「ド・モルガンの法則、含意の定義」の拡張。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　　　Ｐ∨　Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　～Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　Ｐ＆～Ｐ　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　（１）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（　Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（　Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　　～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　７（８）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　７∨Ｉ
　２　７（９）　～（　Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ）　　１８＆Ｉ
　２　　（ア）　　　　　　～Ｑ　　　７９ＲＡＡ
　２　　（イ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　６ア＆Ｉ
１２　　（ウ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～～（　Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
１　　　（オ）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　エＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① 　　　Ｐ∨　Ｑ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
（03）
（ⅲ）
１　　　　　（１）　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　Ａ
　２　　　　（２）　　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　Ａ
１　　　　　（３）　　　Ｐ∨（Ｑ∨　Ｒ）　１結合法則
　　４　　　（４）　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（５）　　～Ｐ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２４　　　（６）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　２６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　（Ｑ∨　Ｒ）　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　　Ｑ　　　　　Ａ
　２　　　　（ア）　　　　　～Ｑ　　　　　２＆Ｅ
　２　　９　（イ）　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　２９ＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　Ｒ　　Ａ
　２　　　　（オ）　　　　　　　　～Ｒ　　２＆Ｅ
　２　　　エ（カ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　エカ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　２カＲＡＡ
　　　８　　（ク）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　８９ウエキ∨Ｅ
１　　　　　（ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　１４７８ク∨Ｅ
（ⅳ）
１　　　　　（１）　～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　Ａ
　２　　　　（２）　～（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
　　３　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　（４）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　　（５）　　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　４∨Ｉ
　２３　　　（６）　～（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２５＆Ｉ
　２　　　　（７）　　　～Ｐ　　　　　　　　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　８　　（９）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　８∨Ｉ
　　　８　　（ア）　　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　９∨Ｉ
　２　８　　（イ）　～（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２ア＆Ｉ
　　　　　　（ウ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　８イ
　　　　エ　（エ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　　　エ　（オ）　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　エ∨Ｉ
　　　　エ　（カ）　　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　オ∨Ｉ
　２　　エ　（キ）　～（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２エ＆Ｉ
　２　　　　（ク）　　　　　　　　　～Ｒ　　　エキＲＡＡ
　２　　　　（ケ）　　　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　７ウク＆Ｉ
１２　　　　（コ）　～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１ケ＆Ｉ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～～（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２コＲＡＡ
１　　　　　（シ）　　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　サＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
③       Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ
④ ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① 　　　Ｐ∨　Ｑ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）
③       Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ
④ ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（06）
「途中で嫌になる」ので「書かない」だけであって、例へば、
⑤       Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ∨　Ｓ∨　Ｔ
⑥ ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ＆～Ｓ＆～Ｔ）
に於いても、
⑤＝⑥ である。
然るに、
（05）により、
（07）
① 　  ～（Ｐ∨　Ｑ）
② ～～（～Ｐ＆～Ｑ）
③   　～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）
④ ～～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
「二重否定」により、
① ～（Ｐ∨　Ｑ）
② 　～Ｐ＆～Ｑ
③ ～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）
④   ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるものの、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（08）により、
（09）
① ～（Ｐ∨　Ｑ）
② 　～Ｐ＆～Ｑ
③ ～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）
④   ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、
①＝② に限らず、
③＝④ も、ド・モルガンの法則」であるに、違ひない。
然るに、
（05）により、
（10）
① 　　　Ｐ∨　Ｑ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① 　　　～Ｐ∨　Ｑ
② ～（～～Ｐ＆～Ｑ）
従って、
（10）により、
（11）
「二重否定（ＤＮ）」により、
① 　～Ｐ∨　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（12）
（ⅱ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　２４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　１ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
従って、
（12）により、
（13）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③　　 Ｐ→　Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（10）～（13）により、
（14）
① 　～Ｐ∨　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③　　 Ｐ→　Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐでないか、または、Ｑである。
② Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）により、
（15）　
③       Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ
④ ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③       ～Ｐ∨　～Ｑ∨　Ｒ
④ ～（～～Ｐ＆～～Ｑ＆～Ｒ）
従って、
（15）により、
（16）
「二重否定（ＤＮ）」により、
③     ～Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ
④ ～（　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（17）
（ⅳ）
１　　（１）～（Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　　　～～Ｒ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　　　Ｒ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｒ　　　２７ＣＰ
（ⅴ）
１　　（１）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｒ　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ　　　２
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　　Ｑ　　　　　　２＆Ｅ
　２　（５）　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　３４＆Ｉ
１２　（６）　　　　　　　Ｒ　　　１５ＭＰＰ
　２　（７）　　　　　　～Ｒ　　　２＆Ｅ
１２　（８）　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　６７＆Ｉ
１　　（９）～（Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）　　２８ＲＡＡ
従って、
（17）により、
（18）
④ ～（Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）
⑤     Ｐ＆Ｑ→　Ｒ
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（15）～（18）により、
（19）
③     ～Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ
④ ～（　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）
⑤       Ｐ＆　Ｑ→　Ｒ
に於いて、すなはち、
③ Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、Ｒである。
④ Ｐであって、Ｑであって、Ｒでない。といふことはない。
⑤ Ｐであって、Ｑであるならば、Ｒである。
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（14）（19）により、
（20）
「番号」を付け直すと、
①　　 Ｐ→　Ｑ
② 　～Ｐ∨　Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④     Ｐ＆　Ｑ→　Ｒ
⑤   ～Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ
⑥ ～（Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝②＝③ であって、
④＝⑤＝⑥ である。
従って、
（20）により、
（21）
①　　 Ｐ→　Ｑ
② 　～Ｐ∨　Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② であって、
①＝③ であるものの、これらの「等式」を、「含意の定義」といふ。
従って、
（20）（21）により、
（22）
④     Ｐ＆　Ｑ→　Ｒ
⑤   ～Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ
⑥ ～（Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）
に於ける、
④＝⑤ であって、
④＝⑥ であるものの、これらの「等式」の、「含意の定義」であるに、違ひない。
然るに、
（20）により、
（23）
② 　～Ｐ∨　Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
②＝③ は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（20）（23）により、
（24）
⑤   ～Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ
⑥ ～（Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）
に於ける、
⑤＝⑥ も、「ド・モルガンの法則」であるに、違ひない。
従って、
（21）～（24）により、
（25）
「ド・モルガンの法則」が成り立つが故に、「含意の定義」が成り立ち、
「含意の定義」が成り立つが故に、「ド・モルガンの法則」が成り立つ。
といふ、ことになる。
令和０２年０５月０９日、毛利太。