「ド・モルガンの法則」の「命題計算」。

― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
　Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。　　　　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―

（01）
　Ａ＝Ｂ であるならば、そのとき限って、
～Ａ＆Ｂ は、
～Ａ＆Ａ である。
然るに、
（02）
～Ａ＆Ａ は「矛盾」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
　Ａ＝Ｂ であるならば、そのとき限って、
～Ａ＆Ｂ は、すなはち、
～Ａ＆Ａ は、「矛盾」である。
然るに、
（04）
（ａ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　２３　（６）　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　３ＲＡＡ
　２　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　７ＤＮ
　　　９（９）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　９（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　９∨Ｉ
　２　９（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２ア＆Ｉ
　２　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　９イＲＡＡ
　２　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　ウＤＮ
　２　　（オ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　８エ＆Ｉ
１２　　（カ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）
１　　　（キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２カＲＡＡ
１　　　（ク）　　　～Ｐ∨～Ｑ
（ｂ）
１　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　～Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　　Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　～Ｑ＆Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆　Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆　Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
（ｃ）
１　　（１）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　（３）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　２∨Ｉ
１２　（４）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　１２＆Ｉ
１　　（５）　～～Ｐ　　　　　　２４ＲＡＡ
１　　（６）　　　Ｐ　　　　　　５ＤＮ
　　７（７）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　７（８）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　７∨Ｉ
１　７（９）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　１８＆Ｉ
１　　（ア）　　　　～～Ｑ　　　７９ＲＡＡ
１　　（イ）　　　　　　Ｑ　　　アＤＮ
１　　（ウ）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　６イ＆Ｉ
（ｄ）
１　　　（１）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（４）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
１　４　（５）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　４　（６）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１５ＲＡＡ
１　　　（７）　　　　　　Ｑ　　　１＆Ｅ
　　　８（８）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
１　　８（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　８（ア）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２４６８ア
１２　　（ウ）　　（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２ウＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
　Ａ＝  ～（Ｐ＆　Ｑ）
　Ｂ＝　  ～Ｐ∨～Ｑ
　Ｃ＝～（～Ｐ∨～Ｑ）
　Ｄ＝　  （Ｐ＆　Ｑ）
に於いて、
Ａ＝Ｂ といふ「等式（ド・モルガンの法則）」は、「正しく」、
Ｃ＝Ｄ といふ「等式（ド・モルガンの法則）」は、「正しい」。
然るに、
（05）により、
（06）
　Ａ＝  ～（Ｐ＆　Ｑ）
　Ｂ＝　  ～Ｐ∨～Ｑ
～Ｂ＝～（～Ｐ∨～Ｑ）
～Ａ＝　　（Ｐ＆　Ｑ）
従って、
（06）により、
（07）
～Ａ＝（Ｐ＆Ｑ）
　Ｂ＝（～Ｐ∨～Ｑ）＝Ａ＝～（Ｐ＆Ｑ）
であって、尚且つ、
（Ｐ＆Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）は「矛盾」である。
従って、
（03）（05）（06）（07）により、
（08）
　Ａ＝Ｂ であるならば、そのとき限って、
～Ａ＆Ｂ は、すなはち、
～Ａ＆Ａ は、「矛盾」である。
といふ「命題」は、「ド・モルガンの法則」によっても、「確認」出来る。
（09）
以前にも、書いたものの、
①「ＡとＢの両方ともが本当である。といふことはない。」
②「ＡとＢの、少なくとも、一方はウソである。」
に於いて、
①＝② である。
（10）
③「ＡとＢの、少なくとも、一方が本当である。といふことはない。」
④「ＡとＢの両方ともがウソである。」
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（11）
①「ＡとＢの両方ともが本当である。といふことはない。」
②「ＡとＢの、少なくとも、一方はウソである。」
③「ＡとＢの、少なくとも、一方が本当である。といふことはない。」
④「ＡとＢの両方ともがウソである。」
といふことを、「命題論理の記号」で書くならば、
① ～（Ａ＆　Ｂ）
② 　～Ａ∨～Ｂ
③ ～（Ａ∨　Ｂ）
④ 　～Ａ＆～Ｂ
である。
然るに、
（12）
① ～（Ａ＆　Ｂ）
② 　～Ａ∨～Ｂ
③ ～（Ａ∨　Ｂ）
④ 　～Ａ＆～Ｂ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふことは、「ド・モルガンの法則」に、他ならない。
従って、
（09）～（12）により、
（13）
①「ＡとＢの両方ともが本当である。といふことはない。」
②「ＡとＢの、少なくとも、一方はウソである。」
③「ＡとＢの、少なくとも、一方が本当である。といふことはない。」
④「ＡとＢの両方ともがウソである。」
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふことを、「初めから、理解」出来るのであれば、その人は、「ド・モルガンの法則」を、「初めから、理解」してゐることになる。
従って、
（13）により、
（14）
「ド・モルガンの法則」そのものを、「理解」する際に、敢へて「ベン図」を用ひる必要はない。
令和元年０９月１８日、毛利太。