「移出律・移入律」と「ド・モルガンの法則」と「含意の定義」。

（01）
「結論」として、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ
③（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＆Ｓ）→Ｔ
④　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
⑤  Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｓ））
⑥　Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→Ｔ）））
⑦ ～Ｒ→（Ｐ→～Ｑ）
⑧ ～Ｓ→（Ｐ→（Ｑ→～Ｒ））
⑨ ～Ｔ→（Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→～Ｓ）））
に於いて、
①＝④＝⑦
②＝⑤＝⑧
③＝⑥＝⑨
といふ「等式」が成立します。
（02）
（ⅰ）
１　　（１）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　Ｑ　　　　　３
　２３（４）（Ｐ＆Ｑ）　　　　２３＆Ｉ
１２３（５）　　　　　　Ｒ　　１４ＭＰＰ
１２　（６）　　　　Ｑ→Ｒ　　３５ＣＰ
１　　（７）　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　２６ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　Ａ
　２　（２）（Ｐ＆Ｑ）　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　　Ｑ→Ｒ　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　Ｑ　　　　２＆Ｅ
１２　（６）　　　　　　Ｒ　　４５ＭＰＰ
１　　（７）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　２６ＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
（04）
（ⅲ）
１　　　（１）　（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ　　Ａ　
　２　　（２）　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　４（４）　　　　　　Ｒ　　　　　Ａ
　２３　（５）　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　２３＆Ｉ
　２３４（６）　　Ｐ＆Ｑ＆Ｒ　　　　　４５＆Ｉ
１２３４（７）　　　　　　　　Ｓ　　　１６ＭＰＰ
１２３　（８）　　　　　　Ｒ→Ｓ　　　４７ＣＰ
１２　　（９）　　　Ｑ→（Ｒ→Ｓ）　　３８ＣＰ
１　　　（ア）Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｓ））　２９ＣＰ
（ⅳ）
１　　　（１）　Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｓ））　Ａ
　２　　（２）（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）　　　　　　Ａ
　２　　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　２＆Ｉ
１２　　（４）　　　　Ｑ→（Ｒ→Ｓ）　　１３ＭＰＰ
　２　　（５）　　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ
１２　　（６）　　　　　　　Ｒ→Ｓ　　　４５ＭＰＰ
　２　　（７）　　　　　　　Ｒ　　　　　２＆Ｅ
１２　　（８）　　　　　　　　　Ｓ　　　６７ＭＰＰ
１　　　（９）　（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ　　　２８ＣＰ
（04）により、
（05）
③（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ
④  Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｓ））
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（03）（05）により、
（06）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ
④  Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｓ））
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（02）～（06）により、
（07）
「数学的帰納法（？）」により、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ
④  Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｓ））
⑤（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＆Ｓ）→Ｔ
⑥　Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→Ｔ）））
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
⑤＝⑥ である。
従って、
（07）により、
（08）
「番号」を付け直すと、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ
③（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＆Ｓ）→Ｔ
④　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
⑤  Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｓ））
⑥　Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→Ｔ）））
に於いて、
①＝④ であって、
②＝⑤ であって、
③＝⑥ である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　２３　（６）　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　３ＲＡＡ
　２　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　７ＤＮ
　　　９（９）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　９（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　９∨Ｉ
　２　９（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２ア＆Ｉ
　２　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　９イＲＡＡ
　２　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　ウＤＮ
　２　　（オ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　８エ＆Ｉ
１２　　（カ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）
１　　　（キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２カＲＡＡ
１　　　（ク）　　　～Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ）
１　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　～Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　　Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　～Ｑ＆Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆　Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆　Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
従って、
（09）により、
（10）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（11）
（ⅲ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　３∨Ｉ
　　３　（５）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　４∨Ｉ
　２３　（６）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２５＆Ｉ
　２　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　　　　３６ＤＮ
　２　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　　　　７ＤＮ
　　９　（９）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　９　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　９∨Ｉ
　　９　（イ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　ア∨Ｉ
　２９　（ウ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２９＆Ｉ
　２　　（エ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　９ＲＡＡ
　２　　（オ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　エＤＮ
　　　カ（カ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　カ（キ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　カ∨Ｉ
　　　カ（ク）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　キ∨Ｉ
　２　カ（ケ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２ク＆Ｉ
　２　　（コ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　カケＲＡＡ
　２　　（サ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　コＤＮ
　２　　（シ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　８オ＆Ｉ
　２　　（ス）　　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　サシ＆Ｉ
１２　　（セ）　～（　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ）　　１ス＆Ｉ
１　　　（ソ）～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２セＲＡＡ
１　　　（タ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　ソＤＮ
（ⅳ）
１　　　　　（１）　　　～Ｐ∨　～Ｑ∨～Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（２）　　　～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ）　　１結合法則
　３　　　　（３）　　　　Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ
　　４　　　（４）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）　　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　３　　　　（ア）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
　３　　９　（イ）　　　　　　　～Ｑ＆　Ｑ　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）　　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ）　　３イＲＡＡ
　　　　　エ（オ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　３　　　　（カ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　３＆Ｅ
　３　　　エ（キ）　　　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　オカ＆Ｉ
　　　　　エ（ク）　　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ）　　３キＲＡＡ
　　　８　　（ケ）　　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ）　　８９ウエク∨Ｅ
１　　　　　（コ）　　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ）　　２４７８ケ∨Ｅ
１３　　　　（サ）　　　（Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ）　　３＆コ
１　　　　　（シ）　　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ）　　３サＲＡＡ
従って、
（11）により、
（12）
③ ～（Ｐ＆  Ｑ＆  Ｒ）
④   ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
に於いて、
③＝④ であって、この「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふに、違ひない。
従って、
（10）（12）により、
（13）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ＆  Ｑ＆  Ｒ）
④   ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（09）～（13）により、
（14）
「数学的帰納法（？）」により、
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ＆  Ｑ＆  Ｒ）
④   ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
⑤ ～（Ｐ＆  Ｑ＆  Ｒ＆　Ｓ）
⑥   ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
⑤＝⑥ である。
然るに、
（15）
（ⅲ）
１　　　　（１）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ
　２　　　（２）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　　　（４）　　　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ
　２　　　（５）　　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　　　（６）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　　　（７）　～（　Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
　　８　　（８）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　　９　（９）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　９∨Ｉ
　　８９　（イ）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　７ア＆Ｉ
　　８　　（ウ）　　～～Ｐ　　　　　　９イＲＡＡ
　　８　　（エ）　　　　Ｐ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　オ∨Ｉ
　　８　オ（キ）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　７カ＆Ｉ
　　８　　（ク）　　　　　　～Ｑ　　　オキＲＡＡ
　　８　　（ケ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　エク＆Ｉ
１　８　　（コ）　～（　Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ＆～Ｑ）　　８ケ＆Ｉ
１　　　　（サ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　８コＲＡＡ
１　　　　（シ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　サＤＮ
（ⅳ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨ＥＥ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（15）により、
（16）
① 　Ｐ→Ｑ≡Ｐならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨Ｑ≡Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を、「含意の定義」といふ。
然るに、
（17）
（ⅰ）
１　（１）　　　（Ｐ＆　Ｑ）→Ｒ　Ａ
　２（２）　　　　　　　　　～Ｒ　Ａ
１２（３）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　　１２ＭＴＴ
１２（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　３ド・モルガンの法則
１２（５）　　　　Ｐ→～Ｑ　　　　４含意の定義
１　（６）～Ｒ→（Ｐ→～Ｑ）　　　２５ＣＰ
（ⅶ）
１　　（１）　～Ｒ→（Ｐ→～Ｑ）　Ａ
　２　（２）　　　　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
　　３（３）　～Ｒ　　　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　　　Ｐ→～Ｑ　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１２３（６）　　　　　　　～Ｑ　　４５ＭＰＰ
　３　（７）　　　　　　　　Ｑ　　２＆Ｅ
１２３（８）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　６７＆Ｉ
１２　（９）～～Ｒ　　　　　　　　３ＲＡＡ
１２　（ア）　　Ｒ　　　　　　　　９ＤＮ
１　　（イ）　（Ｐ＆　Ｑ）→Ｒ　　２アＣＰ　
従って、
（17）により、
（18）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
⑦ ～Ｒ→（Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
①＝⑦ である。
然るに、
（19）
（ⅱ）
１　　　（１）　　（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）→Ｓ　Ａ
　２　　（２）　　　　　　　　　　　　～Ｓ　Ａ
１２　　（３）　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　　１２ＭＴＴ
１２　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　　３ド・モルガンの法則
１２　　（５）　　～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ）　　　４結合法則
１２　　（６）　　　Ｐ→（～Ｑ∨～Ｒ）　　　５含意の定義
　　７　（７）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
１２７　（８）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　　６７ＭＰＰ
１２７　（９）　　　　　　　Ｑ→～Ｒ　　　　８含意の定義
　　　ア（ア）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ
１２７ア（イ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　　９アＭＰＰ
１２７　（ウ）　　　　　　　Ｑ→～Ｒ　　　　アイＣＰ
１２　　（エ）　　　　Ｐ→（Ｑ→～Ｒ）　　　７ウＣＰ
１　　　（オ）～Ｓ→（Ｐ→（Ｑ→～Ｒ））　　２エＣＰ
（ⅷ）
１　　（１）　～Ｓ→（Ｐ→（Ｑ→～Ｒ））　Ａ
　２　（２）　　　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ
　　３（３）　～Ｓ　　　　　　　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　　　Ｐ→（Ｑ→～Ｒ）　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　　Ｐ　　　　　　　　　２＆Ｅ
１２３（６）　　　　　　　　Ｑ→～Ｒ　　　４５ＭＰＰ
　２　（７）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　２＆Ｅ
１２３（８）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　６７ＭＰＰ
　２　（９）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　２＆Ｅ
１２３（ア）　　　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　８９＆Ｉ
１２　（イ）～～Ｓ　　　　　　　　　　　　３アＲＡＡ
１２　（ウ）　　Ｓ　　　　　　　　　　　　イＤＮ
１　　（エ）（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）→Ｓ　　　２ウＣＰ
従って、
（19）により、
（20）
② （Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ
⑧ ～Ｓ→（Ｐ→（Ｑ→～Ｒ））
に於いて、
②＝⑧ である。
従って、
（18）（20）により、
（21）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ
⑦ ～Ｒ→（Ｐ→～Ｑ）
⑧ ～Ｓ→（Ｐ→（Ｑ→～Ｒ））
に於いて、
①＝⑦ であって、
②＝⑧ である。
従って、
（21）により、
（22）
「数学的帰納法（？）」により、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ
③（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＆Ｓ）→Ｔ
⑦ ～Ｒ→（Ｐ→～Ｑ）
⑧ ～Ｓ→（Ｐ→（Ｑ→～Ｒ））
⑨ ～Ｔ→（Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→～Ｓ）））
①＝⑦ であって、
②＝⑧ であって、
③＝⑨ である。
従って、
（08）（22）により、
（23）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ
③（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＆Ｓ）→Ｔ
④　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
⑤  Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｓ））
⑥　Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→Ｔ）））
⑦ ～Ｒ→（Ｐ→～Ｑ）
⑧ ～Ｓ→（Ｐ→（Ｑ→～Ｒ））
⑨ ～Ｔ→（Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→～Ｓ）））
に於いて、
に於いて、
①＝④＝⑦ であって、
②＝⑤＝⑧ であって、
③＝⑥＝⑨ である。
令和０２年０５月３１日、毛利太。