「象と兎と馬が動物である。」の「述語論理」。

（01）
①｛象、机、椅子｝
であるならば、３つの中では、
① どれが動物か。
と言へば、
① 象が動物である。
然るに、
（02）
①｛象、机、椅子｝
であるならば、３つの中では、
① 象以外（机と椅子）は動物ではない。
然るに、
（03）
① 象が動物である。
ならば、
① 象は動物である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 象が動物である。⇔
① 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（05）
① ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆（～象ｘ→～動物ｘ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならばｘは動物であり、ｘが象でないならばｘは動物ではない｝。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① 象が動物である。⇔
① 象は動物であり、象以外は動物ではない。⇔
① ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆（～象ｘ→～動物ｘ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならばｘは動物であり、ｘが象でないならばｘは動物ではない｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（07）
②｛象、兎、机、椅子｝
であるならば、これらの内で、
② どれが動物か。
と言へば、
② 象と兎が動物である。
然るに、
（08）
② 象と兎が動物である。
といふことは、
② ｘが象であるか、ｘが兎であるならば、ｘは動物である。
といふことである。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
② 象と兎が動物である。⇔
② 象と兎は動物であり、象と兎以外は動物ではない。⇔
② ∀ｘ｛（象ｘ∨兎ｘ→動物ｘ）＆［～（象ｘ∨兎ｘ）→～動物ｘ］｝⇔
② すべてのｘについて｛ｘが象であるか、兎であるならば、ｘは動物であり、（ｘが象であるか兎である）のではないならば、ｘは動物ではない｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（10）
（ⅱ）
１　（１）∀ｘ｛（象ｘ∨兎ｘ→動物ｘ）＆［～（象ｘ∨兎ｘ）→　～動物ｘ］｝　Ａ
１　（２）　　　（象ａ∨兎ａ→動物ａ）＆［～（象ａ∨兎ａ）→　～動物ａ］　　１ＵＥ
１　（３）　　　（象ａ∨兎ａ→動物ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ａ∨兎ａ）→　～動物ａ）　　２＆Ｅ
　５（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆～兎ａ　　　　　　　　　Ａ
　５（６）　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ａ∨兎ａ）　　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
１５（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～動物ａ　　　４６ＭＰＰ
１　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ＆～兎ａ）→～動物ａ　　　５７ＣＰ
１　（９）　　　（象ａ∨兎ａ→動物ａ）＆［（～象ａ＆～兎ａ）→～動物ａ］　　３８＆Ｉ
１　（ア）∀ｘ｛（象ｘ∨兎ｘ→動物ｘ）＆［（～象ｘ＆～兎ｘ）→～動物ｘ］｝　９ＵＩ
（ⅲ）
１　（１）∀ｘ｛（象ｘ∨兎ｘ→動物ｘ）＆［（～象ｘ＆～兎ｘ）→～動物ｘ］｝　Ａ
１　（２）　　　（象ａ∨兎ａ→動物ａ）＆［（～象ａ＆～兎ａ）→～動物ａ］　　１ＵＥ
１　（３）　　　（象ａ∨兎ａ→動物ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ＆～兎ａ）→～動物ａ　　　２＆Ｅ
　５（５）　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ａ∨　兎ａ）　　　　　　　　Ａ
　５（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆～兎ａ　　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
１５（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～動物ａ　　　４６ＭＰＰ
１　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ａ∨象ａ）→　～動物ａ　　　５７ＣＰ
１　（９）　　　（象ａ∨兎ａ→動物ａ）＆［～（象ａ∨兎ａ）→　～動物ａ］　　３８＆Ｉ
１　（ア）∀ｘ｛（象ｘ∨兎ｘ→動物ｘ）＆［～（象ｘ∨兎ｘ）→　～動物ｘ］｝　９ＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
② ∀ｘ｛（象ｘ∨兎ｘ→動物ｘ）＆［～（象ｘ∨　兎ｘ）→～動物ｘ］｝
③ ∀ｘ｛（象ｘ∨兎ｘ→動物ｘ）＆［（～象ｘ＆～兎ｘ）→～動物ｘ］｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
③ 象と兎が動物である。⇔
③ 象と兎は動物であり、象と兎以外は動物ではない。⇔
③ ∀ｘ｛（象ｘ∨兎ｘ→動物ｘ）＆［（～象ｘ＆～兎ｘ）→～動物ｘ］｝⇔
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるか、兎であるならば、ｘは動物であり、（ｘが象ではなく、兎でもない）ならば、ｘは動物ではない｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（13）
（ⅳ）
１　（１）～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　３∨Ｉ
　２（５）　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　４∨Ｉ
１２（６）～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　１５＆
１　（７）　～Ｐ　　　　　　　　　２６ＲＡＡ
　２（８）　　　　　Ｑ　　　　　　２＆Ｅ
　２（９）　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　８∨Ｉ
　２（ア）　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　９∨Ｉ
１２（イ）～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　１ア＆Ｉ
１　（ウ）　　　　～Ｑ　　　　　　２イＲＡＡ
　２（エ）　　　　　　　　Ｒ　　　２＆Ｅ
　２（オ）　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　エ∨Ｉ
　２（カ）　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　オ∨Ｉ
１２（キ）～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　１カ＆Ｉ
１　（ク）　　　　　　　～Ｒ　　　２キＲＡＡ
１　（ケ）　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　７ウ＆Ｉ
１　（コ）　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　クケ＆Ｉ
（ⅴ）
１　　　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（３）　　　Ｐ∨（Ｑ∨　Ｒ）　　２結合法則
　　４　　　（４）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（５）　　～Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　４　　　（６）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　　　（ア）　　　　　～Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　　　９　（イ）　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１イＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　～Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　　　エ（カ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　オエ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１カＲＡＡ
　　　８　　（ク）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　８９ウエキ∨Ｅ
　２　　　　（ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　３４７８ク∨Ｅ
１２　　　　（コ）　（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１ケ＆Ｉ
１　　　　　（サ）　～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２コＲＡＡ
従って、
（13）により、
（14）
④ ～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）
⑤ 　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
④＝⑤ も、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（14）により、
（15）
④ ～（象ａ∨　兎ａ∨　馬ａ）
⑤   ～象ａ＆～兎ａ＆～馬ａ
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（11）（15）により、
（16）
② ∀ｘ｛（象ｘ∨兎ｘ→動物ｘ）＆［～（象ｘ∨　兎ｘ）→～動物ｘ］｝
③ ∀ｘ｛（象ｘ∨兎ｘ→動物ｘ）＆［（～象ｘ＆～兎ｘ）→～動物ｘ］｝
に於いて、
②＝③ であるが故に、
④ ∀ｘ｛（象ｘ∨兎ｘ∨馬ｘ→動物ｘ）＆［～（象ｘ∨　兎ｘ∨　馬ｘ）→～動物ｘ］｝
⑤ ∀ｘ｛（象ｘ∨兎ｘ∨馬ｘ→動物ｘ）＆［（～象ｘ＆～兎ｘ＆～馬ｘ）→～動物ｘ］｝
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（12）（16）により、
（17）
⑤ 象と兎と馬が動物である。⇔
⑤ 象と兎と馬は動物であり、象と兎と馬以外は動物ではない。⇔
⑤ ∀ｘ｛（象ｘ∨兎ｘ∨馬ｘ→動物ｘ）＆［（～象ｘ＆～兎ｘ＆～馬ｘ）→～動物ｘ］｝⇔
⑤ すべてのｘについて｛ｘが象であるか、兎であるか、馬であるならば、ｘは動物であり、（ｘが象ではなく、兎でもなく、馬でもない）ならば、ｘは動物ではない｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（18）
⑤｛象、兎、馬、机、椅子｝
であるならば、
⑤ 象と兎と馬が動物である。⇔
⑤ 象と兎と馬は動物であり、象と兎と馬以外（机と椅子）は動物ではない。⇔
⑤ ∀ｘ｛（象ｘ∨兎ｘ∨馬ｘ→動物ｘ）＆［（～象ｘ＆～兎ｘ＆～馬ｘ）→～動物ｘ］｝⇔
⑤ すべてのｘについて｛ｘが象であるか、兎であるか、馬であるならば、ｘは動物であり、（ｘが象ではなく、兎でもなく、馬でもない）ならば、ｘは動物ではない｝。
といふ「命題」は、「真」である。
従って、
（01）～（19）により、
（19）
① ＡがＢである。
といふ「日本語」は、
① ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
といふ「意味」である。
従って、
（19）により、
（20）
① 鼻が長い。
といふ「日本語」は、
① 鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「意味」である。
従って、
（20）により、
（21）
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
といふ「意味」である。
令和０２年０５月１８日、毛利太。