「（命題論理と集合の）分配法則」とその「否定」。

（01）
①  Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝偽
であるならば、
① は「偽」である。
② も「偽」である。
（02）
①  Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝真
であって、
Ｑ＝真
であるならば、
① は「真」である。
② も「真」である。
（03）
①  Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝真
であって、
Ｒ＝真
であるならば、
① は「真」である。
② も「真」である。
（04）
①  Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝真
であって、
Ｑ＝真
Ｒ＝真
であるならば、
① は「真」である。
② も「真」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
①  Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
① が「偽」であれば、
② も「偽」であり、
① が「真」であれば、
② も「真」である。
従って、
（05）により、
（06）
①  Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
といふ、「命題の分配法則」は、「正しい」。
従って、
（07）
Ｐ＝（ｘは集合Ａの要素である。）
Ｑ＝（ｘは集合Ｂの要素である。）
Ｒ＝（ｘは集合Ｃの要素である。）
とするならば、
①  ｘはＡであって（ｘはＢであるか、または、ｘはＣである）。
②（ｘはＡであってＢである）か、または（ｘはＡであってＣである）。
といふ「命題関数」に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
①  Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）
②（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）
に於いて、
①＝② である。
といふ、「集合の分配法則」も、「正しい」。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　Ａ
１　　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　　Ｑ∨Ｒ　　　　　１＆Ｅ
　４　（４）　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ
１４　（５）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　２３＆Ｉ
１４　（６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　Ｒ　　　　　Ａ
１　７（８）　　　　　　　Ｐ＆Ｒ　　２７
１　７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　８∨Ｉ
１　　（ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　３４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　Ａ
　２　（２）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（５）　　　Ｑ∨Ｒ　　　　　　４∨Ｉ
　２　（６）Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　　３５＆Ｉ
　　７（７）　　　　　　　Ｐ＆Ｒ　　Ａ
　　７（８）　　　　　　　Ｐ　　　　７＆Ｅ
　　７（９）　　　　　　　　　Ｒ　　７＆Ｅ
　　７（ア）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　　９∨Ｉ
　　７（イ）　　　　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　８ア＆Ｉ
１　　（ウ）　　　　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　１２６７イ∨Ｅ
従って、
（09）により、
（10）
①  Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
といふ、「命題の分配法則」は、「命題計算」としても「正しい」。
然るに、
（11）
（ⅲ）
１　（１）～｛Ｐ＆  （Ｑ∨Ｒ）｝　Ａ
１　（２）　～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）    １ド・モルガンの法則
１　（３） 　 Ｐ→～（Ｑ∨Ｒ）　  ２含意の定義
　４（４）　　Ｐ　　　　　　　　  Ａ
１４（５）　　　　～（Ｑ∨Ｒ）　　３４ＭＰＰ
１４（６）　　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　５ド・モルガンの法則
１　（７）　　Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）　４６ＣＰ
１　（８）　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　７含意の定義
（ⅴ）
１　（１）　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　７含意の定義
１　（２）　　Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）　１含意の定義
　３（３）　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
１３（４）　　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　２３ＭＰＰ
１３（５）　　　　～（Ｑ∨Ｒ）　　４ド・モルガンの法則
１　（６）　　Ｐ→～（Ｑ∨Ｒ）　　３５ＣＰ
１　（７）　～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）　　６含意の定義
１　（８）～｛Ｐ＆  （Ｑ∨Ｒ）｝　７ド・モルガンの法則
従って、
（11）により、
（12）
③ ～｛Ｐ＆  （Ｑ∨Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝⑤ である。
然るに、
（13）
（ⅳ）
１　（１）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨　（Ｐ＆Ｒ）｝　Ａ
１　（２）　～（Ｐ＆Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｒ）　　１ド・モルガンの法則
１　（３）　～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　（４）　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
１　（５）　　Ｐ→～Ｑ　　　　　　　　　　４含意の定義
１　（６）　　　　　　　　～（Ｐ＆Ｒ）　　２＆Ｅ
１　（７）　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｒ　　　６ド・モルガンの法則
１　（８）　　　　　　　　　Ｐ→～Ｒ　　　７含意の定義
　９（９）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　Ａ
１９（ア）　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　５９ＭＰＰ
１９（イ）　　　　　　　　　　　～Ｒ　　　８９ＭＰＰ
１９（ウ）　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　アイ＆Ｉ
１　（エ）　Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）　　　　　　９ウＣＰ
１　（オ）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　　　　エ含意の定義
（ⅴ）
１　（１）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　　　　Ａ
１　（２）　Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）　　　　　　１含意の定義
　３（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３（４）　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　２３ＭＰＰ
１３（５）　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　４＆Ｅ
１　（６）　Ｐ→～Ｑ　　　　　　　　　　　３５ＣＰ
１　（７）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　　　　　６含意の定義
１　（８）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　　　　　７ド・モルガンの法則
１３（９）　　　　　　　～Ｒ　　　　　　　４＆Ｅ
１　（ア）　　　　　Ｐ→～Ｒ　　　　　　　３９ＣＰ
１　（イ）　　　　～Ｐ∨～Ｒ　　　　　　　ア含意の定義
１　（ウ）　　　　～（Ｐ＆Ｒ）　　　　　　イ、ド・モルガンの法則
１　（エ）～（Ｐ＆Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｒ）　　　８ウ＆Ｉ
１　（オ）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）｝　　エ、ド・モルガンの法則
従って、
（13）により、
（14）
④ ～｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（12）（14）により、
（15）
③ 　～｛Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）｝
④ ～｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）｝
⑤ 　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（10）（15）により、
（16）
①  Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② であるため、
① の「否定」と、
② の「否定」は、両方とも、
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
である。
従って、
（16）により、
（17）
①   Ｐ＆（  Ｑ∨  Ｒ）
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
① と ⑤ は「矛盾」する。
然るに、
（18）
「含意の定義」により、
① Ｐ＆（  Ｑ∨  Ｒ）
⑤ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝⑤ である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
① Ｐ＆（  Ｑ∨  Ｒ）
⑤ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
① と ⑤ は「矛盾」する。
然るに、
（20）
１　　　（１）　　Ｐ＆（  Ｑ∨  Ｒ）　　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）　　　Ａ
１　　　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１２　　（４）　　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　　２３ＭＰＰ
１　　　（５）　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　１＆Ｅ
　　６　（６）　　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ
１２　　（７）　　　　　～Ｑ　　　　　　　４＆Ｅ
１２６　（８）　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　６７＆Ｉ
　２６　（９）～｛Ｐ＆（  Ｑ∨  Ｒ）｝　　１８ＲＡＡ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ
１２　　（イ）　　　　　　　　～Ｒ　　　　４＆Ｅ
１２　ア（ウ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　　アイ＆Ｉ
　２　ア（エ）～｛Ｐ＆（  Ｑ∨  Ｒ）｝　　１ウＲＡＡ
１２　　（オ）～｛Ｐ＆（  Ｑ∨  Ｒ）｝　　５６９アエ
１２　　（カ）　｛Ｐ＆（  Ｑ∨  Ｒ）｝＆
　　　　　　　～｛Ｐ＆（  Ｑ∨  Ｒ）｝　　１オ＆Ｉ
従って、
（20）により、
（21）
① Ｐ＆（  Ｑ∨  Ｒ）
⑤ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、確かに、
① と ⑤ は「矛盾」する。
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
Ｐ＝（ｘは集合Ａの要素である。）
Ｑ＝（ｘは集合Ｂの要素である。）
Ｒ＝（ｘは集合Ｃの要素である。）
とするならば、
① Ａ∩（  Ｂ∪  Ｃ）
⑤ Ａ→（～Ｂ∩～Ｃ）
に於いて、
① と ⑤ は「矛盾」する。
然るに、
（23）
⑤ Ａ→（～Ｂ∩～Ｃ）
といふことは、
⑤ ｘが集合Ａの要素であるならば（ｘは集合Ｂの要素ではなく、ｘは集合Ｃの要素でもない）。
といふ「意味」である。
然るに、
（24）
⑤ ｘが集合Ａの要素であるならば（ｘは集合Ｂの要素ではなく、ｘは集合Ｃの要素でもない）。
といふことは、
⑤（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）
といふ「集合」が、「空集合」である。
といふ「意味」である。
令和０２年０５月０２日、毛利太。