「象が鼻が長い」の「述語論理」。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｐ→～Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１２　　（４）　　　　　～Ｑ　　　２３ＭＰＰ
　２　　（５）　　　　　　Ｑ　　　１＆Ｅ
１２　　（６）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　　（７）　～（Ｐ→～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　　（１）　～（Ｐ→～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　４（４）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　３４（５）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　３４＆Ｉ
　２３４（６）　～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　２５＆Ｉ
　２３　（７）　　　　　～Ｑ　　　４６ＲＡＡ
　２　　（８）　　　Ｐ→～Ｑ　　　３７ＣＰ
１２　　（９）　～（Ｐ→～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ→～Ｑ）　　２８＆Ｉ
１　　　（ア）～～（Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　アＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
①     Ｐ＆　Ｑ
② ～（Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
①＝② であるが、
この「等式」を、『連言の定義（Ｄｆ.＆）』とする。
（03）
① 象は鼻は長い。
② 象以外は鼻は長くない。
③ 象は鼻以外は長くない。
であるとして、
④ 象が鼻が長い＝①＋②＋③ である。とする。
従って、
（03）により、
（04）
④ 象が鼻が長い。⇔
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
従って、
（04）により、
（05）
⑤ 象が鼻が長い。とは言へない。⇔
⑤ ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
然るに、
（06）
１　　　　　（１）　　　　～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
１　　　　　（２）　　　　∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　１量化子の関係
　３　　　　（３）　　　　　　～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　Ａ
　３　　　　（４）　　～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝∨～｛～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ｝∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　３ド・モルガンの法則
　　５　　　（５）　　～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５　　　（６）　　　　象＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５連言の定義
　　５　　　（７）　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　５　　　（８）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　５　　　（９）　　　　　　∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８量化子の関係
　　５　　　（ア）　　　　　　　　～（鼻ｂａ＆長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９ＵＥ
　　５　　　（イ）　　　　　　　　～鼻ａｂ∨～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア、ド・モルガンの法則
　　５　　　（ウ）　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イ含意の定義
　　５　　　（エ）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウＵＩ
　　５　　　（オ）　　　象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７エ＆Ｉ
　　５　　　（カ）　　　象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オ∨Ｉ
　　５　　　（キ）　　　象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　カ∨Ｉ
　　　ク　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　  　　～｛～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ｝                                Ａ
      ク　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　ク連言の定義
　　　ク　　（コ）　　　象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ケ∨Ｉ
　　　ク　　（サ）　　　象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　コ∨Ｉ
　　　　シ　（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　Ａ
　　　　シ　（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　サ量化子の関係
　　　　　セ（セ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｃａ→～長ｃ）　　Ａ
　　　　　セ（ソ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆　長ｃ　　　ス連言の定義
　　　　　セ（タ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　セＥＩ
　　　　シ　（チ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　サスソＥＥ
　　　　シ　（ツ）　　　　　　　　　　　　　　　　　  ～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）                チ∨Ｉ
　　　　シ　（テ）　　　象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　ツ∨Ｉ
　３　　　　（ト）　　　象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　４５キクサシテ∨Ｅ
　３　　　　（ナ）∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　　　　　トＥＩ
１　　　　　（ニ）∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　　　　　２３ナＥＥ
１　　　　　（〃）あるｘについて、
　　　　　　　　　ｘは象であって、すべてのｙについてｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くないか、
　　　　　　　　　ｘは象でなくて、あるｙはｘの鼻であって、長いか、
　　　　　　　　　あるｚはｘの鼻ではなくて、ｚは長い。
従って、
（05）（06）により、
（07）
⑤ 象が鼻が長い。とは言へない。⇔
⑤ ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆　長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
⑤ 　∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨～象ｘ＆　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝⇔
⑤｛あるｘは象であるが鼻は長くない｝か、｛あるｘは象ではないが鼻が長い｝か、｛あるｚはｘ（象）の鼻以外（例へば、耳）であるが長い｝。
従って、
（07）により、
（08）
⑥ 象が鼻が長い。⇔
⑥ 　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆　長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
⑥ ～∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨～象ｘ＆　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝⇔
⑥｛鼻が長くない象がゐる｝か、｛象ではないが鼻が長い動物がゐる｝か、｛象は鼻以外も長い｝か、と言へば、さのやうなことは無い。
令和元年０８月２０日、毛利太。