「私は、明日は忙しい。」と「私の明日は、忙しい。」の「述語論理」。

（01）
―「昨日（令和０２年５月２７日）」も書いた通り、―
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ→（　Ｑ→Ｒ）　Ａ
１　　（２）～Ｐ∨（　Ｑ→Ｒ）　１含意の定義
　３　（３）～Ｐ　　　　　　　　Ａ
　３　（４）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　３∨Ｉ
　　５（５）　　　（　Ｑ→Ｒ）　Ａ
　　５（６）　　　（～Ｑ∨Ｒ）　５含意の定義
　　５（７）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　６∨Ｉ
１　　（８）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　１３４５７∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　Ａ
１　　（２）　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）　１含意の定義
　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　Ａ
１３　（４）　　　　～Ｑ∨Ｒ　　２３ＭＰＰ
１３　（５）　　　　　Ｑ→Ｒ　　４含意の定義
１　　（６）　Ｐ→（　Ｑ→Ｒ）　３５ＣＰ
（ⅲ）
１　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｒ　Ａ
１　　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｒ　１含意の定義
　３　　（３）　～（Ｐ→Ｑ）　　　Ａ
　　４　（４）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　Ａ
　　４　（５）　　　Ｐ→Ｑ　　　　４含意の定義
　３４　（６）　～（Ｐ→Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　　　３５＆Ｉ
　３　　（５）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　４６ＲＡＡ
　３　　（６）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　５ド・モルガンの法則
　３　　（７）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｒ　６∨Ｉ
　　　８（８）　　　　　　　　Ｒ　Ａ　　
　　　８（９）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｒ　８∨Ｉ
１　　　（ア）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｒ　２３７８９∨Ｅ
（ⅳ）
１　　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｒ　Ａ
　２　　（２）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　Ａ
　２　　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　２ド・モルガンの法則
　　３　（４）　　　Ｐ→Ｑ　　　　Ａ
　　３　（５）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　４含意の定義
　２３　（６）～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　　３５＆Ｉ
　２　　（７）　～（Ｐ→Ｑ）　　　３６ＲＡＡ
　２　　（８）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｒ　７∨Ｉ
　　　９（９）　　　　　　　　Ｒ　Ａ
　　　９（ア）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｒ　９∨Ｉ
１　　　（イ）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｒ　１２８９ア∨Ｉ
１　　　（ウ）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｒ　イ含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
①   Ｐ→（　Ｑ→Ｒ）
② ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）
③ （Ｐ→  Ｑ）→Ｒ
④ （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（03）
② ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）
④ （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｒ
に於いて、例へば、
② ～偽∨（～偽∨偽）≡　１＋（１＋０）≡１
④ （偽＆～偽）∨偽　≡（０×１）＋０　≡０
であるならば、
② は「真（１）」であるが、
④ は「偽（０）」である。
従って、
（03）により、
（04）
② ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）
④ （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｒ
に於いて、
②＝④ ではない。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
①  Ｐ→（Ｑ→Ｒ）≡　Ｐならば（ＱならばＲである）。
③（Ｐ→Ｑ）→Ｒ　≡（ＰならばＱ）ならばＲである。
に於いて、
①＝③ ではない。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１　（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　Ａ
　２（２）（Ｐ＆Ｑ）　　　　Ａ
　２（３）　Ｐ　　　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　Ｑ→Ｒ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　Ｑ　　　　２＆Ｅ
１２（６）　　　　　　Ｒ　　４５ＭＰＰ
１　（７）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　２６ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　Ｑ　　　　Ａ
　２３（４）　Ｐ＆Ｑ　　　　２３＆Ｉ
１２３（５）　　　　　　Ｒ　１４ＭＰＰ
１２　（６）　　　Ｑ→Ｒ　　３５ＣＰ
１　　（７）Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　２６ＣＰ
従って、
（06）により、
（07）
①　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）≡　Ｐならば（ＱならばＲである）。
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　≡（ＰであってＱ）ならばＲである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）（07）により、
（08）
①  Ｐ→（Ｑ→Ｒ）≡　Ｐならば（ＱならばＲである）。
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　≡（ＰであってＱ）ならばＲである。
③（Ｐ→Ｑ）→Ｒ　≡（ＰならばＱ）ならばＲである。
に於いて、
①＝② であるが、
①＝③ ではない。
従って、
（08）により、
（09）
Ｐ＝私
Ｑ＝明日
Ｒ＝忙しい
であるとすると、
①  Ｐ→（Ｑ→Ｒ）≡　私は（明日は忙しい）。
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　≡（私の明日）は忙しい。
③（Ｐ→Ｑ）→Ｒ　≡（私は明日）は忙しい。
に於いて、
①＝② であるが、
①＝③ ではない。
従って、
（09）により、
（10）
①  Ｐ→（Ｑ→Ｒ）≡私は、明日は忙しい。
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　≡私の明日は、忙しい。
③（Ｐ→Ｑ）→Ｒ　≡私は明日は、忙しい。
に於いて、
①＝② であるが、
①＝③ ではない。
然るに、
（11）
② 私の明日は、忙しい。
といふ「日本語」は、「普通」である。
然るに、
（12）
① 私は明日は忙しい。
③ 私は明日は忙しい。
の、それぞれの「一ケ所」に「点」を加へるとしたら、
① 私は、明日は忙しい。
③ 私は明日は、忙しい。
に於いて、「普通」は、
① であって、
② ではない、はずである。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
① 私は、明日は忙しい。
② 私の明日は、忙しい。
③ 私は明日は、忙しい。
に於いて、
① は「普通」であって、
② も「普通」であるが、
③ は「普通」ではなく、尚且つ、
①＝② ではあるが、
②＝③ ではない。
然るに、
（14）
（ⅰ）
１　　　（１）∃ｘ｛私ｘ→∃ｙ（明日ｙｘ→忙ｙ）｝　Ａ
　２　　（２）　　　私ａ→∃ｙ（明日ｙａ→忙ｙ）　　１ＵＥ
　　３　（３）　　　私ａ＆　　　明日ｂａ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　私ａ　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　２３　（５）　　　　　　∃ｙ（明日ｙａ→忙ｙ）　　２４ＭＰＰ
　　　６（６）　　　　　　　　　明日ｂａ→忙ｂ　　　Ａ
　　３　（７）　　　　　　　　　明日ｂａ　　　　　　３＆Ｅ
　　３６（８）　　　　　　　　　　　　　　忙ｂ　　　６７ＭＰＰ
　２３　（９）　　　　　　　　　　　　　　忙ｂ　　　５６８ＥＥ
　２　　（ア）　　　　　　私ａ＆明日ｂａ→忙ｂ　　　３９ＣＰ
　２　　（イ）　　　∃ｙ｛私ａ＆明日ｙａ→忙ｙ｝　　アＥＩ
　２　　（ウ）　∃ｘ∃ｙ｛私ｘ＆明日ｙｘ→忙ｙ｝　　イＥＩ
１　　　（エ）　∃ｘ∃ｙ｛私ｘ＆明日ｙｘ→忙ｙ｝　　１２ウＥＥ
（ⅱ）
１　　　　（１）　∃ｘ∃ｙ｛私ｘ＆明日ｙｘ→忙ｙ｝　　Ａ
　２　　　（２）　　　∃ｙ｛私ａ＆明日ｙａ→忙ｙ｝　　Ａ
　　３　　（３）　　　　　　私ａ＆明日ｂａ→忙ｂ　　　Ａ
　　　４　（４）　　　　　　私ａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　５（５）　　　　　　　　　明日ｂａ　　　　　　Ａ
　　　４５（６）　　　　　　私ａ＆明日ｂａ　　　　　　４５＆Ｉ
　　３４５（７）　　　　　　　　　　　　　　忙ｂ　　　４６ＭＰＰ
　　３４　（８）　　　　　　　　　明日ｂａ→忙ｂ　　　５７ＣＰ
　　３４　（９）　　　　　　∃ｙ（明日ｙａ→忙ｙ）　　８ＥＩ
　　３　　（ア）　　　私ａ→∃ｙ（明日ｙａ→忙ｙ）　　４９ＣＰ
　２　　　（イ）　　　私ａ→∃ｙ（明日ｙａ→忙ｙ）　　２３アＥＥ
　２　　　（ウ）∃ｘ｛私ａ→∃ｙ（明日ｙａ→忙ｙ）｝　イＥＩ
１　　　　（エ）∃ｘ｛私ａ→∃ｙ（明日ｙａ→忙ｙ）｝　１２ウＥＥ
従って、
（14）により、
（15）
① ∃ｘ｛私ｘ→∃ｙ（明日ｙｘ→忙ｙ）｝
② ∃ｘ∃ｙ｛私ｘ＆　明日ｙｘ→忙ｙ｝
に於いて、すなはち、
① あるｘが私であるならば、あるｙがｘの明日であるならば、ｙは忙しい。
② あるｘとあるｙについて、ｘが私であって、ｙがｘの明日ならば、ｙは忙しい。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
① ∃ｘ｛私ｘ→∃ｙ（明日ｙｘ→忙ｙ）｝≡私は、明日は忙しい。
② ∃ｘ∃ｙ｛私ｘ＆　明日ｙｘ→忙ｙ｝　≡私の明日は、忙しい。
に於いて、
①＝② である。
令和０２年０５月２８日、毛利太。