「正確に3つのＦが存在する」の「述語論理」。

― しばらく、「返り点」に関する「記事」を書いてゐません。「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
　Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。　　　　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他」を、お読み下さい。―

（01）
①   ∃ｘＦｘ
②   ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝
といふ「論理式」は、
① 少なくとも、１つ以上のｘがＦである。
② 少なくとも、２つ以上のｘがＦである。
といふ「意味」である。
従って、
（01）により、
（02）
①   ∃ｘＦｘ
② ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝
といふ「論理式」は、
① 少なくとも、１つ以上のｘがＦである。
② 少なくとも、２つ以上のｘがＦである。といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
② 少なくとも、２つ以上のｘがＦである。といふことはない。
といふことは、
② ２つ未満のｘがＦである。
といふことである。
従って、
（02）（03）により、
（04）
①   ∃ｘＦｘ
② ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝
といふ「論理式」は、
① 少なくとも、１つ以上のｘがＦである。
② ２つ未満のｘがＦである。
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１（１）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝　Ａ
１（２）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝　１量化子の関係
１（３）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝　２量化子の関係
１（４）　　∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ａ≠ｙ｝　３ＵＥ
１（５）　　　　～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝　４ＵＥ
１（６）　　　 　 ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ　　５ド・モルガンの法則
１（７）　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ　　６含意の定義
１（８）　 　 ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝　７ＵＩ
１（９）　∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝　８ＵＩ
（ⅲ）
１（１）　∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝　Ａ
１（２）　　　∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝　１ＵＥ
１（３）　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　→ａ＝ｂ　　２ＵＥ
１（４）　　　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ　　３含意の定義
１（５）　　　　～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝　４ド・モルガンの法則
１（６）　　∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ａ≠ｙ｝　５ＵＩ
１（７）　　～∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ａ≠ｙ｝　６量化子の関係
１（８）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝　７ＵＩ
１（９）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝　８量化子の関係
従って、
（05）により、
（06）
② ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝
③   ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
①   ∃ｘＦｘ
②   ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝
といふ「論理式」は、
① 少なくとも、１つ以上のｘがＦである。
② ２つ未満のｘがＦである。
といふ「意味」である。
然るに、
（08）
① 少なくとも、１つ以上のｘがＦであって、
② 尚且つ、２つ未満（１個か０個）のｘがＦである。
といふことは、
③ 正確に、１つ（１個以上、１個以下）のモノがＦである。
といふことである。
従って、
（07）（08）により、
（09）
①＆② ⇔
③ ∃ｘＦｘ＆ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝⇔
③ あるｘはＦであって、すべてのｘとｙについて、ｘがＦであり、ｙもＦであるならば、ｘとｙは「同一」である。
といふことは、
③ 正確に、１つのモノがＦである。
といふことである。
然るに、
（10）
（ⅲ）
１　　（１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　Ａ
１　　（２）∃ｘＦｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　（３）　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　（４）　　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　１＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　４ＵＥ
１　　（６）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　５ＵＥ
　　７（７）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　３７（８）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　　３７＆Ｉ
１３７（９）　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　６８ＭＰＰ
１３　（ア）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　７９ＣＰ
１３　（イ）　　　　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　アＵＩ
１３　（ウ）　　　　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　３イ＆Ｉ
１３　（エ）　　　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　ウＵＩ
１　　（オ）　　　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　１３エＥＥ
（ⅳ）
１　　（１）　　　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　Ａ
　２　（２）　　　　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　Ａ
　２　（３）　　　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　２＆Ｅ
　２　（５）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　４ＵＥ
　　６（６）　　　　　　　　　　Ｆｂ＆Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　　６（７）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　６＆Ｅ
　２６（８）　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　５７ＭＰＰ
　２６（９）　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ＆ａ＝ｂ　　　８８＆Ｉ
　２６（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　９＆Ｅ
　２６（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　ｂ＝ｂ　　　８ア＝Ｅ
　２　（ウ）　　　　　　　　　　Ｆｂ＆Ｆｂ→ｂ＝ｂ　　　５イＣＰ
　２　（エ）　　　　　　　∀ｙ（Ｆｂ＆Ｆｙ→ｂ＝ｙ）　　ウＵＩ
　２　（オ）　　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　エＵＩ
　２　（キ）　　　　　∃ｘＦｘ　　　　　　　　　　　　　３ＥＩ
　２　（ク）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　オキ＆Ｉ
１　　（ケ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　１２クＥＥ
従って、
（10）により、
（11）
③ ∃ｘＦｘ＆ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝
④ 　　 ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ        →ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
③ ∃ｘＦｘ＆ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝
④      ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ        →ｘ＝ｙ）｝
といふことは、すなはち、
③ あるｘはＦであって、すべてのｘとｙについて、ｘがＦであり、ｙもＦであるならば、ｘとｙは「同一」である。
④ あるｘはＦであり、　すべてのｘについて、　　ｘがＦであるならば、　　　　　　　ｘとｙは「同一」である。
といふことは、両方とも、
③ 正確に、１つのモノがＦである。
④ 正確に、１つのモノがＦである。
といふ、「意味」である。
然るに、
（13）
④ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝⇔
④ あるｘはＦであり、すべてのｘについて、ｘがＦであるならば、ｘとｙは「同一」である。
といふことは、
④ あるｘはＦであるが、２つ目のＦは、仮に有るとして、ｘ以外には無い。
といふ、ことである。
然るに、
（14）
④ あるｘはＦであるが、２つ目のＦは、仮に有るとして、ｘ以外には無い。
といふことは、
④ 正確に、１つのモノがＦである（Exactly one thing is Ｆ）。
といふ、ことである。
従って、
（13）（14）により、
（15）
⑤ 正確に、２つのｘがＦである（Exactly two things are Ｆs）。
と言ひたいのであれば、
⑤ あるｘとｙはＦであるが、３つ目のＦは、仮に有るとして、ｘとｙ以外には無い。
といふ風に、言へばよい。
然るに、
（16）
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｚ＝ｙ）｝⇔
⑤ あるｘはＦであり、あるｙもＦであり、ｘとｙは「同一」ではなく、すべてのｘについて、ｚがＦであるならば、ｚは、ｘとｙの、どちらか一方と「同一」である。
といふことは、
⑤ あるｘとｙはＦであるが、３つ目のＦは、仮に有るとして、ｘとｙ以外には無い。
といふ、ことである。
従って、
（15）（16）により、
（17）
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」は、
⑤ 正確に、２つのｘがＦである（Exactly two things are Ｆs）。
といふ「意味」である。
従って、
（12）（17）により、
（18）
④ 　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」は、
④ 正確に、１つのモノがＦである。
⑤ 正確に、２つのモノがＦである。
といふ「意味」である。
従って、
（18）により、
（19）
④ 　　　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
⑤ 　　∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｘ＝ｙ）｝
⑥ ∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ＆（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）＆∀ｗ（Ｆｗ→ｗ＝ｘ∨ｗ＝ｙ∨ｗ＝ｚ）｝
といふ「論理式」は、
④ 正確に、１つのモノがＦである。
⑤ 正確に、２つのモノがＦである。
⑥ 正確に、３つのモノがＦである。
といふ「意味」である。
令和元年１１月２６日、毛利太。