「象は鼻は（が・も）長い」の「述語論理」。

（01）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
　理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
　タゴール記念会は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念館」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（01）により、
（02）
① 私が理事長です。
② 理事長は私です。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
② 理事長は私です。      ⇔ 私以外は理事長ではない。
② 理事長ならば私である。⇔ 私でなければ理事長ではない。
は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（03）により、
（04）
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① 私が理事長です。
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、理事長は私です。
③ タゴール記念会は、私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
① 象は、鼻が長い。
② 象は、長いのは鼻である。
③ 象は、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（08）
③ 象は、鼻以外は長くない。⇔
③ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は、鼻以外は長くない。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
１　　（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
１　　（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　２＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ→～長ｃ　　　４ＵＥ
　６　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆　長ｃ　　　Ａ
　６　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ　　　　　　　６＆Ｅ
１６　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｃ　　　５７ＭＰＰ
　６　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｃ　　　６＆Ｅ
１６　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｃ＆長ｃ　　　８９＆Ｉ
１　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｃａ＆　長ｃ）　　６アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ～（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　イＵＩ
１　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　ウ量化子の関係
１　　（オ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　３エ＆Ｉ
１　　（カ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　オＵＩ
（ⅱ）
１　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　Ａ
１　　（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　１ＵＥ
１　　（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　２＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ～（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　４量化子の関係
１　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｃａ＆　長ｃ）　　５ＵＥ
　７　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ　　　　　　　Ａ
　　８（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｃ　　　Ａ　
　７８（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆　長ｃ　　　７８＆Ｉ
１７８（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｃａ＆　長ｃ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～鼻ｃａ＆　長ｃ）　　８９＆Ｉ
１７　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｃ　　　８アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ→～長ｃ　　　７イＣＰ
１　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｃａ→～長ｃ）　　ウＵＩ
１　　（オ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｃａ→～長ｃ）　　３エ＆Ｉ
１　　（カ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　オＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（12）
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（13）
「二重否定」により、
④ ～～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ） は、
④ 　　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ） に、「等しい」。
従って、
（12）（13）により、
（14）
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（11）（14）により、
（15）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（16）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、
①と③ は、「矛盾」する。
従って、
（15）（16）により、
（17）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
①と④ は、「矛盾」する。
従って、
（09）（17）により、
（18）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、あるｚはｘの鼻ではないが、ｚは長い。
に於いて、
①と④ は、「矛盾」する。
然るに、
（19）
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、あるｚはｘの鼻ではないが、ｚは長い。
といふことは、
④ 象は鼻は長く、鼻以外も長い。
といふ、ことである。
然るに、
（20）
④ 象は鼻は長く、鼻以外も長い。
といふことは、
④ 象は鼻も長い。
といふ、ことである。
従って、
（09）（18）（20）により、
（21）
① 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ 象は鼻も長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝。
に於いて、
①と④ は、「矛盾」する。
従って、
（22）
「番号」を付け直すと、
① 象は鼻＿長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ 象は鼻も長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝。
に於いて、
②と③ は、「矛盾」する。
然るに、
（23）
（ⅱ）
１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
１（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
１（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）∀ｘ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　３ＵＩ
（ⅲ）
１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　Ａ
１（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　１ＵＥ
１（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）∀ｘ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　３ＵＩ
従って、
（23）により、
（24）
① 象は鼻＿長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ 象は鼻も長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝。
に於いて、
② ならば、① であって、
③ ならば、① である。
従って、
（24）により、
（25）
① 象は鼻＿長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ 象は鼻も長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝。
に於いて、
①と② は、「矛盾」せず、
①と③ も、「矛盾」しない。
然るに、
（26）
① 鼻は長い。
といふのであれば、
② 鼻以外については、「何も、言ってゐない。」
従って、
（27）
① 象は鼻は長い。
といふのであれば、
③ 象の鼻以外については、「何も、言ってゐない。」
従って、
（26）（27）により、
（28）
① 象は鼻は長い。
② 象は鼻が長い。
③ 象は鼻も長い。
に於いて、
①と② は、「矛盾」せず、
①と③ も、「矛盾」しない。
従って、
（25）（28）により、
（29）
① 象は鼻は長い。
② 象は鼻が長い。
③ 象は鼻も長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
といふ「述語論理式」に、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長い。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、あるｚはｘの鼻ではないが、ｚは長い。
といふ「意味」である所の、「述語論理式」に、相当する。
従って、
（29）により、
（30）
「普通の日本語」で言へば、
① 象は鼻は長い＝象は鼻は長い。
② 象は鼻が長い＝象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 象は鼻も長い＝象は鼻は長く、鼻以外も長い。
といふ、ことになる。
令和元年０８月１２日、毛利太。