「ド・モルガンの法則」の「命題計算」による「一般化」。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　３　（４）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
１　３　（５）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１５ＲＡＡ
１　　　（７）　　　　　　Ｑ　　　１＆Ｅ
　　　７（８）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
１　　７（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　　（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２ウＲＡＡ
　２　　（〃）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１ウＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
① 　Ｐ＆　Ｑ
② ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
① と ② は、「矛盾」する。
然るに、
（03）
① 　Ｐ＆　Ｑ
② ～Ｐ∨～Ｑ
のやうに、「２つの命題が矛盾」する場合、「その、どちらか一方を否定」すると、「両者の真理値は、同値」になる。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）～（　Ｐ＆　Ｑ）⇔ 　　～Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ）　（　Ｐ＆　Ｑ）⇔ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）～（　Ｐ＆　Ｑ）⇔ 　　～Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ）　（　Ｐ＆　Ｑ）⇔ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
（ⅲ）～（～Ｐ＆　Ｑ）⇔ 　　～～Ｐ∨～Ｑ
（ⅳ）　（～Ｐ＆　Ｑ）⇔ ～（～～Ｐ∨～Ｑ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（05）により、
（06）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
（ⅲ）～（～Ｐ＆　Ｑ）⇔ 　　　Ｐ∨～Ｑ
（ⅳ）　（～Ｐ＆　Ｑ）⇔ ～（　Ｐ∨～Ｑ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（06）により、
（07）
（ⅲ）～（～Ｐ＆　Ｑ）⇔ 　　　Ｐ∨～Ｑ
（ⅳ）　（～Ｐ＆　Ｑ）⇔ ～（　Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
（ⅴ）～（～～Ｐ＆～Ｑ）⇔ 　　～Ｐ∨～～Ｑ
（ⅵ）　（～～Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～（～Ｐ∨～～Ｑ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（07）により、
（08）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
（ⅴ）～（　Ｐ＆～Ｑ）⇔ 　　～Ｐ∨　Ｑ
（ⅵ）　（　Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～（～Ｐ∨　Ｑ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅴ）～（　Ｐ＆～Ｑ）⇔ 　　～Ｐ∨　Ｑ
（ⅵ）　（　Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～（～Ｐ∨　Ｑ）
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
（ⅶ）～（～Ｐ＆～Ｑ）⇔ 　　～～Ｐ∨　Ｑ
（ⅷ）　（～Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～（～～Ｐ∨　Ｑ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（09）により、
（10）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
（ⅶ）～（～Ｐ＆～Ｑ）⇔ 　　　Ｐ∨　Ｑ
（ⅷ）　（～Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～（　Ｐ∨　Ｑ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
① ～（　Ｐ＆　Ｑ）⇔ 　　～Ｐ∨～Ｑ
② 　　　Ｐ＆　Ｑ　⇔ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
③ ～（～Ｐ＆　Ｑ）⇔ 　　　Ｐ∨～Ｑ
④   　～Ｐ＆　Ｑ　⇔ ～（　Ｐ∨～Ｑ）
⑤ ～（　Ｐ＆～Ｑ）⇔ 　　～Ｐ∨　Ｑ
⑥ 　　　Ｐ＆～Ｑ　⇔ ～（～Ｐ∨　Ｑ）
⑦ ～（～Ｐ＆～Ｑ）⇔ 　　　Ｐ∨　Ｑ
⑧ 　　～Ｐ＆～Ｑ　⇔ ～（　Ｐ∨　Ｑ）
といふ「８つの等式（ド・モルガンの法則）」が成立する。
然るに、
（12）
（ａ）
１　（１）～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　３∨Ｉ
　２（５）　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　４∨Ｉ
１２（６）～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　１５＆
１　（７）　～Ｐ　　　　　　　　　２６ＲＡＡ
　２（８）　　　　　Ｑ　　　　　　２＆Ｅ
　２（９）　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　８∨Ｉ
　２（ア）　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　９∨Ｉ
１２（イ）～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　１ア＆Ｉ
１　（ウ）　　　　～Ｑ　　　　　　２イＲＡＡ
　２（エ）　　　　　　　　Ｒ　　　２＆Ｅ
　２（オ）　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　エ∨Ｉ
　２（カ）　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　オ∨Ｉ
１２（キ）～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　１カ＆Ｉ
１　（ク）　　　　　　　～Ｒ　　　２キＲＡＡ
１　（ケ）　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　７ウ＆Ｉ
１　（コ）　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　クケ＆Ｉ
（ｂ）
１　　　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（３）　　　Ｐ∨（Ｑ∨　Ｒ）　　２結合法則
　　４　　　（４）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（５）　　～Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　４　　　（６）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　　　（ア）　　　　　～Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　　　９　（イ）　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１イＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　～Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　　　エ（カ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　オエ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１カＲＡＡ
　　　８　　（ク）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　８９ウエキ∨Ｅ
　２　　　　（ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　３４７８ク∨Ｅ
１２　　　　（コ）　（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１ケ＆Ｉ
１　　　　　（サ）　～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２コＲＡＡ
従って、
（03）（12）により、
（13）
⑨ ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔     ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑩   　Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　⇔ ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
といふ「等式」 も、「ド・モルガンの法則」と言ふに、違ひない。
然るに、
（14）
（ｃ）
１　　　（１）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝　　Ａ
１　　　（２）　～（～Ｐ＆～Ｑ）＆　Ｒ　　　１ド・モルガンの法則
１　　　（３）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　２＆Ｅ
１　　　（４）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　３ド・モルガンの法則
１　　　（５）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　２＆Ｅ
１　　　（６）　　　（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ　　　４５＆Ｉ
（ｄ）
１　　　（１）　　　（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ　　　Ａ
　２　　（２）　　（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ　　　Ａ
１　　　（３）　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（４）　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　Ａ
　　４　（５）　　～（Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　４ド・モルガンの法則
１　４　（６）　　　（Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　～（Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　３５＆Ｉ
　　４　（７）　～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝　　１６ＲＡＡ
１　　　（８）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　１＆Ｅ
　　　９（９）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
１　　９（ア）　　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　８９＆Ｉ　
　　　９（イ）　～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝　　１アＲＡＡ
　２　　（ウ）　～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝　　２４７９イ∨Ｉ
１２　　（エ）　　｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝＆
　　　　　　　　～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝　　１ウ＆Ｉ
１　　　（オ）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝　　２エＲＡＡ
従って、
（03）（14）により、
（15）
⑪ ～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝⇔  　 （Ｐ∨Ｑ）＆Ｒ
⑫   ｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝⇔ ～｛（Ｐ∨Ｑ）＆Ｒ｝
といふ「等式」 も、「ド・モルガンの法則」と言ふに、違ひない。
然るに、
（16）
（ｅ）
１　　（１）～｛～Ｐ＆　（～Ｑ∨～Ｒ）｝　Ａ
１　　（２）　　　Ｐ∨～（～Ｑ∨～Ｒ）　　１ド・モルガンの法則
　３　（３）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　３　（４）　　　Ｐ∨　（　Ｑ＆　Ｒ）　　３∨Ｉ
　　５（５）　　　　　～（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　５（６）　　　　　　　　Ｑ＆　Ｒ　　　５ド・モルガンの法則
　　５（７）　　　Ｐ∨　（　Ｑ＆　Ｒ）　　５∨Ｉ
１　　（８）　　　Ｐ∨　（　Ｑ＆　Ｒ）　　２３４５７∨Ｅ
（ｆ）
１　　　　　（１）　　～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　　Ａ
　２　　　　（２）　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　　Ａ
１　　　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　　４　　　（４）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ（２選言項左）
１　４　　　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　　３４＆Ｉ
　　４　　　（６）～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　　１５ＲＡＡ
１　　　　　（７）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　　１＆Ｅ
　　　８　　（８）　　　　　　　Ｑ＆　Ｒ　　　　Ａ（２選言項右）
　　　　９　（９）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ（７選言項左）
　　　８　　（ア）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　８＆Ｅ
　　　８９　（イ）　　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　　９ア
　　　　９　（ウ）　　　　　～（Ｑ＆　Ｒ）　　　８イＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　　Ａ（７選言項右）
　　　８　　（オ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　　８＆Ｅ
　　　８　エ（カ）　　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）　　　　　～（Ｑ＆　Ｒ）　　　８カＲＡＡ
１　　　　　（ク）　　　　　～（Ｑ＆　Ｒ）　　　７９ウエキ∨Ｉ
１　　８　　（ケ）　　　　　　　Ｑ＆　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　～（Ｑ＆　Ｒ）　　　８ク＆Ｉ
　　　８　　（コ）～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　　１ケＲＡＡ
　２　　　　（サ）～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　　２４６８コ∨Ｉ
１２　　　　（シ）　｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　　１サ＆Ｉ
　２　　　　（ス）～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　　１シＲＡＡ
従って、
（03）（16）により、
（17）
⑬ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝⇔ 　　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
⑭ 　｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝⇔ ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝
といふ「等式」 も、「ド・モルガンの法則」と言ふに、違ひない。
従って、
（15）（17）により、
（18）
いづれにせよ、
⑪ ～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝⇔  　 （Ｐ∨Ｑ）＆Ｒ
⑫   ｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝⇔ ～｛（Ｐ∨Ｑ）＆Ｒ｝
⑬ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝⇔ 　　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
⑭ 　｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝⇔ ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（18）により、
（19）
「計算の結果」だけからすれば、
⑫（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ
⑬　～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於ける、「括弧の位置」を、「区別」する「必要」はない。
従って、
（18）（19）により、
（20）
⑪ ～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）⇔  　 Ｐ∨Ｑ＆Ｒ
⑫   　～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ  ⇔ ～（Ｐ∨Ｑ＆Ｒ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（11）（13）（22）により、
（21）
① 　　　～（　Ｐ＆　Ｑ）⇔ 　　～Ｐ∨～Ｑ
② 　　　　　　Ｐ＆　Ｑ　⇔ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
③ 　　　～（～Ｐ＆　Ｑ）⇔ 　　　Ｐ∨～Ｑ
④   　　　　～Ｐ＆　Ｑ　⇔ ～（　Ｐ∨～Ｑ）
⑤ 　　　～（　Ｐ＆～Ｑ）⇔ 　　～Ｐ∨　Ｑ
⑥ 　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　⇔ ～（～Ｐ∨　Ｑ）
⑦　　　 ～（～Ｐ＆～Ｑ）⇔ 　　　Ｐ∨　Ｑ
⑧ 　　　　　～Ｐ＆～Ｑ　⇔ ～（　Ｐ∨　Ｑ）
⑨ ～（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）⇔     ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑩   　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　⇔ ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
⑪ ～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）⇔  　 　Ｐ∨　Ｑ＆　Ｒ
⑫   　～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ  ⇔ ～（　Ｐ∨　Ｑ＆　Ｒ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（21）により、
（22）
（ⅰ）「（　）の前にある、～を除くと、（　）も除かれ、□は、～□に変はり、～□は、□に変はり、＆は、∨に変はり、∨は、＆に変はる。」
（ⅱ）「連言命題、選言命題、連言・選言命題を、（　）で括り、その（　）の前の～を置くと、□は、～□に変はり、～□は、□に変はり、＆は、∨に変はり、＆は、∨に変はる。」
といふ「規則」を、「ド・モルガンの法則」といふのであれば、「（21）の１２個の等式」は、「ド・モルガンの法則」である。
令和０２年０５月２６日、毛利太。