「鼻が長くない象はゐない。」の「述語論理」。

（01）
① 鼻が長くない象はゐる。⇔
① ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）⇔
① あるｘとあるｙについて、ｘは象であり、ｙはｘの鼻であり、ｙは長くない。
従って、
（01）により、
（02）
② 鼻が長くない象はゐない。⇔
② ～∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）⇔
② あるｘとあるｙについて、ｘは象であり、ｙはｘの鼻であり、ｙは長くない。といふことはない。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１　　（１）～∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　Ａ
１　　（２）∀ｘ～∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　１量化子の関係
１　　（３）∀ｘ∀ｙ～（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　１量化子の関係
１　　（４）　　∀ｙ～（象ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　３ＵＥ
１　　（５）　　　　～（象ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ）　４ＵＥ
１　　（６）　　　～象ａ∨～鼻ｂａ∨～～長ｂ　　５ド・モルガンの法則
１　　（７）　　　　　～象ａ∨～鼻ｂａ∨長ｂ　　６ＤＮ
１　　（８）　　　（～象ａ∨～鼻ｂａ）∨長ｂ　　７結合法則
　９　（９）　　　（～象ａ∨～鼻ｂａ）　　　　　Ａ
　９　（ア）　　　　～（象ａ＆鼻ｂａ）　　　　　９ド・モルガンの法則
　９　（イ）　　　　～（象ａ＆鼻ｂａ）∨長ｂ　　ア∨Ｉ
　　ウ（ウ）　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　Ａ
　　ウ（エ）　　　　～（象ａ＆鼻ｂａ）∨長ｂ　　ウ∨Ｉ
１　　（オ）　　　　～（象ａ＆鼻ｂａ）∨長ｂ　　９アイウエ∨Ｅ
１　　（カ）　　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→　長ｂ　　オ含意の定義
１　　（キ）　　　∀ｙ（象ａ＆鼻ｙａ→　長ｙ）　カＵＩ
１　　（ク）　∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ→　長ｙ）　キＵＩ
（ⅲ）
１　　（１）　∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ→　長ｙ）　Ａ
１　　（２）　　　∀ｙ（象ａ＆鼻ｙａ→　長ｙ）　１ＵＥ
１　　（３）　　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→　長ｂ　　２ＵＥ
１　　（４）　　　　～（象ａ＆鼻ｂａ）∨長ｂ　　３含意の定義
　５　（５）　　　　～（象ａ＆鼻ｂａ）　　　　　Ａ
　５　（６）　　　　　～象ａ∨～象ｂ　　　　　　５ド・モルガンの法則
　５　（７）　　　　　～象ａ∨～象ｂ　∨長ｂ　　６∨Ｉ
　　８（８）　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　Ａ
　　８（９）　　　　　～象ａ∨～象ｂ　∨長ｂ　　８∨Ｉ
１　　（ア）　　　　　～象ａ∨～象ｂ　∨長ｂ　　４５７８９∨Ｅ
１　　（イ）　　　　～（象ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ）　ア、ド・モルガンの法則
１　　（ウ）　　∀ｙ～（象ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　イＵＩ
１　　（エ）∀ｘ∀ｙ～（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　ウＵＩ
１　　（オ）∀ｘ～∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　エ量化子の関係
１　　（カ）～∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　オ量化子の関係
従って、
（03）により、
（04）
② ～∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）
③ 　∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ→　長ｙ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（05）
「交換法則」により、
② 象ｘ＆鼻ｙｘ＝鼻ｙｘ＆象ｘ
③ 象ｘ＆鼻ｙｘ＝鼻ｙｘ＆象ｘ
従って、
（02）（04）（05）により、
（06）
② 鼻が長くない象はゐない。⇔
② ～∃ｘ∃ｙ（鼻ｙｘ＆象ｘ＆～長ｙ）⇔
③ 　∀ｘ∀ｙ（鼻ｙｘ＆象ｘ→　長ｙ）⇔
③ すべてのｘとすべてのｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長い。
然るに、
（07）
④｛象、兎、馬、キリン｝を「変域（ドメイン）」とすると、
④「鼻は象が長く、耳は兎が長く、顔は馬が長く、首はキリンが長い。」
従って、
（07）により、
（08）
④ 鼻は象が長い。⇔
④ 鼻は象は長く、象以外（兎、馬、キリン）は長くない。⇔
④ ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝⇔
④ すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない。
従って、
（06）（08）により、
（09）
③ 鼻が長くない象はゐない＝∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ）→長ｙ｝。
④ 鼻は象が長い　　　　　＝∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。
に於いて、
③の右辺は、④の右辺の「部分論理式」である。
然るに、
（10）
１　　　（１）鼻は象が長い。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（〃）∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝　Ａ
　２　　（２）兎は象ではないが、兎には鼻がある。　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　（〃）∃ｙ∃ｘ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（３）　　∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝　１ＵＥ
１　　　（４）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ　　３ＵＥ
１　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ　　４＆Ｅ
　　６　（６）　　∃ｘ（兎ｂ＆～象ｂ＆鼻ｘｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　７（７）　　　　　兎ｂ＆～象ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　　　　兎ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　７（９）　　　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　７（ア）　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　７（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ＆～象ｂ　　　　　　　アイ＆Ｉ
１　　７（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　４ウＭＰＰ
１　　７（エ）　　　　　兎ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９ア＆Ｉ
１　　７（オ）　　　　　兎ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　ウエ＆Ｉ
１　　７（カ）　　∃ｘ（兎ｂ＆鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　オＥＩ
１　６　（キ）　　∃ｘ（兎ｂ＆鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　６７カＥＥ
１　６　（ク）∃ｙ∃ｘ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　キＥＩ
１２　　（ケ）∃ｙ∃ｘ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　２６クＥＥ
１２　　（〃）あるｙは兎であって、あるｘはｙの鼻であって、ｘは長くない。　　　２６クＥＥ
１２　　（〃）鼻が短い兎がゐる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２６クＥＥ
従って、
（09）（10）により、
（11）
④ 鼻は象が長い。
といふ「命題」ではなく、
③ 鼻が長くない象はゐない。
といふ「命題」からは、
⑤ 鼻が短い兎がゐる。
といふ「命題」を、「導出」することは、出来ない。
令和元年０８月１４日、毛利太。