「ＯＫＷＡＶＥ（解決済み）」に勝手に回答。

（01）
解決済みの問題
論理式は真理表を使わないと証明できないでしょうか？（「P→『Q∨R』」⇔「『P∧￢Q』→R」）
お世話になります。よろしくお願いします（OKWAVE 2009-02-10 06:14:02）。
（02）
質問者が選んだベストアンサー（2009-02-10 11:12:25）
・真理表で証明する: 所詮 8通り×いくつか, だからこのくらいなら力技でもいける.
・式の変形だけで示す: 「ドモルガンの法則」が必要.
・推論規則を使う: たぶんこれが本筋. きれいに示そうとすると先を読む必要があって面倒だけど.
いずれにしても「ドモルガンの法則」は「論理をかじった人なら知っていないと恥ずかしい」レベルだと思ってください.
（03）
　―「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」を使ふ場合。―
（ⅰ）
１　　　（１）Ｐ→（Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　２　　（２）Ｐ＆～Ｑ　　　　Ａ
　２　　（３）Ｐ　　　　　　　２＆Ｅ
１２　　（４）　　　Ｑ∨Ｒ　　１２ＭＰＰ
１２　　（５）　～～Ｑ∨Ｒ　　４ＤＮ
１２　　（６）　　～Ｑ→Ｒ　　５含意の定義
　２　　（７）　　～Ｑ　　　　２＆Ｅ
１２　　（８）　　　　　Ｒ　　６７ＭＰＰ
１　　　（９）Ｐ＆～Ｑ→Ｒ　　２８ＣＰ
（ⅱ）
１　　　（１）　　Ｐ＆～Ｑ→　Ｒ　　Ａ
１　　　（２）～（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｒ　　１含意の定義
　３　　（３）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　Ａ
　３　　（４）　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　　（５）　　Ｐ→　Ｑ　　　　　４含意の定義
　　６　（６）　　Ｐ　　　　　　　　Ａ
　３６　（７）　　　　　Ｑ　　　　　５６ＭＰＰ
　３６　（８）　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　７∨Ｉ
　３　　（９）　　Ｐ→（Ｑ∨　Ｒ）　６８ＣＰ　　
　　　ア（ア）　　　　　　　　Ｒ　　Ａ
　　　ア（イ）　　　　（Ｑ∨　Ｒ）　ア∨Ｉ
　　　ア（ウ）　～Ｐ∨（Ｑ∨　Ｒ）　イ∨Ｉ
　　　ア（エ）　　Ｐ→（Ｑ∨　Ｒ）　ウ含意の定義
１　　　（オ）　　Ｐ→（Ｑ∨　Ｒ）　２３９アエ∨Ｅ
（04）
　―「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」を使はないで、わざと「難しく」した場合。―
（ⅰ）
１　　　　　　（１）Ｐ→（Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
　２　　　　　（２）Ｐ＆～Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　　　　（３）Ｐ　　　　　　　　　２＆Ｅ
１２　　　　　（４）　　　Ｑ∨　Ｒ　　　１２ＭＰＰ
　　５　　　　（５）　　～Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ
　　　６　　　（６）　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　５　　　　（７）　　～Ｑ　　　　　　５＆Ｅ
　　５６　　　（８）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　６７＆Ｉ
　　　６　　　（９）～（～Ｑ＆～Ｒ）　　５８＆Ｉ
　　　　ア　　（ア）　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　５　　　　（イ）　　　　　～Ｒ　　　５＆Ｅ
　　５　ア　　（ウ）　　　Ｒ＆～Ｒ　　　アイ＆Ｉ
　　　　ア　　（エ）～（～Ｑ＆～Ｒ）　　５アＲＡＡ
１２　　　　　（オ）～（～Ｑ＆～Ｒ）　　４６９アエ∨Ｅ
　　　　　カ　（カ）　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　　キ（キ）　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　　カキ（ク）　　～Ｑ＆～Ｒ　　　カキ＆Ｉ
１２　　　カキ（ケ）～（～Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）
１２　　　カ　（コ）　　　　～～Ｒ　　　キケＲＡＡ
１２　　　カ　（サ）　　　　　　Ｒ　　　コＤＮ
１２　　　　　（シ）　　～Ｑ→　Ｒ　　　カサＣＰ
　２　　　　　（ス）　　～Ｑ　　　　　　２＆Ｅ
１２　　　　　（ソ）　　　　　　Ｒ　　　シスＭＰＰ
１　　　　　　（タ）Ｐ＆～Ｑ→　Ｒ　　　２ソＣＰ
（ⅱ）
１　　　　　　　　　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）→　Ｒ　　　　Ａ
　２　　　　　　　　　（２）　（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｒ　　　　Ａ
　２　　　　　　　　　（３）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　　　　　　　　（４）　　　　　　　　～Ｒ　　　　２＆Ｅ
１２　　　　　　　　　（５）　　　　　　　　　Ｒ　　　　１３ＭＰＰ
１２　　　　　　　　　（６）　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　　４５＆Ｉ
１　　　　　　　　　　（７）　　　　　　　～～Ｒ　　　　４５ＤＮ
１　　　　　　　　　　（８）　　　　　　　　　Ｒ　　　　７ＤＮ
１　　　　　　　　　　（９）～（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｒ　　　　８∨Ｉ
　　ア　　　　　　　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　Ａ（９選言項左）
　　　イ　　　　　　　（イ）　　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ウ　　　　　　（ウ）　　　　～Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　　イウ　　　　　　（エ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　イウ＆Ｉ
　　アイウ　　　　　　（オ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　アエ＆Ｉ
　　アイ　　　　　　　（カ）　　　～～Ｑ　　　　　　　　ウオＲＡＡ
　　アイ　　　　　　　（キ）　　　　　Ｑ　　　　　　　　カＤＮ
　　アイ　　　　　　　（ク）　　　　　Ｑ∨Ｒ　　　　　　キ∨Ｉ
　　ア　　　　　　　　（ケ）　　Ｐ→（Ｑ∨Ｒ）　　　　　イクＣＰ（半分ゲット）
　　　　　コ　　　　　（コ）　　　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ（９選言項右）
          コ　　　　　（サ）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　　　　コ∨Ｉ
　　　　　コ　　　　　（シ）　　～Ｐ∨　（Ｑ∨Ｒ）　　　サ∨Ｉ
　　　　　　ス　　　　（ス）　　　Ｐ＆～（Ｑ∨Ｒ）　　　Ａ
　　　　　　　セ　　　（セ）　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ（シ選言項左）
　　　　　　ス　　　　（ス）　　　Ｐ　　　　　　　　　　ス＆Ｅ
　　　　　　スセ　　　（ソ）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　セス＆Ｉ
　　　　　　　セ　　　（タ）　～｛Ｐ＆～（Ｑ∨Ｒ）｝　　スソＲＡＡ
　　　　　　　　チ　　（チ）　　　　　　（Ｑ∨Ｒ）　　　Ａ（シ選言項右）
　　　　　　ス　　　　（ツ）　　　　　～（Ｑ∨Ｒ）　　　ス＆Ｅ
　　　　　　ス　チ　　（テ）　　　　　　（Ｑ∨Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（Ｑ∨Ｒ）　　　チツ＆Ｉ
　　　　　　　　チ　　（ト）　～｛Ｐ＆～（Ｑ∨Ｒ）｝　　ステＲＡＡ
　　　　　コ　　　　　（ナ）　～｛Ｐ＆～（Ｑ∨Ｒ）｝　　コセタチト∨Ｅ
　　　　　　　　　ニ　（ニ）　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　　　　ヌ（ヌ）　　　　　～（Ｑ∨Ｒ）　　　Ａ
　　　　　　　　　ニヌ（ネ）　　　Ｐ＆～（Ｑ∨Ｒ）　　　ニヌ＆Ｉ
　　　　　コ　　　ニヌ（ノ）　～｛Ｐ＆～（Ｑ∨Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　　　　　　｛Ｐ＆～（Ｑ∨Ｒ）｝　　ナネ＆Ｉ
　　　　　コ　　　ニ　（ハ）　　　　～～（Ｑ∨Ｒ）　　　ヌノＲＡＡ
　　　　　コ　　　ニ　（ヒ）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　　　　ハＤＮ
　　　　　コ　　　　　（フ）　　　　Ｐ→（Ｑ∨Ｒ）　　　ニヒＣＰ
１　　　　　　　　　　（へ）　　　　Ｐ→（Ｑ∨Ｒ）　　　９アケコフ∨Ｅ
従って、
（03）（04）により、
（05）
① Ｐ→（Ｑ∨Ｒ）≡「Ｐならば（Ｑまたは、Ｒである）。」
② Ｐ＆～Ｑ→Ｒ　≡「ＰであってＱでないならば、Ｒである。」
に於いて、
①＝② である。
因みに、
（06）
（ⅰ）の「別解」としては、
１　　（１）　　Ｐ→（Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　　Ａ
１２　（３）　　　　　Ｑ∨Ｒ　　１２ＭＰＰ
１２　（４）　　　～～Ｑ∨Ｒ　　３ＤＮ
１２　（５）　　　　～Ｑ→Ｒ　　４含意の定義
１　　（６）Ｐ→（～Ｑ→～Ｒ）　２５ＣＰ
　　７（７）Ｐ＆　～Ｑ　　　　　Ａ
　　７（８）Ｐ　　　　　　　　　７＆Ｅ
１　７（９）　　　～Ｑ→～Ｒ　　６８ＭＰＰ
　　７（ア）　　　～Ｑ　　　　　７＆Ｅ
１　７（イ）　　　　　　～Ｒ　　９アＭＰＰ
１　　（ウ）　Ｐ＆～Ｑ→～Ｒ　　７イＣＰ
といふ「計算」もある。
（01）により、
（07）
＞論理式は真理表を使わないと証明できないでしょうか？
について言へば、
述語計算のような、より複雑なレベルの論理学においては、真理表による方法は無効となる。
（E.j.レモン 著、竹尾治一郎・楢英 訳、1973年、１１５頁）
従って、
（08）
「命題論理式」ではなく、「述語論理式」の場合は、「真理表」を使って、「証明」することは、出来ない。
令和０２年０５月１３日、毛利太。