「象が動物である」の「否定」の「述語論理」。

― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
　Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。　　　　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―

（01）
①｛象、象、机、パソコン｝
②｛象、象、兎、パソコン｝
に於いて、
① ⇒「象は動物である。」は「正しい」。
② ⇒「象は動物である。」は「正しい」。
然るに、
（02）
①｛象、象、机、パソコン｝
②｛象、象、兎、パソコン｝
に於いて、
① ⇒「象が動物である。」は「正しい」。
② ⇒「象が動物である。」は「正しくない」。
然るに、
（03）
①｛象、象、机、パソコン｝
②｛象、象、兎、パソコン｝
に於いて、
① 象以外（机、パソコン）は動物ではない。
② 象以外（兎）も動物である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 象以外は動物でない。
ならば、そのときに限って、
① 象が動物である。
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
然るに、
（05）
① 象が動物である。
ならば、
① 象は動物である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① 象が動物である。⇔
① 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（07）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① 象が動物である。⇔
① 象は動物であり、象以外は動物ではない。⇔
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（09）
① 　（　Ａ＆　Ｂ）
といふ「連言」は、
② ～（　Ａ＆　Ｂ）≡～Ａ∨～Ｂ：ド・モルガンの法則
③ 　（　Ａ＆～Ｂ）≡　Ａ＆～Ｂ
④　 （～Ａ＆　Ｂ）≡～Ａ＆　Ｂ
⑤ 　（～Ａ＆～Ｂ）≡～Ａ＆～Ｂ
といふ「４通り：②～⑤」と、「矛盾」する。
従って、
（09）により、
（10）
①   ∀ｘ（    象ｘ→動物ｘ  ＆    ～象ｘ→～動物ｘ）
といふ「連言命題」は、
② ～∀ｘ｛　　象ｘ→動物ｘ　＆　　～象ｘ→～動物ｘ｝
③　 ∀ｘ｛　　象ｘ→動物ｘ　＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
④ 　∀ｘ｛～（象ｘ→動物ｘ）＆　　～象ｘ→～動物ｘ｝
⑤ 　∀ｘ｛～（象ｘ→動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「４通りの命題：②～⑤」と、「矛盾」する。
然るに、
（11）
（ⅱ）
１　　　　　　（１）～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ　＆　　～象ｘ→～動物ｘ）　　Ａ
１　　　　　　（２）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ　＆　　～象ｘ→～動物ｘ）　　１量化子の関係
　３　　　　　（３）　　～（象ａ→動物ａ　＆　　～象ａ→～動物ａ）　　Ａ
　３　　　　　（４）　　～（象ａ→動物ａ）∨～（～象ａ→～動物ａ）　　３ド・モルガンの法則
　３　　　　　（５）　　　（象ａ→動物ａ）→～（～象ａ→～動物ａ）　　４含意の定義
　　６　　　　（６）　　　（象ａ→動物ａ）　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３６　　　　（７）　　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　５６ＭＰＰ
　　　８　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　象ａ∨～動物ａ　　　Ａ
　　　８　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～動物ａ　　　８含意の定義
　３６８　　　（ア）　　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ→～動物ａ）　　７９＆Ｉ
　３６　　　　（イ）　　　　　　　　　　　　　～（象ａ∨～動物ａ）　　８アＲＡＡ
　３６　　　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　イ、ド・モルガンの法則
　３　　　　　（エ）　　　　（象ａ→動物ａ）→（～象ａ＆　動物ａ）　　６ウＣＰ
　３　　　　　（オ）　　　～（象ａ→動物ａ）∨（～象ａ＆　動物ａ）　　エ、含意の定義
　　　　カ　　（カ）　　　～（象ａ→動物ａ）　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　キ　（キ）　　　　～象ａ∨動物ａ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　キ　（ク）　　　　　象ａ→動物ａ　　　　　　　　　　　　　　キ含意の定義
　　　　カキ　（ケ）　　　～（象ａ→動物ａ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（象ａ→動物ａ）　　　　　　　　　　　　　カク＆Ｉ
　　　　カ　　（コ）　　～（～象ａ∨動物ａ）　　　　　　　　　　　　　キケＲＡＡ
　　　　カ　　（サ）　　　　象ａ＆～動物ａ　　　　　　　　　　　　　　コ、ド・モルガンの法則
　　　　カ　　（シ）　　　（象ａ＆～動物ａ）∨（～象ａ＆　動物ａ）　　サ∨Ｉ
　　　　　　ス（ス）　　　　　　　　　　　　　（～象ａ＆　動物ａ）　　Ａ
　　　　　　ス（セ）　　　（象ａ＆～動物ａ）∨（～象ａ＆　動物ａ）　　ス∨Ｉ
　３　　　　　（ソ）　　　（象ａ＆～動物ａ）∨（～象ａ＆　動物ａ）　　オカシスセ∨Ｅ
　３　　　　　（タ）∃ｘ｛（象ｘ＆～動物ｘ）∨（～象ｘ＆　動物ｘ）｝　ソＥＩ
１　　　　　　（チ）∃ｘ｛（象ｘ＆～動物ｘ）∨（～象ｘ＆　動物ｘ）｝　２３タＥＥ
（ⅲ）
１　　　　　　（１）∃ｘ｛（象ｘ＆～動物ｘ）∨（～象ｘ＆　動物ｘ）｝　Ａ
　２　　　　　（２）　　　（象ａ＆～動物ａ）∨（～象ａ＆　動物ａ）　　Ａ
　　３　　　　（３）　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ　＆　～象ｘ→～動物ｘ）　　Ａ
　　３　　　　（４）　　　　象ａ→　動物ａ　＆　～象ａ→～動物ａ　　　３ＵＥ
　　３　　　　（５）　　　　象ａ→　動物ａ　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　　６　　　（６）　　　　象ａ＆～動物ａ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　　（７）　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　３６　　　（８）　　　　　　　　動物ａ　　　　　　　　　　　　　　５７ＭＰＰ
　　　６　　　（９）　　　　　　　～動物ａ　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　３６　　　（ア）　　　　動物ａ＆～動物ａ　　　　　　　　　　　　　８９＆Ｉ
　　　６　　　（イ）～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ　＆　～象ｘ→～動物ｘ）　　３アＲＡＡ
　　３　　　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～動物ａ　　　４＆Ｅ
　　　　エ　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　Ａ
　　　　エ　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　エ＆Ｅ
　　３　エ　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～動物ａ　　　ウオＭＰＰ
　　　　エ　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　動物ａ　　　オ＆Ｅ
　　３　エ　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　～動物ａ＆動物ａ　　　カキ＆Ｉ
　　　　エ　　（ケ）～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ　＆　～象ｘ→～動物ｘ）　　３７ＲＡＡ
　２　　　　　（コ）～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ　＆　～象ｘ→～動物ｘ）　　２６イエケＥＥ
１　　　　　　（サ）～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ　＆　～象ｘ→～動物ｘ）　　１２コＥＥ
従って、
（11）により、
（12）
② ～∀ｘ｛象ｘ→　動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ｝
⑫   ∃ｘ｛象ｘ＆～動物ｘ∨～象ｘ＆　動物ｘ｝
に於いて、
②＝⑫ である。
然るに、
（13）
（ⅲ）
１　（１）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝　Ａ
１　（２）　　　象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ）　　１ＵＥ
１　（３）　　　象ａ→動物ａ　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　（４）　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　２＆Ｅ
　５（５）　　　　　　　　　　　　　象ａ∨～動物ａ　　　Ａ
　５（６）　　　　　　　　　　　　～象ａ→～動物ａ　　　５含意の定義
１５（７）　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ→～動物ａ）　　４６＆Ｉ
１　（８）　　　　　　　　　　　～（象ａ∨～動物ａ）　　５７ＲＡＡ
１　（９）　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　８ド・モルガンの法則
１　（ア）　　　象ａ→動物ａ＆　　～象ａ＆　動物ａ　　　３９＆Ｉ
１　（イ）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆　　～象ｘ＆　動物ｘ｝　　アＵＩ
（ⅳ）
１　（１）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆　　～象ｘ＆　動物ｘ｝　　Ａ
１　（２）　　　象ａ→動物ａ＆　　～象ａ＆　動物ａ　　　１ＵＥ
１　（３）　　　象ａ→動物ａ　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　（４）　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　動物ａ　　　２＆Ｅ
　５（５）　　　　　　　　　　　　～象ａ→～動物ａ　　　Ａ
１　（６）　　　　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　４＆Ｅ
１５（７）　　　　　　　　　　　　　　　　～動物ａ　　　５６ＭＰＰ
１　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　動物ａ　　　４＆Ｅ
１５（９）　　　　　　　　　　　　～動物ａ＆動物ａ　　　７８＆Ｉ
１　（ア）　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　５ＲＡＡ
１　（イ）　　　象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ）　　３ア＆Ｉ
１　（ウ）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝　イＵＩ
従って、
（13）により、
（14）
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
⑬ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆　　～象ｘ＆　動物ｘ｝
に於いて、
③＝⑬ である。
従って、
（10）（12）（14）により、
（15）
① ∀ｘ（    象ｘ→　動物ｘ  ＆    ～象ｘ→～動物ｘ）といふ「命題」は、
⑫ ∃ｘ｛　  象ｘ＆～動物ｘ　∨　  ～象ｘ＆　動物ｘ｝
⑬ ∀ｘ｛　　象ｘ→　動物ｘ　＆　　～象ｘ＆　動物ｘ｝
⑭ ∀ｘ｛～（象ｘ→　動物ｘ）＆　　～象ｘ→～動物ｘ｝
⑮ ∀ｘ｛～（象ｘ→　動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「４通りの命題：⑫～⑮」と、「矛盾」する。
然るに、
（16）
⑫   （象ｘ＆～動物ｘ）≡ｘは象であるが、動物ではない。
⑭ ～（象ｘ→　動物ｘ）≡（象ｘ＆～動物ｘ）≡ｘは象であるが、動物ではない。
⑮ ～（象ｘ→　動物ｘ）≡（象ｘ＆～動物ｘ）≡ｘは象であるが、動物ではない。
従って、
（15）（16）により、
（17）
⑬ ∀ｘ｛　　象ｘ→　動物ｘ　＆　　～象ｘ＆　動物ｘ｝
を除く、
⑫ ∃ｘ｛　  象ｘ＆～動物ｘ  ∨　  ～象ｘ＆　動物ｘ｝
⑭ ∀ｘ｛～（象ｘ→　動物ｘ）＆　　～象ｘ→～動物ｘ｝
⑮ ∀ｘ｛～（象ｘ→　動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「３通りの命題：⑫⑭⑮」は、「動物でない象の存在」を「肯定」する。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
⑫ ∃ｘ｛　  象ｘ＆～動物ｘ  ∨　  ～象ｘ＆　動物ｘ｝
⑬ ∀ｘ｛　　象ｘ→　動物ｘ　＆　　～象ｘ＆　動物ｘ｝
⑭ ∀ｘ｛～（象ｘ→　動物ｘ）＆　　～象ｘ→～動物ｘ｝
⑮ ∀ｘ｛～（象ｘ→　動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
に於いて、
⑬ だけが、
⑬「動物でない象の存在」を「肯定」せずに、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）
といふ「命題」を、「否定」する。
従って、
（07）（18）により、
（19）
⑬ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆（～象ｘ＆動物ｘ）｝⇔
⑬ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、象でないｘも動物である。
といふ「命題」は、
① 象が動物である。⇔
① 象は動物であり、象以外は動物ではない。⇔
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
といふ「命題」に対する、「否定」であって、尚且つ、「動物でない象の存在」を「肯定」しない。
然るに、
（20）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
⑬ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、象でないｘも動物である。
といふことは、例へば、
①｛象、机、パソコン｝⇔ 象が動物である。⇔ 象は動物であり、象以外（机、パソコン）は動物ではない。
③｛象、兎、パソコン｝⇔ 兎も動物である。⇔ 象は動物であり、象以外（兎）も動物である。
といふ、ことである。
従って、
（19）（20）により、
（21）
①「象は動物である。」といふ「命題」を「否定」せずに、
②「象が動物である。」といふ「命題」を「否定」するのであれば、その場合は、
③「象も動物である。」といふ「命題」が「それ」である。といふ、ことになる。
令和元年１１月２４日、毛利太。