「とても不思議な２つ連式（～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ，Ｐ＆Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ）」について（Ⅲ）。

（01）
（ⅰ）
１　　　　（１）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ
　２　　　（２）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　　　（４）　　　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ
　２　　　（５）　　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　　　（６）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　　　（７）　～（　Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
　　８　　（８）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　　９　（９）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　９∨Ｉ
　　８９　（イ）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　８ア＆Ｉ
　　８　　（ウ）　　～～Ｐ　　　　　　９イＲＡＡ
　　８　　（エ）　　　　Ｐ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　カ∨Ｉ
　　８　オ（キ）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　８キ＆Ｉ
　　８　　（ク）　　　　　　～Ｑ　　　オキＲＡＡ
　　８　　（ケ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　エク＆Ｉ
１　８　　（コ）　～（　Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ＆～Ｑ）　　８コ＆Ｉ
１　　　　（サ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　８コＲＡＡ
１　　　　（シ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　サＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　　　～～Ｑ　　　エＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② であるが、この「等式」を、「含意の定義」とする。
従って、
（02）により、
（03）
「含意の定義」により、
①（　Ｐ→Ｑ）＆（　Ｑ→Ｐ）
②（～Ｐ∨Ｑ）＆（～Ｑ∨Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「日本語」で言ふと、
①（ＰならばＱである。）尚且つ（ＱならばＰである。）
②（Ｐでないか、または、Ｑである。）尚且つ（Ｑでないか、または、Ｐである。）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
①（ＰならばＱである。）尚且つ（ＱならばＰである。）
といふことは、
② ＰとＱは等しい。
といふ、ことである。
ｃｆ.
同値、必要十分条件。
従って、
（04）（05）により、
（06）
①　ＰとＱは等しい。
②（Ｐでないか、または、Ｑである。）尚且つ（Ｑでないか、または、Ｐである。）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
②（Ｐでないか、または、Ｑである。）尚且つ（Ｑでないか、または、Ｐである。）
といふのであれば、
②（Ｐでなくて、Ｑでない。）のかも知れないし、
②（Ｐであって、Ｑである。）のかも知れない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
①「ＰとＱは等しい。」からと言って、
②「Ｐでなくて、Ｑでない。」とは言へないし、
③「Ｐであって、Ｑである。」とは言へない。
従って、
（08）により、
（09）
「記号」で書くと、
①　（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
②（～Ｐ＆～Ｑ）
③（　Ｐ＆　Ｑ）
に於いて、
① であるからと言って、
② であるとは限らないし、
③ であるとは限らない。
従って、
（08）（09）により、
（10）
②（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（～Ｐ＆～Ｑ）
③（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（　Ｐ＆　Ｑ）
といふ「連式（Sequent）」、すなはち、
② ＰとＱは等しい。故に、Ｐでなくて、Ｑでない。
③ ＰとＱは等しい。故に、Ｐであって、Ｑである。
といふ「連式（Sequent）」は「妥当（Valid）」ではない。
然るに、
（11）
（ⅳ）
１（１）～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
１（２）～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨　Ｑ　　　２∨Ｉ
１（４）　Ｐ→　Ｑ　　　３含意の定義
１（５）　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨　Ｐ　　　５∨Ｉ
１（７）　Ｑ→　Ｐ　　　６含意の定義
１（８）（Ｐ→　Ｑ）＆
　　　　（Ｑ→　Ｐ）　　４７＆Ｉ
１（９）　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
１（ア）～Ｐ　　　　　　４９ＭＴＴ
１（イ）　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
１（ウ）～Ｐ　　　　　　７イＭＴＴ
１（エ）～Ｐ＆～Ｑ　　　ウア＆Ｉ
（ⅴ）
１（１）　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
１（２）　　　　Ｑ　　　１＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨　Ｑ　　　２∨Ｉ
１（４）　Ｐ→　Ｑ　　　３含意の定義
１（５）　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨　Ｐ　　　５∨Ｉ
１（７）　Ｑ→　Ｐ　　　６含意の定義
１（８）（Ｐ→　Ｑ）＆
　　　　（Ｑ→　Ｐ）　　４７＆Ｉ
１（９）　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１（ア）　　　　Ｑ　　　４９ＭＰＰ
１（イ）　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１（ウ）　　　　Ｐ　　　７イＭＰＰ
１（エ）　Ｐ＆　Ｑ　　　ウア＆Ｉ
従って、
（11）により、
（12）
④（～Ｐ＆～Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（～Ｐ＆～Ｑ）
⑤（　Ｐ＆　Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（　Ｐ＆　Ｑ）
といふ「連式（Sequent）」、すなはち、
④ Ｐでなくて、Ｑでない。故に、ＰとＱは等しい。故に、Ｐでなくて、Ｑでない。
⑤ Ｐであって、Ｑである。故に、ＰとＱは等しい。故に、Ｐであって、Ｑである。
といふ「連式（Sequent）」は「妥当（Valid）」である。
従って、
（10）（12）により、
（13）
②　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（～Ｐ＆～Ｑ）
③　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（　Ｐ＆　Ｑ）
④（～Ｐ＆～Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（～Ｐ＆～Ｑ）
⑤（　Ｐ＆　Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（　Ｐ＆　Ｑ）
に於いて、
② は「妥当」ではなく、
③ も「妥当」ではなく、
④ は「妥当」であり、
⑤ も「妥当」である。
然るに、
（13）により、
（14）
② は「妥当」ではなく、
③ も「妥当」ではなく、
④ は「妥当」であり、
⑤ も「妥当」である。
といふことは、
②（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
③（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
④（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
⑤（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
に於いて、
② と ③ の「それ」と、
④ と ⑤ の「それ」は、「同じ」ではない。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
（13）（14）により、
（15）
②　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（～Ｐ＆～Ｑ）
③　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（　Ｐ＆　Ｑ）
④（～Ｐ＆～Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（～Ｐ＆～Ｑ）
⑤（　Ｐ＆　Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（　Ｐ＆　Ｑ）
に於ける、
②（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
③（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
④（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
⑤（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
を、「一律」に、
② ＰとＱは等しい。
③ ＰとＱは等しい。
④ ＰとＱは等しい。
⑤ ＰとＱは等しい。
といふ「意味」であると捉へることは、「マチガイ」である。
従って、
（10）（12）（15）により、
（16）
④（～Ｐ＆～Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（～Ｐ＆～Ｑ）
⑤（　Ｐ＆　Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（　Ｐ＆　Ｑ）
④ Ｐでなくて、Ｑでない。故に、ＰとＱは等しい。故に、Ｐでなくて、Ｑでない。
⑤ Ｐであって、Ｑである。故に、ＰとＱは等しい。故に、Ｐであって、Ｑである。
であるにも拘らず、
④（～Ｐ＆～Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
⑤（　Ｐ＆　Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
④ Ｐでなくて、Ｑでない。故に、ＰとＱは等しい。
⑤ Ｐであって、Ｑである。故に、ＰとＱは等しい。
だけを「切り取って」、「どうして、さうなるのであらう。」と、「頭を悩ます必要」は無い。
令和０２年０５月０８日、毛利太。