「（命題論理と集合の）分配法則」とその「否定」（Ⅱ）。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ
　２　（３）　Ｐ∨Ｒ　　　　　　　　２∨Ｉ
　２　（４）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　２３＆Ｉ
　　５（５）　　　　Ｑ＆Ｒ　　　　　Ａ
　　５（６）　　　　Ｑ　　　　　　　５＆Ｅ
　　５（７）　　　　　　Ｒ　　　　　５＆Ｅ
　　５（８）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　６∨Ｉ
　　５（９）　　　　　　　Ｐ∨Ｒ　　７∨Ｉ
　　５（ア）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　８９＆I
１　　（イ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　１２４５ア∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　　　　（１）　（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　Ａ
１　　　　　　（２）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　　　　　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　　　（４）～～Ｐ　　　　　　　　　　３ＤＮ
　３　　　　　（５）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　４∨Ｉ
　３　　　　　（６）　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　５含意の定義
　　７　　　　（７）　　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　７　　　　（８）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　７∨Ｉ
　　７　　　　（９）　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　８含意の定義
１　　　　　　（ア）　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　２３６７９∨Ｅ
１　　　　　　（イ）　　　　　　　　Ｐ∨Ｒ　　Ａ
　　　　ウ　　（ウ）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　　ウ　　（エ）　　　　　　～～Ｐ　　　　ウＤＮ
　　　　ウ　　（オ）　　　　　　～～Ｐ∨Ｒ　　エ∨Ｉ
　　　　ウ　　（カ）　　　　　　　～Ｐ→Ｒ　　オ含意の定義
　　　　　キ　（キ）　　　　　　　　　　Ｒ　　Ａ
　　　　　キ　（ク）　　　　　　～～Ｐ∨Ｒ　　∨Ｉ
　　　　　キ　（ケ）　　　　　　　～Ｐ→Ｒ　　ク含意の定義
１　　　　　　（コ）　　　　　　　～Ｐ→Ｒ　　イウカキケ∨Ｅ
　　　　　　サ（サ）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　サ（シ）　　　　Ｑ　　　　　　　　アサＭＰＰ
１　　　　　サ（ス）　　　　　　　　　　Ｒ　　コサＭＰＰ
１　　　　　サ（セ）　　　　Ｑ＆Ｒ　　　　　　シス＆Ｉ
１　　　　　　（ソ）～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ）　　　　　サセＣＰ
１　　　　　　（タ）　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　　　　　ソ含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
①  Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
③ ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝
④ ～｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）｝
に於いて、
③＝④ でなければ、ならない。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１（１）　～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝　Ａ
１（２）　～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ）　　１ド・モルガンの法則
１（３）　～Ｐ　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）　　　　～（Ｑ＆Ｒ）　　２＆Ｅ
１（５）　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　４ド・モルガンの法則
１（６）～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　１５＆Ｉ
（ⅴ）
１（１）～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
１（２）～Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　１＆Ｅ
１（４）　　　～（Ｑ＆Ｒ）　　　３ド・モルガンの法則
１（５）～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ）　　　２４＆Ｉ
１（６）～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝　　５ド・モルガンの法則
従って、
（04）により、
（05）
③ ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
③＝⑤ である。
然るに、
（06）
（ⅳ）
１　　（１）　～｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）｝　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ∨Ｑ）∨～（Ｐ∨Ｒ）　　１ド・モルガンの法則
　３　（３）　～（Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
　３　（４）　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　（５）　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　３　（６）　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　３　（７）　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　　　　　６∨Ｉ
　３　（８）～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　　　　　５７＆Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　～（Ｐ∨Ｒ）　　Ａ
　　９（ア）　　　　　　　　～Ｐ＆～Ｒ　　　９ド・モルガンの法則
　　９（イ）　　　　　　　　～Ｐ　　　　　　ア＆Ｅ
　　９（ウ）　　　　　　　　　　　～Ｒ　　　ア＆Ｅ
　　９（エ）　　　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　ウ∨Ｉ
　　９（オ）　　　　～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　イエ＆Ｉ
１　　（カ）　　　　～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　２３８９オ∨Ｅ
（ⅴ）
１　　（１）　～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　　　Ａ
１　　（２）　～Ｐ　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　　　１＆Ｅ
　４　（４）　　　　　～Ｑ　　　　　　　　Ａ
１４　（５）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　２３＆Ｉ
１４　（６）　～（Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
１４　（７）　～（Ｐ∨Ｑ）∨～（Ｐ∨Ｒ）　６∨Ｉ
　　８（８）　　　　　　　　～Ｒ　　　　　Ａ
１　８（９）　　　　　～Ｐ＆～Ｒ　　　　　２８＆Ｉ
１　８（ア）　　　　　～（Ｐ∨Ｒ）　　　　９ド・モルガンの法則
１　８（イ）　～（Ｐ∨Ｑ）∨～（Ｐ∨Ｒ）　ア∨Ｉ
１　　（ウ）　～（Ｐ∨Ｑ）∨～（Ｐ∨Ｒ）　３４７８イ∨Ｅ
１　　（エ）～｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）｝　ウ、ド・モルガンの法則
従って、
（06）により、
（07）
④ ～｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
③ ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝
④ ～｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（02）（08）により、
（09）
①  Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
⑤  ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② であるため、
① の「否定」と、
② の「否定」は、両方とも、
⑤  ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
である。
従って、
（09）により、
（10）
①  Ｐ∨（ Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
① と ⑤ は、「矛盾」し、
② と ⑤ も、「矛盾」する。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１　　　（１）　　Ｐ∨（  Ｑ＆  Ｒ）　　Ａ
　２　　（２）　～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
１　　　（３）　～Ｐ→（  Ｑ＆  Ｒ）　　１含意の定義
　２　　（４）　～Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１２　　（５）　　　　　　Ｑ＆　Ｒ　　　３４ＭＰＰ
　２　　（６）　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　２＆Ｅ
　　７　（７）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１２　　（８）　　　　　　Ｑ　　　　　　５＆Ｅ
１２７　（９）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　７８＆Ｉ
　２７　（ア）～｛Ｐ∨（  Ｑ＆  Ｒ）｝　１９ＲＡＡ
　　　イ（イ）　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
１２　　（ウ）　　　　　　　　　Ｒ　　　５＆Ｅ
１２　イ（エ）　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　イウ＆Ｉ
　２　イ（オ）～｛Ｐ∨（  Ｑ＆  Ｒ）｝　１エＲＡＡ
　２　　（カ）～｛Ｐ∨（  Ｑ＆  Ｒ）｝　６７アイオ∨Ｅ
１２　　（キ）　｛Ｐ∨（  Ｑ＆  Ｒ）｝　１カ＆Ｉ
（ⅱ）
１　　　　　　　（１）　（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　Ａ
１　　　　　　　（２）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　　　　　　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　　　　（４）～～Ｐ　　　　　　　　　　３ＤＮ
　３　　　　　　（５）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　４∨Ｉ
　３　　　　　　（６）　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　５含意の定義
　　７　　　　　（７）　　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　７　　　　　（８）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　７∨Ｉ
　　７　　　　　（９）　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　８含意の定義
１　　　　　　　（ア）　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　２３６７９∨Ｅ
１　　　　　　　（イ）　　　　　　　　Ｐ∨Ｒ　　Ａ
　　　　ウ　　　（ウ）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　　ウ　　　（エ）　　　　　　～～Ｐ　　　　ウＤＮ
　　　　ウ　　　（オ）　　　　　　～～Ｐ∨Ｒ　　エ∨Ｉ
　　　　ウ　　　（カ）　　　　　　　～Ｐ→Ｒ　　オ含意の定義
　　　　　キ　　（キ）　　　　　　　　　　Ｒ　　Ａ
　　　　　キ　　（ク）　　　　　　～～Ｐ∨Ｒ　　∨Ｉ
　　　　　キ　　（ケ）　　　　　　　～Ｐ→Ｒ　　ク含意の定義
１　　　　　　　（コ）　　　　　　　～Ｐ→Ｒ　　イウカキケ∨Ｅ
　　　　　　サ　（サ）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　サ　（シ）　　　　Ｑ　　　　　　　　アサＭＰＰ
１　　　　　サ　（ス）　　　　　　　　　　Ｒ　　コサＭＰＰ
１　　　　　サ　（セ）　　　　Ｑ＆Ｒ　　　　　　シス＆Ｉ
１　　　　　　　（ソ）～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ）　　　　　サセＣＰ
１　　　　　　　（タ）　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　　ソ含意の定義
　　　　　　　チ（ツ）～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　　Ａ
　―「以下の計算」は、（ⅰ）の（３）～（キ）と「同じ」。―
従って、
（10）（11）により、
（12）
①  Ｐ∨（ Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、確かに、
① と ⑤ は、「矛盾」し、
② と ⑤ も、「矛盾」する。
然るに、
（13）
Ｐ＝（ｘは集合Ａの要素である。）
Ｑ＝（ｘは集合Ｂの要素である。）
Ｒ＝（ｘは集合Ｃの要素である。）
とするならば、
① 　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
といふ「式」は、
① ｘは集合Ａと（集合Ｂと集合Ｃの積集合）の和集合の要素である。
⑤ ｘは集合Ａの補集合と（集合Ｂの補集合と、集合Ｃの補集合の和集合）との積集合の要素である。
といふ「命題関数」に、「等しい」。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① 　Ａ∪（　Ｂ∩　Ｃ）
⑤ ～Ａ∩（～Ｂ∪～Ｃ）
に於いて、
① の要素は、⑤ の要素ではなく、
⑤ の要素は、① の要素ではない。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
① 　Ａ∪（　Ｂ∩　Ｃ）
⑤ ～Ａ∩（～Ｂ∪～Ｃ）
に於いて、
① は、⑤ の「補集合」であり、
⑤ は、① の「補集合」である。
といふことは、「命題論理」としても、「正しい」。
令和０２年０５月０３日、毛利太。