「等号を含む述語計算」の「例題（E.J.レモン）」。

（01）
２ つぎの論証を等号を含む述語計算の記号に翻訳し、それに対応する連式の妥当性を示すことによって、論証の健全性を証明せよ。
２ Prove the soundness of the following arguments by translating them into the symbolism of the predicate calculus with identity and showing the validity of the corresponding sequents;
（ａ）すべての殺人者は精神異常である。ジーキルは殺人者である。ジーキルはハイドである。故にハイドは精神異常である。
（ｂ）いかなる殺人者も精神が正常でない。ジーキルは殺人者である。ハイドは精神が正常である。故にジーキルはハイドではない。
（ｃ）トムとジェーンのみ（Only Tom and Jane）がダンスをしている。トムとジェーンはどちらもツイストをしている。故にすべてのダンスをしているものはツイストをしている。
（ｄ）多くとも１人（at most one）の無法な国家主席がいる。毛沢東は無法な国家主席である。ジョンソンは毛沢東ではない。故にジョンソンは無法な国家主席ではない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１５頁）
　―「私による解答と解説」―
（02）
（ａ）すべての殺人者は精神異常である。ジーキルは殺人者である。ジーキルはハイドである。故にハイドは精神異常である。
に於いて、
ｊ＝ジーキル（固有名）
ｈ＝ハイド　（固有名）
とすると、
１　　（１）∀ｘ（殺人者ｘ→精神異常ｘ）　Ａ
　２　（２）殺人者ｊ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　ｊ＝ｈ　　　　　　　　　Ａ
１　　（４）殺人者ｊ→精神異常ｊ　　　　　１ＵＥ
１２　（５）　　　　　精神異常ｊ　　　　　２４ＭＰＰ
１２　（６）　　　　　精神異常ｈ　　　　　３５＝Ｅ
（〃）
「どのやうな殺人者であっても、例外なく精神異常である。」
とするならば、
「ジーキルが殺人者であれば、ジーキルは精神異常である。」
ところが、
「ジーキル（ｊ）とハイド（ｈ）は「同一人物（the same person）」である。
従って、
「ハイド（ジーキル）」は精神異常である。
（03）
（ｂ）いかなる殺人者も精神が正常でない。ジーキルは殺人者である。ハイドは精神が正常である。故にジーキルはハイドではない。
に於いて、
ｊ＝ジーキル（固有名）
ｈ＝ハイド　（固有名）
とすると、
１　　　（１）∀ｘ（殺人者ｘ→～正常ｘ）　Ａ
　２　　（２）殺人者ｊ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）正常ｈ　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（４）殺人者ｊ→～正常ｊ　　　　　１ＵＥ
１２　　（５）　　　　　～正常ｊ　　　　　２４ＭＰＰ
　　　４（６）ｊ＝ｈ　　　　　　　　　　　Ａ
１２　４（７）　　　　　正常ｊ　　　　　　３６＝Ｅ
１２　４（８）～正常ｊ＆正常ｊ　　　　　　５７＆Ｉ
１２　　（９）ｊ≠ｈ　　　　　　　　　　　４８ＲＡＡ
（〃）
「どのやうな殺人者であっても、例外なく精神が正常でない。」
とするならば、
「ジーキルが殺人者であれば、ジーキルは精神が正常ではない。」
ところで、
「ジーキルは殺人者である。」
従って、
「ジーキルは精神が正常ではない。」
然るに、
「ハイドは精神が正常である。」
従って、
「ジーキルとハイドが同一人物（the same person）」である。
とするならば、
「ジーキルは精神が異常であって、尚且つ、正常である。」
ということになって、「矛盾」する。
従って、
「ジーキル（ｊ）とハイド（ｈ）は「同一人物（the same person）」ではない。
（04）
（ｃ）トムとジェーンのみ（Only Tom and Jane）がダンスをしている。トムとジェーンはどちらもツイストをしている。故にすべてのダンスをしているものはツイストをしている。
に於いて、
ｔ＝トム　　（固有名）
ｈ＝ジェーン（固有名）
とすると、
１　　　　（１）∀ｘ｛～（ｘ＝ｔ∨ｘ＝ｊ）→～ダンスｘ｝　Ａ
１　　　　（２）　　　～（ａ＝ｔ∨ａ＝ｊ）→～ダンスａ　　１ＵＥ
　　３　　（３）　　　　　　　　　　　　　　　ダンスａ　　Ａ
　　３　　（４）　　　　　　　　　　　　　～～ダンスａ　　３ＤＮ
１　３　　（５）　　　　　ａ＝ｔ∨ａ＝ｊ　　　　　　　　　２４ＭＴＴ
　　　６　（６）　　　ツイストｔ＆ツイストｊ　　　　　　　Ａ
　　　６　（７）　　　ツイストｔ　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　８　（８）　　　　　ａ＝ｔ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　６８　（９）　　　ツイストａ　　　　　　　　　　　　　７８＝Ｅ
　　６　　（ア）　　　　　　　　　ツイストｊ　　　　　　　６＆Ｅ
　　　　イ（イ）　　　　　　　　　　　ａ＝ｊ　　　　　　　Ａ
　　６　イ（ウ）　　　　　　　　　ツイストａ　　　　　　　アイ＝Ｅ
１３６　　（エ）　　　ツイストａ　　　　　　　　　　　　　５８９イウ∨Ｅ
１　６　　（オ）　　　ダンスａ→　ツイストａ　　　　　　　３エＣＰ
１　６　　（カ）∀ｘ（ダンスｘ→　ツイストｘ）　　　　　　オＵＩ
（〃）
「誰であれ、（トムか、ジェーン）でなければ、ダンスをしていない。」
然るに、
「トムも、ジェーンも、ツイストをしている。」
従って、
「ツイストをしている人以外は、ダンスをしていない。」
従って、
「すべてのダンスをしているものはツイストをしている。」
（05）
（ｄ）多くとも１人（at most one）の無法な国家主席がいる。毛沢東は無法な国家主席である。ジョンソンは毛沢東ではない。故にジョンソンは無法な国家主席ではない。
に於いて、
ｍ＝毛沢東　　（固有名）。
ｊ＝ジョンソン（固有名）。
Ｆ＝無法な国家主席である（といふ述語文字）。
とすると、
１　　（１）～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　Ａ
１　　（２）∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　１量化子の関係
１　　（３）∀ｘ∀ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　２量化子の関係
１　　（４）　　∀ｙ～（Ｆｍ＆Ｆｙ＆ｍ≠ｙ）　３ＵＥ
１　　（５）　　　　～（Ｆｍ＆Ｆｊ＆ｍ≠ｊ）　４ＵＥ
１　　（６）　　～｛（Ｆｍ＆Ｆｊ）＆ｍ≠ｊ｝　５結合法則
１　　（７）　　　～（Ｆｍ＆Ｆｊ）∨ｍ＝ｊ　　６ド・モルガンの法則
１　　（８）　　　　（Ｆｍ＆Ｆｊ）→ｍ＝ｊ　　７含意の定義
　９　（９）　　　　　Ｆｍ　　　　　　　　　　Ａ
　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　ｍ≠ｊ　　Ａ
１　ア（イ）　　　～（Ｆｍ＆Ｆｊ）　　　　　　８アＭＴＴ
１　ア（ウ）　　　～Ｆｍ∨～Ｆｊ　　　　　　　イ、ド・モルガンの法則
１　ア（エ）　　　　Ｆｍ→～Ｆｊ　　　　　　　ウ含意の定義
１９ア（オ）　　　　　　　～Ｆｊ　　　　　　　９エＭＰＰ
（〃）
（ⅰ）
① 少なくとも２人＝２人以上。
② 多くとも、１人＝１人以下（１人か、０人）。
であるため、
① の「否定」が、② である。
然るに、
（ⅱ）
① ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
② 少なくとも２人以上の無法な国家主席がいる。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（ⅰ）（ⅱ）により、
（ⅲ）
① ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
② 多くとも１人（at most one）の無法な国家主席がいる。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（ⅳ）
（α）
１　　（１）～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　Ａ
１　　（２）∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　１量化子の関係
１　　（３）∀ｘ∀ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　２量化子の関係
１　　（４）　　　３ＵＥ
１　　（５）　　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）　４ＵＥ
１　　（６）　　～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝　５結合法則
１　　（７）　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ　　６ド・モルガンの法則
１　　（８）　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ　　７含意の定義
　９　（９）　　　　　　　　　　　　ａ≠ｂ　　Ａ
１９　（ア）　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ）　　　　　　８９ＭＴＴ
１９　（イ）　　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　ア、ド・モルガンの法則
１９　（ウ）　　　　　Ｆａ→～Ｆｂ　　　　　　イ、含意の定義
１　　（エ）ａ≠ｂ→（Ｆａ→～Ｆｂ）　　　　　９ウＣＰ
　　オ（オ）ａ≠ｂ＆　Ｆａ　　　　　　　　　　Ａ
　　オ（カ）ａ≠ｂ　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
１　オ（キ）　　　　　Ｆａ→～Ｆｂ　　　　　　エカＭＰＰ
　　オ（ク）　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
１　オ（ケ）　　　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　キクＭＰＰ
１　　（コ）　　　　　ａ≠ｂ＆Ｆａ→～Ｆｂ　　オケＣＰ
１　　（サ）　　∀ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆａ→～Ｆｙ）　コＵＩ
１　　（シ）∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ→～Ｆｙ）　サＵＩ
（β）
１　　（１）∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ→～Ｆｙ）　Ａ
１　　（２）　　∀ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆａ→～Ｆｙ）　１ＵＥ
１　　（３）　　　　　ａ≠ｂ＆Ｆａ→～Ｆｂ　　１ＵＥ
　４　（４）　　　　　　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ　　Ａ
　４　（５）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　４＆Ｅ
　４　（６）　　　　　　　　　　　～～Ｆｂ　　５ＤＮ
１４　（７）　　　～（ａ≠ｂ＆　Ｆａ）　　　　３６ＭＴＴ
１４　（８）　　　　　ａ＝ｂ∨～Ｆａ　　　　　７ド・モルガンの法則
１４　（９）　　　　　～Ｆａ∨ａ＝ｂ　　　　　８交換法則
１４　（ア）　　　　　　Ｆａ→ａ＝ｂ　　　　　９含意の定義
　４　（イ）　　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　４＆Ｅ
１４　（ウ）　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　　アイＭＰＰ
１　　（エ）　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ　　４ウＣＰ
１　　（オ）　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ　　エ含意の定義
１　　（カ）　　～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝　オ、ド・モルガンの法則
１　　（キ）　　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）　カ結合法則
１　　（ク）　　∀ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　キＵＩ
１　　（ケ）∀ｘ∀ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　クＵＩ
１　　（コ）∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　ケ量化子の関係
１　　（サ）～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　コ量化子の関係
従って、
（ⅲ）（ⅳ）により、
（ⅴ）
① ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
② 多くとも１人しか無法な国家主席はいない。
③ ∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ→～Ｆｙ）
④ ｘとｙが誰であれ、ｘとｙが「同一人物」ではなく、ｘが無法な国家主席であるならば、ｙは無法な国家主席ではない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（ⅴ）により、
（ⅵ）
（ｄ）多くとも１人（at most one）の無法な国家主席がいる。毛沢東は無法な国家主席である。ジョンソンは毛沢東ではない。故にジョンソンは無法な国家主席ではない。
という「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
（ａ）すべての殺人者は精神異常である。ジーキルは殺人者である。ジーキルはハイドである。故にハイドは精神異常である。
（ｂ）いかなる殺人者も精神が正常でない。ジーキルは殺人者である。ハイドは精神が正常である。故にジーキルはハイドではない。
（ｃ）トムとジェーンのみ（Only Tom and Jane）がダンスをしている。トムとジェーンはどちらもツイストをしている。故にすべてのダンスをしているものはツイストをしている。
（ｄ）多くとも１人（at most one）の無法な国家主席がいる。毛沢東は無法な国家主席である。ジョンソンは毛沢東ではない。故にジョンソンは無法な国家主席ではない。
という「論証の健全性」は、「等号を含む述語計算（The predicate calculus with identity）」によって「証明」出来る。
ということが、「証明」出来た。
令和０４年０７月２６日、毛利太。