― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ Ａ
２ （２） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） Ａ
３ （３） ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） Ａ
３ （４） Ａａ→ Ｂａ ＆ ～Ａａ→～Ｂａ ３ＵＥ
３ （５） Ａａ→ Ｂａ ４＆Ｅ
６ （６） Ａａ＆～Ｂａ Ａ
６ （７） Ａａ ６＆Ｅ
３６ （８） Ｂａ ５７ＭＰＰ
６ （９） ～Ｂａ ６＆Ｅ
３６ （ア） Ｂａ＆～Ｂａ ８９＆Ｉ
６ （イ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） ３アＲＡＡ
３ （ウ） ～Ａａ→～Ｂａ ４＆Ｅ
エ （エ） ～Ａａ＆ Ｂａ Ａ
エ （オ） ～Ａａ エ＆Ｅ
３ エ （カ） ～Ｂａ ウオＭＰＰ
エ （キ） Ｂａ オ＆Ｅ
３ エ （ク） ～Ｂａ＆Ｂａ カキ＆Ｉ
エ （ケ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） ３７ＲＡＡ
２ （コ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） ２６イエケＥＥ
１ （サ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） １２コＥＥ
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～（Ａｘ→Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） １量化子の関係
３ （３） ～（Ａａ→Ｂａ ＆ ～Ａａ→～Ｂａ） Ａ
３ （４） ～（Ａａ→Ｂａ）∨～（～Ａａ→～Ｂａ） ３ド・モルガンの法則
３ （５） （Ａａ→Ｂａ）→～（～Ａａ→～Ｂａ） ４含意の定義
６ （６） （Ａａ→Ｂａ） Ａ
３６ （７） ～（～Ａａ→～Ｂａ） ５６ＭＰＰ
８ （８） Ａａ∨～Ｂａ Ａ
８ （９） ～Ａａ→～Ｂａ ８含意の定義
３６８ （ア） ～（～Ａａ→～Ｂａ）＆
（～Ａａ→～Ｂａ） ７９＆Ｉ
３６ （イ） ～（Ａａ∨～Ｂａ） ８アＲＡＡ
３６ （ウ） ～Ａａ＆ Ｂａ イ、ド・モルガンの法則
３ （エ） （Ａａ→Ｂａ）→（～Ａａ＆ Ｂａ） ６ウＣＰ
３ （オ） ～（Ａａ→Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） エ、含意の定義
カ （カ） ～（Ａａ→Ｂａ） Ａ
キ （キ） ～Ａａ∨Ｂａ Ａ
キ （ク） Ａａ→Ｂａ キ含意の定義
カキ （ケ） ～（Ａａ→Ｂａ）＆
（Ａａ→Ｂａ） カク＆Ｉ
カ （コ） ～（～Ａａ∨Ｂａ） キケＲＡＡ
カ （サ） Ａａ＆～Ｂａ コ、ド・モルガンの法則
カ （シ） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） サ∨Ｉ
ス（ス） （～Ａａ＆ Ｂａ） Ａ
ス（セ） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） ス∨Ｉ
３ （ソ） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） オカシスセ∨Ｅ
３ （タ）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ ソＥＩ
１ （チ）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ ２３タＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① あるｘは、ＡであってＢでないか、Ａでなくて、Ｂであるかの、いづれかである。
② ～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
① あるｘは、ＡであってＢでないか、Ａでなくて、Ｂであるかの、いづれかである。
といふことは、
① あるｘが、Ａであって、尚且つ、Ｂである。といふことはない。
といふことである。
然るに、
（05）
① あるｘが、Ａであって、尚且つ、Ｂである。といふことはない。
といふことは、
①「集合Ａと、集合Ｂの積集合」が「空集合」である。
といふ、ことである。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①「集合Ａと、集合Ｂの積集合」が「空集合」である。
② ～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
といふことになるものの、「本当に、さうなのだらうか？」
（07）
「対偶」により、
② ～Ａｘ→～Ｂｘ
③ Ｂｘ→ Ａｘ
従って、
（06）（07）に於いて、
（08）
② ～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆～Ａｘ→～Ｂｘ）
③ ～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆ Ｂｘ→ Ａｘ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（09）
③ ∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆ Ｂｘ→ Ａｘ）
といふことは、
③「集合Ａと集合Ｂは、等しい。」
といふことである。
従って、
（08）（09）により、
（10）
② ～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆～Ａｘ→～Ｂｘ）
といふことは、
③「集合Ａと集合Ｂは、等しくない。」
といふことである。
従って、
（06）（10）により、
（11）
①「集合Ａと、集合Ｂの積集合」が「空集合」である。
②「集合Ａと、集合Ｂは、等しくない。」
に於いて、
①＝② である。
といふことになる。
然るに、
（12）
③「集合Ａが、集合Ｂの、真部分集合」であっても、
②「集合Ａと、集合Ｂは、等しくない。」
然るに、
（13）
③「集合Ａが、集合Ｂの、真部分集合である」ならば、
①「集合Ａと、集合Ｂの積集合」は「空集合」ではない。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
①「集合Ａと、集合Ｂの積集合」が「空集合」ない。としても、
②「集合Ａと、集合Ｂは、等しくない。」
といふことに、なるものの、「その辺のところが、数学が苦手な私には、ナゾである。」
然るに、
（15）
① ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
① と ② が「矛盾」することは、「明白」である。
従って、
（16）
① ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② であることは、「明白」である。
従って、
（16）により、
（17）
① ～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（17）により、
（18）
「二重否定（～～）」により、
① ～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（19）
（ⅰ）
１ （１）～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨ （～Ａｘ＆Ｂｘ）｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨ （～Ａｘ＆Ｂｘ）｝ １量化子の関係
１ （３） ～｛（Ａａ＆～Ｂａ）∨ （～Ａａ＆Ｂａ）｝ １ＵＥ
１ （４） ～（Ａａ＆～Ｂａ）＆～（～Ａａ＆Ｂａ） ３ド・モルガンの法則
１ （５） ～（Ａａ＆～Ｂａ） ４＆Ｅ
６ （６） Ａａ Ａ
７ （７） ～Ｂａ Ａ
６７ （８） Ａａ＆～Ｂａ ６７＆Ｉ
１６７ （９） ～（Ａａ＆～Ｂａ）＆
（Ａａ＆～Ｂａ） ５８＆Ｉ
１６ （ア） ～～Ｂａ ７９ＲＡＡ
１６ （イ） Ｂａ アＤＮ
１ （ウ） Ａａ→ Ｂａ ６イＣＰ
１ （エ） ～（～Ａａ＆Ｂａ） ４＆Ｅ
オ （オ） ～Ａ Ａ
カ（カ） Ｂａ Ａ
オカ（キ） ～Ａａ＆Ｂａ オカ＆Ｉ
１ オカ（ク） ～（～Ａａ＆Ｂａ）＆
（～Ａａ＆Ｂａ） エキ＆Ｉ
１ オ （ケ） ～Ｂａ カクＲＡＡ
１ （コ） ～Ａａ→～Ｂａ エケＣＰ
１ （サ） Ａａ→Ｂａ＆～Ａａ→～Ｂａ ウコ＆Ｉ
１ （シ） ∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆～Ａｘ→～Ｂｘ） サＵＩ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ Ａ
１ （３） Ａａ→ Ｂａ ＆ ～Ａａ→～Ｂａ １ＵＥ
４ （４） Ａａ＆～Ｂａ ∨ ～Ａａ＆ Ｂａ Ａ
１ （５） Ａａ→ Ｂａ ３＆Ｅ
６ （６） Ａａ＆～Ｂａ Ａ
６ （７） Ａａ ６＆Ｅ
１ ６ （８） Ｂａ ５７ＭＰＰ
６ （９） ～Ｂａ ６＆Ｅ
１ ６ （ア） Ｂａ＆～Ｂａ ８９＆Ｉ
１ （イ） ～Ａａ→～Ｂａ ３＆Ｅ
ウ（ウ） ～Ａａ＆ Ｂａ Ａ
ウ（エ） ～Ａａ ウ＆Ｅ
１ ウ（オ） ～Ｂａ イエＭＰＰ
ウ（カ） Ｂａ ウ＆Ｅ
１ ウ（キ） Ｂａ＆～Ｂａ カオ＆Ｅ
１ ４ （ク） Ｂａ＆～Ｂａ ４６アウキ∨Ｅ
１２ （ケ） Ｂａ＆～Ｂａ ２４クＥＥ
１ （コ）～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ ２ケＲＡＡ
従って、
（19）により、
（20）
① ～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（20）により、
（21）
① ～～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（21）により、
（22）
「二重否定（～～）」により、
① ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）（22）により、
（23）
① ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
令和元年１１月２２日、毛利太。
2019年11月22日金曜日
2019年11月21日木曜日
「述語論理」に於ける「主語（主辞）と述語（賓辞）」について。
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
に於いて、例へば、
① ∀ｘ（犬ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆犬ｘ）
である。
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（犬ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆犬ｘ）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
といふ「論理式（Well-formed formula）」は、
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
といふ「論理式」の、「Ｓ（Predicate letter）」と「Ｐ（Propositional function）」に対する「代入例（Substitution instances）」である。
然るに、
（03）
① ∀ｘ（犬ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆犬ｘ）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
といふ「論理式」は、それぞれ、
① すべてのｘについて、ｘが犬であるならば、ｘは動物である。
② あるｘは動物であって、犬である。
① すべてのｘについて、ｘが少年であるならば、あるｙは少女であって、ｘはｙを愛す。
② あるｘは少女であって、すべてのｙについて、ｙが少年であるならば、ｙはｘを愛す。
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② あるｘは象であって、あるｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚはｘの鼻ではなくて、長い。
といふ、「意味」である。
従って、
（03）により、
（04）
① ∀ｘ（犬ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆犬ｘ）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
といふ「論理式」は、
① 犬は動物である。
② ある動物は犬である。
① 少年、みな、その愛する所の少女有り。
② ある少女、すべての少年の愛する所となる。
① 象は鼻が長い。
② ある象は鼻も長い。
といふ「意味」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① 犬は動物である。
② ある動物は犬である。
① 少年、みな、その愛する所の少女有り。
② ある少女、すべての少年の愛する所となる。
① 象は鼻が長い。
② ある象は鼻も長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（犬ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆犬ｘ）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
といふ「意味」であって、これらの「論理式」は、
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
といふ「論理式」の、「Ｓ（述語文字）」と「Ｐ（命題関数）」に対する「代入例」である。
然るに、
（06）
男女に分けて「柳は緑さ（男言葉）」とか「花は紅よ（女言葉）」とかいうふうに。そして、ハはむろん主辞の方に入れなければならない。
主辞 賓辞
The dog │ is an animal.
犬は │ 動物である。（動物さ、動物よ）
主辞どうしを比べると、定冠詞 the と助詞ハとに共通性がありそうに見える。これは全称（または周布）ということに関連する共通性であるが、ここでは深入りしない。
（三上章、日本語の論理、1963年、６頁）
（07）
かりに既成専門語をご破算にして、文法（英文法、日本文法）と論理学とが今新たにそれぞれの専門語をきめるものと仮定しよう。問題は subject という俗語を採用すべきか否かである。
別掲は、かなり権威のある英和辞典の訳語表である。〔俗語〕というのは、下の専門語と区別するためわたしが入れたものであり、そこのアンダラインもわたしが引いた。これで、俗語としては題という意味をもっていることがわかる。
ＳＵＢＪＥＣＴ―ｎ.
１〔俗語〕主題，題目，題（theme）；教授科目，学科；演題，題目，議題，話題（topic）；画題：
・・・・・・中略・・・・・・
７〔文法〕主題，主部（Cf.object）
８〔論理学〕主辞，主語（opp.attribute）
９〔哲学〕主体，主観，我，自我，実体；物体（thing in itself）
（三上章、日本語の論理、1963年、６２・６３頁）
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① 犬は動物である。
② ある動物は犬である。
① 少年、みな、その愛する所の少女有り。
② ある少女、すべての少年の愛する所となる。
① 象は鼻が長い。
② ある象は鼻も長い。
といふ「日本語（命題）」は、
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
といふ「論理式」の、「Ｓ（述語文字）」と「Ｐ（命題関数）」に対する「代入例」であって、
Ｓ（述語文字）＝主辞・主語（Subject）
Ｐ（命題関数）＝述部・賓辞（Predicate）
といふ、ことになる。
従って、
（08）により、
（09）
「述語論理（Predicate logic）」といふ「観点」からすれば
「伝統的論理学（traditional logic）」でいふ「主辞・賓辞」とは、「述語文字・命題関数」である。
といふ、ことになる。
令和元年１１月２１日、毛利太。
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
に於いて、例へば、
① ∀ｘ（犬ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆犬ｘ）
である。
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（犬ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆犬ｘ）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
といふ「論理式（Well-formed formula）」は、
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
といふ「論理式」の、「Ｓ（Predicate letter）」と「Ｐ（Propositional function）」に対する「代入例（Substitution instances）」である。
然るに、
（03）
① ∀ｘ（犬ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆犬ｘ）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
といふ「論理式」は、それぞれ、
① すべてのｘについて、ｘが犬であるならば、ｘは動物である。
② あるｘは動物であって、犬である。
① すべてのｘについて、ｘが少年であるならば、あるｙは少女であって、ｘはｙを愛す。
② あるｘは少女であって、すべてのｙについて、ｙが少年であるならば、ｙはｘを愛す。
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② あるｘは象であって、あるｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚはｘの鼻ではなくて、長い。
といふ、「意味」である。
従って、
（03）により、
（04）
① ∀ｘ（犬ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆犬ｘ）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
といふ「論理式」は、
① 犬は動物である。
② ある動物は犬である。
① 少年、みな、その愛する所の少女有り。
② ある少女、すべての少年の愛する所となる。
① 象は鼻が長い。
② ある象は鼻も長い。
といふ「意味」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① 犬は動物である。
② ある動物は犬である。
① 少年、みな、その愛する所の少女有り。
② ある少女、すべての少年の愛する所となる。
① 象は鼻が長い。
② ある象は鼻も長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（犬ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆犬ｘ）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
といふ「意味」であって、これらの「論理式」は、
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
といふ「論理式」の、「Ｓ（述語文字）」と「Ｐ（命題関数）」に対する「代入例」である。
然るに、
（06）
男女に分けて「柳は緑さ（男言葉）」とか「花は紅よ（女言葉）」とかいうふうに。そして、ハはむろん主辞の方に入れなければならない。
主辞 賓辞
The dog │ is an animal.
犬は │ 動物である。（動物さ、動物よ）
主辞どうしを比べると、定冠詞 the と助詞ハとに共通性がありそうに見える。これは全称（または周布）ということに関連する共通性であるが、ここでは深入りしない。
（三上章、日本語の論理、1963年、６頁）
（07）
かりに既成専門語をご破算にして、文法（英文法、日本文法）と論理学とが今新たにそれぞれの専門語をきめるものと仮定しよう。問題は subject という俗語を採用すべきか否かである。
別掲は、かなり権威のある英和辞典の訳語表である。〔俗語〕というのは、下の専門語と区別するためわたしが入れたものであり、そこのアンダラインもわたしが引いた。これで、俗語としては題という意味をもっていることがわかる。
ＳＵＢＪＥＣＴ―ｎ.
１〔俗語〕主題，題目，題（theme）；教授科目，学科；演題，題目，議題，話題（topic）；画題：
・・・・・・中略・・・・・・
７〔文法〕主題，主部（Cf.object）
８〔論理学〕主辞，主語（opp.attribute）
９〔哲学〕主体，主観，我，自我，実体；物体（thing in itself）
（三上章、日本語の論理、1963年、６２・６３頁）
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① 犬は動物である。
② ある動物は犬である。
① 少年、みな、その愛する所の少女有り。
② ある少女、すべての少年の愛する所となる。
① 象は鼻が長い。
② ある象は鼻も長い。
といふ「日本語（命題）」は、
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
といふ「論理式」の、「Ｓ（述語文字）」と「Ｐ（命題関数）」に対する「代入例」であって、
Ｓ（述語文字）＝主辞・主語（Subject）
Ｐ（命題関数）＝述部・賓辞（Predicate）
といふ、ことになる。
従って、
（08）により、
（09）
「述語論理（Predicate logic）」といふ「観点」からすれば
「伝統的論理学（traditional logic）」でいふ「主辞・賓辞」とは、「述語文字・命題関数」である。
といふ、ことになる。
令和元年１１月２１日、毛利太。
2019年11月20日水曜日
「象は（が・も）動物である」の「述語論理」。
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ｝
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「論理式」は、順番に、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、 ｘが象でなければ、ｘは動物ではない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、ｘが象でなければ、ｘは動物ではない。といふわけではない。
といふ「意味」である。
然るに、
（02）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
といふことは、
① 象は動物である。
といふ、ことである。
（03）
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でなければ、ｘは動物ではない。
といふことは、
② 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふことであり、
② 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふことは、例へば、
②（机と、パソコンと、象であれば、）象が動物である。
といふ、ことである。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ Ａ
１（２） 象ａ→動物ａ＆ ～（～象ａ→～動物ａ） １ＵＥ
１（３） 象ａ→動物ａ １＆Ｅ
１（４） ～（～象ａ→～動物ａ） １＆Ｅ
１（５） ～（～象ａ＆ 動物ａ） Ａ
１（６） ～～象ａ∨～動物ａ ５ド・モルガンの法則
１（７） ～象ａ→～動物ａ ６含意の定義
１（８） ～（～象ａ→～動物ａ）＆
（～象ａ→～動物ａ） ４７＆Ｉ
１（９） ～～（～象ａ＆ 動物ａ） ５ＲＡＡ
１（ア） （～象ａ＆ 動物ａ） ９ＤＮ
１（イ） ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） アＥＩ
１（ウ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ３ＵＩ
１（エ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） イウ＆Ｉ
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） １＆Ｅ
１ （３） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
１ （４） ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） １＆Ｅ
５ （５） ～象ａ＆ 動物ａ Ａ
６（６） ～象ａ→～動物ａ Ａ
５ （７） ～象ａ ５＆Ｅ
５６（８） ～動物ａ ６７ＭＰＰ
５ （９） 動物ａ ５＆Ｅ
５６（ア） ～動物ａ＆動物ａ ８９＆Ｉ
５ （イ） ～（～象ａ→～動物ａ） ６アＲＡＡ
１ （ウ） ～（～象ａ→～動物ａ） ４５イＥＥ
１ （エ） 象ａ→動物ａ＆ ～（～象ａ→～動物ａ） ３ウ＆Ｉ
１ （オ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ エＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
④ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）（05）により、
（06）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、ｘが象でなければ、ｘは動物ではない。といふわけではない。
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、あるｘは象ではないが、動物である。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（07）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、ｘが象でなければ、ｘは動物ではない。といふわけではない。
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、あるｘは象ではないが、動物である。
といふことは、「象以外にも動物はゐる。」といふことであり、「象以外にも動物はゐる。」といふことは、「象も動物である。」といふことである。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ｝
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「論理式」は、
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
といふ、「意味」である。
令和元年１１月２０日、毛利太。
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ｝
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「論理式」は、順番に、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、 ｘが象でなければ、ｘは動物ではない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、ｘが象でなければ、ｘは動物ではない。といふわけではない。
といふ「意味」である。
然るに、
（02）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
といふことは、
① 象は動物である。
といふ、ことである。
（03）
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でなければ、ｘは動物ではない。
といふことは、
② 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふことであり、
② 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふことは、例へば、
②（机と、パソコンと、象であれば、）象が動物である。
といふ、ことである。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ Ａ
１（２） 象ａ→動物ａ＆ ～（～象ａ→～動物ａ） １ＵＥ
１（３） 象ａ→動物ａ １＆Ｅ
１（４） ～（～象ａ→～動物ａ） １＆Ｅ
１（５） ～（～象ａ＆ 動物ａ） Ａ
１（６） ～～象ａ∨～動物ａ ５ド・モルガンの法則
１（７） ～象ａ→～動物ａ ６含意の定義
１（８） ～（～象ａ→～動物ａ）＆
（～象ａ→～動物ａ） ４７＆Ｉ
１（９） ～～（～象ａ＆ 動物ａ） ５ＲＡＡ
１（ア） （～象ａ＆ 動物ａ） ９ＤＮ
１（イ） ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） アＥＩ
１（ウ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ３ＵＩ
１（エ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） イウ＆Ｉ
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） １＆Ｅ
１ （３） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
１ （４） ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） １＆Ｅ
５ （５） ～象ａ＆ 動物ａ Ａ
６（６） ～象ａ→～動物ａ Ａ
５ （７） ～象ａ ５＆Ｅ
５６（８） ～動物ａ ６７ＭＰＰ
５ （９） 動物ａ ５＆Ｅ
５６（ア） ～動物ａ＆動物ａ ８９＆Ｉ
５ （イ） ～（～象ａ→～動物ａ） ６アＲＡＡ
１ （ウ） ～（～象ａ→～動物ａ） ４５イＥＥ
１ （エ） 象ａ→動物ａ＆ ～（～象ａ→～動物ａ） ３ウ＆Ｉ
１ （オ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ エＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
④ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）（05）により、
（06）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、ｘが象でなければ、ｘは動物ではない。といふわけではない。
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、あるｘは象ではないが、動物である。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（07）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、ｘが象でなければ、ｘは動物ではない。といふわけではない。
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、あるｘは象ではないが、動物である。
といふことは、「象以外にも動物はゐる。」といふことであり、「象以外にも動物はゐる。」といふことは、「象も動物である。」といふことである。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ｝
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「論理式」は、
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
といふ、「意味」である。
令和元年１１月２０日、毛利太。
2019年11月19日火曜日
∀ｘＦｘ∨∀ｘＧｘ├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
―「昨日（令和元年１１月１８日）の記事」の「続き」なので、（15）番から始めます。―
従って、
（14）により、
（15）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
① ならば、② である。
としても、「逆に」、
② ならば、① である。
とは限らない。
といふことは、「理屈」の上でも、「述語論理」としても、「正しい」。
従って、
（15）により、
（16）
① ∀ｘ（男性ｘ）
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）
に於いて、
男性＝中野区民
中野区民＝男性
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ∀ｘ（中野区民ｘ） ≡すべての人は中野区民である。
④ ∀ｘ（中野区民ｘ∨男性ｘ）≡すべての人は、中野区民であるか、男性である。
に於いて、
③ ならば、④ である。
としても、
④ ならば、③ である。
とは限らない。
然るに、
（17）
「交換法則（commutative law）」により、
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
④ ∀ｘ（中野区民ｘ∨男性ｘ）≡すべての人は、中野区民であるか、男性である。
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（17）により、
（18）
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
④ ∀ｘ（中野区民ｘ∨男性ｘ）≡すべての人は、中野区民であるか、男性である。
に於いて、
④ に関しては、「それ」を用ひず、
② だけを、用ひることにする。
従って、
（14）～（18）により、
（19）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
③ ∀ｘ（中野区民ｘ） ≡すべての人は中野区民である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
（Ⅰ）① ならば、② である。としても、② ならば、① である。とは限らない。
（Ⅱ）③ ならば、② である。としても、② ならば、③ である。とは限らない。
従って、
（19）により、
（20）
（Ⅲ）「① か ③」ならば、② である。としても、② ならば、「① か ③」である。とは限らない。
然るに、
（19）（20）により、
（21）
（Ⅲ）「① か ③」ならば、② である。としても、② ならば、「① か ③」である。とは限らない。
といふことは、
（Ⅲ）∀ｘ（男性ｘ）∨∀ｘ（中野区民ｘ）├ ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）
といふ、ことである。
従って、
（19）（21）により、
（22）
Ｆ＝男性
Ｇ＝中野区民
とするならば、
（Ⅲ）「① か ③」ならば、② である。としても、② ならば、「① か ③」である。とは限らない。
といふことは、
（Ⅲ） ∀ｘＦｘ∨∀ｘＧｘ├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ、ことである。
然るに、
（23）
１１２ ∀ｘＦｘ∨∀ｘＧｘ├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
（E.J.レモン著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１５５頁）
従って、
（01）～（23）により、
（24）
∀ｘＦｘ∨∀ｘＧｘ であるならば、 ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） であるが、
∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） であるとしても、 ∀ｘＦｘ∨∀ｘＧｘ であるとは、限らない。
といふことは、「日本語で考へた理屈」としても、「述語論理」としても、「正しい」。
令和元年１１月１９日、毛利太。
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
―「昨日（令和元年１１月１８日）の記事」の「続き」なので、（15）番から始めます。―
従って、
（14）により、
（15）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
① ならば、② である。
としても、「逆に」、
② ならば、① である。
とは限らない。
といふことは、「理屈」の上でも、「述語論理」としても、「正しい」。
従って、
（15）により、
（16）
① ∀ｘ（男性ｘ）
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）
に於いて、
男性＝中野区民
中野区民＝男性
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ∀ｘ（中野区民ｘ） ≡すべての人は中野区民である。
④ ∀ｘ（中野区民ｘ∨男性ｘ）≡すべての人は、中野区民であるか、男性である。
に於いて、
③ ならば、④ である。
としても、
④ ならば、③ である。
とは限らない。
然るに、
（17）
「交換法則（commutative law）」により、
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
④ ∀ｘ（中野区民ｘ∨男性ｘ）≡すべての人は、中野区民であるか、男性である。
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（17）により、
（18）
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
④ ∀ｘ（中野区民ｘ∨男性ｘ）≡すべての人は、中野区民であるか、男性である。
に於いて、
④ に関しては、「それ」を用ひず、
② だけを、用ひることにする。
従って、
（14）～（18）により、
（19）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
③ ∀ｘ（中野区民ｘ） ≡すべての人は中野区民である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
（Ⅰ）① ならば、② である。としても、② ならば、① である。とは限らない。
（Ⅱ）③ ならば、② である。としても、② ならば、③ である。とは限らない。
従って、
（19）により、
（20）
（Ⅲ）「① か ③」ならば、② である。としても、② ならば、「① か ③」である。とは限らない。
然るに、
（19）（20）により、
（21）
（Ⅲ）「① か ③」ならば、② である。としても、② ならば、「① か ③」である。とは限らない。
といふことは、
（Ⅲ）∀ｘ（男性ｘ）∨∀ｘ（中野区民ｘ）├ ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）
といふ、ことである。
従って、
（19）（21）により、
（22）
Ｆ＝男性
Ｇ＝中野区民
とするならば、
（Ⅲ）「① か ③」ならば、② である。としても、② ならば、「① か ③」である。とは限らない。
といふことは、
（Ⅲ） ∀ｘＦｘ∨∀ｘＧｘ├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ、ことである。
然るに、
（23）
１１２ ∀ｘＦｘ∨∀ｘＧｘ├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
（E.J.レモン著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１５５頁）
従って、
（01）～（23）により、
（24）
∀ｘＦｘ∨∀ｘＧｘ であるならば、 ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） であるが、
∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） であるとしても、 ∀ｘＦｘ∨∀ｘＧｘ であるとは、限らない。
といふことは、「日本語で考へた理屈」としても、「述語論理」としても、「正しい」。
令和元年１１月１９日、毛利太。
2019年11月18日月曜日
∀ｘＦｘ├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝の｛３人｝が｛変域（ドメイン）｝であるとする。
従って、
（01）により、
（02）
ａさんは男性であり、
ｂさんも男性であり、
ｃさんも男性である。
とすると、
∀ｘ（男性ｘ）≡すべての人は男性である。
然るに、
（03）
ａさんは男性であり、
ｂさんも男性であり、
ｃさんも男性である。
とすると、
ａさんは男性であるか、中野区民である。
ｂさんも男性であるか、中野区民である。
ｃさんも男性であるか、中野区民である。
といふことは、「本当（真）」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
ａさんは男性であるか、中野区民である。
ｂさんも男性であるか、中野区民である。
ｃさんも男性であるか、中野区民である。
といふことは、
① ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
といふ、ことである。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（06）
１（１） ∀ｘ男性ｘ Ａ
１（２） 男性ａ Ａ
１（３） 男性ａ∨中野ａ ２∨Ｉ
１（４）∀ｘ（男性ｘ∨中野ｘ） ３ＵＩ
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（08）
例へば、
ａさんは女性であるが、中野区民である。
ｂさんは男性であって、練馬区民である。
ｃさんは女性であるが、中野区民である。
としても、
ａさんは男性であるか、中野区民である。
ｂさんも男性であるか、中野区民である。
ｃさんも男性であるか、中野区民である。
といふこと、すなはち、
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
といふことは、「本当（真）」である。
然るに、
（09）
ａさんは女性であるが、中野区民である。
ｂさんは男性であって、練馬区民である。
ｃさんは女性であるが、中野区民である。
といふのであれば、
ａさんは女性であり、
ｃさんも女性であるため、
① ∀ｘ（男性ｘ）≡すべての人は男性である。
といふことは、「ウソ（偽）」になる。
従って、
（05）（08）（09）により、
（10）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
① ならば、② である。
としても、その「逆」である、
② ならば、① である。
といふことには、ならない。
といふことは、「理屈」として、「正しい」。
然るに、
（11）
１ （１）∀ｘ（男性ｘ∨中野ｘ） Ａ
１ （２） 男性ｂ∨中野ｂ １ＵＥ
３ （３） 男性ｂ Ａ
３ （４） ∀ｘ男性ｘ ３ＵＩ
とするならば、
３ （３） 男性ｂ Ａ
は、 男性ｂ の、
ｂ が、「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」する。
従って、
（12）
５（５） 中野ａ Ａ
５（６） ∀ｘ中野ｘ ５ＵＩ
とする場合も、
５（５） 中野ａ Ａ
ａ が、「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」する。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
② ならば、① である。
といふことは、「述語論理」としても、「妥当」でない。
従って、
（10）（13）により、
（14）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
① ならば、② である。
としても、
② ならば、① である。
といふことには、ならない。
といふことは、「理屈」の上でも、「述語論理」としても、「正しい」。
令和元年１１月１８日、毛利太。
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝の｛３人｝が｛変域（ドメイン）｝であるとする。
従って、
（01）により、
（02）
ａさんは男性であり、
ｂさんも男性であり、
ｃさんも男性である。
とすると、
∀ｘ（男性ｘ）≡すべての人は男性である。
然るに、
（03）
ａさんは男性であり、
ｂさんも男性であり、
ｃさんも男性である。
とすると、
ａさんは男性であるか、中野区民である。
ｂさんも男性であるか、中野区民である。
ｃさんも男性であるか、中野区民である。
といふことは、「本当（真）」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
ａさんは男性であるか、中野区民である。
ｂさんも男性であるか、中野区民である。
ｃさんも男性であるか、中野区民である。
といふことは、
① ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
といふ、ことである。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（06）
１（１） ∀ｘ男性ｘ Ａ
１（２） 男性ａ Ａ
１（３） 男性ａ∨中野ａ ２∨Ｉ
１（４）∀ｘ（男性ｘ∨中野ｘ） ３ＵＩ
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（08）
例へば、
ａさんは女性であるが、中野区民である。
ｂさんは男性であって、練馬区民である。
ｃさんは女性であるが、中野区民である。
としても、
ａさんは男性であるか、中野区民である。
ｂさんも男性であるか、中野区民である。
ｃさんも男性であるか、中野区民である。
といふこと、すなはち、
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
といふことは、「本当（真）」である。
然るに、
（09）
ａさんは女性であるが、中野区民である。
ｂさんは男性であって、練馬区民である。
ｃさんは女性であるが、中野区民である。
といふのであれば、
ａさんは女性であり、
ｃさんも女性であるため、
① ∀ｘ（男性ｘ）≡すべての人は男性である。
といふことは、「ウソ（偽）」になる。
従って、
（05）（08）（09）により、
（10）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
① ならば、② である。
としても、その「逆」である、
② ならば、① である。
といふことには、ならない。
といふことは、「理屈」として、「正しい」。
然るに、
（11）
１ （１）∀ｘ（男性ｘ∨中野ｘ） Ａ
１ （２） 男性ｂ∨中野ｂ １ＵＥ
３ （３） 男性ｂ Ａ
３ （４） ∀ｘ男性ｘ ３ＵＩ
とするならば、
３ （３） 男性ｂ Ａ
は、 男性ｂ の、
ｂ が、「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」する。
従って、
（12）
５（５） 中野ａ Ａ
５（６） ∀ｘ中野ｘ ５ＵＩ
とする場合も、
５（５） 中野ａ Ａ
ａ が、「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」する。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
② ならば、① である。
といふことは、「述語論理」としても、「妥当」でない。
従って、
（10）（13）により、
（14）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
① ならば、② である。
としても、
② ならば、① である。
といふことには、ならない。
といふことは、「理屈」の上でも、「述語論理」としても、「正しい」。
令和元年１１月１８日、毛利太。
「述語論理の主語（普通名詞）と述語（普通名詞）」について。
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
に於いて、
Ｓは「述語文字（Predicate letter）」であるが、
Ｐは「命題関数（Propositional function）」であるとする。
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
は、例へば、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆象ｘ）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＝象は動物である。
② ∃ｘ（動物ｘ＆象ｘ）＝ある動物は象である。
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝＝少年、みな、その愛する所の少女有り。
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝＝ある少女、すべての少年の愛する所となる。
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＝象は鼻が長い。
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝＝ある象は鼻も長い。
は、それぞれ、
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
に於ける、「ＳとＰに対する、代入例（Substitution instances）」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
「述語論理（Predicate logic）」といふ「観点」からすると、
① 象は動物である。
② ある動物は象である。
① 少年、みな、その愛する所の少女有り。
② ある少女、すべての少年の愛する所となる。
① 象は鼻が長い。
② ある象は鼻も長い。
等に於ける「主語（Subject）」と「述語（Predicate）」は、
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
に於ける、「Ｓ（述語文字）」と「Ｐ（命題関数）」である。
といふ、ことになる。
令和元年１１月１８日、毛利太。
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
に於いて、
Ｓは「述語文字（Predicate letter）」であるが、
Ｐは「命題関数（Propositional function）」であるとする。
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
は、例へば、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆象ｘ）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＝象は動物である。
② ∃ｘ（動物ｘ＆象ｘ）＝ある動物は象である。
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝＝少年、みな、その愛する所の少女有り。
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝＝ある少女、すべての少年の愛する所となる。
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＝象は鼻が長い。
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝＝ある象は鼻も長い。
は、それぞれ、
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
に於ける、「ＳとＰに対する、代入例（Substitution instances）」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
「述語論理（Predicate logic）」といふ「観点」からすると、
① 象は動物である。
② ある動物は象である。
① 少年、みな、その愛する所の少女有り。
② ある少女、すべての少年の愛する所となる。
① 象は鼻が長い。
② ある象は鼻も長い。
等に於ける「主語（Subject）」と「述語（Predicate）」は、
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
に於ける、「Ｓ（述語文字）」と「Ｐ（命題関数）」である。
といふ、ことになる。
令和元年１１月１８日、毛利太。
2019年11月17日日曜日
「象は鼻が長い」の「述語計算」。
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ １量化子の関係
３ （３） ～｛象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］｝ Ａ
３ （４） ～｛～象ａ∨［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］｝ ３含意の定義
３ （５） 象ａ＆～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ４ド・モルガンの法則
３ （６） 象ａ ５＆Ｅ
３ （７） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ５＆Ｅ
３ （８） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ド・モルガンの法則
３ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ８含意の定義
ア （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３ア （イ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９アＭＰＰ
３ア （ウ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
エ（エ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
エ（オ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） エ含意の定義
エ（カ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ オ、ド・モルガンの法則
エ（キ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） カＥＩ
３ア （ク） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウエキＥＥ
３ （ケ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） アクＣＰ
３ （コ） 象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ６ケ＆Ｉ
３ （サ） ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ コＥＩ
１ （シ） ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ １３サＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ Ａ
２ （２） 象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ Ａ
２ （３） 象ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２＆Ｅ
５ （５） ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ<br>
５ （６） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ５ＵＥ<br>
２５ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３６ＭＰＰ
２５ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ７＆Ｅ
２５ （９） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４８ＭＰＰ
２５ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７＆Ｅ
イ（イ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
２５ （ウ） ～鼻ｂａ→～長ｂ アＵＥ
イ（エ） ～鼻ｂａ イ＆Ｅ
２５イ（オ） ～長ｂ ウエＭＰＰ
イ（カ） 長ｂ イ＆Ｅ
２５イ（キ） ～長ｂ＆長ｂ オカ＆Ｉ
２５ （ク） ～長ｂ＆長ｂ ９イキＥＥ
２ （ケ）～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ ５クＲＡＡ
１ （コ）～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ １２ケＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。といふことはない。
② あるｘが象であって、 あるｙがｘの鼻であって長いならば、 あるｚはｘの鼻でなくて、長い。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
「ある命題Ａ」 と「ある命題Ｂ 」 が「等しい」のであれば、
「命題Ａの否定」と「命題Ｂの否定」も「等しい」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、
①＝② であるが故に、
③ ～～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いても、
③＝④ でなければ、ならない。
然るに、
（05）
「二重否定（ＤＮ）」により、
③ ～～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
に於いて、
③＝⑤ である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
③ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いても、
③＝④ でなければ、ならない。
然るに、
（07）
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ Ａ
３ （４） 象ａ ３＆Ｅ
３ （５） ［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ３＆Ｅ
６ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３６ （７） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ５６ＭＰＰ
８（８） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
８（９） ～～（～鼻ｂａ＆ 長ｂ） ８ＤＮ
８（ア） ～（～～鼻ｂａ∨～長ｂ） ９ド・モルガンの法則
８（イ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ア含意の定義
８（ウ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） イＥＩ
３６ （エ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７８ウＥＥ
３６ （オ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ量化子の関係
１３ （カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２４ＭＰＰ
１３ （キ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カ＆Ｅ
１３６ （ク） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） オキ＆Ｉ
１３ （ケ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６クＲＡＡ
１３ （コ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） カ＆Ｅ
１３ （サ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ケコ＆Ｉ
１ （シ） ～｛象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］｝ ３サＲＡＡ
１ （ス）∀ｘ～｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ シＵＩ
１ （セ）～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ ス量化子の関係
（ⅳ）
１ （１）～∃ｘ｛象ｘ＆［ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛象ｘ＆［ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ １量化子の関係
１ （３） ～｛象ａ＆［ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］｝ ２ＵＥ
１ （４） ～｛象ａ＆［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］｝ ３含意の定義
１ （５） ～象ａ∨～［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ４ド・モルガンの法則
１ （６） 象ａ→～［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ５含意の定義
７ （７） 象ａ Ａ
１７ （８） ～［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ６７ＭＰＰ
１７ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８ド・モルガンの法則
１７ （ア） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９＆Ｅ
１７ （イ） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ア量化子の関係
１７ （ウ） ～（～鼻ｂａ＆ 長ｂ） イＵＥ
１７ （エ） ～～鼻ｂａ∨～長ｂ ウ、ド・モルガンの法則
１７ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エ含意の定義
１７ （カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） オＵＩ
１７ （キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
１７ （ク） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カキ＆Ｉ
１ （ケ） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ ７クＣＰ
１ （コ） ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ ケＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
果たして、
③ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、
③＝④ である。
（09）
例へば、
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ １量化子の関係
（ⅳ）
１ （１）～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ １量化子の関係
で用ひた、「量化子の関係」の「証明」は、次（10、11）の通りである。
（10）
（ａ）～∀ｘＦｘ├ ∃ｘ～Ｆｘ
１ （１） ～∀ｘＦｘ Ａ
２ （２） ～∃ｘ～Ｆｘ Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ～Ｆｘ ３ＥＩ
２３（５） ～∃ｘ～Ｆｘ＆
∃ｘ～Ｆｘ ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｆａ ６ＤＮ
２ （８） ∀ｘＦｘ ７ＵＩ
１２ （９） ～∀ｘＦｘ＆
∀ｘＦｘ ２８＆Ｉ
１ （ア）～～∃ｘ～Ｆｘ ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∃ｘ～Ｆｘ アＤＮ
（ｂ）∃ｘ～Ｆｘ├ ～∀ｘＦｘ
１ （１） ∃ｘ～Ｆｘ Ａ
２ （２） ～Ｆａ Ａ
３（３） ∀ｘＦｘ Ａ
３（４） Ｆａ ３ＵＥ
２３（５）～Ｆａ＆Ｆａ ２４＆Ｉ
２ （６） ～∀ｘＦｘ ３５ＲＡＡ
１ （７） ～∀ｘＦｘ １２６ＥＥ
（11）
（ｃ）～∃ｘＦｘ├ ∀ｘ～Ｆｘ
１ （１）～∃ｘＦｘ Ａ
２（２） ∀ｘＦｘ Ａ
２（３） Ｆａ ２ＵＥ
２（４） ∃ｘＦｘ ３ＥＩ
１２（５）～∃ｘＦｘ＆
∃ｘＦｘ １４＆Ｉ
１ （６） ～Ｆａ ３５ＲＡＡ
１ （７）∀ｘ～Ｆｘ ６ＵＩ
（ｄ）∀ｘ～Ｆｘ├ ～∃ｘＦｘ
１ （１） ∀ｘ～Ｆｘ Ａ
１ （２） ～Ｆａ Ａ
３ （３） ∃ｘＦｘ Ａ
４（４） Ｆａ Ａ
１ ４（５）～Ｆａ＆Ｆａ ２４＆Ｉ
１３ （６）～Ｆａ＆Ｆａ ３４５ＥＥ
１ （７） ～∃ｘＦｘ ２６ＲＡＡ
従って、
（10）（11）により、
（12）
「日本語（自然言語）」で言ふと、
① すべてのｘがＦである。といふわけではない。
② あるｘは、 Ｆでない。
③ あるｘが、 Ｆである。といふことはない。
④ すべてのｘはＦでない。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
（13）
述語計算の方が（、アリストテレスの三段論法よりも、）習い覚えるのに骨が折れるということは確かにその通りである（unquestionably hard to learn)。
（E.J.レモン著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１６頁改）
しかしながら、
（14）
（ｄ）∀ｘ～Ｆｘ├ ～∃ｘＦｘ
１ （１） ∀ｘ～Ｆｘ Ａ
１ （２） ～Ｆａ Ａ
３ （３） ∃ｘＦｘ Ａ
４（４） Ｆａ Ａ
１ ４（５）～Ｆａ＆Ｆａ ２４＆Ｉ
１３ （６）～Ｆａ＆Ｆａ ３４５ＥＥ
１ （７） ～∃ｘＦｘ ２６ＲＡＡ
に於ける「それ」は、「自然演繹（Natural deduction：自然な演繹法）」と言ふくらひなので、これとは別の、「公理的展開（axiomatic development）」の方が、「自然演繹」よりも「難しい」ものと、思はれる。
（15）
「漢文の文法」 と「述語論理の文法」を比べると、「難しさ」は「同じくらひ」であるが、
「ラテン語の文法」と「述語論理の文法」を比べると、「ラテン語の文法（を覚える）」の方が、遥かに、極端に、難しい。
令和元年０１月１７日、毛利太。
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ １量化子の関係
３ （３） ～｛象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］｝ Ａ
３ （４） ～｛～象ａ∨［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］｝ ３含意の定義
３ （５） 象ａ＆～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ４ド・モルガンの法則
３ （６） 象ａ ５＆Ｅ
３ （７） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ５＆Ｅ
３ （８） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ド・モルガンの法則
３ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ８含意の定義
ア （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３ア （イ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９アＭＰＰ
３ア （ウ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
エ（エ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
エ（オ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） エ含意の定義
エ（カ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ オ、ド・モルガンの法則
エ（キ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） カＥＩ
３ア （ク） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウエキＥＥ
３ （ケ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） アクＣＰ
３ （コ） 象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ６ケ＆Ｉ
３ （サ） ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ コＥＩ
１ （シ） ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ １３サＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ Ａ
２ （２） 象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ Ａ
２ （３） 象ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２＆Ｅ
５ （５） ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ<br>
５ （６） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ５ＵＥ<br>
２５ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３６ＭＰＰ
２５ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ７＆Ｅ
２５ （９） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４８ＭＰＰ
２５ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７＆Ｅ
イ（イ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
２５ （ウ） ～鼻ｂａ→～長ｂ アＵＥ
イ（エ） ～鼻ｂａ イ＆Ｅ
２５イ（オ） ～長ｂ ウエＭＰＰ
イ（カ） 長ｂ イ＆Ｅ
２５イ（キ） ～長ｂ＆長ｂ オカ＆Ｉ
２５ （ク） ～長ｂ＆長ｂ ９イキＥＥ
２ （ケ）～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ ５クＲＡＡ
１ （コ）～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ １２ケＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。といふことはない。
② あるｘが象であって、 あるｙがｘの鼻であって長いならば、 あるｚはｘの鼻でなくて、長い。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
「ある命題Ａ」 と「ある命題Ｂ 」 が「等しい」のであれば、
「命題Ａの否定」と「命題Ｂの否定」も「等しい」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、
①＝② であるが故に、
③ ～～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いても、
③＝④ でなければ、ならない。
然るに、
（05）
「二重否定（ＤＮ）」により、
③ ～～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
に於いて、
③＝⑤ である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
③ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いても、
③＝④ でなければ、ならない。
然るに、
（07）
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ Ａ
３ （４） 象ａ ３＆Ｅ
３ （５） ［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ３＆Ｅ
６ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３６ （７） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ５６ＭＰＰ
８（８） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
８（９） ～～（～鼻ｂａ＆ 長ｂ） ８ＤＮ
８（ア） ～（～～鼻ｂａ∨～長ｂ） ９ド・モルガンの法則
８（イ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ア含意の定義
８（ウ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） イＥＩ
３６ （エ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７８ウＥＥ
３６ （オ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ量化子の関係
１３ （カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２４ＭＰＰ
１３ （キ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カ＆Ｅ
１３６ （ク） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） オキ＆Ｉ
１３ （ケ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６クＲＡＡ
１３ （コ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） カ＆Ｅ
１３ （サ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ケコ＆Ｉ
１ （シ） ～｛象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］｝ ３サＲＡＡ
１ （ス）∀ｘ～｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ シＵＩ
１ （セ）～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ ス量化子の関係
（ⅳ）
１ （１）～∃ｘ｛象ｘ＆［ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛象ｘ＆［ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ １量化子の関係
１ （３） ～｛象ａ＆［ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］｝ ２ＵＥ
１ （４） ～｛象ａ＆［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］｝ ３含意の定義
１ （５） ～象ａ∨～［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ４ド・モルガンの法則
１ （６） 象ａ→～［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ５含意の定義
７ （７） 象ａ Ａ
１７ （８） ～［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ６７ＭＰＰ
１７ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８ド・モルガンの法則
１７ （ア） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９＆Ｅ
１７ （イ） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ア量化子の関係
１７ （ウ） ～（～鼻ｂａ＆ 長ｂ） イＵＥ
１７ （エ） ～～鼻ｂａ∨～長ｂ ウ、ド・モルガンの法則
１７ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エ含意の定義
１７ （カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） オＵＩ
１７ （キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
１７ （ク） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カキ＆Ｉ
１ （ケ） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ ７クＣＰ
１ （コ） ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ ケＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
果たして、
③ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、
③＝④ である。
（09）
例へば、
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ １量化子の関係
（ⅳ）
１ （１）～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ １量化子の関係
で用ひた、「量化子の関係」の「証明」は、次（10、11）の通りである。
（10）
（ａ）～∀ｘＦｘ├ ∃ｘ～Ｆｘ
１ （１） ～∀ｘＦｘ Ａ
２ （２） ～∃ｘ～Ｆｘ Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ～Ｆｘ ３ＥＩ
２３（５） ～∃ｘ～Ｆｘ＆
∃ｘ～Ｆｘ ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｆａ ６ＤＮ
２ （８） ∀ｘＦｘ ７ＵＩ
１２ （９） ～∀ｘＦｘ＆
∀ｘＦｘ ２８＆Ｉ
１ （ア）～～∃ｘ～Ｆｘ ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∃ｘ～Ｆｘ アＤＮ
（ｂ）∃ｘ～Ｆｘ├ ～∀ｘＦｘ
１ （１） ∃ｘ～Ｆｘ Ａ
２ （２） ～Ｆａ Ａ
３（３） ∀ｘＦｘ Ａ
３（４） Ｆａ ３ＵＥ
２３（５）～Ｆａ＆Ｆａ ２４＆Ｉ
２ （６） ～∀ｘＦｘ ３５ＲＡＡ
１ （７） ～∀ｘＦｘ １２６ＥＥ
（11）
（ｃ）～∃ｘＦｘ├ ∀ｘ～Ｆｘ
１ （１）～∃ｘＦｘ Ａ
２（２） ∀ｘＦｘ Ａ
２（３） Ｆａ ２ＵＥ
２（４） ∃ｘＦｘ ３ＥＩ
１２（５）～∃ｘＦｘ＆
∃ｘＦｘ １４＆Ｉ
１ （６） ～Ｆａ ３５ＲＡＡ
１ （７）∀ｘ～Ｆｘ ６ＵＩ
（ｄ）∀ｘ～Ｆｘ├ ～∃ｘＦｘ
１ （１） ∀ｘ～Ｆｘ Ａ
１ （２） ～Ｆａ Ａ
３ （３） ∃ｘＦｘ Ａ
４（４） Ｆａ Ａ
１ ４（５）～Ｆａ＆Ｆａ ２４＆Ｉ
１３ （６）～Ｆａ＆Ｆａ ３４５ＥＥ
１ （７） ～∃ｘＦｘ ２６ＲＡＡ
従って、
（10）（11）により、
（12）
「日本語（自然言語）」で言ふと、
① すべてのｘがＦである。といふわけではない。
② あるｘは、 Ｆでない。
③ あるｘが、 Ｆである。といふことはない。
④ すべてのｘはＦでない。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
（13）
述語計算の方が（、アリストテレスの三段論法よりも、）習い覚えるのに骨が折れるということは確かにその通りである（unquestionably hard to learn)。
（E.J.レモン著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１６頁改）
しかしながら、
（14）
（ｄ）∀ｘ～Ｆｘ├ ～∃ｘＦｘ
１ （１） ∀ｘ～Ｆｘ Ａ
１ （２） ～Ｆａ Ａ
３ （３） ∃ｘＦｘ Ａ
４（４） Ｆａ Ａ
１ ４（５）～Ｆａ＆Ｆａ ２４＆Ｉ
１３ （６）～Ｆａ＆Ｆａ ３４５ＥＥ
１ （７） ～∃ｘＦｘ ２６ＲＡＡ
に於ける「それ」は、「自然演繹（Natural deduction：自然な演繹法）」と言ふくらひなので、これとは別の、「公理的展開（axiomatic development）」の方が、「自然演繹」よりも「難しい」ものと、思はれる。
（15）
「漢文の文法」 と「述語論理の文法」を比べると、「難しさ」は「同じくらひ」であるが、
「ラテン語の文法」と「述語論理の文法」を比べると、「ラテン語の文法（を覚える）」の方が、遥かに、極端に、難しい。
令和元年０１月１７日、毛利太。
2019年11月16日土曜日
「象は鼻が長い」の「述語（命題関数）」について（Ⅱ）。
― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
―「昨日（令和元年１１月１５日）の記事」を補足します。―
（01）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ｛Ｆｘ→［∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）＆∀ｚ（～Ｇｚｘ→～Ｈｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｆａ→［∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）＆∀ｚ（～Ｇｚａ→～Ｈｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ＆［∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）→∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ）］ Ａ
３ （４） Ｆａ ３＆Ｅ
３ （５） ［∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）→∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ）］ ３＆Ｅ
６ （６） ∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ） Ａ
３６ （７） ∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ） ５６ＭＰＰ
８（８） ～Ｇｂａ＆ Ｈｂ Ａ
８（９） ～～（～Ｇｂａ＆ Ｈｂ） ８ＤＮ
８（ア） ～（～～Ｇｂａ∨～Ｈｂ） ９ド・モルガンの法則
８（イ） ～（～Ｇｂａ→～Ｈｂ） ア含意の定義
８（ウ） ∃ｚ～（～Ｇｚａ→～Ｈｚ） イＥＩ
３６ （エ） ∃ｚ～（～Ｇｚａ→～Ｈｚ） ７８ウＥＥ
３６ （オ） ～∀ｚ（～Ｇｚａ→～Ｈｚ） エ量化子の関係
１３ （カ） ∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）＆∀ｚ（～Ｇｚａ→～Ｈｚ） ２４ＭＰＰ
１３ （キ） ∀ｚ（～Ｇｚａ→～Ｈｚ） カ＆Ｅ
１３６ （ク） ～∀ｚ（～Ｇｚａ→～Ｈｚ）＆∀ｚ（～Ｇｚａ→～Ｈｚ） オキ＆Ｉ
１３ （ケ） ～∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ） ６クＲＡＡ
１３ （コ） ∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ） カ＆Ｅ
１３ （サ） ～∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）＆∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ） ケコ＆Ｉ
１ （シ） ～｛Ｆａ＆［∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）→∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ）］｝ ３サＲＡＡ
１ （ス）∀ｘ～｛Ｆｘ＆［∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）→∃ｚ（～Ｇｚｘ＆ Ｈｚ）］｝ シＵＩ
１ （セ）～∃ｘ｛Ｆｘ＆［∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）→∃ｚ（～Ｇｚｘ＆ Ｈｚ）］｝ ス量化子の関係
（ⅱ）
１ （１）～∃ｘ｛Ｆｘ＆［ ∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）→ ∃ｚ（～Ｇｚｘ＆ Ｈｚ）］｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛Ｆｘ＆［ ∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）→ ∃ｚ（～Ｇｚｘ＆ Ｈｚ）］｝ １量化子の関係
１ （３） ～｛Ｆａ＆［ ∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）→ ∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ）］｝ ２ＵＥ
１ （４） ～｛Ｆａ＆［～∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）∨ ∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ）］｝ ３含意の定義
１ （５） ～Ｆａ∨～［～∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）∨ ∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ）］ ４ド・モルガンの法則
１ （６） Ｆａ→～［～∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）∨ ∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ）］ ５含意の定義
７ （７） Ｆａ Ａ
１７ （８） ～［～∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）∨ ∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ）］ ６７ＭＰＰ
１７ （９） ∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）＆～∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ） ８ド・モルガンの法則
１７ （ア） ～∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ） ９＆Ｅ
１７ （イ） ∀ｚ～（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ） ア量化子の関係
１７ （ウ） ～（～Ｇｂａ＆ Ｈｂ） イＵＥ
１７ （エ） ～～Ｇｂａ∨～Ｈｂ ウ、ド・モルガンの法則
１７ （オ） ～Ｇｂａ→～Ｈｂ エ含意の定義
１７ （カ） ∀ｚ（～Ｇｚａ→～Ｈｚ） オＵＩ
１７ （キ） ∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ） ９＆Ｅ
１７ （ク） ∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）＆∀ｚ（～Ｇｚａ→～Ｈｚ） カキ＆Ｉ
１ （ケ） Ｆａ→［∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）＆∀ｚ（～Ｇｚｘ→～Ｈｚ）］｝ ７クＣＰ
１ （コ） ∀ｘ｛Ｆｘ→［∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）＆∀ｚ（～Ｇｚｘ→～Ｈｚ）］｝ ケＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛Ｆｘ→［∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）＆∀ｚ（～Ｇｚｘ→～Ｈｚ）］｝
② ～∃ｘ｛Ｆｘ＆［∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）→∃ｚ（～Ｇｚｘ＆ Ｈｚ）］｝
に於いて、
①＝② である
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② あるｘが象であって、 あるｙがｘの鼻であって長いならば、 あるｚがｘの鼻でなくて、長い。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
「二重否定（ＤＮ）」により、
② ～～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② あるｘが象であって、 あるｙがｘの鼻であって長いならば、 あるｚはｘの鼻でなくて、長い。
に於いて、
① の「否定」が ② であり、
② の「否定」が ① であるため、
①＝② ではない。
従って、
（05）により、
（06）
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝。
② ある象は鼻も長い≡∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝。
に於いて、
①＝② ではない。
然るに、
（07）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、問題になっている変数が現れる少なくとも２つの箇所を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（ⅱ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、同じ変数を用いたいかなる他の量記号も含まないであろう。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁）
従って、
（06）（07）により、
（08）
① ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝≡ 象は鼻が長い。
② ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝≡ある象は鼻も長い。
に於いて、
① ∀ｘ の「作用範囲（scope）」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝の「全体」であって、
② ∃ｘ の「作用範囲（scope）」は、
② ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝の「全体」である。
然るに、
（09）
ここで、「∀ｘ（Ｆｘ→Ｐ）」における「普遍記号（∀ｘ）」は「Ｆｘ→Ｐ」の全表現（whole expression）に作用を及ぼすのに対して、「∃ｘ（Ｆｘ）→Ｐ」における「存在量記号（∃ｘ）」は、全体の条件法の前件のみ作用を及ぼすことに注目することが大切である。
（E.J.レモン著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１６１頁）
従って、
（08）（09）により、
（10）
① ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝≡ 象は鼻が長い。
② ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝≡ある象は鼻も長い。
であるため、
① Ｐ≡∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
② Ｐ≡∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）
であるとして、
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→Ｐ｝。
② ある象は鼻も長い≡∃ｘ｛象ｘ＆Ｐ｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（11）
簡単に言うと論理式（Wffs）からそのはじめにある量記号を除去した結果えられる式は命題関数である。
（E.J.レモン著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１８２頁）
従って、
（11）により、
（12）
① Ｐ≡∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
② Ｐ≡∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）
といふ「式」は、「命題関数（Propositional functions）」である。
従って、
（10）（12）により、
（13）
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→Ｐ｝。
② ある象は鼻も長い≡∃ｘ｛象ｘ＆Ｐ｝。
といふ「等式」が、成立し、
① Ｐ≡∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
② Ｐ≡∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）
は、「命題関数（Propositional functions）」である。
然るに、
（14）
③ 象は動物である≡∀ｘ｛象ｘ→Ｐ｝。
に於いて、
③ Ｐ≡動物ｘ
は、「命題関数（Propositional function）」である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝。
② ある象は鼻も長い≡∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝。
③ 象は動物である≡∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
といふ「日本語」は、その「右辺」からすれば、飽く迄も、
① 主語（Subject）＋命題関数（Propositional function）。
② 主語（Subject）＋命題関数（Propositional function）。
③ 主語（Subject）＋命題関数（Propositional function）。
であって、
① 主語（Subject）＋述語（Predicate）。
② 主語（Subject）＋述語（Predicate）。
③ 主語（Subject）＋述語（Predicate）。
ではない。
然るに、
（16）
③ 象は動物である≡∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
といふ「タイプ」の、
③ 主語（Subject）＋命題関数（Propositional function）。
であれば、「英語」にもあるものの、
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝。
② ある象は鼻も長い≡∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝。
といふ「タイプ」の、
① 主語（Subject）＋命題関数（Propositional function）。
② 主語（Subject）＋命題関数（Propositional function）。
は、「英語」にはない。
然るに、
（17）
学校文法は単純な英語文法からの輸入で、主語・述語関係を単純に当てはめたものだ。そのため、「象は、鼻が長い」という単純な文でさえ、どれが主語だか指摘できず、複数主語だとか、主語の入れ子だとか、奇矯な技を使う（三上文法！ : wrong, rogue and log）。
然るに、
（18）
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝。
② ある象は鼻も長い≡∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝。
に於いて、
① ｘ，ｙ，ｚ は「主語」であり、
② ｘ，ｙ，ｚ は「主語」である。
（19）
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝。
② ある象は鼻も長い≡∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝。
に於ける、
①｛ ［ （ ）（ ） ］ ｝
②｛ ［ （ ）（ ） ］ ｝
といふ「括弧」は、「入れ子」になってゐる。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
「複数主語だとか、主語の入れ子だとか、奇矯な技」とは言ふものの、
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝。
② ある象は鼻も長い≡∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝。
といふ、「述語論理（Predicate logic）」からすれば、「複数主語と、主語の入れ子」は、「奇妙な技」であるとは、言へない。
ｃｆ.
一、總主トハ如何ナル者ゾ
動詞、形容詞ニ對シテ其主語アルト同ジク、主語ト説語(動詞或ハ形容詞)トヨリ成レル一ノ説話(即チ文)ニ對シテモ更ニソノ主語アルコト國語ニハ屡々アリ。例ヘバ「象は體大なり」ノ「象」、「熊は力強し」ノ「熊」、「鳥獸蟲魚皆性あり」ノ「鳥獸蟲魚」、「仁者は命長し」ノ「仁者」、「賣藥は效能薄し」ノ「賣藥」、「慾は限無し」ノ「慾」、「酒は養生に害あり」ノ「酒」、「支那は人口多し」ノ「支那」ノ如キハ、皆、「體大なり」「力強し」等ノ一説話ニ對シテ更ニソノ主語タル性格ヲ有ス。何トナレバ「象は體大なり」「熊は力強し」等ヨリ「象」「熊」等ノ再度ノ主語ヲ取去ル時ハ、殘餘ハ「體大なり」「力強し」等トナリテ、文法上ノ文ノ形ハ完全ニ之ヲ具フルニモ拘ラズ、意義ニ不足ヲ生ジ、其事ノ主トアルベキ「象」「熊」等ノ名詞ヲ竢ッテ始メテ意義ノ完全ナル一圓ノ説話ヲ成サントスル傾アルコト、ナホ普通ノ動詞、形容詞ノ名詞ヲ竢ッテ始メテ一ノ完全ナル説話ヲ成サントスル傾アルト同趣味ノモノアレバナリ。殊ニ「性有り」「限無し」等ノ一種ノ説話ニ對シテハ、實用ノ際ニ再度ノ主語ノ必要アル事ハ頗ル顯著ナルニアラズヤ。コレハ「うら（心）やまし（疚）」「て（質）がたし（堅）」ナドノ一説話ノ轉シテ一ノ形容詞トナリ、然ル上ハ實用ノ際ニ更ニソノ主語ヲ取ルト一般ナリ。サレバ「富貴は羨し」ノ「うらやまし」ニ對シテ「富貴」ヲ主語トイフヲ至當トセバ、「體大なり」「力強し」ニ對シテ「象」「熊」ヲソノ主語トイフモ亦不當ニハアラジ。斯カレバコノ類ノ再度ノ主ヲ予ハ別ニ「總主」ト名ヅケントス。
（草野淸民、國語の特有セル語法 ― 總主、『帝國文學』五卷五號、明治三十二年：大修館書店、日本の言語学 第３巻 文法Ⅰ、1978年、５３３頁）
令和元年１１月１６日、毛利太。
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
―「昨日（令和元年１１月１５日）の記事」を補足します。―
（01）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ｛Ｆｘ→［∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）＆∀ｚ（～Ｇｚｘ→～Ｈｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｆａ→［∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）＆∀ｚ（～Ｇｚａ→～Ｈｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ＆［∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）→∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ）］ Ａ
３ （４） Ｆａ ３＆Ｅ
３ （５） ［∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）→∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ）］ ３＆Ｅ
６ （６） ∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ） Ａ
３６ （７） ∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ） ５６ＭＰＰ
８（８） ～Ｇｂａ＆ Ｈｂ Ａ
８（９） ～～（～Ｇｂａ＆ Ｈｂ） ８ＤＮ
８（ア） ～（～～Ｇｂａ∨～Ｈｂ） ９ド・モルガンの法則
８（イ） ～（～Ｇｂａ→～Ｈｂ） ア含意の定義
８（ウ） ∃ｚ～（～Ｇｚａ→～Ｈｚ） イＥＩ
３６ （エ） ∃ｚ～（～Ｇｚａ→～Ｈｚ） ７８ウＥＥ
３６ （オ） ～∀ｚ（～Ｇｚａ→～Ｈｚ） エ量化子の関係
１３ （カ） ∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）＆∀ｚ（～Ｇｚａ→～Ｈｚ） ２４ＭＰＰ
１３ （キ） ∀ｚ（～Ｇｚａ→～Ｈｚ） カ＆Ｅ
１３６ （ク） ～∀ｚ（～Ｇｚａ→～Ｈｚ）＆∀ｚ（～Ｇｚａ→～Ｈｚ） オキ＆Ｉ
１３ （ケ） ～∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ） ６クＲＡＡ
１３ （コ） ∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ） カ＆Ｅ
１３ （サ） ～∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）＆∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ） ケコ＆Ｉ
１ （シ） ～｛Ｆａ＆［∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）→∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ）］｝ ３サＲＡＡ
１ （ス）∀ｘ～｛Ｆｘ＆［∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）→∃ｚ（～Ｇｚｘ＆ Ｈｚ）］｝ シＵＩ
１ （セ）～∃ｘ｛Ｆｘ＆［∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）→∃ｚ（～Ｇｚｘ＆ Ｈｚ）］｝ ス量化子の関係
（ⅱ）
１ （１）～∃ｘ｛Ｆｘ＆［ ∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）→ ∃ｚ（～Ｇｚｘ＆ Ｈｚ）］｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛Ｆｘ＆［ ∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）→ ∃ｚ（～Ｇｚｘ＆ Ｈｚ）］｝ １量化子の関係
１ （３） ～｛Ｆａ＆［ ∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）→ ∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ）］｝ ２ＵＥ
１ （４） ～｛Ｆａ＆［～∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）∨ ∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ）］｝ ３含意の定義
１ （５） ～Ｆａ∨～［～∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）∨ ∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ）］ ４ド・モルガンの法則
１ （６） Ｆａ→～［～∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）∨ ∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ）］ ５含意の定義
７ （７） Ｆａ Ａ
１７ （８） ～［～∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）∨ ∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ）］ ６７ＭＰＰ
１７ （９） ∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）＆～∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ） ８ド・モルガンの法則
１７ （ア） ～∃ｚ（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ） ９＆Ｅ
１７ （イ） ∀ｚ～（～Ｇｚａ＆ Ｈｚ） ア量化子の関係
１７ （ウ） ～（～Ｇｂａ＆ Ｈｂ） イＵＥ
１７ （エ） ～～Ｇｂａ∨～Ｈｂ ウ、ド・モルガンの法則
１７ （オ） ～Ｇｂａ→～Ｈｂ エ含意の定義
１７ （カ） ∀ｚ（～Ｇｚａ→～Ｈｚ） オＵＩ
１７ （キ） ∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ） ９＆Ｅ
１７ （ク） ∃ｙ（Ｇｙａ＆Ｈｙ）＆∀ｚ（～Ｇｚａ→～Ｈｚ） カキ＆Ｉ
１ （ケ） Ｆａ→［∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）＆∀ｚ（～Ｇｚｘ→～Ｈｚ）］｝ ７クＣＰ
１ （コ） ∀ｘ｛Ｆｘ→［∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）＆∀ｚ（～Ｇｚｘ→～Ｈｚ）］｝ ケＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛Ｆｘ→［∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）＆∀ｚ（～Ｇｚｘ→～Ｈｚ）］｝
② ～∃ｘ｛Ｆｘ＆［∃ｙ（Ｇｙｘ＆Ｈｙ）→∃ｚ（～Ｇｚｘ＆ Ｈｚ）］｝
に於いて、
①＝② である
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② あるｘが象であって、 あるｙがｘの鼻であって長いならば、 あるｚがｘの鼻でなくて、長い。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
「二重否定（ＤＮ）」により、
② ～～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② あるｘが象であって、 あるｙがｘの鼻であって長いならば、 あるｚはｘの鼻でなくて、長い。
に於いて、
① の「否定」が ② であり、
② の「否定」が ① であるため、
①＝② ではない。
従って、
（05）により、
（06）
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝。
② ある象は鼻も長い≡∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝。
に於いて、
①＝② ではない。
然るに、
（07）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、問題になっている変数が現れる少なくとも２つの箇所を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（ⅱ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、同じ変数を用いたいかなる他の量記号も含まないであろう。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁）
従って、
（06）（07）により、
（08）
① ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝≡ 象は鼻が長い。
② ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝≡ある象は鼻も長い。
に於いて、
① ∀ｘ の「作用範囲（scope）」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝の「全体」であって、
② ∃ｘ の「作用範囲（scope）」は、
② ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝の「全体」である。
然るに、
（09）
ここで、「∀ｘ（Ｆｘ→Ｐ）」における「普遍記号（∀ｘ）」は「Ｆｘ→Ｐ」の全表現（whole expression）に作用を及ぼすのに対して、「∃ｘ（Ｆｘ）→Ｐ」における「存在量記号（∃ｘ）」は、全体の条件法の前件のみ作用を及ぼすことに注目することが大切である。
（E.J.レモン著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１６１頁）
従って、
（08）（09）により、
（10）
① ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝≡ 象は鼻が長い。
② ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝≡ある象は鼻も長い。
であるため、
① Ｐ≡∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
② Ｐ≡∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）
であるとして、
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→Ｐ｝。
② ある象は鼻も長い≡∃ｘ｛象ｘ＆Ｐ｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（11）
簡単に言うと論理式（Wffs）からそのはじめにある量記号を除去した結果えられる式は命題関数である。
（E.J.レモン著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１８２頁）
従って、
（11）により、
（12）
① Ｐ≡∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
② Ｐ≡∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）
といふ「式」は、「命題関数（Propositional functions）」である。
従って、
（10）（12）により、
（13）
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→Ｐ｝。
② ある象は鼻も長い≡∃ｘ｛象ｘ＆Ｐ｝。
といふ「等式」が、成立し、
① Ｐ≡∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
② Ｐ≡∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）
は、「命題関数（Propositional functions）」である。
然るに、
（14）
③ 象は動物である≡∀ｘ｛象ｘ→Ｐ｝。
に於いて、
③ Ｐ≡動物ｘ
は、「命題関数（Propositional function）」である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝。
② ある象は鼻も長い≡∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝。
③ 象は動物である≡∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
といふ「日本語」は、その「右辺」からすれば、飽く迄も、
① 主語（Subject）＋命題関数（Propositional function）。
② 主語（Subject）＋命題関数（Propositional function）。
③ 主語（Subject）＋命題関数（Propositional function）。
であって、
① 主語（Subject）＋述語（Predicate）。
② 主語（Subject）＋述語（Predicate）。
③ 主語（Subject）＋述語（Predicate）。
ではない。
然るに、
（16）
③ 象は動物である≡∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
といふ「タイプ」の、
③ 主語（Subject）＋命題関数（Propositional function）。
であれば、「英語」にもあるものの、
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝。
② ある象は鼻も長い≡∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝。
といふ「タイプ」の、
① 主語（Subject）＋命題関数（Propositional function）。
② 主語（Subject）＋命題関数（Propositional function）。
は、「英語」にはない。
然るに、
（17）
学校文法は単純な英語文法からの輸入で、主語・述語関係を単純に当てはめたものだ。そのため、「象は、鼻が長い」という単純な文でさえ、どれが主語だか指摘できず、複数主語だとか、主語の入れ子だとか、奇矯な技を使う（三上文法！ : wrong, rogue and log）。
然るに、
（18）
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝。
② ある象は鼻も長い≡∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝。
に於いて、
① ｘ，ｙ，ｚ は「主語」であり、
② ｘ，ｙ，ｚ は「主語」である。
（19）
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝。
② ある象は鼻も長い≡∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝。
に於ける、
①｛ ［ （ ）（ ） ］ ｝
②｛ ［ （ ）（ ） ］ ｝
といふ「括弧」は、「入れ子」になってゐる。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
「複数主語だとか、主語の入れ子だとか、奇矯な技」とは言ふものの、
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝。
② ある象は鼻も長い≡∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝。
といふ、「述語論理（Predicate logic）」からすれば、「複数主語と、主語の入れ子」は、「奇妙な技」であるとは、言へない。
ｃｆ.
一、總主トハ如何ナル者ゾ
動詞、形容詞ニ對シテ其主語アルト同ジク、主語ト説語(動詞或ハ形容詞)トヨリ成レル一ノ説話(即チ文)ニ對シテモ更ニソノ主語アルコト國語ニハ屡々アリ。例ヘバ「象は體大なり」ノ「象」、「熊は力強し」ノ「熊」、「鳥獸蟲魚皆性あり」ノ「鳥獸蟲魚」、「仁者は命長し」ノ「仁者」、「賣藥は效能薄し」ノ「賣藥」、「慾は限無し」ノ「慾」、「酒は養生に害あり」ノ「酒」、「支那は人口多し」ノ「支那」ノ如キハ、皆、「體大なり」「力強し」等ノ一説話ニ對シテ更ニソノ主語タル性格ヲ有ス。何トナレバ「象は體大なり」「熊は力強し」等ヨリ「象」「熊」等ノ再度ノ主語ヲ取去ル時ハ、殘餘ハ「體大なり」「力強し」等トナリテ、文法上ノ文ノ形ハ完全ニ之ヲ具フルニモ拘ラズ、意義ニ不足ヲ生ジ、其事ノ主トアルベキ「象」「熊」等ノ名詞ヲ竢ッテ始メテ意義ノ完全ナル一圓ノ説話ヲ成サントスル傾アルコト、ナホ普通ノ動詞、形容詞ノ名詞ヲ竢ッテ始メテ一ノ完全ナル説話ヲ成サントスル傾アルト同趣味ノモノアレバナリ。殊ニ「性有り」「限無し」等ノ一種ノ説話ニ對シテハ、實用ノ際ニ再度ノ主語ノ必要アル事ハ頗ル顯著ナルニアラズヤ。コレハ「うら（心）やまし（疚）」「て（質）がたし（堅）」ナドノ一説話ノ轉シテ一ノ形容詞トナリ、然ル上ハ實用ノ際ニ更ニソノ主語ヲ取ルト一般ナリ。サレバ「富貴は羨し」ノ「うらやまし」ニ對シテ「富貴」ヲ主語トイフヲ至當トセバ、「體大なり」「力強し」ニ對シテ「象」「熊」ヲソノ主語トイフモ亦不當ニハアラジ。斯カレバコノ類ノ再度ノ主ヲ予ハ別ニ「總主」ト名ヅケントス。
（草野淸民、國語の特有セル語法 ― 總主、『帝國文學』五卷五號、明治三十二年：大修館書店、日本の言語学 第３巻 文法Ⅰ、1978年、５３３頁）
令和元年１１月１６日、毛利太。
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