「ＡとＢの積集合が空集合である」場合の論理の「謎」が解けました。

― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
　Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。　　　　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―

（01）
「算用数字」も、「漢数字」も、「ローマ数字」も、すべて「数字」としては「同じである」とする。
従って、
（02）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛一、二、三、四｝
であれば、両方とも、
Ａ＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ｝
Ｂ＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ｝
であって、それ故、
Ａ＝Ｂ である。
然るに、
（03）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
であれば、
Ａ＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ｝
Ｂ＝｛Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ｝
であって、それ故、
Ａ＝Ｂ ではない。
然るに、
（04）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
であれば、
Ａの中に、Ｂの要素はないし、
Ｂの中に、Ａの要素はないため、
ＡとＢは、「完全に、別である。」
然るに、
（05）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
であれば、
Ａは｛Ⅲ，Ⅳ｝を含んでゐて、
Ｂも｛Ⅲ，Ⅳ｝を含んでゐる。
従って、
（05）により、
（06）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
であれば、
ＡとＢは、「完全に、別である。」といふわけでない。
然るに、
（07）
集合Ａと集合Ｂは等しい。⇔
∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆Ｂｘ→Ａｘ）⇔
すべてのｘについて、ｘがＡの要素であるならば、ｘはＢの要素であり、ｘがＢの要素であるならば、ｘはＡの要素である。
といふ風に、「定義」する。
従って、
（07）により、
（08）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛一、二、三、四｝
であれば、
Ａ＝Ｂ であるが、その一方で、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
であれば、
Ａ＝Ｂ でないことは固より、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
であっても、
Ａ＝Ｂ ではないし、更には、例へば、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛一、二、三｝
であっても、
Ａ＝｛１，２｝
Ｂ＝｛一、二、三｝
であっても、
Ａ＝Ｂ ではない。
従って、
（07）（08）により、
（09）
集合Ａと集合Ｂは等しい。⇔
∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆Ｂｘ→Ａｘ）⇔
すべてのｘについて、ｘがＡの要素であるならば、ｘはＢの要素であり、ｘがＢの要素であるならば、ｘはＡの要素である。
といふ風に、「定義」する限り、
① Ａ＝Ｂ（ＡとＢは等しい。）
② Ａ≠Ｂ（ＡとＢは等しくない。）
に於いて、
① は、「唯一無二である」のに対して、
② は、「幾通りも有る」といふことになる。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１　　　　　　（１）～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ　＆　　～Ａｘ→～Ｂｘ）　　Ａ
１　　　　　　（２）∃ｘ～（Ａｘ→Ｂｘ　＆　　～Ａｘ→～Ｂｘ）　　１量化子の関係
　３　　　　　（３）　　～（Ａａ→Ｂａ　＆　　～Ａａ→～Ｂａ）　　Ａ
　３　　　　　（４）　　～（Ａａ→Ｂａ）∨～（～Ａａ→～Ｂａ）　　３ド・モルガンの法則
　３　　　　　（５）　　　（Ａａ→Ｂａ）→～（～Ａａ→～Ｂａ）　　４含意の定義
　　６　　　　（６）　　　（Ａａ→Ｂａ）　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３６　　　　（７）　　　　　　　　　　　～（～Ａａ→～Ｂａ）　　５６ＭＰＰ
　　　８　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　Ａａ∨～Ｂａ　　　Ａ
　　　８　　　（９）　　　　　　　　　　　　　～Ａａ→～Ｂａ　　　８含意の定義
　３６８　　　（ア）　　　　　　　　　　　～（～Ａａ→～Ｂａ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～Ａａ→～Ｂａ）　　７９＆Ｉ
　３６　　　　（イ）　　　　　　　　　　　　～（Ａａ∨～Ｂａ）　　８アＲＡＡ
　３６　　　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　～Ａａ＆　Ｂａ　　　イ、ド・モルガンの法則
　３　　　　　（エ）　　　　（Ａａ→Ｂａ）→（～Ａａ＆　Ｂａ）　　６ウＣＰ
　３　　　　　（オ）　　　～（Ａａ→Ｂａ）∨（～Ａａ＆　Ｂａ）　　エ、含意の定義
　　　　カ　　（カ）　　　～（Ａａ→Ｂａ）　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　キ　（キ）　　　　～Ａａ∨Ｂａ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　キ　（ク）　　　　　Ａａ→Ｂａ　　　　　　　　　　　　　キ含意の定義
　　　　カキ　（ケ）　　　～（Ａａ→Ｂａ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（Ａａ→Ｂａ）　　　　　　　　　　　　カク＆Ｉ
　　　　カ　　（コ）　　～（～Ａａ∨Ｂａ）　　　　　　　　　　　　キケＲＡＡ
　　　　カ　　（サ）　　　　Ａａ＆～Ｂａ　　　　　　　　　　　　　コ、ド・モルガンの法則
　　　　カ　　（シ）　　　（Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆　Ｂａ）　　サ∨Ｉ
　　　　　　ス（ス）　　　　　　　　　　　　（～Ａａ＆　Ｂａ）　　Ａ
　　　　　　ス（セ）　　　（Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆　Ｂａ）　　ス∨Ｉ
　３　　　　　（ソ）　　　（Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆　Ｂａ）　　オカシスセ∨Ｅ
　３　　　　　（タ）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆　Ｂｘ）｝　ソＥＩ
１　　　　　　（チ）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆　Ｂｘ）｝　２３タＥＥ
（ⅱ）
１　　　　　　（１）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆　Ｂｘ）｝　Ａ
　２　　　　　（２）　　　（Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆　Ｂａ）　　Ａ
　　３　　　　（３）　∀ｘ（Ａｘ→　Ｂｘ　＆　～Ａｘ→～Ｂｘ）　　Ａ
　　３　　　　（４）　　　　Ａａ→　Ｂａ　＆　～Ａａ→～Ｂａ　　　３ＵＥ
　　３　　　　（５）　　　　Ａａ→　Ｂａ　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　　６　　　（６）　　　　Ａａ＆～Ｂａ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　　（７）　　　　Ａａ　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　３６　　　（８）　　　　　　　　Ｂａ　　　　　　　　　　　　　５７ＭＰＰ
　　　６　　　（９）　　　　　　　～Ｂａ　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　３６　　　（ア）　　　　Ｂａ＆～Ｂａ　　　　　　　　　　　　　８９＆Ｉ
　　　６　　　（イ）～∀ｘ（Ａｘ→　Ｂｘ　＆　～Ａｘ→～Ｂｘ）　　３アＲＡＡ
　　３　　　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　～Ａａ→～Ｂａ　　　４＆Ｅ
　　　　エ　　（エ）　　　　　　　　　　　　　～Ａａ＆　Ｂａ　　　Ａ
　　　　エ　　（オ）　　　　　　　　　　　　　～Ａａ　　　　　　　エ＆Ｅ
　　３　エ　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｂａ　　　ウオＭＰＰ
　　　　エ　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｂａ　　　オ＆Ｅ
　　３　エ　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　～Ｂａ＆Ｂａ　　　カキ＆Ｉ
　　　　エ　　（ケ）～∀ｘ（Ａｘ→　Ｂｘ　＆　～Ａｘ→～Ｂｘ）　　３７ＲＡＡ
　２　　　　　（コ）～∀ｘ（Ａｘ→　Ｂｘ　＆　～Ａｘ→～Ｂｘ）　　２６イエケＥＥ
１　　　　　　（サ）～∀ｘ（Ａｘ→　Ｂｘ　＆　～Ａｘ→～Ｂｘ）　　１２コＥＥ
従って、
（10）により、
（11）
① ～∀ｘ（Ａｘ→  Ｂｘ  ＆  ～Ａｘ→～Ｂｘ）
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆　Ｂｘ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（12）
「十分に説明する」のは難しい（ややこしい）ものの、
① ～∀ｘ（Ａｘ→  Ｂｘ  ＆  ～Ａｘ→～Ｂｘ）
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆　Ｂｘ）｝
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
といふ場合には、確かに、「当てはまる」が、例へば、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
といふ場合には「当てはまらない」。
例へば、
（13）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
に於いて、
ｘ＝４＝四 であるならば、
ｘは、Ａ＝｛１，２，３，４｝の中にあって、
ｘは、Ｂ＝｛五、六、七、八｝の中にないものの、
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆Ｂｘ）｝
は、さういふ「意味」である。
然るに、
（14）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
に於いて、
ｘ＝４＝四 であるならば、
ｘは、Ａ＝｛１，２，３，４｝の中にも、
ｘは、Ｂ＝｛三、四、五、六｝の中にもあるため、この場合は、
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆Ｂｘ）｝
といふことには、ならない。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
① ～∀ｘ（Ａｘ→  Ｂｘ  ＆  ～Ａｘ→～Ｂｘ）
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆　Ｂｘ）｝
③「集合Ａと集合Ｂは等しくない。」
に於いて、
①＝②＝③ である。
とするならば、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
といふ場合であれば、
③「集合Ａと集合Ｂは等しくない。」と言へるものの、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
といふ場合であれば、
③「集合Ａと集合Ｂは等しくない。」とは言へない。
従って、
（09）（15）により、
（16）
集合Ａと集合Ｂは等しい。⇔
∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆Ｂｘ→Ａｘ）⇔
すべてのｘについて、ｘがＡの要素であるならば、ｘはＢの要素であり、ｘがＢの要素であるならば、ｘはＡの要素である。
といふ風に、「定義」する限り、
① Ａ＝Ｂ（ＡとＢは等しい。）
② Ａ≠Ｂ（ＡとＢは等しくない。）
に於いて、
① は、「唯一無二である」のに対して、
② は、「幾通りも有る」ものの、
その一方で、
① ～∀ｘ（Ａｘ→  Ｂｘ  ＆  ～Ａｘ→～Ｂｘ）
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆　Ｂｘ）｝
といふ「定義」は、「幾通りも」の「それ」には、対応してゐない。
といふ、ことになる。
（17）
といふわけで、うまくは「説明」できなかったものの、
① ～∀ｘ（Ａｘ→  Ｂｘ  ＆  ～Ａｘ→～Ｂｘ）
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆　Ｂｘ）｝
③「集合Ａと集合Ｂは等しくない。」
に於いて、
①＝②＝③ である。
とは言へない。といふのが、「結論」である。
令和元年１１月２３日、毛利太。