（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
１ （２）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
４ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
４ （６） （Ｐ＆～Ｑ） ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ６∨Ｉ
８（８） ～（Ｑ→Ｐ） Ａ
８（９） ～（～Ｑ∨Ｐ） ８含意の定義
８（ア） （Ｑ＆～Ｐ） ９ド・モルガンの法則
８（イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） １４７８イ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→Ｑ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ４∨Ｉ
６（６） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
６（７） ～（～Ｑ∨Ｐ） ６ド・モルガンの法則
６（８） ～（Ｑ→Ｐ） ７含意の定義
６（９） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ８∨Ｉ
１ （ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） １２５６９∨Ｅ
１ （イ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ ア、ド・モルガンの法則
１ （ウ） ～（Ｐ⇔Ｑ） イＤｆ.⇔
従って、
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ⇔ Ｑ）
② （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
（03）
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ （６）～Ｐ∨～Ｑ ５∨Ｉ
２ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ６ド・モルガンの法則
２ （８） （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） ４７＆Ｉ
９（９） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
９（ア） Ｑ ９＆Ｅ
９（イ） Ｐ∨Ｑ ア∨Ｉ
９（ウ） ～Ｐ ９＆Ｅ
９（エ） ～Ｐ∨～Ｑ ウ∨Ｉ
９（オ） ～（Ｐ＆Ｑ） エ、ド・モルガンの法則
９（カ） （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） イオ＆Ｉ
１ （キ） （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） １２８９カ∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
１ （２） Ｐ∨Ｑ １＆Ｅ
１ （３） ～（Ｐ＆Ｑ） １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
５ （５） Ｑ Ａ
４５ （６） Ｐ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１４５ （７） ～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） ３６＆Ｉ
１４ （８） ～Ｑ ５７ＲＡＡ
１ （９） Ｐ→～Ｑ ４８ＣＰ
ア （ア） Ｐ Ａ
１ ア （イ） ～Ｑ ９アＭＰＰ
１ ア （ウ） （Ｐ＆～Ｑ） アイ＆Ｉ
１ ア （エ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ウ∨Ｉ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～～Ｑ オＤＮ
１ オ（キ） ～Ｐ ９カＭＰＰ
１ オ（ク） Ｑ＆～Ｐ オキ＆Ｉ
１ オ（ケ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ク∨Ｉ
１ （コ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） １アエオケ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
③（Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
（05）
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
１ （２） Ｐ∨ Ｑ １＆Ｅ
１ （３）～～（Ｐ∨ Ｑ） ２ＤＮ
１ （４）～（～Ｐ＆～Ｑ） ３ド・モルガンの法則
５ （５） ～Ｐ Ａ
６（６） ～Ｑ Ａ
５６（７） （～Ｐ＆～Ｑ） ５６＆Ｉ
１５６（８）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆（～Ｐ＆～Ｑ） ３７＆Ｉ
１５ （９） ～～Ｑ ６８ＤＮ
１５ （ア） Ｑ ９ＤＮ
１ （イ） ～Ｐ→ Ｑ ５アＣＰ
１ （ウ） ～（Ｐ＆Ｑ） １＆Ｅ
１ （エ） ～Ｐ∨～Ｑ ウ、ド・モルガンの法則
１ （オ） Ｐ→～Ｑ エ含意の定義
１ （カ） （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） イオ＆Ｉ
（ⅳ）
１ （１） （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） Ａ
１ （２） ～Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
１ （３） ～～Ｐ∨Ｑ ２含意の定義
１ （４） Ｐ∨Ｑ ３ＤＮ
１ （５） Ｐ→～Ｑ １＆Ｅ
１ （６） ～Ｐ∨～Ｑ ５含意の定義
１ （７） ～（Ｐ＆ Ｑ） ６ド・モルガンの法則
１ （８） （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） ４７＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
③（Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
④（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（04）（06）により、
（07）
① ～（Ｐ⇔ Ｑ）
② （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
③ （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
④ （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
に於いて、すなはち、
①（ＰとＱの「真偽」が一致する）ことはない。
②（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
③（Ｐか、またはＱである）が、（Ｐであって、Ｑである）といふことはない。
④（ＰでないならばＱであり）、（Ｐであるならば、Ｑでない）。
に於いて、
①＝②＝③＝④である。
然るに、
（08）
日本語の接続詞「あるいは」には、両立的選言（弱選言）と排他的選言（強選言）の二つの意味があることに注意してほしい。
論理学の「・・・あるいは・・・」は両立的選言に取り決めてある。それは論理学の体系がよりシンプルなものになるからである。
とりわけ、∨を両立的選言の方に決めておけば、
排他的選言の方は∨と＆と～によって簡単に表現できる―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―。
選言記号∨に対応する日本語には、「または」「もしくは」「・・・か・・・」などがある。
（昭和堂入門選書２５、論理学の基礎、1994年、１１頁改）
従って、
（07）（08）により、
（09）
① ～（Ｐ⇔ Ｑ）
② （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
③ （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
④ （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
に於いて、すなはち、
①（ＰとＱの「真偽」が一致する）ことはない。
②（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
③（Ｐか、またはＱである）が、（Ｐであって、Ｑである）といふことはない。
④（ＰでないならばＱであり）、（Ｐであるならば、Ｑでない）。
に於いて、
① は「排他的選言（強選言）」であって、
② も「排他的選言（強選言）」であって、
③ も「排他的選言（強選言）」であって、
④ も「排他的選言（強選言）」である。
然るに、
（10）
「Ｐ∨Ｑ」は、「両立的選言（弱選言）」であって、
「Ｐ▽Ｑ」は、「排他的選言（強選言）」であるとする。
従って、
（09）（10）により、
（11）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ▽Ｑ Ａ
１ （２）（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） １Ｄｆ.▽
１ （３） ～Ｐ→Ｑ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｐ Ａ
１２（５） Ｑ ３４ＭＰＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
１ （２）～～Ｐ∨Ｑ １ＤＮ
１ （３） ～Ｐ→Ｑ ２含意の定義
４（４） ～Ｐ Ａ
１４（５） Ｑ ３４ＭＰＰ
従って、
（11）により、
（12）
① Ｐ▽Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
② Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
といふ「推論」は、両方とも、「妥当」である。
然るに、
（13）
① Ｐ▽Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
② Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
に於いて、
① は、「選言三段論法」であって、
② も、「選言三段論法」である。
従って、
（08）（09）（13）により、
（14）
①「（排他的）選言三段論法」は「妥当」であって、
②「（両立的）選言三段論法」も「妥当」である。
然るに、
（15）
日常的な言語では、「ＡまたはＢ」という言葉は、ＡとＢが両方真となる包含的論理和（inclusive disjunction, or）と、
いずれか一方が真でいずれか一方が偽となる排他的論理和（exclusive disjunction, xor）が区別されていないことがあります。
選言三段論法が妥当となるときは、後者、排他的論理和として「または」を使っているときに限られることがわかりますね。
（趣味の数学）
従って、、
（08）（15）により、
（16）
選言三段論法が妥当となるときは、後者、排他的論理和（選言）として「または」を使っているときに限られることがわかりますね。
といふ「説明」は、「マチガイ」である。
（17）
① ～（Ｐ⇔ Ｑ）
② （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
③ （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
④ （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
に於いて、すなはち、
①（ＰとＱの「真偽」が一致する）ことはない。
②（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
③（Ｐか、またはＱである）が、（Ｐであって、Ｑである）といふことはない。
④（ＰでないならばＱであり）、（Ｐであるならば、Ｑでない）。
といふ「（４通リの）排他的選言（の定義）」に於いて、
① は「真理値表」を見れば、確かに、さうであって、「排他的選言」の「意味」からすれば、
② が「１番、分かり易い」ものの、「命題計算」の際には、
④ が「１番、扱い易い」。
令和０４年０７月２２日、毛利太。
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