（01）（― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
１（１） Ｆａ Ａ
１（２）∃ｘＦｘ １ＥＩ
（02）
１（１） Ｆｂ Ａ
１（２）∃ｘＦｘ １ＥＩ
従って、
（01）（02）により、
（03）
「Ｆａ」ならば「∃ｘＦｘ」であるが、
「∃ｘＦｘ」ならば「Ｆｂ」かも、知れない。
従って、
（03）により、
（04）
① Ｆａ
② ∃ｘＦｘ
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
然るに、
（05）
１４２ ∃ｘＦｘ├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘＦｘ Ａ
２（２） Ｆａ Ａ（代表的選言項）
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
― 中略、―
言い換えると、相異なった変数「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する相異なった対象が存在するということは帰結しないのである（E.J.レモン 著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１０頁）。
然るに、
（06）
１ （１）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ＝ｙ｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ａ＝ｙ｝ Ａ
３ （３） Ｆａ＆Ｆｂ ＆ａ＝ｂ Ａ
３ （４） Ｆａ＆Ｆｂ ３＆Ｅ
３ （５） ａ＝ｂ ３＆Ｅ
３ （６） Ｆａ＆Ｆａ ４５＝Ｅ
３ （７） Ｆａ ６＆Ｅ
３ （８） ∃ｘＦｘ ７ＥＩ
２ （９） ∃ｘＦｘ ２３８ＥＥ
１ （ア） ∃ｘＦｘ １２９ＥＥ
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ∃ｘＦｘ
② ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ＝ｙ｝
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、① である。
従って、
（07）により、
（08）
① ∃ｘＦｘ
② ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ＝ｙ｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）
① ∃ｘＦｘ
①「少なくとも、１つのモノがＦである。」
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
② ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ＝ｙ｝＝
②「少なくとも、１つのモノがＦである。」
然るに、
（11）
② ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ＝ｙ｝ ではなく、
③ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ であるならば、
②「少なくとも、１つのモノがＦである。」ではなく、
③「少なくとも、２つのモノがＦである。」である。
然るに、
（12）
③「少なくとも、２つのモノがＦである。」といふことは、
③「２つ以上のモノがＦである。」といふ、ことである。
然るに、
（13）
③「２つ以上」の「否定」は、
④「２つ未満」である。
然るに、
（14）
④「２つ未満」 ＝「１個か、 ０個」
④「１個か、０個」＝「多くとも、１個」
従って、
（11）～（14）により、
（15）
③ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝
の「否定」すなはち、
④ ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝
といふことは、
④「多くとも、１つのモノがＦである。」
といふ、ことである。
然るに、
（16）
（ⅳ）
１（１）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ Ａ
１（２）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ １量化子の関係
１（３）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ ２量化子の関係
１（４） ∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ａ≠ｙ｝ ３ＵＥ
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝ ４ＵＥ
１（６） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ５ド・モルガンの法則
１（７） （Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ ６含意の定義
１（８） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝ ７ＵＩ
１（９） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ ８ＵＩ
（ⅴ）
１（１） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ Ａ
１（２） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝ １ＵＥ
１（３） Ｆａ＆Ｆｂ →ａ＝ｂ ２ＵＥ
１（４） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ３含意の定義
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝ ４ド・モルガンの法則
１（６） ∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ａ≠ｙ｝ ５ＵＩ
１（７） ～∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ａ≠ｙ｝ ６量化子の関係
１（８）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ ７ＵＩ
１（９）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ ８量化子の関係
従って、
（16）により、
（17）
④ ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝
⑤ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
④ ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝
④ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝
は、両方とも、
④「多くとも、１つのモノがＦである。」
④「多くとも、１つのモノがＦである。」
といふ、ことである。
従って、
（09）（18）により、
（19）
⑤ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であれば、
⑤「少なくとも、１つのモノがＦであり、多くとも、１つのモノがＦである。」
といふ、ことになる。
然るに、
（20）
（ⅴ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＵＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ １３エＥＥ
（ⅵ）
１ （１） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （５） Ｆｂ→ａ＝ｂ ４ＵＥ
６（６） Ｆｂ＆Ｆｂ Ａ
６（７） Ｆｂ ６＆Ｅ
２６（８） ａ＝ｂ ５７ＭＰＰ
２６（９） ａ＝ｂ＆ａ＝ｂ ８８＆Ｉ
２６（ア） ａ＝ｂ ９＆Ｅ
２６（イ） ｂ＝ｂ ８ア＝Ｅ
２ （ウ） Ｆｂ＆Ｆｂ→ｂ＝ｂ ５イＣＰ
２ （エ） ∀ｙ（Ｆｂ＆Ｆｙ→ｂ＝ｙ） ウＵＩ
２ （オ） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） エＵＩ
２ （キ） ∃ｘＦｘ ３ＥＩ
２ （ク）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） オキ＆Ｉ
１ （ケ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２クＥＥ
従って、
（20）により、
（21）
⑤ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
⑥ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
⑤ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
⑤ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
は、両方とも、
⑤「少なくとも、１つのモノがＦであり、多くとも、１つのモノがＦである。」
⑤「少なくとも、１つのモノがＦであり、多くとも、１つのモノがＦである。」
といふ「意味」になる。
然るに、
（23）
⑤「少なくとも、１つのモノがＦであり、多くとも、１つのモノがＦである。」
といふことは、
⑤「正確に１つのモノがＦである。」
といふことに、他ならない。
従って、
（22）（23）により、
（24）
⑤「正確に１つのモノがＦである。」⇔
⑤ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝⇔
⑤ あるｘはＦであり、すべてのｙについて、ｙがＦであるならば、ｘはｙと「同一」である。
といふ「等式」が、成立する。
令和元年０９月２８日、毛利太。
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