「量化子の関係」と「ド・モルガンの法則」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　∃ｘ（　Ｆｘ）　Ａ
　２　（２）　∀ｘ（～Ｆｘ）　Ａ
　　３（３）　　　　　Ｆａ　　Ａ
　２　（４）　　　　～Ｆａ　　２ＵＥ
　２３（５）　Ｆａ＆～Ｆａ　　３４＆Ｉ
１　３（６）　Ｆａ＆～Ｆａ　　１３５ＥＥ
１　　（７）～∀ｘ（～Ｆｘ）　３６ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）　～∀ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　～∃ｘ（　Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　　Ｆａ　　　Ａ
　　３（４）　　∃ｘ（　Ｆｘ）　　３ＥＩ
　２３（５）　～∃ｘ（　Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∃ｘ（　Ｆｘ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　　　　～Ｆａ　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　∀ｘ（～Ｆｘ）　　６ＵＩ
１２　（８）　～∀ｘ（～Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∀ｘ（～Ｆｘ）　　１７＆Ｉ
１　　（９）～～∃ｘ（　Ｆｘ）　　２８ＲＡＡ
１　　（ア）　　∃ｘ（　Ｆｘ）　　９ＤＮ
（ⅲ）
１　（１）～∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　２（２）　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　２（３）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　２ＥＩ
１２（４）～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
　　　　　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　１３＆Ｉ
１　（５）　　　～～Ｆａ　　　２４ＲＡＡ
１　（６）　　　　　Ｆａ　　　５ＤＮ
１　（７）　∀ｘ（　Ｆｘ）　　６ＵＩ
（ⅳ）
１　　（１）　∀ｘ（　Ｆｘ）　Ａ
　２　（２）　∃ｘ（～Ｆｘ）　Ａ
１　　（３）　　　　　Ｆａ　　１ＵＥ
　　４（４）　　　　～Ｆａ　　Ａ
１　４（５）　Ｆａ＆～Ｆａ　　３４＆Ｉ
１２　（６）　Ｆａ＆～Ｆａ　　２４５ＥＥ
１　　（７）～∃ｘ（～Ｆｘ）　２６ＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
①　 ∃ｘ（　Ｆｘ）
② ～∀ｘ（～Ｆｘ）
③ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
④   ∀ｘ（　Ｆｘ）
に於いて、すなはち、
① 　　あるｘはＦである。
② すべてのｘがＦでない。といふわけではない。
③     あるｘがＦでない。といふことはない。
④ すべてのｘはＦである。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、これらの「等式」を、「量化子の関係」といふ。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　　　　（１）　　　Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ　　Ａ
１　　　　　（２）　　　Ｆａ∨（Ｆｂ∨　Ｆｃ）　１結合法則
　３　　　　（３）　　～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ　　Ａ
　　４　　　（４）　　　Ｆａ　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　～Ｆａ　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　　　Ｆｂ∨　Ｆｃ　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　Ａ
　３　　　　（ア）　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　３＆Ｅ
　３　　９　（イ）　　　　　　　Ｆｂ＆～Ｆｂ　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）　３イＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　Ａ
　３　　　　（オ）　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　３＆Ｅ
　３　　　エ（カ）　　　　　　　Ｆｃ＆～Ｆｃ　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）　３カＲＡＡ
　　　８　　（ク）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）　８９ウエキ∨Ｅ
１　　　　　（ケ）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）　２４７８ク∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　　（１）　～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）　　Ａ
　２　　　（２）　～（  Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ）　　Ａ
　　３　　（３）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　　Ｆａ∨　Ｆｂ　　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　　Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ　　　４∨Ｉ
　２３　　（６）　～（  Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ）　　２５＆Ｉ
　２　　　（７）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　３６ＲＡＡ
　　　８　（８）　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　　　８　（９）　　　　Ｆａ∨　Ｆｂ　　　　　　　８∨Ｉ
　　　８　（ア）　　　　Ｆａ∨　Ｆｂ　　　　　　　９∨Ｉ
　　　８　（イ）　　　　Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ　　　ア∨Ｉ
　２　８　（ウ）　～（  Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ）　　２イ＆Ｉ
　２　　　（エ）　　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　８ウＲＡＡ
　　　　オ（オ）　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　　　　　　Ｆｂ∨　Ｆｃ　　　オ∨Ｉ
　　　　オ（キ）　　　　Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ　　　カ∨Ｉ
　２　　オ（ク）　～（  Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ）　　２キ＆Ｉ
　２　　　（ケ）　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　オクＲＡＡ
　２　　　（コ）　　　～Ｆａ＆～Ｆｂ　　　　　　　７エ＆Ｉ
　２　　　（サ）　　　～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ　　　ケコ＆Ｉ
１２　　　（シ）　～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）　　１サ＆Ｉ
１　　　　（ス）～～（　Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ）　　２シＲＡＡ
１　　　　（セ）　　（  Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ）　　スＤＮ
（ⅲ）
１　　　　（１）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　　Ａ
　２　　　（２）　～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　　Ａ
　　３　　（３）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　　４∨Ｉ
１　３　　（６）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　　１５＆Ｉ
１　　　　（７）　　～～Ｆａ　　　　　　　　　　　　３６ＲＡＡ
１　　　　（８）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　７ＤＮ
　　　９　（９）　　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　　９∨Ｉ
　　　９　（イ）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　　ア∨Ｉ
１　　９　（ウ）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　　１イ＆Ｉ
１　　　　（エ）　　　　　　～～Ｆｂ　　　　　　　　９うＲＡＡ
１　　　　（オ）　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　　エＤＮ
　　　　カ（カ）　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　　Ａ
　　　　カ（キ）　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　　カ∨Ｉ
　　　　カ（ク）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　　キ∨Ｉ
１　　　カ（ケ）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　　１ク＆Ｉ
１　　　　（コ）　　　　　　　　　　～～Ｆｃ　　　　カケＲＡＡ
１　　　　（サ）　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　　コＤＮ
１　　　　（シ）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ　　　　　　　　８オ＆Ｉ
１　　　　（ス）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ　　　　サシ＆Ｉ
１２　　　（セ）　～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　　２ス＆Ｕ
１　　　　（ソ）～～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　　２ＲＡＡ
１　　　　（タ）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ　　　　ソＤＮ
（ⅳ）
１　　　　　（１）　　　Ｆａ＆　　Ｆｂ＆　Ｆｃ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　～Ｆａ∨　～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　Ａ
　２　　　　（３）　　～Ｆａ∨（～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２結合法則
　　４　　　（４）　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（５）　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　４　　　（６）　　～Ｆａ＆Ｆａ　　　　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）　～（Ｆａ＆　　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　１６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　Ａ
１　　　　　（ア）　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　１＆Ｅ
１　　　９　（イ）　　　　　　　～Ｆｂ＆Ｆｂ　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）　～（Ｆａ＆　　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　１イＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　Ａ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　１＆Ｅ
１　　　　エ（カ）　　　　　　　　～Ｆｃ＆Ｆｃ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）　～（Ｆａ＆　　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　１カＲＡＡ
　　　８　　（ク）　～（Ｆａ＆　　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　８９ウエキ∨Ｅ
　２　　　　（ケ）　～（Ｆａ＆　　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　２４７８ク∨Ｅ
１２　　　　（コ）　　（Ｆａ＆　　Ｆｂ＆　Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　～（Ｆａ＆　　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　１ケ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～（～Ｆａ∨　～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２コＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
①　     Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ
② ～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
③ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　
④       Ｆａ＆  Ｆｂ＆　Ｆｃ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、これらの「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（05）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛ｘの変域｝であるとすると、
①　 ∃ｘ（　Ｆｘ）
② ～∀ｘ（～Ｆｘ）
③ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
④   ∀ｘ（　Ｆｘ）
は、それぞれ、
①　 （  Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ）
② ～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
③ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
④　 （　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
といふ「式」に「等しい」。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
｛ｘの変域｝が｛ａ、ｂ、ｃ｝であるとして、
① 　　あるｘはＦである。
② すべてのｘがＦでない。といふわけではない。
に於いて、
①＝② である。といふことは、
①　 ∃ｘ（　Ｆｘ）≡　 （  Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ）
② ～∀ｘ（～Ｆｘ）≡ ～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である。といふことであって、
③     あるｘがＦでない。といふことはない。
④ すべてのｘはＦである。
に於いて、
③＝④ である。といふことは、
③ ～∃ｘ（～Ｆｘ）≡ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
④   ∀ｘ（　Ｆｘ）≡   （　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である。といふことである。
従って、
（06）により、
（07）
① 　　あるｘはＦである。
② すべてのｘがＦでない。といふわけではない。
に於いて、
①＝② である。といふことを「知ってゐる」のであれば、その人は、
①   （  Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ）
② ～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である。といふ「ド・モルガンの法則」を、「知ってゐる」ことになる。
令和０２年０５月２２日、毛利太。