「象は・が・も動物である」の「述語論理」。

（01）
①｛象｝
②｛象、机、本｝
③｛象、兎、本｝
であるならば、
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
然るに、
（02）
①｛象｝
②｛象、机、本｝
③｛象、兎、本｝
であるならば、
① 象は動物である。
② 象は動物であり、象以外（机、本）に動物はゐない。
③ 象は動物であり、象以外（兎）にも、動物はゐる。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆  ∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
といふ「述語論理式」に、「相当」する。
然るに、
（04）
（ａ）
１　　（１）～∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　　Ａ
１　　（２）∀ｘ～（～象ｘ＆　動物ｘ）　　１量化子の関係
１　　（３）　　～（～象ａ＆　動物ａ）　　２ＵＥ
　４　（４）　　　　～象ａ　　　　　　　　Ａ
　　５（５）　　　　　　　　　動物ａ　　　Ａ
　４５（６）　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　４５＆Ｉ
１４５（７）　　～（～象ａ＆　動物ａ）＆
　　　　　　　　　（～象ａ＆　動物ａ）　　３６＆Ｉ
１４　（８）　　　　　　　　～動物ａ　　　５７ＲＡＡ
１　　（９）　　　　～象ａ→～動物ａ　　　４８ＣＰ
１　　（ア）　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　　９ＵＩ
（ｂ）
１　　（１）　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　　Ａ
１　　（２）　　　　～象ａ→～動物ａ　　　１ＵＥ
　３　（３）　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　Ａ
　３　（４）　　　　～象ａ　　　　　　　　３＆Ｅ
１３　（５）　　　　　　　　～動物ａ　　　２４ＭＰＰ
　３　（６）　　　　　　　　　動物ａ　　　３＆Ｅ
１３　（７）　　　　～動物ａ＆動物ａ　　　５６＆Ｉ
１　　（８）　　～（～象ａ＆　動物ａ）　　３７ＲＡＡ
１　　（９）∀ｘ～（～象ｘ＆　動物ｘ）　　８ＵＩ
１　　（ア）～∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　　９量化子の関係
従って、
（04）により、
（05）
（ａ）～∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
（ｂ）　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
に於いて、
（ａ）＝（ｂ）である。
従って、
（05）により、
（06）
（ｃ）～～∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
（ｄ）　～∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
により、
（ｃ）＝（ｄ）である。
従って、
（06）により、
（07）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
（ｃ）　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
（ｄ）～∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
に於いて、
（ｃ）＝（ｄ）である。
従って、
（03）～（07）により、
（08）
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆  ∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
といふ「述語論理式」、並びに、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
といふ「述語論理式」に、相当する。
然るに、
（09）
（ｅ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　　Ａ
１（２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　象ａ→動物ａ　　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
１（４）　　　　　　　　　　　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　　１＆Ｅ
１（５）　　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～動物ａ　　　４ＵＥ
１（６）　　　　（象ａ→動物ａ）＆（～象ａ→～動物ａ）　　３５＆Ｉ
１（７）　∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆（～象ｘ→～動物ｘ）｝　６ＵＩ
（ｆ）
１（１）　∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆（～象ｘ→～動物ｘ）｝　Ａ
１（２）　　　　（象ａ→動物ａ）＆（～象ａ→～動物ａ）　　１ＵＥ
１（３）　　　　（象ａ→動物ａ）　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）　　∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）　　　　　　　　　　　　　３ＵＩ
１（５）　　　　　　　　　　　　　（～象ａ→～動物ａ）　　２＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　　　　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　　５ＵＩ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　　４６＆Ｉ
従って、
（09）により、
（10）
（ｅ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
（ｆ）∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆（～象ｘ→～動物ｘ）｝
に於いて、
（ｅ）＝（ｆ）である。
従って、
（08）（09）（10）のより、
（11）
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆  ∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
といふ「述語論理式」、並びに、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
といふ「述語論理式」、並びに、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆　（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「述語論理式」に、相当する。
然るに、
（12）
① ∀ｘ  （象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆　（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「述語論理」は、
① すべてのｘについて　（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて｛（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）｝。
③ すべてのｘについて｛（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）といふわけではない｝。
といふ、「意味」である。
従って、
（01）（11）（12）により、
（13）
①｛象｝
②｛象、机、本｝
③｛象、兎、本｝
であるならば、
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
ものの、「これらの日本語」は、
① ∀ｘ  （象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆　（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「述語論理」に相当し、「これらの述語論理」は、
① すべてのｘについて　（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて｛（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）｝。
③ すべてのｘについて｛（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）といふわけではない｝。
といふ、「意味」である。
従って、
（13）により、
（14）
① 象は動物である。
といふ風に、言ふ場合、「我々の意識（念頭）」には、
①｛象｝だけしか無いものの、
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
といふ風に、言ふ場合、「我々の意識（念頭）」には、
①｛象｝と、
②｛象｝以外（机）が、有って、
③｛象｝以外（兎）が、有ることなる。
令和０２年０５月２４日、毛利太。