「命題と集合の交換法則（Ⅱ）」の「具体例」。

（01）
①（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か埼玉県民）
②（東京都民か埼玉県民）
に於いて、
①＝② である。
ｃｆ.
冪等律（idempotence）。
然るに、
（02）
②（東京都民か埼玉県民）
③（東京都民か　　男性）
に於いて、
②＝③ ではない。
従って、
（01）（02）により、
（03）
①（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か埼玉県民）
③（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か　　男性）
に於いて、
①＝③ ではない。
然るに、
（04）
①  東京都民＝東京都民の男性と、東京都民の女性。
②  埼玉県民＝埼玉県民の男性と、埼玉県民の女性。
であるため、
③（東京都民か　　男性）の中には、
①  東京都民の男性は、含まれるし、
①  東京都民の女性は、含まれるし、
②  埼玉県民の男性も、含まれるが、
②  埼玉県民の女性は、含まれない。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
①（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か埼玉県民）
ではなく、
③（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か　　男性）
であるならば、
②  埼玉県民の男性は、含まれるが、
②  埼玉県民の女性は、含まれない。
従って、
（05）により、
（06）
③（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か　　男性）
④  東京都民の男性と、東京都民の女性と、埼玉県民の男性。
に於いて、
③＝④　である、
然るに、
（07）
⑤  東京都民か（埼玉県民で男性）
⑥  東京都民の男性と、東京都民の女性と、埼玉県民の男性。
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
③（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か　　男性）
⑤  東京都民か（埼玉県民で男性）
に於いて、
③＝⑤ である。
従って、
（08）により、
（09）
「番号」を付け直すと、
①  東京都民か（埼玉県民で男性）
②（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か　　男性）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（10）
「記号」で書くと、
①  東∨（埼∧男）
②（東∨埼）∧（東∨男）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１　　（１）　東∨（埼∧男）　　　　Ａ
　２　（２）　東　　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　東∨埼　　　　　　　　２∨Ｉ
　２　（４）　東∨男　　　　　　　　２∨Ｉ
　２　（５）（東∨埼）∧（東∨男）　２３∧Ｉ
　　６（６）　　　　埼∧男　　　　　Ａ
　　６（７）　　　　埼　　　　　　　６∧Ｅ
　　６（８）　　　　　　男　　　　　６∧Ｅ
　　６（９）　東∨埼　　　　　　　　７∨Ｉ
　　６（ア）　　　　　　　東∨男　　８∨Ｉ
　　６（イ）（東∨埼）∧（東∨男）　９ア∧I
１　　（ウ）（東∨埼）∧（東∨男）　１２４５イ∨Ｅ
（ⅱ）
１　（１）　（東∨埼）∧（東∨男）　Ａ
１　（２）　　東∨埼　　　　　　　　１∧Ｅ
１　（３）～～東∨埼　　　　　　　　２ＤＮ
１　（４）　～東→埼　　　　　　　　３含意の定義
１　（５）　　　　　　　　東∨男　　１∧Ｅ
１　（６）　　　　　　～～東∨男　　５ＤＮ
１　（７）　　　　　　　～東→男　　６含意の定義
　２（８）　～東　　　　　　　　　　Ａ
１２（９）　　　　埼　　　　　　　　４８Ｍ東東
１２（ア）　　　　　　　　　　男　　７８Ｍ東東
１２（イ）　　　　（埼∧男）　　　　９ア∧Ｉ
１　（ウ）　～東→（埼∧男）　　　　８イＣ東
１　（エ）～～東∨（埼∧男）　　　　ウ含意の定義
１　（オ）　　東∨（埼∧男）　　　　エＤＮ
従って、
（10）（11）により、
（12）
①  東∨（埼∧男）
②（東∨埼）∧（東∨男）
に於いて、すなはち、
① その人は東京都民か（埼玉県民で男性）である。　　　　　　　⇔ 東京都民か埼玉県人であるが、女性ではない。
② その人は（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か男性）である。⇔ 東京都民か埼玉県人であるが、女性ではない。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「命題計算（Propositional calculation）」としても、「正しい」。
然るに、
（13）
①  東∨（埼∧男）
②（東∨埼）∧（東∨男）
といふ「命題」に関する「式」は、
①  東∪（埼∩男）
②（東∪埼）∩（東∪男）
といふ「集合」に関する「式」に、相当する。
従って、
（13）により、
（14）
①  Ａ∪（Ｂ∩Ｃ）
②（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ）
に於いて、
①＝② である。
とする、「集合」に関する「等式（分配法則）」も、「正しい」し、さらに言へば、
③  Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）
④（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）
に於いて、
③＝④ である。
とする、「集合」に関する「等式（分配法則）」も、「正しい」。
（15）
（ⅰ）
１　　（１）　Ａ∪（Ｂ∩Ｃ）　　　　Ａ
　２　（２）　Ａ　　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ａ∪Ｂ　　　　　　　　２選言導入
　２　（４）　Ａ∪Ｃ　　　　　　　　２選言導入
　２　（５）（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ）　２３連言導入
　　６（６）　　　　Ｂ∩Ｃ　　　　　Ａ
　　６（７）　　　　Ｂ　　　　　　　６連言除去
　　６（８）　　　　　　Ｃ　　　　　６連言除去
　　６（９）　Ａ∪Ｂ　　　　　　　　７選言導入
　　６（ア）　　　　　　　Ａ∪Ｃ　　８選言導入
　　６（イ）（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ）　９ア連言導入
１　　（ウ）（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ）　１２４５イ選言除去
（ⅱ）
１　（１）　（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ）　Ａ
１　（２）　　Ａ∪Ｂ　　　　　　　　１連言除去
１　（３）～～Ａ∪Ｂ　　　　　　　　２ＤＮ
１　（４）　～Ａ→Ｂ　　　　　　　　３含意の定義
１　（５）　　　　　　　　Ａ∪Ｃ　　１連言除去
１　（６）　　　　　　～～Ａ∪Ｃ　　５ＤＮ
１　（７）　　　　　　　～Ａ→Ｃ　　６含意の定義
　２（８）　～Ａ　　　　　　　　　　Ａ
１２（９）　　　　Ｂ　　　　　　　　４８ＭＰＰ
１２（ア）　　　　　　　　　　Ｃ　　７８ＭＰＰ
１２（イ）　　　　（Ｂ∩Ｃ）　　　　９ア連言導入
１　（ウ）　～Ａ→（Ｂ∩Ｃ）　　　　８イＣＰ
１　（エ）～～Ａ∪（Ｂ∩Ｃ）　　　　ウ含意の定義
１　（オ）　　Ａ∪（Ｂ∩Ｃ）　　　　エＤＮ
（ⅲ）
１　　（１）　Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）　　　　Ａ
１　　（２）　Ａ　　　　　　　　　　１連言除去
１　　（３）　　　　Ｂ∪Ｃ　　　　　１連言除去
　４　（４）　　　　Ｂ　　　　　　　Ａ
１４　（５）　Ａ∩Ｂ　　　　　　　　２４連言導入
１４　（６）（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）　５選言導入
　　７（７）　　　　　　Ｃ　　　　　Ａ
１　７（８）　　　　　　　Ａ∩Ｃ　　２７連言導入
１　７（９）（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）　８選言導入
１　　（ア）（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）　３４６７９選言除去
（ⅳ）
１　　（１）（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）　Ａ
　２　（２）（Ａ∩Ｂ）　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ａ　　　　　　　　　　２連言除去
　２　（４）　　　Ｂ　　　　　　　　２連言除去
　２　（５）　　　　Ｂ∪Ｃ　　　　　４選言導入
　２　（６）　Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）　　　　３５連言導入
　　７（７）　　　　　　（Ａ∩Ｃ）　Ａ
　　７（８）　　　　　　　Ａ　　　　７連言除去
　　７（９）　　　　　　　　　Ｃ　　７連言除去
　　７（ア）　　　　　　　Ｂ∪Ｃ　　９選言導入
　　７（イ）　Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）　　　　８ア連言導入
１　　（ウ）　Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）　　　　１２６７イ選言除去
に於ける、
∪ は、∨ に相当し、
∩ は、∧ に相当する。
然るに、
（16）
Ａ∪（Ｂ∩Ｃ）
と書けば、「集合」であって、
Ａ∨（Ｂ∧Ｃ）
と書けば、「命題」であるが、「集合」と「命題」は、「同じ」ではない。
令和元年０８月２８日、毛利太。