
１２ （オ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
といふ「矛盾」を得ることが出来た。
従って、
（ａ）（ｅ）により、
（ｆ）
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
を「否定」して、
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
となって、「二重否定（ＤＮ）」により、
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
となる。
従って、
（ａ）（ｆ）により、
（ｇ）
１ （１） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
から、
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
を得ることになる。
従って、
（14）（ａ）により、
（15）
１２ （オ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
といふ「計算」の他に、
１２ （オ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
２ （カ） ～～（Ｐ＆ Ｑ） １オＲＡＡ
２ （キ） Ｐ＆ Ｑ カＤＮ
といふ「計算」も、「可能」である。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
２ （カ） ～～（Ｐ＆ Ｑ） １オＲＡＡ
２ （キ） Ｐ＆ Ｑ カＤＮ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ ４ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｅ
４ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） Ｑ １＆Ｅ
８（８） ～Ｑ Ａ
１ ８（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（～Ｐ∨～Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（16）により、
（17）
① Ｐ＆ Ｑ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、すなはち、
① Ｐであって、尚且つ、Ｑである。
②（Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
令和０２年０５月０５日、毛利太。
2020年5月4日月曜日
「命題計算」による「ド・モルガンの法則」の「拡張」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ Ａ
２ （２） （Ｐ＆ Ｑ） Ａ（５を目指す）
２ （３） （Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ ２∨Ｉ
１２ （４） ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝＆
｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ １３＆Ｉ
１ （５） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２４ＲＡＡ
６ （６） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ（クを目指す）
７ （７） ～Ｐ Ａ
７ （８） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
６７ （９） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ６８＆Ｉ
６ （ア） ～～Ｐ ７９ＲＡＡ
６ （イ） Ｐ アＤＮ
ウ （ウ） ～Ｑ Ａ
ウ （エ） ～Ｐ∨～Ｑ ウ∨Ｉ
６ ウ （オ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ６エ＆Ｉ
６ （カ） ～～Ｑ ６オＲＡＡ
６ （キ） Ｑ カＤＮ
６ （ク） Ｐ＆ Ｑ イキ＆Ｉ
１ ６ （ケ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） ５ク＆Ｉ
１ （コ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ６ケＲＡＡ
１ （サ） （～Ｐ∨～Ｑ） コＤＮ（半分ゲット）
シ（シ） Ｒ Ａ
シ（ス） （Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ シ∨Ｉ
１ シ（セ） ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝＆
｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ １シ＆Ｉ
１ （ソ） ～Ｒ シセＲＡＡ（残りもゲット）
１ （タ） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ サソ＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ Ａ
２ （２） （Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ Ａ（ＲＡＡで証明する）
１ （３） ～Ｐ∨～Ｑ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ＆ Ｑ Ａ（２の選言項、左）
５ （５） ～Ｐ Ａ（３の選言項、左）
４ （６） Ｐ ４＆Ｅ
４５ （７） ～Ｐ＆Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８） ～（Ｐ＆ Ｑ） ４７ＲＡＡ
９ （９） ～Ｑ Ａ（３の選言項、右）
４ （ア） Ｑ ４＆Ｅ
４ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ４イＲＡＡ
１ （エ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ３５８９ウ∨Ｅ
１ ４ （オ） （Ｐ＆ Ｑ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ） ４エ＆Ｉ
４ （カ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ １オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｒ １＆Ｅ
ク（ク） Ｒ Ａ（２の選言項、右）
１ ク（ケ） ～Ｒ＆Ｒ キク＆Ｉ
ク（コ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ １ケＲＡＡ
２ （サ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ ２４カクコ∨Ｅ
１２ （シ） ｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝＆
～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ １サ＆Ｉ
１ （ス）～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ ２４ＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
① ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
② （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１ （１） ～｛Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
２ （２） ～｛～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ（６を目指す）
３ （４） ～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） ３∨Ｉ
２３ （５） ～｛～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ）｝＆
｛～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ）｝ ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） ～（Ｑ∨ Ｒ） Ａ（イを目指す）
８ （９） ～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） ８∨Ｉ
２ ８ （ア） ～｛～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ）｝＆
｛～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ）｝ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～（Ｑ∨ Ｒ） ８アＤＮ
２ （ウ） （Ｑ∨ Ｒ） イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ） ７ウ＆Ｉ（１の否定をゲット）
１２ （オ） ～｛Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ）｝＆
｛Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ）｝ １エ＆Ｉ
１ （カ）～～｛～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ）｝ ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） カＤＮ（２の否定をゲット）
ク （ク） ～Ｐ Ａ（キの選言項、左）
ク （ケ） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ク∨Ｉ
コ （コ） ～（Ｑ∨ Ｒ） Ａ（キの選言項。右）
サ （サ） Ｑ Ａ（普通に、ド・モルガンを証明）
サ （シ） Ｑ∨ Ｒ サ∨Ｉ
コサ （ス） ～（Ｑ∨ Ｒ）＆
（Ｑ∨ Ｒ） コシ＆Ｉ
コ （セ） ～Ｑ サスＲＡＡ
ソ（ソ） Ｒ Ａ
ソ（タ） Ｑ∨ Ｒ ソ∨Ｉ
コ ソ（チ） ～（Ｑ∨ Ｒ）＆
（Ｑ∨ Ｒ） コタ＆Ｉ
コ （ツ） ～Ｒ ソチＲＡＡ
コ （テ） ～Ｑ＆～Ｒ セツ＆Ｉ（ド・モルガンを証明した）
コ （ト） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） テ∨Ｉ
１ （ナ） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） キクケコト∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ（ＲＡＡで証明する）
３ （３） ～Ｐ Ａ（１の選言項、左）
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ２５ＲＡＡ
７ （７） ～Ｑ＆～Ｒ Ａ（１の選言項、右）
２ （８） Ｑ∨ Ｒ ２＆Ｅ
９ （９） Ｑ Ａ（８の選言項、左）
７ （ア） ～Ｑ ７＆Ｅ
７９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ７イＲＡＡ
エ（エ） Ｒ Ａ（８の選言項、右）
７ （オ） ～Ｒ ７＆Ｅ
７ エ（カ） Ｒ＆～Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ７カＲＡＡ
２ （ク） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ ７ （ケ） （～Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｑ＆～Ｒ） ７ク＆Ｉ
７ （コ）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ２ケＲＡＡ
１ （サ）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １３６７コ∨Ｅ
１２ （ス） ｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝＆
～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ２サ＆Ｉ
１ （セ）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ２スＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
③ ～｛Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ）｝
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
② （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
③ ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（06）
②（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いては、
②（～Ｐ∨～Ｑ）
④ （～Ｑ＆～Ｒ）
といふ風に、「括弧の位置」が「同じ」ではない。
従って、
（06）により、
（07）
②（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
②＝④ ではない。
然るに、
（08）
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
の場合は、
④ ～偽∨（～Ｑ＆～Ｒ）
であれば、それだけで、「真」であるが、
②（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
の場合は、
②（～偽∨～Ｑ）＆～偽
ならば、「真」であるが、
②（～偽∨～Ｑ）＆～真
ならば、「偽」である。
従って、
（05）～（08）により、
（09）
① ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
② （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
③ ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるが、
①＝②＝③＝④ ではない。
然るに、
（10）
① ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
② （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
③ ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
から、「丸括弧」を除くと、
① ～｛Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
② ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
③ ～｛Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
④ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
であるため、「区別」が、付かない。
従って、
（11）
① ～｛Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
② ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
③ ～｛Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
④ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、いづれにせよ、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（11）により、
（12）
① ～｛Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
② ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（13）
「二重否定（ＤＮ）」により、
② ～～Ｑ＝Ｑ
である。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① ～｛Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
② ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～｛Ｐ＆～Ｑ∨ Ｒ｝
② ～Ｐ∨ Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（14）により、
（15）
例へば、
① ｛Ｐ＆～Ｑ∨ Ｒ｝を「否定」すると、
② ～Ｐ∨ Ｑ＆～Ｒ といふ風に、
「肯定」は「否定」に、
「否定」は「肯定」に、
「連言」は「選言」に、
「選言」は「連言」に、「交替」する。
従って、
（05）（15）により、
（16）
「論理式の全体」を「否定」すると、
「肯定」は「否定」に、
「否定」は「肯定」に、
「連言」は「選言」に、
「選言」は「連言」に、「交替」する。
といふ「法則」を、「ド・モルガンの法則」といふのであれば、
① ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
② （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
③ ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於ける、
①＝②
③＝④
といふ「等式」は、「ド・モルガンの法則」である。
令和０２年０５月０４日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ Ａ
２ （２） （Ｐ＆ Ｑ） Ａ（５を目指す）
２ （３） （Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ ２∨Ｉ
１２ （４） ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝＆
｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ １３＆Ｉ
１ （５） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２４ＲＡＡ
６ （６） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ（クを目指す）
７ （７） ～Ｐ Ａ
７ （８） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
６７ （９） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ６８＆Ｉ
６ （ア） ～～Ｐ ７９ＲＡＡ
６ （イ） Ｐ アＤＮ
ウ （ウ） ～Ｑ Ａ
ウ （エ） ～Ｐ∨～Ｑ ウ∨Ｉ
６ ウ （オ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ６エ＆Ｉ
６ （カ） ～～Ｑ ６オＲＡＡ
６ （キ） Ｑ カＤＮ
６ （ク） Ｐ＆ Ｑ イキ＆Ｉ
１ ６ （ケ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） ５ク＆Ｉ
１ （コ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ６ケＲＡＡ
１ （サ） （～Ｐ∨～Ｑ） コＤＮ（半分ゲット）
シ（シ） Ｒ Ａ
シ（ス） （Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ シ∨Ｉ
１ シ（セ） ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝＆
｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ １シ＆Ｉ
１ （ソ） ～Ｒ シセＲＡＡ（残りもゲット）
１ （タ） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ サソ＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ Ａ
２ （２） （Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ Ａ（ＲＡＡで証明する）
１ （３） ～Ｐ∨～Ｑ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ＆ Ｑ Ａ（２の選言項、左）
５ （５） ～Ｐ Ａ（３の選言項、左）
４ （６） Ｐ ４＆Ｅ
４５ （７） ～Ｐ＆Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８） ～（Ｐ＆ Ｑ） ４７ＲＡＡ
９ （９） ～Ｑ Ａ（３の選言項、右）
４ （ア） Ｑ ４＆Ｅ
４ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ４イＲＡＡ
１ （エ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ３５８９ウ∨Ｅ
１ ４ （オ） （Ｐ＆ Ｑ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ） ４エ＆Ｉ
４ （カ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ １オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｒ １＆Ｅ
ク（ク） Ｒ Ａ（２の選言項、右）
１ ク（ケ） ～Ｒ＆Ｒ キク＆Ｉ
ク（コ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ １ケＲＡＡ
２ （サ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ ２４カクコ∨Ｅ
１２ （シ） ｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝＆
～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ １サ＆Ｉ
１ （ス）～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ ２４ＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
① ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
② （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１ （１） ～｛Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
２ （２） ～｛～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ（６を目指す）
３ （４） ～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） ３∨Ｉ
２３ （５） ～｛～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ）｝＆
｛～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ）｝ ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） ～（Ｑ∨ Ｒ） Ａ（イを目指す）
８ （９） ～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） ８∨Ｉ
２ ８ （ア） ～｛～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ）｝＆
｛～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ）｝ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～（Ｑ∨ Ｒ） ８アＤＮ
２ （ウ） （Ｑ∨ Ｒ） イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ） ７ウ＆Ｉ（１の否定をゲット）
１２ （オ） ～｛Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ）｝＆
｛Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ）｝ １エ＆Ｉ
１ （カ）～～｛～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ）｝ ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） カＤＮ（２の否定をゲット）
ク （ク） ～Ｐ Ａ（キの選言項、左）
ク （ケ） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ク∨Ｉ
コ （コ） ～（Ｑ∨ Ｒ） Ａ（キの選言項。右）
サ （サ） Ｑ Ａ（普通に、ド・モルガンを証明）
サ （シ） Ｑ∨ Ｒ サ∨Ｉ
コサ （ス） ～（Ｑ∨ Ｒ）＆
（Ｑ∨ Ｒ） コシ＆Ｉ
コ （セ） ～Ｑ サスＲＡＡ
ソ（ソ） Ｒ Ａ
ソ（タ） Ｑ∨ Ｒ ソ∨Ｉ
コ ソ（チ） ～（Ｑ∨ Ｒ）＆
（Ｑ∨ Ｒ） コタ＆Ｉ
コ （ツ） ～Ｒ ソチＲＡＡ
コ （テ） ～Ｑ＆～Ｒ セツ＆Ｉ（ド・モルガンを証明した）
コ （ト） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） テ∨Ｉ
１ （ナ） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） キクケコト∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ（ＲＡＡで証明する）
３ （３） ～Ｐ Ａ（１の選言項、左）
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ２５ＲＡＡ
７ （７） ～Ｑ＆～Ｒ Ａ（１の選言項、右）
２ （８） Ｑ∨ Ｒ ２＆Ｅ
９ （９） Ｑ Ａ（８の選言項、左）
７ （ア） ～Ｑ ７＆Ｅ
７９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ７イＲＡＡ
エ（エ） Ｒ Ａ（８の選言項、右）
７ （オ） ～Ｒ ７＆Ｅ
７ エ（カ） Ｒ＆～Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ７カＲＡＡ
２ （ク） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ ７ （ケ） （～Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｑ＆～Ｒ） ７ク＆Ｉ
７ （コ）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ２ケＲＡＡ
１ （サ）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １３６７コ∨Ｅ
１２ （ス） ｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝＆
～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ２サ＆Ｉ
１ （セ）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ２スＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
③ ～｛Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ）｝
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
② （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
③ ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（06）
②（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いては、
②（～Ｐ∨～Ｑ）
④ （～Ｑ＆～Ｒ）
といふ風に、「括弧の位置」が「同じ」ではない。
従って、
（06）により、
（07）
②（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
②＝④ ではない。
然るに、
（08）
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
の場合は、
④ ～偽∨（～Ｑ＆～Ｒ）
であれば、それだけで、「真」であるが、
②（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
の場合は、
②（～偽∨～Ｑ）＆～偽
ならば、「真」であるが、
②（～偽∨～Ｑ）＆～真
ならば、「偽」である。
従って、
（05）～（08）により、
（09）
① ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
② （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
③ ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるが、
①＝②＝③＝④ ではない。
然るに、
（10）
① ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
② （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
③ ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
から、「丸括弧」を除くと、
① ～｛Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
② ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
③ ～｛Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
④ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
であるため、「区別」が、付かない。
従って、
（11）
① ～｛Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
② ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
③ ～｛Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
④ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、いづれにせよ、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（11）により、
（12）
① ～｛Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
② ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（13）
「二重否定（ＤＮ）」により、
② ～～Ｑ＝Ｑ
である。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① ～｛Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
② ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～｛Ｐ＆～Ｑ∨ Ｒ｝
② ～Ｐ∨ Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（14）により、
（15）
例へば、
① ｛Ｐ＆～Ｑ∨ Ｒ｝を「否定」すると、
② ～Ｐ∨ Ｑ＆～Ｒ といふ風に、
「肯定」は「否定」に、
「否定」は「肯定」に、
「連言」は「選言」に、
「選言」は「連言」に、「交替」する。
従って、
（05）（15）により、
（16）
「論理式の全体」を「否定」すると、
「肯定」は「否定」に、
「否定」は「肯定」に、
「連言」は「選言」に、
「選言」は「連言」に、「交替」する。
といふ「法則」を、「ド・モルガンの法則」といふのであれば、
① ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
② （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
③ ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於ける、
①＝②
③＝④
といふ「等式」は、「ド・モルガンの法則」である。
令和０２年０５月０４日、毛利太。
2020年5月3日日曜日
「敢不」と「不敢」（Ⅲ）。
（01）
借虎威（戦國策）
① 虎求（百獸）而食（之）得（狐）。
② 狐曰子無〔敢食（我）〕也。
③ 天帝使〔我長（百獸）〕。
④ 今子食（我）是逆（天帝命）也。
⑤ 子以（我）爲〔不（信）〕吾爲（子）先行。
⑥ 子隨（我後）觀。
⑦ 百獸之見（我）而敢不（走）乎。
（借虎威、戦國策）
従って、
（01）により、
（02）
① 虎（百獸）求而（之）食（狐）得。
② 狐曰子〔敢（我）食〕無也。
③ 天帝〔我（百獸）長〕使。
④ 今子（我）食是（天帝命）逆也。
⑤ 子（我）以〔（信）不〕爲吾（子）爲先行。
⑥ 子（我後）隨觀。
⑦ 百獸之（我）見而敢（走）不乎。
従って、
（02）により、
（03）
① 虎百獸を求めて之を食らひ狐を得たり。
② 狐曰く、子敢へて我を食らふこと無かれ。
③ 天帝、我をして百獸に長たら使む。
④ 今、子我を食らはば、是れ天帝の命に逆らふなり。
⑤ 子我を以て信なら不と爲さば、吾子の爲に先行せむ。
⑥ 子我が後に隨ひて觀よ。
⑦ 百獸之我を見て敢へて走ら不らんや、と。
然るに、
（04）
⑦ 敢不（走）乎⇒
⑦ 敢（走）不乎＝
⑦ 敢へて（走ら）ざらんや＝
⑦ 敢へて逃げないなどといふことが、あるだろうか。
は「反語」である。
ｃｆ.
【走】②《動》にげる。はや足でにげる。
（学研 緩和大辞典、1978年、１２６９頁）
従って、
（04）により、
（05）
「番号」を付け直すと、
① 敢不走乎（敢へて走らざらんや）。
② 不敢不走（敢へて走らずんばあらず）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
① 敢不走乎（敢へて走らざらんや）。
ではなく、
① 敢不走（敢へて走らず）。
であるならば、「反語」ではない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① 敢不走（敢へて走らず）。
② 不敢不走（敢へて走らずんばあらず）。
に於いて、
① は、② の「否定」であって、
② は、① の「否定」である。
然るに、
（08）
①「逃げたくない」といふ「気持ち」。
②「逃げたい」 といふ「気持ち」。
といふ、「（アンビバレントな、）二つの気持ち」があって、
① の方が、②よりも、大きい。のであれば、
① 敢不走（敢へて走らず）。といふことなる。
従って、
（07）（08）により、
（09）
①「逃げたくない」といふ「気持ち」。
②「逃げたい」 といふ「気持ち」。
といふ、「（アンビバレントな、）二つの気持ち」があって、
② の方が、① よりも、大きい。のであれば、
② 不敢不走（敢へて走らずんばあらず）。といふことになる。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① 敢不走（敢へて走らず）。
② 不敢不走（敢へて走らずんばあらず）。
に於いて、「順番」に、
① 敢へて逃げない。
② 敢へて逃げる。
といふことになる。
然るに、
（11）
「不走（逃げない）」といふことは、
「止（とどまる）」といふことである。
従って、
（10）（11）により、
（12）
① 敢止（敢へて止まる）。
② 不敢止（敢へて止まらず）。
に於いて、「順番」に、
① 敢へて逃げない。
② 敢へて逃げる。
といふことになる。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
「順番」を付け直すと、
① 敢不走（敢へて走らず）。
② 敢 止（敢へて止まる）。
③ 不敢不走（敢へて走らずんばあらず）。
④ 不敢 止（敢へて止まらず）。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
① と ③ は「矛盾」し、
② と ④ は「矛盾」する。
従って、
（13）により、
（14）
① 敢視（敢へて視る）。
② 不敢視（敢へて視ず）。
に於いて、
① と ② は「矛盾」する。
従って、
（09）（14）により、
（15）
①「視たい」 といふ「気持ち」。
②「視たくない」といふ「気持ち」。
といふ、「（アンビバレントな、）二つの気持ち」があって、
② の方が、① よりも、大きい。のであれば、
② 不敢視（敢へて視ず）。といふことになる。
従って、
（15）により、
（16）
② 不敢視（敢へて視ず）。といふ「漢文（訓読）」は、たとへば、
② 視たくとも（勇気が無くて）視れない。
といふ「意味」になる。
然るに、
（17）
① 敢視（敢へて視る）。
② 不敢視（敢へて視ず）。
③ 敢不視（敢へて視ず）。
であるため、「訓読」としては、
②＝③ である。
然るに、
（18）
① 敢視。
② 不敢視。
③ 敢不視。
の於いて、「漢文の語順」としては、
① の「否定」は、飽くまでも、
② であって、
③ ではない。
然るに、
（19）
（ⅰ）① の方が、② よりも、大きい。
（ⅱ）② の方が、① よりも、大きい。
に於いて、
（ⅰ）は、（ⅱ）の「否定」であり、
（ⅱ）は、（ⅰ）の「否定」である。
従って、
（15）～（19）により、
（20）
① 敢視（敢へて視る）。
② 不敢視（敢へて視ず）。
に於いて、
① に対する、
② の場合は、
② 視たいのではあるが（それだけの勇気が無くて）視れない。
といふ「意味」になる。
然るに、
（21）
蘇秦といふ者は、鬼谷先生を師とす。
初め出游し、困しみて帰る。
妻は機を下らず、嫂は為に炊がず。
是に至り、従約の長となり、六国に并せ相たり。
行きて洛陽を過ぎる。車騎輜重、王者に擬す。
昆弟妻嫂、目を側めて敢て視ず、俯伏して侍して食を取る。
（三省堂、明解古典シリーズ１８、1973年）
従って、
（20）（21）により、
（22）
② 昆弟妻嫂、目を側めて敢へて視ず、俯伏して侍して食を取る。
に於ける、
② 敢へて視ず。
の場合は、
② 不敢視（敢へて視ず）。
でなければ、ならない。
然るに、
（23）
② 不二敢視一。
（三省堂、明解古典シリーズ１８、1973年）
従って、
（22）（23）により、
（24）
果たして、
② 昆弟妻嫂、目を側めて敢へて視ず、俯伏して侍して食を取る。
に於ける、
② 敢へて視ず。
の場合は、
② 不敢視（敢へて視ず）。
である。
従って、
（20）～（24）により、
（25）
② 不二敢視一。
といふ「漢文」は、
② 蘇秦を視たいのではあるが（兄弟・妻・兄嫁には、それだけの勇気が無くて、まともに、蘇秦を）視ることが出来ない。
といふ「意味」になる。
令和０２年０５月０３日、毛利太。
借虎威（戦國策）
① 虎求（百獸）而食（之）得（狐）。
② 狐曰子無〔敢食（我）〕也。
③ 天帝使〔我長（百獸）〕。
④ 今子食（我）是逆（天帝命）也。
⑤ 子以（我）爲〔不（信）〕吾爲（子）先行。
⑥ 子隨（我後）觀。
⑦ 百獸之見（我）而敢不（走）乎。
（借虎威、戦國策）
従って、
（01）により、
（02）
① 虎（百獸）求而（之）食（狐）得。
② 狐曰子〔敢（我）食〕無也。
③ 天帝〔我（百獸）長〕使。
④ 今子（我）食是（天帝命）逆也。
⑤ 子（我）以〔（信）不〕爲吾（子）爲先行。
⑥ 子（我後）隨觀。
⑦ 百獸之（我）見而敢（走）不乎。
従って、
（02）により、
（03）
① 虎百獸を求めて之を食らひ狐を得たり。
② 狐曰く、子敢へて我を食らふこと無かれ。
③ 天帝、我をして百獸に長たら使む。
④ 今、子我を食らはば、是れ天帝の命に逆らふなり。
⑤ 子我を以て信なら不と爲さば、吾子の爲に先行せむ。
⑥ 子我が後に隨ひて觀よ。
⑦ 百獸之我を見て敢へて走ら不らんや、と。
然るに、
（04）
⑦ 敢不（走）乎⇒
⑦ 敢（走）不乎＝
⑦ 敢へて（走ら）ざらんや＝
⑦ 敢へて逃げないなどといふことが、あるだろうか。
は「反語」である。
ｃｆ.
【走】②《動》にげる。はや足でにげる。
（学研 緩和大辞典、1978年、１２６９頁）
従って、
（04）により、
（05）
「番号」を付け直すと、
① 敢不走乎（敢へて走らざらんや）。
② 不敢不走（敢へて走らずんばあらず）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
① 敢不走乎（敢へて走らざらんや）。
ではなく、
① 敢不走（敢へて走らず）。
であるならば、「反語」ではない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① 敢不走（敢へて走らず）。
② 不敢不走（敢へて走らずんばあらず）。
に於いて、
① は、② の「否定」であって、
② は、① の「否定」である。
然るに、
（08）
①「逃げたくない」といふ「気持ち」。
②「逃げたい」 といふ「気持ち」。
といふ、「（アンビバレントな、）二つの気持ち」があって、
① の方が、②よりも、大きい。のであれば、
① 敢不走（敢へて走らず）。といふことなる。
従って、
（07）（08）により、
（09）
①「逃げたくない」といふ「気持ち」。
②「逃げたい」 といふ「気持ち」。
といふ、「（アンビバレントな、）二つの気持ち」があって、
② の方が、① よりも、大きい。のであれば、
② 不敢不走（敢へて走らずんばあらず）。といふことになる。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① 敢不走（敢へて走らず）。
② 不敢不走（敢へて走らずんばあらず）。
に於いて、「順番」に、
① 敢へて逃げない。
② 敢へて逃げる。
といふことになる。
然るに、
（11）
「不走（逃げない）」といふことは、
「止（とどまる）」といふことである。
従って、
（10）（11）により、
（12）
① 敢止（敢へて止まる）。
② 不敢止（敢へて止まらず）。
に於いて、「順番」に、
① 敢へて逃げない。
② 敢へて逃げる。
といふことになる。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
「順番」を付け直すと、
① 敢不走（敢へて走らず）。
② 敢 止（敢へて止まる）。
③ 不敢不走（敢へて走らずんばあらず）。
④ 不敢 止（敢へて止まらず）。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
① と ③ は「矛盾」し、
② と ④ は「矛盾」する。
従って、
（13）により、
（14）
① 敢視（敢へて視る）。
② 不敢視（敢へて視ず）。
に於いて、
① と ② は「矛盾」する。
従って、
（09）（14）により、
（15）
①「視たい」 といふ「気持ち」。
②「視たくない」といふ「気持ち」。
といふ、「（アンビバレントな、）二つの気持ち」があって、
② の方が、① よりも、大きい。のであれば、
② 不敢視（敢へて視ず）。といふことになる。
従って、
（15）により、
（16）
② 不敢視（敢へて視ず）。といふ「漢文（訓読）」は、たとへば、
② 視たくとも（勇気が無くて）視れない。
といふ「意味」になる。
然るに、
（17）
① 敢視（敢へて視る）。
② 不敢視（敢へて視ず）。
③ 敢不視（敢へて視ず）。
であるため、「訓読」としては、
②＝③ である。
然るに、
（18）
① 敢視。
② 不敢視。
③ 敢不視。
の於いて、「漢文の語順」としては、
① の「否定」は、飽くまでも、
② であって、
③ ではない。
然るに、
（19）
（ⅰ）① の方が、② よりも、大きい。
（ⅱ）② の方が、① よりも、大きい。
に於いて、
（ⅰ）は、（ⅱ）の「否定」であり、
（ⅱ）は、（ⅰ）の「否定」である。
従って、
（15）～（19）により、
（20）
① 敢視（敢へて視る）。
② 不敢視（敢へて視ず）。
に於いて、
① に対する、
② の場合は、
② 視たいのではあるが（それだけの勇気が無くて）視れない。
といふ「意味」になる。
然るに、
（21）
蘇秦といふ者は、鬼谷先生を師とす。
初め出游し、困しみて帰る。
妻は機を下らず、嫂は為に炊がず。
是に至り、従約の長となり、六国に并せ相たり。
行きて洛陽を過ぎる。車騎輜重、王者に擬す。
昆弟妻嫂、目を側めて敢て視ず、俯伏して侍して食を取る。
（三省堂、明解古典シリーズ１８、1973年）
従って、
（20）（21）により、
（22）
② 昆弟妻嫂、目を側めて敢へて視ず、俯伏して侍して食を取る。
に於ける、
② 敢へて視ず。
の場合は、
② 不敢視（敢へて視ず）。
でなければ、ならない。
然るに、
（23）
② 不二敢視一。
（三省堂、明解古典シリーズ１８、1973年）
従って、
（22）（23）により、
（24）
果たして、
② 昆弟妻嫂、目を側めて敢へて視ず、俯伏して侍して食を取る。
に於ける、
② 敢へて視ず。
の場合は、
② 不敢視（敢へて視ず）。
である。
従って、
（20）～（24）により、
（25）
② 不二敢視一。
といふ「漢文」は、
② 蘇秦を視たいのではあるが（兄弟・妻・兄嫁には、それだけの勇気が無くて、まともに、蘇秦を）視ることが出来ない。
といふ「意味」になる。
令和０２年０５月０３日、毛利太。
「（命題論理と集合の）分配法則」とその「否定」（Ⅱ）。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （３） Ｐ∨Ｒ ２∨Ｉ
２ （４）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） ２３＆Ｉ
５（５） Ｑ＆Ｒ Ａ
５（６） Ｑ ５＆Ｅ
５（７） Ｒ ５＆Ｅ
５（８） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
５（９） Ｐ∨Ｒ ７∨Ｉ
５（ア）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） ８９＆I
１ （イ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） １２４５ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ∨Ｑ １＆Ｅ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４）～～Ｐ ３ＤＮ
３ （５）～～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
３ （６） ～Ｐ→Ｑ ５含意の定義
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８）～～Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） ～Ｐ→Ｑ ８含意の定義
１ （ア） ～Ｐ→Ｑ ２３６７９∨Ｅ
１ （イ） Ｐ∨Ｒ Ａ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
ウ （エ） ～～Ｐ ウＤＮ
ウ （オ） ～～Ｐ∨Ｒ エ∨Ｉ
ウ （カ） ～Ｐ→Ｒ オ含意の定義
キ （キ） Ｒ Ａ
キ （ク） ～～Ｐ∨Ｒ ∨Ｉ
キ （ケ） ～Ｐ→Ｒ ク含意の定義
１ （コ） ～Ｐ→Ｒ イウカキケ∨Ｅ
サ（サ） ～Ｐ Ａ
１ サ（シ） Ｑ アサＭＰＰ
１ サ（ス） Ｒ コサＭＰＰ
１ サ（セ） Ｑ＆Ｒ シス＆Ｉ
１ （ソ）～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ） サセＣＰ
１ （タ） Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ） ソ含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
③ ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝
④ ～｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）｝
に於いて、
③＝④ でなければ、ならない。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１（１） ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝ Ａ
１（２） ～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ） １ド・モルガンの法則
１（３） ～Ｐ ２＆Ｅ
１（４） ～（Ｑ＆Ｒ） ２＆Ｅ
１（５） ～Ｑ∨～Ｒ ４ド・モルガンの法則
１（６）～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） １５＆Ｉ
（ⅴ）
１（１）～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨～Ｒ １＆Ｅ
１（４） ～（Ｑ＆Ｒ） ３ド・モルガンの法則
１（５）～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ） ２４＆Ｉ
１（６）～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝ ５ド・モルガンの法則
従って、
（04）により、
（05）
③ ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
③＝⑤ である。
然るに、
（06）
（ⅳ）
１ （１） ～｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）｝ Ａ
１ （２） ～（Ｐ∨Ｑ）∨～（Ｐ∨Ｒ） １ド・モルガンの法則
３ （３） ～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
３ （４） ～Ｐ＆～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５） ～Ｐ ４＆Ｅ
３ （６） ～Ｑ ４＆Ｅ
３ （７） ～Ｑ∨～Ｒ ６∨Ｉ
３ （８）～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） ５７＆Ｉ
９（９） ～（Ｐ∨Ｒ） Ａ
９（ア） ～Ｐ＆～Ｒ ９ド・モルガンの法則
９（イ） ～Ｐ ア＆Ｅ
９（ウ） ～Ｒ ア＆Ｅ
９（エ） ～Ｑ∨～Ｒ ウ∨Ｉ
９（オ） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） イエ＆Ｉ
１ （カ） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） ２３８９オ∨Ｅ
（ⅴ）
１ （１） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
１ （２） ～Ｐ １＆Ｅ
１ （３） （～Ｑ∨～Ｒ） １＆Ｅ
４ （４） ～Ｑ Ａ
１４ （５） ～Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１４ （６） ～（Ｐ∨Ｑ） ５ド・モルガンの法則
１４ （７） ～（Ｐ∨Ｑ）∨～（Ｐ∨Ｒ） ６∨Ｉ
８（８） ～Ｒ Ａ
１ ８（９） ～Ｐ＆～Ｒ ２８＆Ｉ
１ ８（ア） ～（Ｐ∨Ｒ） ９ド・モルガンの法則
１ ８（イ） ～（Ｐ∨Ｑ）∨～（Ｐ∨Ｒ） ア∨Ｉ
１ （ウ） ～（Ｐ∨Ｑ）∨～（Ｐ∨Ｒ） ３４７８イ∨Ｅ
１ （エ）～｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）｝ ウ、ド・モルガンの法則
従って、
（06）により、
（07）
④ ～｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
③ ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝
④ ～｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（02）（08）により、
（09）
① Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② であるため、
① の「否定」と、
② の「否定」は、両方とも、
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
である。
従って、
（09）により、
（10）
① Ｐ∨（ Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
① と ⑤ は、「矛盾」し、
② と ⑤ も、「矛盾」する。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
１ （３） ～Ｐ→（ Ｑ＆ Ｒ） １含意の定義
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （５） Ｑ＆ Ｒ ３４ＭＰＰ
２ （６） ～Ｑ∨～Ｒ ２＆Ｅ
７ （７） ～Ｑ Ａ
１２ （８） Ｑ ５＆Ｅ
１２７ （９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
２７ （ア）～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ １９ＲＡＡ
イ（イ） ～Ｒ Ａ
１２ （ウ） Ｒ ５＆Ｅ
１２ イ（エ） ～Ｒ＆Ｒ イウ＆Ｉ
２ イ（オ）～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ １エＲＡＡ
２ （カ）～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ ６７アイオ∨Ｅ
１２ （キ） ｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ １カ＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ∨Ｑ １＆Ｅ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４）～～Ｐ ３ＤＮ
３ （５）～～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
３ （６） ～Ｐ→Ｑ ５含意の定義
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８）～～Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） ～Ｐ→Ｑ ８含意の定義
１ （ア） ～Ｐ→Ｑ ２３６７９∨Ｅ
１ （イ） Ｐ∨Ｒ Ａ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
ウ （エ） ～～Ｐ ウＤＮ
ウ （オ） ～～Ｐ∨Ｒ エ∨Ｉ
ウ （カ） ～Ｐ→Ｒ オ含意の定義
キ （キ） Ｒ Ａ
キ （ク） ～～Ｐ∨Ｒ ∨Ｉ
キ （ケ） ～Ｐ→Ｒ ク含意の定義
１ （コ） ～Ｐ→Ｒ イウカキケ∨Ｅ
サ （サ） ～Ｐ Ａ
１ サ （シ） Ｑ アサＭＰＰ
１ サ （ス） Ｒ コサＭＰＰ
１ サ （セ） Ｑ＆Ｒ シス＆Ｉ
１ （ソ）～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ） サセＣＰ
１ （タ） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） ソ含意の定義
チ（ツ）～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
―「以下の計算」は、（ⅰ）の（３）～（キ）と「同じ」。―
従って、
（10）（11）により、
（12）
① Ｐ∨（ Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、確かに、
① と ⑤ は、「矛盾」し、
② と ⑤ も、「矛盾」する。
然るに、
（13）
Ｐ＝（ｘは集合Ａの要素である。）
Ｑ＝（ｘは集合Ｂの要素である。）
Ｒ＝（ｘは集合Ｃの要素である。）
とするならば、
① Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
といふ「式」は、
① ｘは集合Ａと（集合Ｂと集合Ｃの積集合）の和集合の要素である。
⑤ ｘは集合Ａの補集合と（集合Ｂの補集合と、集合Ｃの補集合の和集合）との積集合の要素である。
といふ「命題関数」に、「等しい」。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① Ａ∪（ Ｂ∩ Ｃ）
⑤ ～Ａ∩（～Ｂ∪～Ｃ）
に於いて、
① の要素は、⑤ の要素ではなく、
⑤ の要素は、① の要素ではない。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
① Ａ∪（ Ｂ∩ Ｃ）
⑤ ～Ａ∩（～Ｂ∪～Ｃ）
に於いて、
① は、⑤ の「補集合」であり、
⑤ は、① の「補集合」である。
といふことは、「命題論理」としても、「正しい」。
令和０２年０５月０３日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （３） Ｐ∨Ｒ ２∨Ｉ
２ （４）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） ２３＆Ｉ
５（５） Ｑ＆Ｒ Ａ
５（６） Ｑ ５＆Ｅ
５（７） Ｒ ５＆Ｅ
５（８） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
５（９） Ｐ∨Ｒ ７∨Ｉ
５（ア）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） ８９＆I
１ （イ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） １２４５ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ∨Ｑ １＆Ｅ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４）～～Ｐ ３ＤＮ
３ （５）～～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
３ （６） ～Ｐ→Ｑ ５含意の定義
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８）～～Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） ～Ｐ→Ｑ ８含意の定義
１ （ア） ～Ｐ→Ｑ ２３６７９∨Ｅ
１ （イ） Ｐ∨Ｒ Ａ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
ウ （エ） ～～Ｐ ウＤＮ
ウ （オ） ～～Ｐ∨Ｒ エ∨Ｉ
ウ （カ） ～Ｐ→Ｒ オ含意の定義
キ （キ） Ｒ Ａ
キ （ク） ～～Ｐ∨Ｒ ∨Ｉ
キ （ケ） ～Ｐ→Ｒ ク含意の定義
１ （コ） ～Ｐ→Ｒ イウカキケ∨Ｅ
サ（サ） ～Ｐ Ａ
１ サ（シ） Ｑ アサＭＰＰ
１ サ（ス） Ｒ コサＭＰＰ
１ サ（セ） Ｑ＆Ｒ シス＆Ｉ
１ （ソ）～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ） サセＣＰ
１ （タ） Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ） ソ含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
③ ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝
④ ～｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）｝
に於いて、
③＝④ でなければ、ならない。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１（１） ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝ Ａ
１（２） ～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ） １ド・モルガンの法則
１（３） ～Ｐ ２＆Ｅ
１（４） ～（Ｑ＆Ｒ） ２＆Ｅ
１（５） ～Ｑ∨～Ｒ ４ド・モルガンの法則
１（６）～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） １５＆Ｉ
（ⅴ）
１（１）～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨～Ｒ １＆Ｅ
１（４） ～（Ｑ＆Ｒ） ３ド・モルガンの法則
１（５）～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ） ２４＆Ｉ
１（６）～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝ ５ド・モルガンの法則
従って、
（04）により、
（05）
③ ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
③＝⑤ である。
然るに、
（06）
（ⅳ）
１ （１） ～｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）｝ Ａ
１ （２） ～（Ｐ∨Ｑ）∨～（Ｐ∨Ｒ） １ド・モルガンの法則
３ （３） ～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
３ （４） ～Ｐ＆～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５） ～Ｐ ４＆Ｅ
３ （６） ～Ｑ ４＆Ｅ
３ （７） ～Ｑ∨～Ｒ ６∨Ｉ
３ （８）～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） ５７＆Ｉ
９（９） ～（Ｐ∨Ｒ） Ａ
９（ア） ～Ｐ＆～Ｒ ９ド・モルガンの法則
９（イ） ～Ｐ ア＆Ｅ
９（ウ） ～Ｒ ア＆Ｅ
９（エ） ～Ｑ∨～Ｒ ウ∨Ｉ
９（オ） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） イエ＆Ｉ
１ （カ） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） ２３８９オ∨Ｅ
（ⅴ）
１ （１） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
１ （２） ～Ｐ １＆Ｅ
１ （３） （～Ｑ∨～Ｒ） １＆Ｅ
４ （４） ～Ｑ Ａ
１４ （５） ～Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１４ （６） ～（Ｐ∨Ｑ） ５ド・モルガンの法則
１４ （７） ～（Ｐ∨Ｑ）∨～（Ｐ∨Ｒ） ６∨Ｉ
８（８） ～Ｒ Ａ
１ ８（９） ～Ｐ＆～Ｒ ２８＆Ｉ
１ ８（ア） ～（Ｐ∨Ｒ） ９ド・モルガンの法則
１ ８（イ） ～（Ｐ∨Ｑ）∨～（Ｐ∨Ｒ） ア∨Ｉ
１ （ウ） ～（Ｐ∨Ｑ）∨～（Ｐ∨Ｒ） ３４７８イ∨Ｅ
１ （エ）～｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）｝ ウ、ド・モルガンの法則
従って、
（06）により、
（07）
④ ～｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
③ ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝
④ ～｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（02）（08）により、
（09）
① Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② であるため、
① の「否定」と、
② の「否定」は、両方とも、
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
である。
従って、
（09）により、
（10）
① Ｐ∨（ Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
① と ⑤ は、「矛盾」し、
② と ⑤ も、「矛盾」する。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
１ （３） ～Ｐ→（ Ｑ＆ Ｒ） １含意の定義
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （５） Ｑ＆ Ｒ ３４ＭＰＰ
２ （６） ～Ｑ∨～Ｒ ２＆Ｅ
７ （７） ～Ｑ Ａ
１２ （８） Ｑ ５＆Ｅ
１２７ （９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
２７ （ア）～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ １９ＲＡＡ
イ（イ） ～Ｒ Ａ
１２ （ウ） Ｒ ５＆Ｅ
１２ イ（エ） ～Ｒ＆Ｒ イウ＆Ｉ
２ イ（オ）～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ １エＲＡＡ
２ （カ）～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ ６７アイオ∨Ｅ
１２ （キ） ｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ １カ＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ∨Ｑ １＆Ｅ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４）～～Ｐ ３ＤＮ
３ （５）～～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
３ （６） ～Ｐ→Ｑ ５含意の定義
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８）～～Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） ～Ｐ→Ｑ ８含意の定義
１ （ア） ～Ｐ→Ｑ ２３６７９∨Ｅ
１ （イ） Ｐ∨Ｒ Ａ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
ウ （エ） ～～Ｐ ウＤＮ
ウ （オ） ～～Ｐ∨Ｒ エ∨Ｉ
ウ （カ） ～Ｐ→Ｒ オ含意の定義
キ （キ） Ｒ Ａ
キ （ク） ～～Ｐ∨Ｒ ∨Ｉ
キ （ケ） ～Ｐ→Ｒ ク含意の定義
１ （コ） ～Ｐ→Ｒ イウカキケ∨Ｅ
サ （サ） ～Ｐ Ａ
１ サ （シ） Ｑ アサＭＰＰ
１ サ （ス） Ｒ コサＭＰＰ
１ サ （セ） Ｑ＆Ｒ シス＆Ｉ
１ （ソ）～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ） サセＣＰ
１ （タ） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） ソ含意の定義
チ（ツ）～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
―「以下の計算」は、（ⅰ）の（３）～（キ）と「同じ」。―
従って、
（10）（11）により、
（12）
① Ｐ∨（ Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、確かに、
① と ⑤ は、「矛盾」し、
② と ⑤ も、「矛盾」する。
然るに、
（13）
Ｐ＝（ｘは集合Ａの要素である。）
Ｑ＝（ｘは集合Ｂの要素である。）
Ｒ＝（ｘは集合Ｃの要素である。）
とするならば、
① Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
といふ「式」は、
① ｘは集合Ａと（集合Ｂと集合Ｃの積集合）の和集合の要素である。
⑤ ｘは集合Ａの補集合と（集合Ｂの補集合と、集合Ｃの補集合の和集合）との積集合の要素である。
といふ「命題関数」に、「等しい」。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① Ａ∪（ Ｂ∩ Ｃ）
⑤ ～Ａ∩（～Ｂ∪～Ｃ）
に於いて、
① の要素は、⑤ の要素ではなく、
⑤ の要素は、① の要素ではない。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
① Ａ∪（ Ｂ∩ Ｃ）
⑤ ～Ａ∩（～Ｂ∪～Ｃ）
に於いて、
① は、⑤ の「補集合」であり、
⑤ は、① の「補集合」である。
といふことは、「命題論理」としても、「正しい」。
令和０２年０５月０３日、毛利太。
2020年5月2日土曜日
「（命題論理と集合の）分配法則」とその「否定」。
（01）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝偽
であるならば、
① は「偽」である。
② も「偽」である。
（02）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝真
であって、
Ｑ＝真
であるならば、
① は「真」である。
② も「真」である。
（03）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝真
であって、
Ｒ＝真
であるならば、
① は「真」である。
② も「真」である。
（04）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝真
であって、
Ｑ＝真
Ｒ＝真
であるならば、
① は「真」である。
② も「真」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
① が「偽」であれば、
② も「偽」であり、
① が「真」であれば、
② も「真」である。
従って、
（05）により、
（06）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
といふ、「命題の分配法則」は、「正しい」。
従って、
（07）
Ｐ＝（ｘは集合Ａの要素である。）
Ｑ＝（ｘは集合Ｂの要素である。）
Ｒ＝（ｘは集合Ｃの要素である。）
とするならば、
① ｘはＡであって（ｘはＢであるか、または、ｘはＣである）。
②（ｘはＡであってＢである）か、または（ｘはＡであってＣである）。
といふ「命題関数」に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）
②（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）
に於いて、
①＝② である。
といふ、「集合の分配法則」も、「正しい」。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ １＆Ｅ
１ （３） Ｑ∨Ｒ １＆Ｅ
４ （４） Ｑ Ａ
１４ （５） Ｐ＆Ｑ ２３＆Ｉ
１４ （６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ５∨Ｉ
７（７） Ｒ Ａ
１ ７（８） Ｐ＆Ｒ ２７
１ ７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ８∨Ｉ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ３４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｑ ２＆Ｅ
２ （５） Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
２ （６）Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） ３５＆Ｉ
７（７） Ｐ＆Ｒ Ａ
７（８） Ｐ ７＆Ｅ
７（９） Ｒ ７＆Ｅ
７（ア） Ｑ∨Ｒ ９∨Ｉ
７（イ） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） ８ア＆Ｉ
１ （ウ） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） １２６７イ∨Ｅ
従って、
（09）により、
（10）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
といふ、「命題の分配法則」は、「命題計算」としても「正しい」。
然るに、
（11）
（ⅲ）
１ （１）～｛Ｐ＆ （Ｑ∨Ｒ）｝ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ） １ド・モルガンの法則
１ （３） Ｐ→～（Ｑ∨Ｒ） ２含意の定義
４（４） Ｐ Ａ
１４（５） ～（Ｑ∨Ｒ） ３４ＭＰＰ
１４（６） ～Ｑ＆～Ｒ ５ド・モルガンの法則
１ （７） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） ４６ＣＰ
１ （８） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ７含意の定義
（ⅴ）
１ （１） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ７含意の定義
１ （２） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） １含意の定義
３（３） Ｐ Ａ
１３（４） ～Ｑ＆～Ｒ ２３ＭＰＰ
１３（５） ～（Ｑ∨Ｒ） ４ド・モルガンの法則
１ （６） Ｐ→～（Ｑ∨Ｒ） ３５ＣＰ
１ （７） ～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ） ６含意の定義
１ （８）～｛Ｐ＆ （Ｑ∨Ｒ）｝ ７ド・モルガンの法則
従って、
（11）により、
（12）
③ ～｛Ｐ＆ （Ｑ∨Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝⑤ である。
然るに、
（13）
（ⅳ）
１ （１）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨ （Ｐ＆Ｒ）｝ Ａ
１ （２） ～（Ｐ＆Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｒ） １ド・モルガンの法則
１ （３） ～（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
１ （５） Ｐ→～Ｑ ４含意の定義
１ （６） ～（Ｐ＆Ｒ） ２＆Ｅ
１ （７） ～Ｐ∨～Ｒ ６ド・モルガンの法則
１ （８） Ｐ→～Ｒ ７含意の定義
９（９） Ｐ Ａ
１９（ア） ～Ｑ ５９ＭＰＰ
１９（イ） ～Ｒ ８９ＭＰＰ
１９（ウ） ～Ｑ＆～Ｒ アイ＆Ｉ
１ （エ） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） ９ウＣＰ
１ （オ）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） エ含意の定義
（ⅴ）
１ （１）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） １含意の定義
３（３） Ｐ Ａ
１３（４） ～Ｑ＆～Ｒ ２３ＭＰＰ
１３（５） ～Ｑ ４＆Ｅ
１ （６） Ｐ→～Ｑ ３５ＣＰ
１ （７）～Ｐ∨～Ｑ ６含意の定義
１ （８）～（Ｐ＆Ｑ） ７ド・モルガンの法則
１３（９） ～Ｒ ４＆Ｅ
１ （ア） Ｐ→～Ｒ ３９ＣＰ
１ （イ） ～Ｐ∨～Ｒ ア含意の定義
１ （ウ） ～（Ｐ＆Ｒ） イ、ド・モルガンの法則
１ （エ）～（Ｐ＆Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｒ） ８ウ＆Ｉ
１ （オ）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）｝ エ、ド・モルガンの法則
従って、
（13）により、
（14）
④ ～｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（12）（14）により、
（15）
③ ～｛Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）｝
④ ～｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（10）（15）により、
（16）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② であるため、
① の「否定」と、
② の「否定」は、両方とも、
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
である。
従って、
（16）により、
（17）
① Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
① と ⑤ は「矛盾」する。
然るに、
（18）
「含意の定義」により、
① Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）
⑤ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝⑤ である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
① Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）
⑤ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
① と ⑤ は「矛盾」する。
然るに、
（20）
１ （１） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ＆～Ｒ ２３ＭＰＰ
１ （５） Ｑ∨ Ｒ １＆Ｅ
６ （６） Ｑ Ａ
１２ （７） ～Ｑ ４＆Ｅ
１２６ （８） Ｑ＆～Ｑ ６７＆Ｉ
２６ （９）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １８ＲＡＡ
ア（ア） Ｒ Ａ
１２ （イ） ～Ｒ ４＆Ｅ
１２ ア（ウ） Ｒ＆～Ｒ アイ＆Ｉ
２ ア（エ）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １ウＲＡＡ
１２ （オ）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ５６９アエ
１２ （カ） ｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝＆
～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １オ＆Ｉ
従って、
（20）により、
（21）
① Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）
⑤ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、確かに、
① と ⑤ は「矛盾」する。
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
Ｐ＝（ｘは集合Ａの要素である。）
Ｑ＝（ｘは集合Ｂの要素である。）
Ｒ＝（ｘは集合Ｃの要素である。）
とするならば、
① Ａ∩（ Ｂ∪ Ｃ）
⑤ Ａ→（～Ｂ∩～Ｃ）
に於いて、
① と ⑤ は「矛盾」する。
然るに、
（23）
⑤ Ａ→（～Ｂ∩～Ｃ）
といふことは、
⑤ ｘが集合Ａの要素であるならば（ｘは集合Ｂの要素ではなく、ｘは集合Ｃの要素でもない）。
といふ「意味」である。
然るに、
（24）
⑤ ｘが集合Ａの要素であるならば（ｘは集合Ｂの要素ではなく、ｘは集合Ｃの要素でもない）。
といふことは、
⑤（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）
といふ「集合」が、「空集合」である。
といふ「意味」である。
令和０２年０５月０２日、毛利太。
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝偽
であるならば、
① は「偽」である。
② も「偽」である。
（02）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝真
であって、
Ｑ＝真
であるならば、
① は「真」である。
② も「真」である。
（03）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝真
であって、
Ｒ＝真
であるならば、
① は「真」である。
② も「真」である。
（04）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝真
であって、
Ｑ＝真
Ｒ＝真
であるならば、
① は「真」である。
② も「真」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
① が「偽」であれば、
② も「偽」であり、
① が「真」であれば、
② も「真」である。
従って、
（05）により、
（06）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
といふ、「命題の分配法則」は、「正しい」。
従って、
（07）
Ｐ＝（ｘは集合Ａの要素である。）
Ｑ＝（ｘは集合Ｂの要素である。）
Ｒ＝（ｘは集合Ｃの要素である。）
とするならば、
① ｘはＡであって（ｘはＢであるか、または、ｘはＣである）。
②（ｘはＡであってＢである）か、または（ｘはＡであってＣである）。
といふ「命題関数」に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）
②（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）
に於いて、
①＝② である。
といふ、「集合の分配法則」も、「正しい」。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ １＆Ｅ
１ （３） Ｑ∨Ｒ １＆Ｅ
４ （４） Ｑ Ａ
１４ （５） Ｐ＆Ｑ ２３＆Ｉ
１４ （６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ５∨Ｉ
７（７） Ｒ Ａ
１ ７（８） Ｐ＆Ｒ ２７
１ ７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ８∨Ｉ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ３４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｑ ２＆Ｅ
２ （５） Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
２ （６）Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） ３５＆Ｉ
７（７） Ｐ＆Ｒ Ａ
７（８） Ｐ ７＆Ｅ
７（９） Ｒ ７＆Ｅ
７（ア） Ｑ∨Ｒ ９∨Ｉ
７（イ） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） ８ア＆Ｉ
１ （ウ） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） １２６７イ∨Ｅ
従って、
（09）により、
（10）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
といふ、「命題の分配法則」は、「命題計算」としても「正しい」。
然るに、
（11）
（ⅲ）
１ （１）～｛Ｐ＆ （Ｑ∨Ｒ）｝ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ） １ド・モルガンの法則
１ （３） Ｐ→～（Ｑ∨Ｒ） ２含意の定義
４（４） Ｐ Ａ
１４（５） ～（Ｑ∨Ｒ） ３４ＭＰＰ
１４（６） ～Ｑ＆～Ｒ ５ド・モルガンの法則
１ （７） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） ４６ＣＰ
１ （８） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ７含意の定義
（ⅴ）
１ （１） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ７含意の定義
１ （２） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） １含意の定義
３（３） Ｐ Ａ
１３（４） ～Ｑ＆～Ｒ ２３ＭＰＰ
１３（５） ～（Ｑ∨Ｒ） ４ド・モルガンの法則
１ （６） Ｐ→～（Ｑ∨Ｒ） ３５ＣＰ
１ （７） ～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ） ６含意の定義
１ （８）～｛Ｐ＆ （Ｑ∨Ｒ）｝ ７ド・モルガンの法則
従って、
（11）により、
（12）
③ ～｛Ｐ＆ （Ｑ∨Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝⑤ である。
然るに、
（13）
（ⅳ）
１ （１）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨ （Ｐ＆Ｒ）｝ Ａ
１ （２） ～（Ｐ＆Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｒ） １ド・モルガンの法則
１ （３） ～（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
１ （５） Ｐ→～Ｑ ４含意の定義
１ （６） ～（Ｐ＆Ｒ） ２＆Ｅ
１ （７） ～Ｐ∨～Ｒ ６ド・モルガンの法則
１ （８） Ｐ→～Ｒ ７含意の定義
９（９） Ｐ Ａ
１９（ア） ～Ｑ ５９ＭＰＰ
１９（イ） ～Ｒ ８９ＭＰＰ
１９（ウ） ～Ｑ＆～Ｒ アイ＆Ｉ
１ （エ） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） ９ウＣＰ
１ （オ）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） エ含意の定義
（ⅴ）
１ （１）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） １含意の定義
３（３） Ｐ Ａ
１３（４） ～Ｑ＆～Ｒ ２３ＭＰＰ
１３（５） ～Ｑ ４＆Ｅ
１ （６） Ｐ→～Ｑ ３５ＣＰ
１ （７）～Ｐ∨～Ｑ ６含意の定義
１ （８）～（Ｐ＆Ｑ） ７ド・モルガンの法則
１３（９） ～Ｒ ４＆Ｅ
１ （ア） Ｐ→～Ｒ ３９ＣＰ
１ （イ） ～Ｐ∨～Ｒ ア含意の定義
１ （ウ） ～（Ｐ＆Ｒ） イ、ド・モルガンの法則
１ （エ）～（Ｐ＆Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｒ） ８ウ＆Ｉ
１ （オ）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）｝ エ、ド・モルガンの法則
従って、
（13）により、
（14）
④ ～｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（12）（14）により、
（15）
③ ～｛Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）｝
④ ～｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（10）（15）により、
（16）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② であるため、
① の「否定」と、
② の「否定」は、両方とも、
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
である。
従って、
（16）により、
（17）
① Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
① と ⑤ は「矛盾」する。
然るに、
（18）
「含意の定義」により、
① Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）
⑤ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝⑤ である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
① Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）
⑤ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
① と ⑤ は「矛盾」する。
然るに、
（20）
１ （１） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ＆～Ｒ ２３ＭＰＰ
１ （５） Ｑ∨ Ｒ １＆Ｅ
６ （６） Ｑ Ａ
１２ （７） ～Ｑ ４＆Ｅ
１２６ （８） Ｑ＆～Ｑ ６７＆Ｉ
２６ （９）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １８ＲＡＡ
ア（ア） Ｒ Ａ
１２ （イ） ～Ｒ ４＆Ｅ
１２ ア（ウ） Ｒ＆～Ｒ アイ＆Ｉ
２ ア（エ）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １ウＲＡＡ
１２ （オ）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ５６９アエ
１２ （カ） ｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝＆
～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １オ＆Ｉ
従って、
（20）により、
（21）
① Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）
⑤ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、確かに、
① と ⑤ は「矛盾」する。
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
Ｐ＝（ｘは集合Ａの要素である。）
Ｑ＝（ｘは集合Ｂの要素である。）
Ｒ＝（ｘは集合Ｃの要素である。）
とするならば、
① Ａ∩（ Ｂ∪ Ｃ）
⑤ Ａ→（～Ｂ∩～Ｃ）
に於いて、
① と ⑤ は「矛盾」する。
然るに、
（23）
⑤ Ａ→（～Ｂ∩～Ｃ）
といふことは、
⑤ ｘが集合Ａの要素であるならば（ｘは集合Ｂの要素ではなく、ｘは集合Ｃの要素でもない）。
といふ「意味」である。
然るに、
（24）
⑤ ｘが集合Ａの要素であるならば（ｘは集合Ｂの要素ではなく、ｘは集合Ｃの要素でもない）。
といふことは、
⑤（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）
といふ「集合」が、「空集合」である。
といふ「意味」である。
令和０２年０５月０２日、毛利太。
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