― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係 ：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―
（01）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ Ａ
２ （２） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） Ａ
３ （３） ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） Ａ
３ （４） Ａａ→ Ｂａ ＆ ～Ａａ→～Ｂａ ３ＵＥ
３ （５） Ａａ→ Ｂａ ４＆Ｅ
６ （６） Ａａ＆～Ｂａ Ａ
６ （７） Ａａ ６＆Ｅ
３６ （８） Ｂａ ５７ＭＰＰ
６ （９） ～Ｂａ ６＆Ｅ
３６ （ア） Ｂａ＆～Ｂａ ８９＆Ｉ
６ （イ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） ３アＲＡＡ
３ （ウ） ～Ａａ→～Ｂａ ４＆Ｅ
エ （エ） ～Ａａ＆ Ｂａ Ａ
エ （オ） ～Ａａ エ＆Ｅ
３ エ （カ） ～Ｂａ ウオＭＰＰ
エ （キ） Ｂａ オ＆Ｅ
３ エ （ク） ～Ｂａ＆Ｂａ カキ＆Ｉ
エ （ケ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） ３７ＲＡＡ
２ （コ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） ２６イエケＥＥ
１ （サ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） １２コＥＥ
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～（Ａｘ→Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） １量化子の関係
３ （３） ～（Ａａ→Ｂａ ＆ ～Ａａ→～Ｂａ） Ａ
３ （４） ～（Ａａ→Ｂａ）∨～（～Ａａ→～Ｂａ） ３ド・モルガンの法則
３ （５） （Ａａ→Ｂａ）→～（～Ａａ→～Ｂａ） ４含意の定義
６ （６） （Ａａ→Ｂａ） Ａ
３６ （７） ～（～Ａａ→～Ｂａ） ５６ＭＰＰ
８ （８） Ａａ∨～Ｂａ Ａ
８ （９） ～Ａａ→～Ｂａ ８含意の定義
３６８ （ア） ～（～Ａａ→～Ｂａ）＆
（～Ａａ→～Ｂａ） ７９＆Ｉ
３６ （イ） ～（Ａａ∨～Ｂａ） ８アＲＡＡ
３６ （ウ） ～Ａａ＆ Ｂａ イ、ド・モルガンの法則
３ （エ） （Ａａ→Ｂａ）→（～Ａａ＆ Ｂａ） ６ウＣＰ
３ （オ） ～（Ａａ→Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） エ、含意の定義
カ （カ） ～（Ａａ→Ｂａ） Ａ
キ （キ） ～Ａａ∨Ｂａ Ａ
キ （ク） Ａａ→Ｂａ キ含意の定義
カキ （ケ） ～（Ａａ→Ｂａ）＆
（Ａａ→Ｂａ） カク＆Ｉ
カ （コ） ～（～Ａａ∨Ｂａ） キケＲＡＡ
カ （サ） Ａａ＆～Ｂａ コ、ド・モルガンの法則
カ （シ） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） サ∨Ｉ
ス（ス） （～Ａａ＆ Ｂａ） Ａ
ス（セ） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） ス∨Ｉ
３ （ソ） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） オカシスセ∨Ｅ
３ （タ）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ ソＥＩ
１ （チ）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ ２３タＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① あるｘは、ＡであってＢでないか、Ａでなくて、Ｂであるかの、いづれかである。
② ～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
① あるｘは、ＡであってＢでないか、Ａでなくて、Ｂであるかの、いづれかである。
といふことは、
① あるｘが、Ａであって、尚且つ、Ｂである。といふことはない。
といふことである。
然るに、
（05）
① あるｘが、Ａであって、尚且つ、Ｂである。といふことはない。
といふことは、
①「集合Ａと、集合Ｂの積集合」が「空集合」である。
といふ、ことである。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①「集合Ａと、集合Ｂの積集合」が「空集合」である。
② ～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
といふことになるものの、「本当に、さうなのだらうか？」
（07）
「対偶」により、
② ～Ａｘ→～Ｂｘ
③ Ｂｘ→ Ａｘ
従って、
（06）（07）に於いて、
（08）
② ～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆～Ａｘ→～Ｂｘ）
③ ～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆ Ｂｘ→ Ａｘ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（09）
③ ∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆ Ｂｘ→ Ａｘ）
といふことは、
③「集合Ａと集合Ｂは、等しい。」
といふことである。
従って、
（08）（09）により、
（10）
② ～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆～Ａｘ→～Ｂｘ）
といふことは、
③「集合Ａと集合Ｂは、等しくない。」
といふことである。
従って、
（06）（10）により、
（11）
①「集合Ａと、集合Ｂの積集合」が「空集合」である。
②「集合Ａと、集合Ｂは、等しくない。」
に於いて、
①＝② である。
といふことになる。
然るに、
（12）
③「集合Ａが、集合Ｂの、真部分集合」であっても、
②「集合Ａと、集合Ｂは、等しくない。」
然るに、
（13）
③「集合Ａが、集合Ｂの、真部分集合である」ならば、
①「集合Ａと、集合Ｂの積集合」は「空集合」ではない。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
①「集合Ａと、集合Ｂの積集合」が「空集合」ない。としても、
②「集合Ａと、集合Ｂは、等しくない。」
といふことに、なるものの、「その辺のところが、数学が苦手な私には、ナゾである。」
然るに、
（15）
① ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
① と ② が「矛盾」することは、「明白」である。
従って、
（16）
① ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② であることは、「明白」である。
従って、
（16）により、
（17）
① ～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（17）により、
（18）
「二重否定（～～）」により、
① ～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（19）
（ⅰ）
１ （１）～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨ （～Ａｘ＆Ｂｘ）｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨ （～Ａｘ＆Ｂｘ）｝ １量化子の関係
１ （３） ～｛（Ａａ＆～Ｂａ）∨ （～Ａａ＆Ｂａ）｝ １ＵＥ
１ （４） ～（Ａａ＆～Ｂａ）＆～（～Ａａ＆Ｂａ） ３ド・モルガンの法則
１ （５） ～（Ａａ＆～Ｂａ） ４＆Ｅ
６ （６） Ａａ Ａ
７ （７） ～Ｂａ Ａ
６７ （８） Ａａ＆～Ｂａ ６７＆Ｉ
１６７ （９） ～（Ａａ＆～Ｂａ）＆
（Ａａ＆～Ｂａ） ５８＆Ｉ
１６ （ア） ～～Ｂａ ７９ＲＡＡ
１６ （イ） Ｂａ アＤＮ
１ （ウ） Ａａ→ Ｂａ ６イＣＰ
１ （エ） ～（～Ａａ＆Ｂａ） ４＆Ｅ
オ （オ） ～Ａ Ａ
カ（カ） Ｂａ Ａ
オカ（キ） ～Ａａ＆Ｂａ オカ＆Ｉ
１ オカ（ク） ～（～Ａａ＆Ｂａ）＆
（～Ａａ＆Ｂａ） エキ＆Ｉ
１ オ （ケ） ～Ｂａ カクＲＡＡ
１ （コ） ～Ａａ→～Ｂａ エケＣＰ
１ （サ） Ａａ→Ｂａ＆～Ａａ→～Ｂａ ウコ＆Ｉ
１ （シ） ∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆～Ａｘ→～Ｂｘ） サＵＩ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ Ａ
１ （３） Ａａ→ Ｂａ ＆ ～Ａａ→～Ｂａ １ＵＥ
４ （４） Ａａ＆～Ｂａ ∨ ～Ａａ＆ Ｂａ Ａ
１ （５） Ａａ→ Ｂａ ３＆Ｅ
６ （６） Ａａ＆～Ｂａ Ａ
６ （７） Ａａ ６＆Ｅ
１ ６ （８） Ｂａ ５７ＭＰＰ
６ （９） ～Ｂａ ６＆Ｅ
１ ６ （ア） Ｂａ＆～Ｂａ ８９＆Ｉ
１ （イ） ～Ａａ→～Ｂａ ３＆Ｅ
ウ（ウ） ～Ａａ＆ Ｂａ Ａ
ウ（エ） ～Ａａ ウ＆Ｅ
１ ウ（オ） ～Ｂａ イエＭＰＰ
ウ（カ） Ｂａ ウ＆Ｅ
１ ウ（キ） Ｂａ＆～Ｂａ カオ＆Ｅ
１ ４ （ク） Ｂａ＆～Ｂａ ４６アウキ∨Ｅ
１２ （ケ） Ｂａ＆～Ｂａ ２４クＥＥ
１ （コ）～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ ２ケＲＡＡ
従って、
（19）により、
（20）
① ～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（20）により、
（21）
① ～～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（21）により、
（22）
「二重否定（～～）」により、
① ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）（22）により、
（23）
① ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
令和元年１１月２２日、毛利太。
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