（01）
実質等値、
「Ａ⇔Ｂ」は、ＡとＢが共に真、または共に偽のときのみ真となる。
（ウィキペディア）。
然るに、
（02）
「（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）」は、ＰとＱが共に真、または共に偽のときのみ真となる。
従って、
（03）
① Ｐ⇔Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
② ～｛（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→ Ｐ）｝
に於いて、
①＝② であって、
② は、「等値の、否定」である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
１ （２）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
４ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
４ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ６∨Ｉ
８（８） ～（Ｑ→Ｐ） Ａ
９（９） ～（～Ｑ∨Ｐ） ８含意の定義
９（ア） Ｑ＆～Ｐ ９ド・モルガンの法則
９（イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） １４７９イ∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｑ ３４ＭＰＰ
２ （６） ～Ｑ ２＆Ｅ
２３ （７） Ｑ＆～Ｑ ５６＆Ｉ
２ （８）～（Ｐ→ Ｑ） ３７ＲＡＡ
２ （９）～（Ｐ→ Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ８∨Ｉ
ア （ア） Ｑ＆～Ｐ Ａ
イ（イ） Ｑ→ Ｐ Ａ
ア （ウ） Ｑ ア＆Ｅ
アイ（エ） Ｐ イウＭＰＰ
ア （オ） ～Ｐ ア＆Ｉ
アイ（カ） Ｐ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
ア （キ） ～（Ｑ→ Ｐ） イカＲＡＡ
ア （ク）～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→ Ｐ） キ∨Ｉ
１ （ケ）～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→ Ｐ） １２８アク∨Ｅ
１ （コ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）｝ ケド・モルガンの法則
１ （サ） ～（Ｐ⇔Ｑ） コＤｆ.⇔
従って、
（05）により、
（06）
② ～｛（Ｐ→ Ｑ）＆（Ｑ→ Ｐ）｝
③ （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① ～（Ｐ⇔ Ｑ）
② ～｛（Ｐ→ Ｑ）＆（Ｑ→ Ｐ）｝
③ （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（08）
（ⅲ）
１ （１）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２ （２）（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ （６）～Ｐ∨～Ｑ ５∨Ｉ
２ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ６ド・モルガンの法則
２ （８） （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） ４７＆Ｉ
９（９） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
９（ア） Ｑ ９＆Ｅ
９（イ） Ｐ∨Ｑ ア∨Ｉ
９（ウ） ～Ｐ ９＆Ｅ
９（エ） ～Ｐ∨～Ｑ ウ∨Ｉ
９（オ） ～（Ｐ＆Ｑ） エ、ド・モルガンの法則
９（カ） （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） イオ＆Ｉ
１ （キ） （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） １２８９カ∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１）（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
１ （２）（Ｐ∨Ｑ） １＆Ｅ
１ （３） ～（Ｐ＆Ｑ） １＆Ｅ
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
１ （５） Ｐ→～Ｑ ４含意の定義
１ （６） ～Ｑ∨～Ｐ ４交換法則
１ （７） Ｑ→～Ｐ ６含意の定義
８ （８） Ｐ Ａ
１８ （９） ～Ｑ ５８ＭＰＰ
１８ （ア） Ｐ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
１８ （イ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ア∨Ｉ
ウ（ウ） Ｑ Ａ
１ ウ（エ） ～Ｐ ７ウＭＰＰ
１ ウ（オ） Ｑ＆～Ｐ ウエ＆Ｉ
１ ウ（カ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） オ∨Ｉ
１ （キ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ２８イウカ
従って、
（08）により、
（09）
③（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
④（Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① ～（Ｐ⇔ Ｑ）
② ～｛（Ｐ→ Ｑ）＆（Ｑ→ Ｐ）｝
③ （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
④ （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（11）
（ⅳ）
１（１） （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
１（２） （Ｐ∨Ｑ） １＆Ｅ
１（３）～～Ｐ∨Ｑ ２ＤＮ
１（４） ～Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１（５） ～（Ｐ＆Ｑ） １＆Ｅ
１（６） ～Ｐ∨～Ｑ ５ド・モルガンの法則
１（７） Ｐ→～Ｑ 含意の定義
１（８）（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） ４７＆Ｉ
（ⅴ）
１（１）（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） Ａ
１（２）（～Ｐ→Ｑ） １＆Ｅ
１（３）～～Ｐ∨Ｑ ２含意の定義
１（４） Ｐ∨Ｑ ３ＤＮ
１（５） Ｐ→～Ｑ １＆Ｅ
１（６） ～Ｐ∨～Ｑ ５含意の定義
１（７） ～（Ｐ＆Ｑ） ６ド・モルガンの法則
１（８） （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） ４７＆Ｉ
従って、
（11）により、
（12）
④ （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
⑤（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
① ～（Ｐ⇔ Ｑ）
② ～｛（Ｐ→ Ｑ）＆（Ｑ→ Ｐ）｝
③ （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
④ （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
⑤ （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤ である。
然るに、
（14）
③（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
④（Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
⑤（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
といふ「論理式」は、
③（ＰであってＱでない）か、または、（ＱであってＰでない）。
④（Ｐであるか、または、Ｑである）が（ＰであってＱである）といふことはない。
⑤（ＰでないならばＱであり、ＰであるならばＱでない）。
といふ「意味」であるが、だとすれば、「当然」、
③＝④＝⑤ である。
然るに、
（15）
日本語の接続詞「あるいは」には、両立的選言（弱選言）と排他的選言（強選言）の二つの意味があることに注意してほしい。
― 中略 ―
排他的選言の方は∨と＆と～によって簡単に表現できる―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―。
選言記号∨に対応する日本語には、「または」「もしくは」「・・・か・・・」などがある。
（昭和堂入門選書２５、論理学の基礎、1994年、１１頁改）
従って、
（01）～（15）により、
（16）
① ～（Ｐ⇔ Ｑ）
② ～｛（Ｐ→ Ｑ）＆（Ｑ→ Ｐ）｝
③ （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
④ （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
⑤ （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤ であって、
これらは全て、「排他的選言（強選言）」である。
然るに、
（17）
▽ といふ「記号」を「導入」して、
Ｄｆ.Ｐ▽Ｑ≡（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
といふ「定義」を「排他的選言の定義」とする。
従って、
（17）により、
（18）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ▽Ｑ Ａ
１ （２）（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） １（排他的選言の定義）
１ （３） ～Ｐ→Ｑ ２＆Ｅ
４（４） ～Ｐ Ａ
１４（５） Ｑ ３４ＭＰＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
１ （２）～～Ｐ∨Ｑ １ＤＮ
１ （３） ～Ｐ→Ｑ ２含意の定義
４（４） ～Ｐ Ａ
１４（５） Ｑ ３４ＭＰＰ
従って、
（18）により、
（19）
① Ｐ▽Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
② Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
といふ「推論」は、両方とも、「妥当」である。
従って、
（15）（19）により、
（20）
① Ｐ▽Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
② Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
といふ「推論」、すなはち、
① Ｐまたは、Ｑである。然るに、Ｐでない。故に、Ｑである。
② Ｐまたは、Ｑである。然るに、Ｐでない。故に、Ｑである。
といふ「選言三段論法」は、両方とも、「妥当」である。
従って、
（15）（20）により、
（21）
「排他的選言（強選言）」であっても、
「両立的選言（弱選言）」であっても、「選言三段論法」は「妥当」である。
（22）
① Ｐ▽Ｑ≡（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
② Ｐ∨Ｑ≡（～Ｐ→Ｑ）
従って、
（22）により、
① Ｐ▽Ｑ，Ｐ├ ～Ｑ
② Ｐ∨Ｑ，Ｐ├ ～Ｑ
に於いて、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない。
令和０４年０７月１３日、毛利太。
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