（― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
ラッセルの確定記述の理論を用いて、次の論証の健全性を確立せよ。
（ａ）マイン・カンプの著者は１９４５年に死んだ。ヒトラーはマイン・カンプを書いた。故にヒトラー１９４５年に死んだ。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２１５頁）
（02）
〔私の解答〕
１ （１）∃ｘ（我が闘争ｘ＆４５年死ｘ） Ａ
２ （２） 我が闘争ａ＆４５年死ａ Ａ
３ （３）∃ｙ｛ヒトラーｙ＆∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
４（４） ヒトラーｂ＆∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｂ） Ａ
４（５） ∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｂ） ４＆Ｅ
４（６） 我が闘争ａ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
２ （７） 我が闘争ａ ２＆Ｅ
２ ４（８） ａ＝ｂ ６７ＭＰＰ
４（９） ヒトラーｂ ４＆Ｅ
２ ４（ア） ヒトラーａ ８９＝Ｅ
２ （イ） ４５年死ａ ２＆Ｅ
２ ４（ウ） ヒトラーａ＆４５年死ａ アイ＆Ｉ
２ ４（エ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ） ウＥＩ
２３ （オ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ） ３４エＥＥ
１ ３ （カ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ） １２オＥＥ
１ ３ （〃）あるｘはヒトラーであって１９４５年に死んだ。 １２オＥＥ
１ ３ （〃）Therefore Hitler died in 1945． １２オＥＥ
従って、
（01）（02）により、
（03）
「ラッセルの確定記述の理論（definite description）」により、
① ヒトラー＝マイン・カンプの著者．
といふことは、
② ヒトラーはマイン・カンプの著者であり、マイン・カンプの著者はヒトラーである。
③ ヒトラーはマイン・カンプの著者であり、ヒトラー以外はマイン・カンプの著者ではない。
といふことに、他ならない。
従って、
（03）により、
（04）
① Ａ＝Ｂ．
といふことは、
② ＡはＢであり、ＢはＡである。
③ ＡはＢであり、Ａ以外はＢではない。
といふことに、他ならない。
然るに、
（05）
逆は必ずしも、真ではない。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ＡはＢである。
からと言って、
① ＢはＡである。
とは、限らない。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① ＡはＢである。
からと言って、
① Ａ＝Ｂ
とは、限らない。
従って、
（07）により、
（08）
① ＡはＢである（Ａ is Ｂ）。
には、
② Ａ＝Ｂ
③ Ａ≠Ｂ
といふ、「２通り」があることになる。
然るに、
（09）
Consider the six English sentences below．
（１）Socrates is a philosopher．
（２）Paris is a city．
（３）Courage is a virtue．
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato．
（５）Paris is the capital of France．
（６）Courage is the virtue I most admire．
（E.J.Lemmon, Beginning Logic,1978/6/1,p160）
（10）
つぎの６つの日本語の文を考えてみよう。
（１）ソクラテスは哲学者である。
（２）パリは都市である。
（３）勇気は徳である。
（４）ソクラテスはプラトンを教えた哲学者である。
（５）パリはフランスの首都である。
（６）勇気はわたしが最も賛美する徳である。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２０４頁）
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① ＡはＢである（Ａ is Ｂ）。
には、
② Ａ＝Ｂ（Ａ is the Ｂ）．
③ Ａ≠Ｂ（Ａ is a Ｂ）．
といふ、「２通り」があることになる。
然るに、
（12）
①｛ソクラテス、プラトン、アリストテレス｝
を｛対象｝とする際に、
① ソクラテスは哲学者である。
② ソクラテスが哲学者である。
に於いて、
① は、「正しく」、
② は、「間違ひ」である。
然るに、
（13）
①｛ソクラテス、プラトン、アリストテレス｝
を｛対象｝とする際に、
① ソクラテスはプラトンを教えた哲学者である。
② ソクラテスがプラトンを教えた哲学者である。
に於いて、
① は、「正しく」、
② も、「正しい」。
然るに、
（14）
①｛ソクラテス、プラトン、アリストテレス｝
を｛対象｝とする際に、
① ソクラテスは哲学者である。
③ 哲学者はソクラテスである。
に於いて、
① は、「正しく」であるが、
③ は、「間違ひ」である。
然るに、
（15）
①｛ソクラテス、プラトン、アリストテレス｝
を｛対象｝とする際に、
① ソクラテスはプラトンを教えた哲学者である。
③ プラトンを教えた哲学者はソクラテスである。
に於いて、
① は、「正しく」、
③ も、「正しい」。
従って、
（12）～（15）により、
（16）
① ソクラテスは哲学者である。
② ソクラテスが哲学者である。
③ 哲学者はソクラテスである。
であれば、
① 以外は「間違ひ」であって、
① ソクラテスはプラトンを教えた哲学者である。
② ソクラテスがプラトンを教えた哲学者である。
③ プラトンを教えた哲学者はソクラテスである。
であれば、
① は「正しく」、
② も「正しく」、
③ も「正しい」。
従って、
（16）により、
（17）
① ＡはＢであって、
③ ＢはＡである。
ならば、そのときに限って、
① ＡはＢである。は、
② ＡがＢである。
と、「言ひ得る」といふ、ことになる。
従って、
（09）（17）により、
（18）
Consider the six English sentences below．
（１）Socrates is a philosopher．
（２）Paris is a city．
（３）Courage is a virtue．
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato．
（５）Paris is the capital of France．
（６）Courage is the virtue I most admire．
（E.J.Lemmon, Beginning Logic,1978/6/1,p160）
であるならば、
（１，２，３）Ａ is a Ｂ．
（４，５，６）Ａ is the Ｂ．
に於いて、
（１，２，３）は、「ＡはＢである。」の「１通り」しかなく、
（４，５，６）は、「ＡはＢである。」＆「ＡがＢである。」の「２通り」がある。
といふ、ことになる。
従って、
（17）（18）により、
（19）
（２）Paris is a city．
（５）Paris is the capital of France．
であれば、
（２）ではなく、
（５）の場合は、
（５）Paris is the capital of France．であると同時に、
（〃）the capital of France is Paris．であるが故に、
（５）パリはフランスの首都である。 と同時に、
（〃）パリがフランスの首都である。 といふ、ことなる。
然るに、
（20）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（19）（20）により、
（21）
（７）I am the 理事長 of タゴール記念会． であると同時に、
（〃）the 理事長 of タゴール記念会 is me. であるが故に、
（７）私はタゴール記念会の理事長である。 と同時に、
（〃）私がタゴール記念会の理事長である。 といふ、ことなる。
令和元年０９月２４日、毛利太。
2019年9月24日火曜日
2019年9月23日月曜日
「正確に１つのものがＦ」の「述語論理」。
（― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
01）
それ故、正確に１つのものがＦをもつということは、つぎのように言うことである。
（16）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
さて（16）は、実はより短くすっきりしたつぎの式と相互に導出可能なのである。
（17）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
（17）は、あるものがＦをもち、そして任意のＦをもつものはまさにそのものにほかならない、と主張する。
（E.J.レモン 著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１１・２１２頁）
（02）
練習問題３ つぎに相互に導出可能な結果を確立せよ（本文の（16）および（17）を参照）。
（ａ）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝┤├ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
（ヒント：練習問題１（ｃ）を用いてＳＩを適用すれば、労が省かれるだろう）
（E.J.レモン 著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１５頁）
然るに、
（03）
練習問題１（ｃ）ｂ＝ａ，ｃ＝ａ├ ｂ＝ｃ
といふ「問題」が、どうして、ヒントになるのかが、私には、分からない。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＵＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ １３エＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （５） Ｆｂ→ａ＝ｂ ４ＵＥ
６（６） Ｆｂ＆Ｆｂ Ａ
６（７） Ｆｂ ６＆Ｅ
２６（８） ａ＝ｂ ５７ＭＰＰ
２６（９） ａ＝ｂ＆ａ＝ｂ ８８＆Ｉ
２６（ア） ａ＝ｂ ９＆Ｅ
２６（イ） ｂ＝ｂ ８ア＝Ｅ
２ （ウ） Ｆｂ＆Ｆｂ→ｂ＝ｂ ５イＣＰ
２ （エ） ∀ｙ（Ｆｂ＆Ｆｙ→ｂ＝ｙ） ウＵＩ
２ （オ） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） エＵＩ
２ （キ） ∃ｘＦｘ ３ＥＩ
２ （ク）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） オキ＆Ｉ
１ （ケ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２クＥＥ
従って、
（04）により、
（05）
３ つぎに相互に導出可能な結果を確立せよ（本文の（16）および（17）を参照）。
（ａ）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝┤├ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
といふ「問題」の「解答」は、（04）であっても、「マチガイではない」はずであるが、残念なことに、「E.J.レモン 著、竹尾 治一郎・
浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年」には、「問題に対する解答」が載ってゐない。
令和元年０９月２３日、毛利太。
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
01）
それ故、正確に１つのものがＦをもつということは、つぎのように言うことである。
（16）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
さて（16）は、実はより短くすっきりしたつぎの式と相互に導出可能なのである。
（17）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
（17）は、あるものがＦをもち、そして任意のＦをもつものはまさにそのものにほかならない、と主張する。
（E.J.レモン 著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１１・２１２頁）
（02）
練習問題３ つぎに相互に導出可能な結果を確立せよ（本文の（16）および（17）を参照）。
（ａ）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝┤├ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
（ヒント：練習問題１（ｃ）を用いてＳＩを適用すれば、労が省かれるだろう）
（E.J.レモン 著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１５頁）
然るに、
（03）
練習問題１（ｃ）ｂ＝ａ，ｃ＝ａ├ ｂ＝ｃ
といふ「問題」が、どうして、ヒントになるのかが、私には、分からない。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＵＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ １３エＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （５） Ｆｂ→ａ＝ｂ ４ＵＥ
６（６） Ｆｂ＆Ｆｂ Ａ
６（７） Ｆｂ ６＆Ｅ
２６（８） ａ＝ｂ ５７ＭＰＰ
２６（９） ａ＝ｂ＆ａ＝ｂ ８８＆Ｉ
２６（ア） ａ＝ｂ ９＆Ｅ
２６（イ） ｂ＝ｂ ８ア＝Ｅ
２ （ウ） Ｆｂ＆Ｆｂ→ｂ＝ｂ ５イＣＰ
２ （エ） ∀ｙ（Ｆｂ＆Ｆｙ→ｂ＝ｙ） ウＵＩ
２ （オ） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） エＵＩ
２ （キ） ∃ｘＦｘ ３ＥＩ
２ （ク）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） オキ＆Ｉ
１ （ケ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２クＥＥ
従って、
（04）により、
（05）
３ つぎに相互に導出可能な結果を確立せよ（本文の（16）および（17）を参照）。
（ａ）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝┤├ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
といふ「問題」の「解答」は、（04）であっても、「マチガイではない」はずであるが、残念なことに、「E.J.レモン 著、竹尾 治一郎・
浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年」には、「問題に対する解答」が載ってゐない。
令和元年０９月２３日、毛利太。
2019年9月21日土曜日
「同一性」の「ｉｓ」と「は・が」。
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
① 埼玉は日本であるが、埼玉は東京ではない。
従って、
（01）により、
（02）
① 日本は東京である。
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」である。
然るに。
（03）
① 日本は東京である。
に対して、
② 日本の首都は東京である。
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
然るに、
（04）
③ 東京が日本である。
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」であるが、
④ 東京が日本の首都である。
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
③ 東京が日本である。
① 日本は東京である。
④ 東京が日本の首都である。
② 日本の首都は東京である。
に於いて、
③＆① は「偽（ウソ）」であって、
④＆② は「真（本当）」である。
然るに、
（06）
① 日本は東京である。
② 日本の首都は東京である。
に対する「対偶（Contraposition）」は、それぞれ、
① 東京以外は日本ではない。
② 東京以外は日本の首都ではない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ＡがＢである。
が「真（本当）」であるならば、そのときに限って、
② ＢはＡである（Ａ以外はＢでない）。
も「真（本当）」である。
然るに、
（08）
① ＡがＢである。ならば、
② ＡはＢでない。といふことはない。
従って、
（08）により、
（09）
① ＡがＢである。ならば、
② ＡはＢである。
従って、
（07）（09）により、
（10）
① ＡがＢである。
が「真（本当）」であるならば、そのときに限って、
② ＡはＢであり、ＢはＡである。
② ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
は「真（本当）」である。
然るに、
（11）
② ＡはＢであり、ＢはＡである。
といふことは、
② Ａ＝Ｂ
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
① ＡはＢである。
といふ「言ひかた」を、
① ＡがＢである。
といふ風に、「言い換へ」た際に、
① ＡがＢである。
といふ「命題」が、「真（本当）」であるならば、そのときに限って、
② Ａ＝Ｂ
である。
従って、
（12）により、
（13）
① Ａ is Ｂ.
といふ「言ひかた」を、
① ＡがＢである。
といふ風に、「言い換へ」た際に、
① ＡがＢである。
といふ「命題」が、「真（本当）」であるならば、そのときに限って、
② Ａ＝Ｂ
である。
然るに、
（14）
（１）Socrates is a philosopher.
（２）Paris is a city.
（３）Courage is a virtue.
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato.
（５）Paris is the capital of France.
（６）Courage is the virtue I most admire.
（E.J.Lemmon, Beginning Logic,1978/6/1,p160）
に於いて、例へば、
（２）Paris is a city.
（５）Paris is the capital of France.
であれば、
（２）パリが都市である。
（５）パリがフランスの首都である。
に於いて、
（２）は「偽（ウソ）」であって、
（５）は「真（本当）」であるため、
（２）パリ＝都市 ではないが、
（５）パリ＝フランスの首都 である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
① Ａ is a Ｂ.
② Ａ is the Ｂ.
であれば、
② ならば、そのときに限って、
② ＡがＢである。
であって、
② Ａ＝Ｂ
である。
従って、
（13）（15）により、
（16）
② パリ が フランスの首都である。
② パリ is the 首都 of フランス。
② パリ ＝ the 首都 of フランス。
に於ける、
② パリ is the
の、 is
を、「同一性（identity）のｉｓ」と言ふ。
ｃｆ.
This‘ is ’we distinguish as the‘ is ’of identity.
（E.J.Lemmon, Beginning Logic,1978/6/1,p160）
然るに、
（16）により、
（17）
② パリがフランスの首都である。⇔
② Paris is the capital of France.⇔
② ∃ｘ｛パリｘ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ｘ＝ｙ）｝⇔
② あるｘはパリであって、すべてのｙについて、ｙがフランスの首都であるならならば、ｘとｙは「同一」である。
然るに、
（18）
② ∃ｘ｛パリｘ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ｘ＝ｙ）｝
を「否定」すると、
① ～∃ｘ｛パリｘ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ｘ＝ｙ）｝
である。
然るに、
（19）
（ａ）
１ （１）～∃ｘ｛パリｘ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛パリｘ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ｘ＝ｙ）｝ １量化子の関係
１ （３） ～｛パリａ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ）｝ １ＵＥ
１ （４） ～パリａ∨～∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） １ド・モルガンの法則
１ （５） パリａ→～∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） ４含意の定義
６ （６） パリａ Ａ
１６ （７） ～∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） ５６ＭＰＰ
１６ （８） ∃ｙ～（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） ７量化子の関係
９（９） ～（フランスの首都ｂ→ａ＝ｂ） Ａ
９（ア） ～（～フランスの首都ｂ∨ａ＝ｂ） ９含意の定義
９（イ） フランスの首都ｂ＆ａ≠ｂ ア、ド・モルガンの法則
９（ウ） ∃ｙ（フランスの首都ｙ＆ａ≠ｙ） ９ＥＩ
１６ （エ） ∃ｙ（フランスの首都ｙ＆ａ≠ｙ） ８９ＥＥ
１ （オ） パリａ→∃ｙ（フランスの首都ｙ＆ａ≠ｙ） ６エＣＰ
１ （カ） ∀ｘ｛パリｘ→∃ｙ（フランスの首都ｙ＆ｘ≠ｙ）｝ オＵＩ
（ｂ）
１ （１） ∀ｘ｛パリｘ→∃ｙ（フランスの首都ｙ＆ｘ≠ｙ）｝ Ａ
１ （２） パリａ→∃ｙ（フランスの首都ｙ＆ａ≠ｙ） １ＵＥ
３ （３） パリａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ（フランスの首都ｙ＆ａ≠ｙ） ２３ＭＰＰ
５（５） フランスの首都ｙ＆ａ≠ｂ Ａ
５（６） ～～（フランスの首都ｙ＆ａ≠ｂ） ５ＤＮ
５（７） ～（～フランスの首都ｙ∨ａ＝ｂ） ６ド・モルガンの法則
５（８） ～（フランスの首都ｙ→ａ＝ｂ） ７含意の定義
５（９） ∃ｙ～（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） ８ＥＩ
１３ （ア） ∃ｙ～（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） ４５９ＥＥ
１３ （イ） ～∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） ア量化子の関係
１ （ウ） パリａ→～∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） ３イＣＰ
１ （エ） ～パリａ∨～∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） ウ含意の定義
１ （カ） ～｛パリａ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ）｝ エ、ド・モルガンの法則
１ （キ）∀ｘ～｛パリａ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ）｝ カＵＩ
１ （ク）～∃ｘ｛パリｘ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ｘ＝ｙ）｝ キ量化子の関係
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
② パリがフランスの首都である。⇔
② ∃ｘ｛パリｘ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ｘ＝ｙ）｝。
の「否定」は、
① ∀ｘ｛パリｘ→∃ｙ（フランスの首都ｙ＆ｘ≠ｙ）｝⇔
① いかなるｘであっても、ｘがパリであるならば、あるｙはフランスの首都であって、尚且つ、ｘはｙではない。
である。
然るに、
（21）
① ｘがパリであるならば、あるｙはフランスの首都であって、尚且つ、ｘはｙではない。
といふことは、
① ｘ＝パリ 以外にも、
① ｙ＝フランスの首都 が在る。
といふ、ことである。
然るに、
（21）
① ｘ＝パリ 以外にも、
① ｙ＝フランスの首都 が在る。
といふのであれば、
② パリがフランスの首都である。⇔
② Paris is the capital of France.
とは、言へない。
令和元年０９日２１日、毛利太。
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
① 埼玉は日本であるが、埼玉は東京ではない。
従って、
（01）により、
（02）
① 日本は東京である。
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」である。
然るに。
（03）
① 日本は東京である。
に対して、
② 日本の首都は東京である。
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
然るに、
（04）
③ 東京が日本である。
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」であるが、
④ 東京が日本の首都である。
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
③ 東京が日本である。
① 日本は東京である。
④ 東京が日本の首都である。
② 日本の首都は東京である。
に於いて、
③＆① は「偽（ウソ）」であって、
④＆② は「真（本当）」である。
然るに、
（06）
① 日本は東京である。
② 日本の首都は東京である。
に対する「対偶（Contraposition）」は、それぞれ、
① 東京以外は日本ではない。
② 東京以外は日本の首都ではない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ＡがＢである。
が「真（本当）」であるならば、そのときに限って、
② ＢはＡである（Ａ以外はＢでない）。
も「真（本当）」である。
然るに、
（08）
① ＡがＢである。ならば、
② ＡはＢでない。といふことはない。
従って、
（08）により、
（09）
① ＡがＢである。ならば、
② ＡはＢである。
従って、
（07）（09）により、
（10）
① ＡがＢである。
が「真（本当）」であるならば、そのときに限って、
② ＡはＢであり、ＢはＡである。
② ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
は「真（本当）」である。
然るに、
（11）
② ＡはＢであり、ＢはＡである。
といふことは、
② Ａ＝Ｂ
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
① ＡはＢである。
といふ「言ひかた」を、
① ＡがＢである。
といふ風に、「言い換へ」た際に、
① ＡがＢである。
といふ「命題」が、「真（本当）」であるならば、そのときに限って、
② Ａ＝Ｂ
である。
従って、
（12）により、
（13）
① Ａ is Ｂ.
といふ「言ひかた」を、
① ＡがＢである。
といふ風に、「言い換へ」た際に、
① ＡがＢである。
といふ「命題」が、「真（本当）」であるならば、そのときに限って、
② Ａ＝Ｂ
である。
然るに、
（14）
（１）Socrates is a philosopher.
（２）Paris is a city.
（３）Courage is a virtue.
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato.
（５）Paris is the capital of France.
（６）Courage is the virtue I most admire.
（E.J.Lemmon, Beginning Logic,1978/6/1,p160）
に於いて、例へば、
（２）Paris is a city.
（５）Paris is the capital of France.
であれば、
（２）パリが都市である。
（５）パリがフランスの首都である。
に於いて、
（２）は「偽（ウソ）」であって、
（５）は「真（本当）」であるため、
（２）パリ＝都市 ではないが、
（５）パリ＝フランスの首都 である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
① Ａ is a Ｂ.
② Ａ is the Ｂ.
であれば、
② ならば、そのときに限って、
② ＡがＢである。
であって、
② Ａ＝Ｂ
である。
従って、
（13）（15）により、
（16）
② パリ が フランスの首都である。
② パリ is the 首都 of フランス。
② パリ ＝ the 首都 of フランス。
に於ける、
② パリ is the
の、 is
を、「同一性（identity）のｉｓ」と言ふ。
ｃｆ.
This‘ is ’we distinguish as the‘ is ’of identity.
（E.J.Lemmon, Beginning Logic,1978/6/1,p160）
然るに、
（16）により、
（17）
② パリがフランスの首都である。⇔
② Paris is the capital of France.⇔
② ∃ｘ｛パリｘ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ｘ＝ｙ）｝⇔
② あるｘはパリであって、すべてのｙについて、ｙがフランスの首都であるならならば、ｘとｙは「同一」である。
然るに、
（18）
② ∃ｘ｛パリｘ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ｘ＝ｙ）｝
を「否定」すると、
① ～∃ｘ｛パリｘ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ｘ＝ｙ）｝
である。
然るに、
（19）
（ａ）
１ （１）～∃ｘ｛パリｘ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛パリｘ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ｘ＝ｙ）｝ １量化子の関係
１ （３） ～｛パリａ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ）｝ １ＵＥ
１ （４） ～パリａ∨～∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） １ド・モルガンの法則
１ （５） パリａ→～∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） ４含意の定義
６ （６） パリａ Ａ
１６ （７） ～∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） ５６ＭＰＰ
１６ （８） ∃ｙ～（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） ７量化子の関係
９（９） ～（フランスの首都ｂ→ａ＝ｂ） Ａ
９（ア） ～（～フランスの首都ｂ∨ａ＝ｂ） ９含意の定義
９（イ） フランスの首都ｂ＆ａ≠ｂ ア、ド・モルガンの法則
９（ウ） ∃ｙ（フランスの首都ｙ＆ａ≠ｙ） ９ＥＩ
１６ （エ） ∃ｙ（フランスの首都ｙ＆ａ≠ｙ） ８９ＥＥ
１ （オ） パリａ→∃ｙ（フランスの首都ｙ＆ａ≠ｙ） ６エＣＰ
１ （カ） ∀ｘ｛パリｘ→∃ｙ（フランスの首都ｙ＆ｘ≠ｙ）｝ オＵＩ
（ｂ）
１ （１） ∀ｘ｛パリｘ→∃ｙ（フランスの首都ｙ＆ｘ≠ｙ）｝ Ａ
１ （２） パリａ→∃ｙ（フランスの首都ｙ＆ａ≠ｙ） １ＵＥ
３ （３） パリａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ（フランスの首都ｙ＆ａ≠ｙ） ２３ＭＰＰ
５（５） フランスの首都ｙ＆ａ≠ｂ Ａ
５（６） ～～（フランスの首都ｙ＆ａ≠ｂ） ５ＤＮ
５（７） ～（～フランスの首都ｙ∨ａ＝ｂ） ６ド・モルガンの法則
５（８） ～（フランスの首都ｙ→ａ＝ｂ） ７含意の定義
５（９） ∃ｙ～（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） ８ＥＩ
１３ （ア） ∃ｙ～（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） ４５９ＥＥ
１３ （イ） ～∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） ア量化子の関係
１ （ウ） パリａ→～∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） ３イＣＰ
１ （エ） ～パリａ∨～∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ） ウ含意の定義
１ （カ） ～｛パリａ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ）｝ エ、ド・モルガンの法則
１ （キ）∀ｘ～｛パリａ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ａ＝ｙ）｝ カＵＩ
１ （ク）～∃ｘ｛パリｘ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ｘ＝ｙ）｝ キ量化子の関係
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
② パリがフランスの首都である。⇔
② ∃ｘ｛パリｘ＆∀ｙ（フランスの首都ｙ→ｘ＝ｙ）｝。
の「否定」は、
① ∀ｘ｛パリｘ→∃ｙ（フランスの首都ｙ＆ｘ≠ｙ）｝⇔
① いかなるｘであっても、ｘがパリであるならば、あるｙはフランスの首都であって、尚且つ、ｘはｙではない。
である。
然るに、
（21）
① ｘがパリであるならば、あるｙはフランスの首都であって、尚且つ、ｘはｙではない。
といふことは、
① ｘ＝パリ 以外にも、
① ｙ＝フランスの首都 が在る。
といふ、ことである。
然るに、
（21）
① ｘ＝パリ 以外にも、
① ｙ＝フランスの首都 が在る。
といふのであれば、
② パリがフランスの首都である。⇔
② Paris is the capital of France.
とは、言へない。
令和元年０９日２１日、毛利太。
2019年9月18日水曜日
「ド・モルガンの法則」の「命題計算」。
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
Ａ＝Ｂ であるならば、そのとき限って、
～Ａ＆Ｂ は、
～Ａ＆Ａ である。
然るに、
（02）
～Ａ＆Ａ は「矛盾」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
Ａ＝Ｂ であるならば、そのとき限って、
～Ａ＆Ｂ は、すなはち、
～Ａ＆Ａ は、「矛盾」である。
然るに、
（04）
（ａ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
２３ （６） （～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９（９） ～Ｑ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～～Ｑ ９イＲＡＡ
２ （エ） Ｑ ウＤＮ
２ （オ） Ｐ＆ Ｑ ８エ＆Ｉ
１２ （カ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ）
１ （キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２カＲＡＡ
１ （ク） ～Ｐ∨～Ｑ
（ｂ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ｃ）
１ （１）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １２＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
７（７） ～Ｑ Ａ
７（８） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
１ ７（９）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １８＆Ｉ
１ （ア） ～～Ｑ ７９ＲＡＡ
１ （イ） Ｑ アＤＮ
１ （ウ） Ｐ＆ Ｑ ６イ＆Ｉ
（ｄ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ ４ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） Ｑ １＆Ｅ
８（８） ～Ｑ Ａ
１ ８（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２４６８ア
１２ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（～Ｐ∨～Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
Ａ＝ ～（Ｐ＆ Ｑ）
Ｂ＝ ～Ｐ∨～Ｑ
Ｃ＝～（～Ｐ∨～Ｑ）
Ｄ＝ （Ｐ＆ Ｑ）
に於いて、
Ａ＝Ｂ といふ「等式（ド・モルガンの法則）」は、「正しく」、
Ｃ＝Ｄ といふ「等式（ド・モルガンの法則）」は、「正しい」。
然るに、
（05）により、
（06）
Ａ＝ ～（Ｐ＆ Ｑ）
Ｂ＝ ～Ｐ∨～Ｑ
～Ｂ＝～（～Ｐ∨～Ｑ）
～Ａ＝ （Ｐ＆ Ｑ）
従って、
（06）により、
（07）
～Ａ＝（Ｐ＆Ｑ）
Ｂ＝（～Ｐ∨～Ｑ）＝Ａ＝～（Ｐ＆Ｑ）
であって、尚且つ、
（Ｐ＆Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）は「矛盾」である。
従って、
（03）（05）（06）（07）により、
（08）
Ａ＝Ｂ であるならば、そのとき限って、
～Ａ＆Ｂ は、すなはち、
～Ａ＆Ａ は、「矛盾」である。
といふ「命題」は、「ド・モルガンの法則」によっても、「確認」出来る。
（09）
以前にも、書いたものの、
①「ＡとＢの両方ともが本当である。といふことはない。」
②「ＡとＢの、少なくとも、一方はウソである。」
に於いて、
①＝② である。
（10）
③「ＡとＢの、少なくとも、一方が本当である。といふことはない。」
④「ＡとＢの両方ともがウソである。」
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（11）
①「ＡとＢの両方ともが本当である。といふことはない。」
②「ＡとＢの、少なくとも、一方はウソである。」
③「ＡとＢの、少なくとも、一方が本当である。といふことはない。」
④「ＡとＢの両方ともがウソである。」
といふことを、「命題論理の記号」で書くならば、
① ～（Ａ＆ Ｂ）
② ～Ａ∨～Ｂ
③ ～（Ａ∨ Ｂ）
④ ～Ａ＆～Ｂ
である。
然るに、
（12）
① ～（Ａ＆ Ｂ）
② ～Ａ∨～Ｂ
③ ～（Ａ∨ Ｂ）
④ ～Ａ＆～Ｂ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふことは、「ド・モルガンの法則」に、他ならない。
従って、
（09）～（12）により、
（13）
①「ＡとＢの両方ともが本当である。といふことはない。」
②「ＡとＢの、少なくとも、一方はウソである。」
③「ＡとＢの、少なくとも、一方が本当である。といふことはない。」
④「ＡとＢの両方ともがウソである。」
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふことを、「初めから、理解」出来るのであれば、その人は、「ド・モルガンの法則」を、「初めから、理解」してゐることになる。
従って、
（13）により、
（14）
「ド・モルガンの法則」そのものを、「理解」する際に、敢へて「ベン図」を用ひる必要はない。
令和元年０９月１８日、毛利太。
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
Ａ＝Ｂ であるならば、そのとき限って、
～Ａ＆Ｂ は、
～Ａ＆Ａ である。
然るに、
（02）
～Ａ＆Ａ は「矛盾」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
Ａ＝Ｂ であるならば、そのとき限って、
～Ａ＆Ｂ は、すなはち、
～Ａ＆Ａ は、「矛盾」である。
然るに、
（04）
（ａ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
２３ （６） （～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９（９） ～Ｑ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～～Ｑ ９イＲＡＡ
２ （エ） Ｑ ウＤＮ
２ （オ） Ｐ＆ Ｑ ８エ＆Ｉ
１２ （カ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ）
１ （キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２カＲＡＡ
１ （ク） ～Ｐ∨～Ｑ
（ｂ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ｃ）
１ （１）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １２＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
７（７） ～Ｑ Ａ
７（８） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
１ ７（９）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １８＆Ｉ
１ （ア） ～～Ｑ ７９ＲＡＡ
１ （イ） Ｑ アＤＮ
１ （ウ） Ｐ＆ Ｑ ６イ＆Ｉ
（ｄ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ ４ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） Ｑ １＆Ｅ
８（８） ～Ｑ Ａ
１ ８（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２４６８ア
１２ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（～Ｐ∨～Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
Ａ＝ ～（Ｐ＆ Ｑ）
Ｂ＝ ～Ｐ∨～Ｑ
Ｃ＝～（～Ｐ∨～Ｑ）
Ｄ＝ （Ｐ＆ Ｑ）
に於いて、
Ａ＝Ｂ といふ「等式（ド・モルガンの法則）」は、「正しく」、
Ｃ＝Ｄ といふ「等式（ド・モルガンの法則）」は、「正しい」。
然るに、
（05）により、
（06）
Ａ＝ ～（Ｐ＆ Ｑ）
Ｂ＝ ～Ｐ∨～Ｑ
～Ｂ＝～（～Ｐ∨～Ｑ）
～Ａ＝ （Ｐ＆ Ｑ）
従って、
（06）により、
（07）
～Ａ＝（Ｐ＆Ｑ）
Ｂ＝（～Ｐ∨～Ｑ）＝Ａ＝～（Ｐ＆Ｑ）
であって、尚且つ、
（Ｐ＆Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）は「矛盾」である。
従って、
（03）（05）（06）（07）により、
（08）
Ａ＝Ｂ であるならば、そのとき限って、
～Ａ＆Ｂ は、すなはち、
～Ａ＆Ａ は、「矛盾」である。
といふ「命題」は、「ド・モルガンの法則」によっても、「確認」出来る。
（09）
以前にも、書いたものの、
①「ＡとＢの両方ともが本当である。といふことはない。」
②「ＡとＢの、少なくとも、一方はウソである。」
に於いて、
①＝② である。
（10）
③「ＡとＢの、少なくとも、一方が本当である。といふことはない。」
④「ＡとＢの両方ともがウソである。」
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（11）
①「ＡとＢの両方ともが本当である。といふことはない。」
②「ＡとＢの、少なくとも、一方はウソである。」
③「ＡとＢの、少なくとも、一方が本当である。といふことはない。」
④「ＡとＢの両方ともがウソである。」
といふことを、「命題論理の記号」で書くならば、
① ～（Ａ＆ Ｂ）
② ～Ａ∨～Ｂ
③ ～（Ａ∨ Ｂ）
④ ～Ａ＆～Ｂ
である。
然るに、
（12）
① ～（Ａ＆ Ｂ）
② ～Ａ∨～Ｂ
③ ～（Ａ∨ Ｂ）
④ ～Ａ＆～Ｂ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふことは、「ド・モルガンの法則」に、他ならない。
従って、
（09）～（12）により、
（13）
①「ＡとＢの両方ともが本当である。といふことはない。」
②「ＡとＢの、少なくとも、一方はウソである。」
③「ＡとＢの、少なくとも、一方が本当である。といふことはない。」
④「ＡとＢの両方ともがウソである。」
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふことを、「初めから、理解」出来るのであれば、その人は、「ド・モルガンの法則」を、「初めから、理解」してゐることになる。
従って、
（13）により、
（14）
「ド・モルガンの法則」そのものを、「理解」する際に、敢へて「ベン図」を用ひる必要はない。
令和元年０９月１８日、毛利太。
2019年9月17日火曜日
「象は鼻が長い」の「4 通りの論理式」。
―「昨日（令和元年０９月１６）日の記事」を書き直します。―
―「一昨日（令和元年０９月１２日）の記事」を書き直します。―
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ ＆ ～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
④ ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝
に於いて、
①＝② ではないが、
②＝③＝④ である。
といふことを、「証明」したい。
（02）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いては、
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＝あるｙはｘの鼻であって、長い。
② ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＝すべてのｙについて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長い。
といふ「部分論理式」が異なってゐる。
然るに、
（03）
Ａ＝Ｂ であるならば、そのとき限って、
～Ａ＆Ｂ は「矛盾」する。
従って、
（03）により、
（04）
① Ａ＝～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
② Ｂ＝ ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）
に於いて、
～Ａ＆Ｂ が「矛盾」するならば、そのときに限って、
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
② ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
（ａ）
１（１）～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） Ａ
１（２）∀ｙ～（鼻ｙｘ＆長ｙ） １量化子の関係
１（３） ～（鼻ｂｘ＆長ｂ） １ＵＥ
１（４） ～鼻ｂｘ∨～長ｂ ３ド・モルガンの法則
１（５） 鼻ｂｘ→～長ｂ ４含意の定義
１（６）∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ） ５ＵＩ
（ｂ）
１（１）∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ） Ａ
１（２） 鼻ｂｘ→～長ｙ １ＵＩ
１（３） ～鼻ｂｘ∨～長ｂ ２含意の定義
１（４） ～（鼻ｂｘ＆ 長ｂ） ３ド・モルガンの法則
１（５）∀ｙ～（鼻ｙｘ＆長ｙ） ４ＵＩ
１（６）～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） ５含意の定義
従って、
（04）（05）により、
（06）
① Ａ＝～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＝∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）
② Ｂ＝ ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＝∀ｙ（鼻ｙｘ→ 長ｙ）
である。
従って、
（06）により、
（07）
① ∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）＝Ａ
② ∀ｙ（鼻ｙｘ→ 長ｙ）＝Ｂ
従って、
（07）により、
（08）
「含意の定義」により、
① ∀ｙ（～鼻ｙｘ∨～長ｙ）＝Ａ
② ∀ｙ（～鼻ｙｘ∨ 長ｙ）＝Ｂ
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
① Ａ＝～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＝∀ｙ（～鼻ｙｘ∨～長ｙ）
② Ｂ＝ ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＝∀ｙ（～鼻ｙｘ∨ 長ｙ）
である。
然るに、
（10）
① ∀ｙ（～鼻ｙｘ＆～長ｙ）＝Ａ
② ∀ｙ（～鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＝Ｂ
であれば、「連言除去（＆Ｅ）」により、
① ∀ｙ（～長ｙ）＝Ａ
② ∀ｙ（ 長ｙ）＝Ｂ
であるため、「矛盾」するが、
① ∀ｙ（～鼻ｙｘ∨～長ｙ）＝Ａ
② ∀ｙ（～鼻ｙｘ∨ 長ｙ）＝Ｂ
であれば、
① ∀ｙ（～長ｙ）＝Ａ
② ∀ｙ（ 長ｙ）＝Ｂ
でないため、「矛盾」しない。
従って、
（04）（09）（10）により、
（11）
① Ａ＝～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
② Ｂ＝ ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）
に於いて、
～Ａ＆Ｂ が「矛盾」しないが故に、
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
② ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）
に於いて、
①＝② ではない。
従って、
（02）（11）により、
（12）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
② ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）
とふ「部分論理式」だけが、異なってゐるが、その、
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
② ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）
に於いて、
①＝② ではない。
従って、
（12）により、
（13）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いては、
①＝② ではない。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ ＆ ～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
④ ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝
に於いて、
①＝② ではない。
といふことに関しては、「正しい」。
然るに、
（15）
② ∀ｙ（Ｐｙ）＆∀ｚ（Ｑｚ）＝∀ｙ（Ｐｙ）＆∀ｙ（Ｑｙ）
ｃｆ.
（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、５６頁、２０行目）
従って、
（14）（15）により、
（16）
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「式」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｙ（～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
といふ「式」に、「等しい」。
然るに、
（17）
次（18）に示す通り、
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ ＆ ～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
④ ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝
に於いて、
② ならば、③ であり、③ ならば、② であり、
② ならば、④ であり、④ ならば、② である。
（18）
（ⅱ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｙ（～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｙ（～鼻ｙａ→～長ｙ） １ＵＥ
３（３） 象ａ Ａ
１３（４） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｙ（～鼻ｙａ→～長ｙ） ２３ＭＰＰ
１３（５） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ） ４＆Ｅ
１３（６） 鼻ｂａ→長ｂ ５ＵＥ
１３（７） ∀ｙ（～鼻ｙａ→～長ｙ） ４＆Ｅ
１３（８） ～鼻ｂａ→～長ｂ ７ＵＥ
１３（９） 鼻ｂａ→長ｂ＆～鼻ｂａ→～長ｂ ６８＆Ｉ
１３（ア） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ＆～鼻ｙａ→～長ｙ） ９ＵＩ
１ （イ） 象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ＆～鼻ｙａ→～長ｙ） ３アＣＰ
１ （ウ）∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ＆～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ イＵＩ
（ⅲ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃） ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ＆～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ＆～鼻ｙａ→～長ｙ） １ＵＥ
３（３） 象ａ Ａ
１３（４） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ＆～鼻ｙａ→～長ｙ） ２３ＭＰＰ
１３（５） 鼻ｂａ→長ｂ＆～鼻ｂａ→～長ｂ ４ＵＥ
１３（６） 鼻ｂａ→長ｂ ５＆Ｅ
１３（７） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ） ６ＵＩ
１３（８） ～鼻ｂａ→～長ｂ ５＆Ｅ
１３（９） ∀ｙ（～鼻ｙａ→～長ｙ） ８ＵＩ
１３（ア） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｙ（～鼻ｙａ→～長ｙ） ７９＆Ｉ
１ （イ） 象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｙ（～鼻ｙａ→～長ｙ）｝ ３アＣＰ
１ （ウ）∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｙ（～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ イＵＩ
（ⅱ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃） ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （３） 象ａ Ａ
１２ （４） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３ＭＰＰ
１２ （５） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ） ４＆Ｅ
１２ （６） 鼻ｂａ→長ｂ ５ＵＥ
１２ （７） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４＆Ｅ
１２ （８） ～鼻ｂａ→～長ｂ ７ＵＥ
１ （９） 象ａ→鼻ｂａ→ 長ｂ ３６ＣＰ
ア （ア） 象ａ＆鼻ｂａ Ａ
ア （イ） 鼻ａ ア＆Ｅ
ア （ウ） 鼻ｂａ ア＆Ｅ
１ ア （エ） 鼻ｂａ→ 長ｂ ９イＭＰＰ
１ ア （オ） 長ｂ ウエＭＰＰ
１ （カ） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ アオＣＰ
１ （キ） 象ａ→～鼻ｂａ→ ～長ｂ ３８ＣＰ
ク（ク） 象ａ＆～鼻ｂａ Ａ
ク（ケ） 象ａ ク＆Ｅ
ク（コ） ～鼻ｂａ ク＆Ｅ
１ ク（サ） ～鼻ｂａ→ ～長ｂ キケＭＰＰ
１ ク（シ） ～長ｂ コサＭＰＰ
１ （ス） （象ａ＆～鼻ｂａ）→～長ｂ クシＣＰ
１ （セ） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ＆（象ａ＆～鼻ｂａ）→～長ｂ カス＆Ｉ
１ （ソ） ∀ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ）→長ｙ＆（象ａ＆～鼻ｙａ）→～長ｙ｝ セＵＩ
１ （タ）∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ｝ セＵＩ
（ⅳ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ）→長ｙ＆（象ａ＆～鼻ｙａ）→～長ｙ｝ １ＵＥ
１ （３） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ＆（象ａ＆～鼻ｂａ）→～長ｂ １ＵＥ
１ （４） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ ３＆Ｅ
１ （５） （象ａ＆～鼻ｂａ）→～長ｂ ３＆Ｅ
６ （６） 象ａ Ａ
７ （７） 鼻ｂａ Ａ
６７ （８） 象ａ＆鼻ｂａ ６７＆Ｉ
１６７ （９） 長ｂ ４８ＭＰＰ
１６ （ア） 鼻ｂａ→ 長ｂ ７９ＣＰ
１６ （イ） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ） アＵＩ
ウ（ウ） ～鼻ｂａ Ａ
６ ウ（エ） 象ａ＆～鼻ｂａ ６ウ＆Ｉ
１６ ウ（オ） ～長ｂ ５エＭＰＰ
１６ （カ） ～鼻ｂａ→ ～長ｂ ウオＣＰ
１６ （キ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カＵＩ
１６ （ク） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イキ＆Ｉ
１ （ケ） 象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６クＣＰ
１ （コ） ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ケＵＩ
従って、
（13）（16）（17）（18）により、
（19）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ ＆ ～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
④ ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、すべてのｙについて、ｙがｘの鼻ならば、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、すべてのｙについて、ｙがｘの鼻ならば、ｙは長く、 ｙがｘの鼻でないならば、ｙは長くない。
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象であって、ｙがｘの鼻でないならば、ｙは長くない。
に於いて、
①＝② ではないが、
②＝③＝④ である。
といふことが、「証明」された。
然るに、
（20）
（ⅰ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）有る兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
２ ６ （ウ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
エ （エ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
オ（オ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （キ） ～鼻ｂａ→～長ｂ カＵＥ
２ ６ （ク） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
オ （コ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６オ （サ） ～鼻ｂａ ケコＭＰＰ
１２ ６オ （シ） ～長ｂ キサＭＰＰ
オ （ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６オ （セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ ウオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 ナＵＩ
（ⅱ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
は、（ⅲ）と「ほとんど、同じ」ので、「以下、省略」。
（ⅲ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ＆～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）有る兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ＆～鼻ｙａ→～長ｙ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ＆～鼻ｙａ→～長ｙ） ４８ＭＰＰ
１ ６ （ア） 鼻ｂａ→長ｂ＆～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＥ
１ ６ （イ） 鼻ｂａ→長ｂ ア＆Ｅ
１ ６ （ウ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ア＆Ｅ
２ ６ （エ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
２ ６ （オ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） エ＆Ｅ
カ（カ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
カ（キ） 耳ｂａ カ＆Ｅ
カ（ク） 長ｂ カ＆Ｅ
２ ６ （ケ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） エ＆Ｅ
２ ６ （コ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ケＵＥ
２ ６カ（サ） ～鼻ｂａ キコＭＰＰ
１２ ６カ（シ） ～長ｂ ウサＭＰＰ
１２ ６カ（ス） 長ｂ＆～長ｂ クシ＆Ｉ
１２ ６ （セ） 長ｂ＆～長ｂ オカスＥＥ
１２３ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ ３６セＥＥ
１２ （タ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３ソＲＡＡ
１２ （チ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） タ量化子の関係
１２ （ツ） ～（兎ａ＆象ａ） チＵＥ
１２ （テ） ～兎ａ∨～象ａ ツ、ド・モルガンの法則
１２ （ト） 兎ａ→～象ａ テ含意の定義
１２ （ナ）∀ｘ（兎ａ→～象ａ） トＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 トＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 トＵＩ
（ⅳ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）ある兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） ∀ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ）→長ｙ＆（象ａ＆～鼻ｙａ）→～長ｙ）｝ １ＵＥ
１ （５） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ＆（象ａ＆～鼻ｂａ）→～長ｂ １ＵＥ
１ （６） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ ５＆Ｅ
１ （７） （象ａ＆～鼻ｂａ）→～長ｂ ５＆Ｅ
２ （８） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
９ （９） 兎ａ＆象ａ Ａ
９ （ア） 兎ａ ９＆Ｅ
９ （イ） 象ａ ９＆Ｅ
２ ９ （ウ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ８アＭＰＰ
エ（エ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
エ（オ） 耳ｂａ エ＆Ｅ
エ（カ） 長ｂ エ＆Ｅ
２ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ８＆Ｅ
２ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ エ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
２ ９エ（コ） 象ａ＆～鼻ｂａ イケ＆Ｉ
１２ ９エ（サ） ～長ｂ ７コＭＰＰ
１２ ９エ（シ） 長ｂ＆～長ｂ カサ＆Ｉ
１２ ９ （ス） 長ｂ＆～長ｂ ウエシＥＥ
１２３ （セ） 長ｂ＆～長ｂ ３９スＥＥ
１２ （ソ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３セＲＡＡ
１２ （タ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） ソ量化子の関係
１２ （チ） ～（兎ａ＆象ａ） タＵＥ
１２ （ツ） ～兎ａ∨～象ａ チ、ド・モルガンの法則
１２ （テ） 兎ａ→～象ａ ツ含意の定義
１２ （ト）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） テＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 テＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 テＵＩ
従って、
（20）により、
（21）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。故に、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」を行ふ際には、
① 象は鼻が長い＝ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
であっても、
② 象は鼻が長い＝ ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。
であっても、
③ 象は鼻が長い＝ ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ＆ ～鼻ｙｘ →～長ｙ）｝。
であっても、
④ 象は鼻が長い＝∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝。
であっても、どちらでも良い。
然るに、
（22）
① 象には長い鼻が有り、鼻以外は長くはない。
といふ「日本語」からすれば、「４通り」の中では、
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、有るｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
が、「最も、相応しい」。
然るに、
（23）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。故に、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「明らかに、妥当である」。
従って、
（21）（22）（23）により、
（24）
① 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「等式」を「否定」するのであれば、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。故に、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ、「明らかに、妥当な推論」を、「否定」せざるを得ない。
然るに、
（25）
「明らかに、妥当な推論」を、「否定」することは、出来ない。
従って、
（24）（25）により、
（26）
① 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。
令和元年０９月１７日、毛利太。
―「一昨日（令和元年０９月１２日）の記事」を書き直します。―
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ ＆ ～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
④ ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝
に於いて、
①＝② ではないが、
②＝③＝④ である。
といふことを、「証明」したい。
（02）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いては、
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＝あるｙはｘの鼻であって、長い。
② ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＝すべてのｙについて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長い。
といふ「部分論理式」が異なってゐる。
然るに、
（03）
Ａ＝Ｂ であるならば、そのとき限って、
～Ａ＆Ｂ は「矛盾」する。
従って、
（03）により、
（04）
① Ａ＝～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
② Ｂ＝ ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）
に於いて、
～Ａ＆Ｂ が「矛盾」するならば、そのときに限って、
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
② ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
（ａ）
１（１）～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） Ａ
１（２）∀ｙ～（鼻ｙｘ＆長ｙ） １量化子の関係
１（３） ～（鼻ｂｘ＆長ｂ） １ＵＥ
１（４） ～鼻ｂｘ∨～長ｂ ３ド・モルガンの法則
１（５） 鼻ｂｘ→～長ｂ ４含意の定義
１（６）∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ） ５ＵＩ
（ｂ）
１（１）∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ） Ａ
１（２） 鼻ｂｘ→～長ｙ １ＵＩ
１（３） ～鼻ｂｘ∨～長ｂ ２含意の定義
１（４） ～（鼻ｂｘ＆ 長ｂ） ３ド・モルガンの法則
１（５）∀ｙ～（鼻ｙｘ＆長ｙ） ４ＵＩ
１（６）～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） ５含意の定義
従って、
（04）（05）により、
（06）
① Ａ＝～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＝∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）
② Ｂ＝ ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＝∀ｙ（鼻ｙｘ→ 長ｙ）
である。
従って、
（06）により、
（07）
① ∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）＝Ａ
② ∀ｙ（鼻ｙｘ→ 長ｙ）＝Ｂ
従って、
（07）により、
（08）
「含意の定義」により、
① ∀ｙ（～鼻ｙｘ∨～長ｙ）＝Ａ
② ∀ｙ（～鼻ｙｘ∨ 長ｙ）＝Ｂ
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
① Ａ＝～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＝∀ｙ（～鼻ｙｘ∨～長ｙ）
② Ｂ＝ ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＝∀ｙ（～鼻ｙｘ∨ 長ｙ）
である。
然るに、
（10）
① ∀ｙ（～鼻ｙｘ＆～長ｙ）＝Ａ
② ∀ｙ（～鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＝Ｂ
であれば、「連言除去（＆Ｅ）」により、
① ∀ｙ（～長ｙ）＝Ａ
② ∀ｙ（ 長ｙ）＝Ｂ
であるため、「矛盾」するが、
① ∀ｙ（～鼻ｙｘ∨～長ｙ）＝Ａ
② ∀ｙ（～鼻ｙｘ∨ 長ｙ）＝Ｂ
であれば、
① ∀ｙ（～長ｙ）＝Ａ
② ∀ｙ（ 長ｙ）＝Ｂ
でないため、「矛盾」しない。
従って、
（04）（09）（10）により、
（11）
① Ａ＝～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
② Ｂ＝ ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）
に於いて、
～Ａ＆Ｂ が「矛盾」しないが故に、
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
② ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）
に於いて、
①＝② ではない。
従って、
（02）（11）により、
（12）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
② ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）
とふ「部分論理式」だけが、異なってゐるが、その、
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
② ∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）
に於いて、
①＝② ではない。
従って、
（12）により、
（13）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いては、
①＝② ではない。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ ＆ ～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
④ ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝
に於いて、
①＝② ではない。
といふことに関しては、「正しい」。
然るに、
（15）
② ∀ｙ（Ｐｙ）＆∀ｚ（Ｑｚ）＝∀ｙ（Ｐｙ）＆∀ｙ（Ｑｙ）
ｃｆ.
（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、５６頁、２０行目）
従って、
（14）（15）により、
（16）
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「式」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｙ（～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
といふ「式」に、「等しい」。
然るに、
（17）
次（18）に示す通り、
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ ＆ ～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
④ ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝
に於いて、
② ならば、③ であり、③ ならば、② であり、
② ならば、④ であり、④ ならば、② である。
（18）
（ⅱ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｙ（～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｙ（～鼻ｙａ→～長ｙ） １ＵＥ
３（３） 象ａ Ａ
１３（４） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｙ（～鼻ｙａ→～長ｙ） ２３ＭＰＰ
１３（５） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ） ４＆Ｅ
１３（６） 鼻ｂａ→長ｂ ５ＵＥ
１３（７） ∀ｙ（～鼻ｙａ→～長ｙ） ４＆Ｅ
１３（８） ～鼻ｂａ→～長ｂ ７ＵＥ
１３（９） 鼻ｂａ→長ｂ＆～鼻ｂａ→～長ｂ ６８＆Ｉ
１３（ア） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ＆～鼻ｙａ→～長ｙ） ９ＵＩ
１ （イ） 象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ＆～鼻ｙａ→～長ｙ） ３アＣＰ
１ （ウ）∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ＆～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ イＵＩ
（ⅲ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃） ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ＆～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ＆～鼻ｙａ→～長ｙ） １ＵＥ
３（３） 象ａ Ａ
１３（４） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ＆～鼻ｙａ→～長ｙ） ２３ＭＰＰ
１３（５） 鼻ｂａ→長ｂ＆～鼻ｂａ→～長ｂ ４ＵＥ
１３（６） 鼻ｂａ→長ｂ ５＆Ｅ
１３（７） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ） ６ＵＩ
１３（８） ～鼻ｂａ→～長ｂ ５＆Ｅ
１３（９） ∀ｙ（～鼻ｙａ→～長ｙ） ８ＵＩ
１３（ア） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｙ（～鼻ｙａ→～長ｙ） ７９＆Ｉ
１ （イ） 象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｙ（～鼻ｙａ→～長ｙ）｝ ３アＣＰ
１ （ウ）∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｙ（～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ イＵＩ
（ⅱ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃） ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （３） 象ａ Ａ
１２ （４） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３ＭＰＰ
１２ （５） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ） ４＆Ｅ
１２ （６） 鼻ｂａ→長ｂ ５ＵＥ
１２ （７） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４＆Ｅ
１２ （８） ～鼻ｂａ→～長ｂ ７ＵＥ
１ （９） 象ａ→鼻ｂａ→ 長ｂ ３６ＣＰ
ア （ア） 象ａ＆鼻ｂａ Ａ
ア （イ） 鼻ａ ア＆Ｅ
ア （ウ） 鼻ｂａ ア＆Ｅ
１ ア （エ） 鼻ｂａ→ 長ｂ ９イＭＰＰ
１ ア （オ） 長ｂ ウエＭＰＰ
１ （カ） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ アオＣＰ
１ （キ） 象ａ→～鼻ｂａ→ ～長ｂ ３８ＣＰ
ク（ク） 象ａ＆～鼻ｂａ Ａ
ク（ケ） 象ａ ク＆Ｅ
ク（コ） ～鼻ｂａ ク＆Ｅ
１ ク（サ） ～鼻ｂａ→ ～長ｂ キケＭＰＰ
１ ク（シ） ～長ｂ コサＭＰＰ
１ （ス） （象ａ＆～鼻ｂａ）→～長ｂ クシＣＰ
１ （セ） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ＆（象ａ＆～鼻ｂａ）→～長ｂ カス＆Ｉ
１ （ソ） ∀ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ）→長ｙ＆（象ａ＆～鼻ｙａ）→～長ｙ｝ セＵＩ
１ （タ）∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ｝ セＵＩ
（ⅳ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ）→長ｙ＆（象ａ＆～鼻ｙａ）→～長ｙ｝ １ＵＥ
１ （３） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ＆（象ａ＆～鼻ｂａ）→～長ｂ １ＵＥ
１ （４） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ ３＆Ｅ
１ （５） （象ａ＆～鼻ｂａ）→～長ｂ ３＆Ｅ
６ （６） 象ａ Ａ
７ （７） 鼻ｂａ Ａ
６７ （８） 象ａ＆鼻ｂａ ６７＆Ｉ
１６７ （９） 長ｂ ４８ＭＰＰ
１６ （ア） 鼻ｂａ→ 長ｂ ７９ＣＰ
１６ （イ） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ） アＵＩ
ウ（ウ） ～鼻ｂａ Ａ
６ ウ（エ） 象ａ＆～鼻ｂａ ６ウ＆Ｉ
１６ ウ（オ） ～長ｂ ５エＭＰＰ
１６ （カ） ～鼻ｂａ→ ～長ｂ ウオＣＰ
１６ （キ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カＵＩ
１６ （ク） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イキ＆Ｉ
１ （ケ） 象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６クＣＰ
１ （コ） ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ケＵＩ
従って、
（13）（16）（17）（18）により、
（19）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ ＆ ～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
④ ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、すべてのｙについて、ｙがｘの鼻ならば、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、すべてのｙについて、ｙがｘの鼻ならば、ｙは長く、 ｙがｘの鼻でないならば、ｙは長くない。
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象であって、ｙがｘの鼻でないならば、ｙは長くない。
に於いて、
①＝② ではないが、
②＝③＝④ である。
といふことが、「証明」された。
然るに、
（20）
（ⅰ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）有る兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
２ ６ （ウ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
エ （エ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
オ（オ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （キ） ～鼻ｂａ→～長ｂ カＵＥ
２ ６ （ク） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
オ （コ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６オ （サ） ～鼻ｂａ ケコＭＰＰ
１２ ６オ （シ） ～長ｂ キサＭＰＰ
オ （ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６オ （セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ ウオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 ナＵＩ
（ⅱ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
は、（ⅲ）と「ほとんど、同じ」ので、「以下、省略」。
（ⅲ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ＆～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）有る兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ＆～鼻ｙａ→～長ｙ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｙ（鼻ｙａ→長ｙ＆～鼻ｙａ→～長ｙ） ４８ＭＰＰ
１ ６ （ア） 鼻ｂａ→長ｂ＆～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＥ
１ ６ （イ） 鼻ｂａ→長ｂ ア＆Ｅ
１ ６ （ウ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ア＆Ｅ
２ ６ （エ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
２ ６ （オ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） エ＆Ｅ
カ（カ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
カ（キ） 耳ｂａ カ＆Ｅ
カ（ク） 長ｂ カ＆Ｅ
２ ６ （ケ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） エ＆Ｅ
２ ６ （コ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ケＵＥ
２ ６カ（サ） ～鼻ｂａ キコＭＰＰ
１２ ６カ（シ） ～長ｂ ウサＭＰＰ
１２ ６カ（ス） 長ｂ＆～長ｂ クシ＆Ｉ
１２ ６ （セ） 長ｂ＆～長ｂ オカスＥＥ
１２３ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ ３６セＥＥ
１２ （タ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３ソＲＡＡ
１２ （チ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） タ量化子の関係
１２ （ツ） ～（兎ａ＆象ａ） チＵＥ
１２ （テ） ～兎ａ∨～象ａ ツ、ド・モルガンの法則
１２ （ト） 兎ａ→～象ａ テ含意の定義
１２ （ナ）∀ｘ（兎ａ→～象ａ） トＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 トＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 トＵＩ
（ⅳ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）ある兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） ∀ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ）→長ｙ＆（象ａ＆～鼻ｙａ）→～長ｙ）｝ １ＵＥ
１ （５） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ＆（象ａ＆～鼻ｂａ）→～長ｂ １ＵＥ
１ （６） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ ５＆Ｅ
１ （７） （象ａ＆～鼻ｂａ）→～長ｂ ５＆Ｅ
２ （８） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
９ （９） 兎ａ＆象ａ Ａ
９ （ア） 兎ａ ９＆Ｅ
９ （イ） 象ａ ９＆Ｅ
２ ９ （ウ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ８アＭＰＰ
エ（エ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
エ（オ） 耳ｂａ エ＆Ｅ
エ（カ） 長ｂ エ＆Ｅ
２ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ８＆Ｅ
２ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ エ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
２ ９エ（コ） 象ａ＆～鼻ｂａ イケ＆Ｉ
１２ ９エ（サ） ～長ｂ ７コＭＰＰ
１２ ９エ（シ） 長ｂ＆～長ｂ カサ＆Ｉ
１２ ９ （ス） 長ｂ＆～長ｂ ウエシＥＥ
１２３ （セ） 長ｂ＆～長ｂ ３９スＥＥ
１２ （ソ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３セＲＡＡ
１２ （タ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） ソ量化子の関係
１２ （チ） ～（兎ａ＆象ａ） タＵＥ
１２ （ツ） ～兎ａ∨～象ａ チ、ド・モルガンの法則
１２ （テ） 兎ａ→～象ａ ツ含意の定義
１２ （ト）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） テＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 テＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 テＵＩ
従って、
（20）により、
（21）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。故に、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」を行ふ際には、
① 象は鼻が長い＝ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
であっても、
② 象は鼻が長い＝ ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。
であっても、
③ 象は鼻が長い＝ ∀ｘ｛象ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ＆ ～鼻ｙｘ →～長ｙ）｝。
であっても、
④ 象は鼻が長い＝∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝。
であっても、どちらでも良い。
然るに、
（22）
① 象には長い鼻が有り、鼻以外は長くはない。
といふ「日本語」からすれば、「４通り」の中では、
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、有るｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
が、「最も、相応しい」。
然るに、
（23）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。故に、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「明らかに、妥当である」。
従って、
（21）（22）（23）により、
（24）
① 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「等式」を「否定」するのであれば、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。故に、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ、「明らかに、妥当な推論」を、「否定」せざるを得ない。
然るに、
（25）
「明らかに、妥当な推論」を、「否定」することは、出来ない。
従って、
（24）（25）により、
（26）
① 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。
令和元年０９月１７日、毛利太。
2019年9月13日金曜日
「象は鼻が長い」の「２通りの論理式」。
―「一昨日（令和元年０９月１２日）の記事」を書き直します。―
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
① 象は鼻は長く、象は鼻以外は長くない。然るに、
② 兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。故に、
③ 兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（02）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）有る兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） １ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
２ ６ （ウ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
エ （エ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
オ（オ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （キ） ～鼻ｂａ→～長ｂ カＵＥ
２ ６ （ク） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
オ （コ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６オ （サ） ～鼻ｂａ ケコＭＰＰ
１２ ６オ （シ） ～長ｂ キサＭＰＰ
オ （ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６オ （セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ ウオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 ナＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝故に、
③ ～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）＝兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（04）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）ある兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） ∀ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ）→長ｙ＆（象ａ＆～鼻ｙａ）→～長ｙ）｝ １ＵＥ
１ （５） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ＆（象ａ＆～鼻ｂａ）→～長ｂ １ＵＥ
１ （６） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ ５＆Ｅ
１ （７） （象ａ＆～鼻ｂａ）→～長ｂ ５＆Ｅ
２ （８） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
９ （９） 兎ａ＆象ａ Ａ
９ （ア） 兎ａ ９＆Ｅ
９ （イ） 象ａ ９＆Ｅ
２ ９ （ウ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ８アＭＰＰ
エ（エ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
エ（オ） 耳ｂａ エ＆Ｅ
エ（カ） 長ｂ エ＆Ｅ
２ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ８＆Ｅ
２ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ エ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
２ ９エ（コ） 象ａ＆～鼻ｂａ イケ＆Ｉ
１２ ９エ（サ） ～長ｂ ７コＭＰＰ
１２ ９エ（シ） 長ｂ＆～長ｂ カサ＆Ｉ
１２ ９ （ス） 長ｂ＆～長ｂ ウエシＥＥ
１２３ （セ） 長ｂ＆～長ｂ ３９スＥＥ
１２ （ソ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３セＲＡＡ
１２ （タ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） ソ量化子の関係
１２ （チ） ～（兎ａ＆象ａ） タＵＥ
１２ （ツ） ～兎ａ∨～象ａ チ、ド・モルガンの法則
１２ （テ） 兎ａ→～象ａ ツ含意の定義
１２ （ト）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） テＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 テＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 テＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝故に、
③ ～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）＝兎は象ではない。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻が長い。
といふ場合が、さうであるように、
① ＡはＢがＣである＝ＡはＢはＣであり、Ｂ以外はＣでない。
② ＡはＢがＣである＝ＡはＢはＣであり、Ｂ以外はＣでない。
といふ「日本語」は、少なくとも、
① ∀ｘ｛Ａｘ→∃ｙ（Ｂｙｘ＆Ｃｙ）＆∀ｚ（～Ｂｚｘ→～Ｃｚ）｝
② ∀ｘ∀ｙ｛（Ａｘ＆Ｂｙｘ）→Ｃｙ＆（Ａｘ＆～Ｂｙｘ）→～Ｃｙ）｝
といふ、「２通りの、論理式」に、対応する。
然るに、
（07）
② ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝⇔
② すべてのｘとｙについて、ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象であって、ｙがｘの鼻でないならば、ｙは長くない。
ではなく、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
に於ける、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、
といふことは、
① これから象についてのことを述べますよ、
といふ、ことである。
然るに、
（08）
「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する（この場合は「長い」までをスコープとする）。
（三上文法！ : wrong, rogue and log）
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝
といふ、「２通りの論理式」に、対応するものの、
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」に、「より近い」のは、
③ ではなく、
② である。
といふ、ことになる。
令和元年０９月１３日、毛利太。
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
① 象は鼻は長く、象は鼻以外は長くない。然るに、
② 兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。故に、
③ 兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（02）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）有る兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） １ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
２ ６ （ウ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
エ （エ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
オ（オ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （キ） ～鼻ｂａ→～長ｂ カＵＥ
２ ６ （ク） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
オ （コ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６オ （サ） ～鼻ｂａ ケコＭＰＰ
１２ ６オ （シ） ～長ｂ キサＭＰＰ
オ （ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６オ （セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ ウオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 ナＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝故に、
③ ～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）＝兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（04）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）ある兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） ∀ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ）→長ｙ＆（象ａ＆～鼻ｙａ）→～長ｙ）｝ １ＵＥ
１ （５） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ＆（象ａ＆～鼻ｂａ）→～長ｂ １ＵＥ
１ （６） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ ５＆Ｅ
１ （７） （象ａ＆～鼻ｂａ）→～長ｂ ５＆Ｅ
２ （８） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
９ （９） 兎ａ＆象ａ Ａ
９ （ア） 兎ａ ９＆Ｅ
９ （イ） 象ａ ９＆Ｅ
２ ９ （ウ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ８アＭＰＰ
エ（エ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
エ（オ） 耳ｂａ エ＆Ｅ
エ（カ） 長ｂ エ＆Ｅ
２ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ８＆Ｅ
２ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ エ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
２ ９エ（コ） 象ａ＆～鼻ｂａ イケ＆Ｉ
１２ ９エ（サ） ～長ｂ ７コＭＰＰ
１２ ９エ（シ） 長ｂ＆～長ｂ カサ＆Ｉ
１２ ９ （ス） 長ｂ＆～長ｂ ウエシＥＥ
１２３ （セ） 長ｂ＆～長ｂ ３９スＥＥ
１２ （ソ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３セＲＡＡ
１２ （タ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） ソ量化子の関係
１２ （チ） ～（兎ａ＆象ａ） タＵＥ
１２ （ツ） ～兎ａ∨～象ａ チ、ド・モルガンの法則
１２ （テ） 兎ａ→～象ａ ツ含意の定義
１２ （ト）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） テＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 テＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 テＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝故に、
③ ～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）＝兎は象ではない。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻が長い。
といふ場合が、さうであるように、
① ＡはＢがＣである＝ＡはＢはＣであり、Ｂ以外はＣでない。
② ＡはＢがＣである＝ＡはＢはＣであり、Ｂ以外はＣでない。
といふ「日本語」は、少なくとも、
① ∀ｘ｛Ａｘ→∃ｙ（Ｂｙｘ＆Ｃｙ）＆∀ｚ（～Ｂｚｘ→～Ｃｚ）｝
② ∀ｘ∀ｙ｛（Ａｘ＆Ｂｙｘ）→Ｃｙ＆（Ａｘ＆～Ｂｙｘ）→～Ｃｙ）｝
といふ、「２通りの、論理式」に、対応する。
然るに、
（07）
② ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝⇔
② すべてのｘとｙについて、ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象であって、ｙがｘの鼻でないならば、ｙは長くない。
ではなく、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
に於ける、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、
といふことは、
① これから象についてのことを述べますよ、
といふ、ことである。
然るに、
（08）
「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する（この場合は「長い」までをスコープとする）。
（三上文法！ : wrong, rogue and log）
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（象ｘ＆～鼻ｙｘ）→～長ｙ）｝
といふ、「２通りの論理式」に、対応するものの、
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」に、「より近い」のは、
③ ではなく、
② である。
といふ、ことになる。
令和元年０９月１３日、毛利太。
2019年9月12日木曜日
「象は鼻が長い」と「鼻は象が長い」の「論理式」（其の？）。
－「この記事」は、書き直します。－
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
｛変域｝＝｛象、兎、馬｝であれば、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
従って、
（01）により、
（02）
｛変域｝＝｛象、兎、馬｝であれば、
① 鼻は象の鼻が長い。
② 耳は兎の耳が長い。
③ 顔は馬の顔が長い。
従って、
（02）により、
（03）
｛変域｝＝｛象、兎、馬｝であれば、
① 鼻は、象の鼻以外は長くない。
② 耳は、兎の耳以外は長くない。
③ 顔は、馬の顔以外は長くない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は象は長く、象以外（兎、馬）は長くない。⇔
① ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝⇔
① すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない。
然るに、
（05）
｛変域｝＝｛象の体の、各部分｝であれば、
③ 象は鼻が長い。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１）∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１（２） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
１（３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ １ＵＥ
１（４） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ ３＆Ｉ
１（５） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ｝ ４ＵＩ
１（６）∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ｝ ５ＵＩ
１（７） （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ３＆Ｉ
１（８） ∀ｙ｛（（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ ７ＵＩ
１（９） ∀ｘ∀ｙ｛（（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ ８ＵＩ
１（ア）∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ｝＆∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ ６９＆Ｉ
（ⅱ）
１（１）∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ｝＆∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１（２）∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ｝ １＆Ｅ
１（３） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｂ）→長ｙ｝ ２ＵＥ
１（４） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ ３ＵＥ
１（５） ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｙ｝ １＆Ｅ
１（６） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ ５ＵＩ
１（７） （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ６ＵＩ
１（８） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ４７＆Ｉ
１（９） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ ８ＵＩ
１（ア）∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ ９ＵＩ
（ⅲ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３（３） 象ａ Ａ
１３（４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３ＭＰＰ
１３（５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１ （６） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３５ＣＰ
１ （７）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ６ＵＩ
１３（８） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４＆Ｅ
１ （９） 象ａ→∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３８ＣＰ
１ （ア） ∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） ９ＵＩ
１ （イ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ７ア＆Ｉ
（ⅳ）
１ （１）象は鼻は長い。象は鼻以外は長くない。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １
１ （２）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（ 鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝ １＆Ｅ
１ （３）∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １＆Ｅ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（ 鼻ｙａ＆ 長ｙ）｝ ２ＵＥ
１ （５） 象ａ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ３ＵＥ
６（６） 象ａ Ａ
１６（７） ∃ｙ（ 鼻ｙａ＆ 長ｙ） ４６ＭＰＰ
１６（８） ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） ５６ＭＰＰ
１６（９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７８＆Ｉ
１ （ア） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６９ＣＰ
１ （イ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ アＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
① ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝
② ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ｝＆∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は象は長く、鼻は象以外（兎、馬）は長くない。⇔
① ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝⇔
① ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ｝＆∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝⇔
① すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない。⇔
① すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない。
従って、
（05）（07）により、
（09）
③ 象は鼻が長い。⇔
③ 象は鼻は長く、象は鼻以外は長くない。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｘについて、ｘが象であるならば、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① 鼻は象が長い＝∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。
③ 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
然るに、
（11）
① 鼻は象が長い＝∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。
③ 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於いて、「鼻」と「象」を「交換」すると、
① 象は鼻が長い＝∀ｘ∀ｙ｛（象ｘｙ＆鼻ｙ）→長ｘ＆（象ｘｙ＆～鼻ｙ）→～長ｘ｝。
③ 鼻は象が長い＝∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ→～長ｚ）｝。
然るに、
（12）
① ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘｙ＆鼻ｙ）→長ｘ＆（象ｘｙ＆～鼻ｙ）→～長ｘ｝
③ ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ→～長ｚ）｝
といふことは、
① 鼻の象は長く、鼻以外の象は長くない。
③ 鼻の象は長く、鼻の象以外は長くない。
といふ、ことである。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① 象は鼻が長い＝鼻の象は長く、鼻以外の象は長くない。
③ 鼻は象が長い＝鼻の象は長く、鼻の象以外は長くない。
であるものの、
① は、「マチガイ」であって、
③ も、「マチガイ」であって、尚且つ、
① 鼻以外の象は長くない。
③ 鼻の象以外は長くない。
①＝③ ではない。
然るに、
（14）
① ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘｙ＆鼻ｙ）→長ｘ＆（象ｘｙ＆～鼻ｙ）→～長ｘ｝
③ ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「式」は、固より、「同じ」ではない。
従って、
（13）（14）により、
（15）
① 象は鼻が長い。
② 鼻は象が長い。
といふ場合が、さうであるように、
① ＡはＢがＣである＝ＡはＢはＣであり、Ｂ以外はＣでない。
② ＡはＢがＣである＝ＡはＢはＣであり、Ｂ以外はＣでない。
といふ「日本語」には、少なくとも、
① ∀ｘ｛Ａｘ→∃ｙ（Ｂｙｘ＆Ｃｙ）＆∀ｚ（～Ｂｚｘ→～Ｃｚ）｝
① ∀ｘ∀ｙ｛（Ａｘｙ＆Ｂｙ）→Ｃｘ＆（Ａｘｙ＆～Ｂｙ）→～Ｃｘ｝
といふ、「２通りの、論理構造」がある、ことになる。
令和元年０９月１２日、毛利太。
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
｛変域｝＝｛象、兎、馬｝であれば、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
従って、
（01）により、
（02）
｛変域｝＝｛象、兎、馬｝であれば、
① 鼻は象の鼻が長い。
② 耳は兎の耳が長い。
③ 顔は馬の顔が長い。
従って、
（02）により、
（03）
｛変域｝＝｛象、兎、馬｝であれば、
① 鼻は、象の鼻以外は長くない。
② 耳は、兎の耳以外は長くない。
③ 顔は、馬の顔以外は長くない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は象は長く、象以外（兎、馬）は長くない。⇔
① ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝⇔
① すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない。
然るに、
（05）
｛変域｝＝｛象の体の、各部分｝であれば、
③ 象は鼻が長い。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１）∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１（２） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
１（３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ １ＵＥ
１（４） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ ３＆Ｉ
１（５） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ｝ ４ＵＩ
１（６）∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ｝ ５ＵＩ
１（７） （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ３＆Ｉ
１（８） ∀ｙ｛（（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ ７ＵＩ
１（９） ∀ｘ∀ｙ｛（（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ ８ＵＩ
１（ア）∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ｝＆∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ ６９＆Ｉ
（ⅱ）
１（１）∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ｝＆∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１（２）∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ｝ １＆Ｅ
１（３） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｂ）→長ｙ｝ ２ＵＥ
１（４） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ ３ＵＥ
１（５） ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｙ｝ １＆Ｅ
１（６） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ ５ＵＩ
１（７） （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ６ＵＩ
１（８） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ４７＆Ｉ
１（９） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ ８ＵＩ
１（ア）∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ ９ＵＩ
（ⅲ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３（３） 象ａ Ａ
１３（４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３ＭＰＰ
１３（５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１ （６） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３５ＣＰ
１ （７）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ６ＵＩ
１３（８） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４＆Ｅ
１ （９） 象ａ→∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３８ＣＰ
１ （ア） ∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） ９ＵＩ
１ （イ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ７ア＆Ｉ
（ⅳ）
１ （１）象は鼻は長い。象は鼻以外は長くない。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １
１ （２）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（ 鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝ １＆Ｅ
１ （３）∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １＆Ｅ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（ 鼻ｙａ＆ 長ｙ）｝ ２ＵＥ
１ （５） 象ａ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ３ＵＥ
６（６） 象ａ Ａ
１６（７） ∃ｙ（ 鼻ｙａ＆ 長ｙ） ４６ＭＰＰ
１６（８） ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） ５６ＭＰＰ
１６（９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７８＆Ｉ
１ （ア） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６９ＣＰ
１ （イ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ アＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
① ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝
② ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ｝＆∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は象は長く、鼻は象以外（兎、馬）は長くない。⇔
① ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝⇔
① ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ｝＆∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝⇔
① すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない。⇔
① すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない。
従って、
（05）（07）により、
（09）
③ 象は鼻が長い。⇔
③ 象は鼻は長く、象は鼻以外は長くない。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｘについて、ｘが象であるならば、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① 鼻は象が長い＝∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。
③ 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
然るに、
（11）
① 鼻は象が長い＝∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。
③ 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於いて、「鼻」と「象」を「交換」すると、
① 象は鼻が長い＝∀ｘ∀ｙ｛（象ｘｙ＆鼻ｙ）→長ｘ＆（象ｘｙ＆～鼻ｙ）→～長ｘ｝。
③ 鼻は象が長い＝∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ→～長ｚ）｝。
然るに、
（12）
① ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘｙ＆鼻ｙ）→長ｘ＆（象ｘｙ＆～鼻ｙ）→～長ｘ｝
③ ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ→～長ｚ）｝
といふことは、
① 鼻の象は長く、鼻以外の象は長くない。
③ 鼻の象は長く、鼻の象以外は長くない。
といふ、ことである。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① 象は鼻が長い＝鼻の象は長く、鼻以外の象は長くない。
③ 鼻は象が長い＝鼻の象は長く、鼻の象以外は長くない。
であるものの、
① は、「マチガイ」であって、
③ も、「マチガイ」であって、尚且つ、
① 鼻以外の象は長くない。
③ 鼻の象以外は長くない。
①＝③ ではない。
然るに、
（14）
① ∀ｘ∀ｙ｛（象ｘｙ＆鼻ｙ）→長ｘ＆（象ｘｙ＆～鼻ｙ）→～長ｘ｝
③ ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「式」は、固より、「同じ」ではない。
従って、
（13）（14）により、
（15）
① 象は鼻が長い。
② 鼻は象が長い。
といふ場合が、さうであるように、
① ＡはＢがＣである＝ＡはＢはＣであり、Ｂ以外はＣでない。
② ＡはＢがＣである＝ＡはＢはＣであり、Ｂ以外はＣでない。
といふ「日本語」には、少なくとも、
① ∀ｘ｛Ａｘ→∃ｙ（Ｂｙｘ＆Ｃｙ）＆∀ｚ（～Ｂｚｘ→～Ｃｚ）｝
① ∀ｘ∀ｙ｛（Ａｘｙ＆Ｂｙ）→Ｃｘ＆（Ａｘｙ＆～Ｂｙ）→～Ｃｘ｝
といふ、「２通りの、論理構造」がある、ことになる。
令和元年０９月１２日、毛利太。
2019年9月11日水曜日
「象は鼻が長い」の「述語論理式」。
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
（ⅰ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３（３） 象ａ Ａ
１３（４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３ＭＰＰ
１３（５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１ （６） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３５ＣＰ
１ （７）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ６ＵＩ
１３（８） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４＆Ｅ
１ （９） 象ａ→∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３８ＣＰ
１ （ア） ∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） ９ＵＩ
１ （イ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ７ア＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１）象は鼻は長い。象は鼻以外は長くない。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １
１ （２）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（ 鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝ １＆Ｅ
１ （３）∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １＆Ｅ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（ 鼻ｙａ＆ 長ｙ）｝ ２ＵＥ
１ （５） 象ａ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ３ＵＥ
６（６） 象ａ Ａ
１６（７） ∃ｙ（ 鼻ｙａ＆ 長ｙ） ４６ＭＰＰ
１６（８） ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） ５６ＭＰＰ
１６（９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７８＆Ｉ
１ （ア） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６９ＣＰ
１ （イ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ アＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長い。象は鼻以外は長くない。
に於いて、すなはち、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長い。すべてのｘについて、ｘが象であるならば、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）鼻が長くない。ならば、象ではなく、
（ⅱ）鼻以外が長い。ならば、象ではなく、
（ⅲ）その両方であれば、 象ではない。
然るに、
（04）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）馬の鼻は長くない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝ Ａ
３ （３）ある馬は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（馬ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは馬であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 馬ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） Ａ
６ （６） 馬ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 馬ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ９＆Ｅ
イ （イ） 鼻ｙａ＆ 長ｂ Ａ
イ （ウ） 長ｂ イ＆Ｅ
２ ６ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） ５７ＭＰＰ
オ（オ） 鼻ｂａ＆～長ｂ Ａ
オ（カ） ～長ｂ オ＆Ｅ
イオ（キ） 長ｂ＆～長ｂ ウカ＆Ｉ
２ ６イ （ク） 長ｂ＆～長ｂ エオキＥＥ
１２ ６ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ アイクＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（馬ｘ＆象ｘ） ３ケＲＡＡ
１２ （サ）∀ｘ～（馬ｘ＆象ｘ） コ量化子の関係
１２ （シ） ～（馬ａ＆象ａ） サＵＥ
１２ （ス） ～馬ａ∨～象ａ シ、ド・モルガンの法則
１２ （セ） 馬ａ→～象ａ ス含意の定義
１２ （ソ）∀ｘ（馬ｘ→～象ｘ） セＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが馬であるならば、ｘは象ではない。 セＵＩ
１２ （〃）馬は象ではない。 セＵＩ
従って、
（03）（04）により、
（05）
① 象は鼻が長い。然るに、馬の鼻は長くない。故に、馬は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当（valid）」である。
然るに、
（06）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）ある兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （イ） ～鼻ｂａ→～長ｂ アＵＥ
エ （ウ） 長ｂ Ａ
エ （エ） ～～長ｂ エＤＮ
１ ６エ （オ） ～～鼻ｂａ ウオＭＴＴ
１ ６エ （カ） 鼻ｂａ カＤＮ
１ ６ （キ） 長ｂ→ 鼻ｂａ エキＣＰ
２ ６ （ク） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
２ ６ （ケ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ケ＆Ｅ
コ（コ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
コ（サ） 耳ｂａ コ＆Ｅ
コ（シ） 長ｂ コ＆Ｅ
１ ６ コ（ス） 鼻ｂａ キシＭＰＰ
２ ６ （セ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ク＆Ｅ
２ ６ （ソ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ セＵＥ
１２ ６ コ（タ） ～鼻ｂａ サソＭＰＰ
１２ ６ コ（チ） 鼻ｂａ＆～鼻ｂａ スタ＆Ｉ
１２ ６ （ツ） 鼻ｂａ＆～鼻ｂａ ケコＥＥ
１２３ （テ） 鼻ｂａ＆～鼻ｂａ ３６ツＥＥ
１２ （ト）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３テＲＡＡ
１２ （ナ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） ト量化子の関係
１２ （ニ） ～（兎ａ＆象ａ） ナＵＥ
１２ （ヌ） ～兎ａ∨～象ａ ニ、ド・モルガンの法則
１２ （ネ） 兎ａ→～象ａ ヌ含意の定義
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 ネＵＩ
従って、
（03）（06）により、
（07）
② 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当（valid）」である。
令和元年０９月１１日、毛利太。
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
（ⅰ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３（３） 象ａ Ａ
１３（４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３ＭＰＰ
１３（５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１ （６） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３５ＣＰ
１ （７）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ６ＵＩ
１３（８） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４＆Ｅ
１ （９） 象ａ→∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３８ＣＰ
１ （ア） ∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） ９ＵＩ
１ （イ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ７ア＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１）象は鼻は長い。象は鼻以外は長くない。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １
１ （２）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（ 鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝ １＆Ｅ
１ （３）∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １＆Ｅ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（ 鼻ｙａ＆ 長ｙ）｝ ２ＵＥ
１ （５） 象ａ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ３ＵＥ
６（６） 象ａ Ａ
１６（７） ∃ｙ（ 鼻ｙａ＆ 長ｙ） ４６ＭＰＰ
１６（８） ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） ５６ＭＰＰ
１６（９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７８＆Ｉ
１ （ア） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６９ＣＰ
１ （イ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ アＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長い。象は鼻以外は長くない。
に於いて、すなはち、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長い。すべてのｘについて、ｘが象であるならば、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）鼻が長くない。ならば、象ではなく、
（ⅱ）鼻以外が長い。ならば、象ではなく、
（ⅲ）その両方であれば、 象ではない。
然るに、
（04）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）馬の鼻は長くない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝ Ａ
３ （３）ある馬は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（馬ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは馬であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 馬ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） Ａ
６ （６） 馬ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 馬ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ９＆Ｅ
イ （イ） 鼻ｙａ＆ 長ｂ Ａ
イ （ウ） 長ｂ イ＆Ｅ
２ ６ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） ５７ＭＰＰ
オ（オ） 鼻ｂａ＆～長ｂ Ａ
オ（カ） ～長ｂ オ＆Ｅ
イオ（キ） 長ｂ＆～長ｂ ウカ＆Ｉ
２ ６イ （ク） 長ｂ＆～長ｂ エオキＥＥ
１２ ６ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ アイクＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（馬ｘ＆象ｘ） ３ケＲＡＡ
１２ （サ）∀ｘ～（馬ｘ＆象ｘ） コ量化子の関係
１２ （シ） ～（馬ａ＆象ａ） サＵＥ
１２ （ス） ～馬ａ∨～象ａ シ、ド・モルガンの法則
１２ （セ） 馬ａ→～象ａ ス含意の定義
１２ （ソ）∀ｘ（馬ｘ→～象ｘ） セＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが馬であるならば、ｘは象ではない。 セＵＩ
１２ （〃）馬は象ではない。 セＵＩ
従って、
（03）（04）により、
（05）
① 象は鼻が長い。然るに、馬の鼻は長くない。故に、馬は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当（valid）」である。
然るに、
（06）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）ある兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （イ） ～鼻ｂａ→～長ｂ アＵＥ
エ （ウ） 長ｂ Ａ
エ （エ） ～～長ｂ エＤＮ
１ ６エ （オ） ～～鼻ｂａ ウオＭＴＴ
１ ６エ （カ） 鼻ｂａ カＤＮ
１ ６ （キ） 長ｂ→ 鼻ｂａ エキＣＰ
２ ６ （ク） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
２ ６ （ケ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ケ＆Ｅ
コ（コ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
コ（サ） 耳ｂａ コ＆Ｅ
コ（シ） 長ｂ コ＆Ｅ
１ ６ コ（ス） 鼻ｂａ キシＭＰＰ
２ ６ （セ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ク＆Ｅ
２ ６ （ソ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ セＵＥ
１２ ６ コ（タ） ～鼻ｂａ サソＭＰＰ
１２ ６ コ（チ） 鼻ｂａ＆～鼻ｂａ スタ＆Ｉ
１２ ６ （ツ） 鼻ｂａ＆～鼻ｂａ ケコＥＥ
１２３ （テ） 鼻ｂａ＆～鼻ｂａ ３６ツＥＥ
１２ （ト）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３テＲＡＡ
１２ （ナ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） ト量化子の関係
１２ （ニ） ～（兎ａ＆象ａ） ナＵＥ
１２ （ヌ） ～兎ａ∨～象ａ ニ、ド・モルガンの法則
１２ （ネ） 兎ａ→～象ａ ヌ含意の定義
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 ネＵＩ
従って、
（03）（06）により、
（07）
② 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当（valid）」である。
令和元年０９月１１日、毛利太。
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