「論理式」と「漢文訓読」と「括弧（管到）は有ります！」。

（01）
①  Ｐ→（Ｑ  →Ｒ）
③（Ｐ→　Ｑ）→Ｒ
に於いて、
Ｐ＝偽
Ｑ＝偽
Ｒ＝偽
であるとすると、
①  偽→（偽  →偽）≡　偽→（真）≡真
③（偽→　偽）→偽　≡（真）→偽　≡偽
であるため、
① は「真」であるが、
③ は「偽」である。
従って、
（01）により、
（02）
①  Ｐ→（Ｑ  →Ｒ）
③（Ｐ→　Ｑ）→Ｒ
に於いて、
①＝③ ではない。
従って、
（02）により、
（03）
それぞれの「意味」が変はってしまふため、
①  Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ→Ｑ）→Ｒ
から、「括弧」を除くことは、出来ない。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１　（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　Ａ
　２（２）　Ｐ＆　Ｑ　　　　Ａ
　２（３）　Ｐ　　　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　Ｑ→Ｒ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　Ｑ　　　　２＆Ｅ
１２（６）　　　　　　Ｒ　　４５ＭＰＰ
１　（７）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　２６ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　Ｑ　　　　　Ａ
　２３（４）　Ｐ＆Ｑ　　　　　２３＆Ｉ
１２３（５）　　　　　　Ｒ　　１４ＭＰＰ
１２　（６）　　　Ｑ→　Ｒ　　３５ＣＰ
１　　（７）　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　２６ＣＰ
（ⅲ）
１　　　（１）　（Ｐ→　Ｑ）→Ｒ　Ａ
　２　　（２）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　Ａ
　　３　（３）　　Ｐ　　　　　　　Ａ
　　　４（４）　　　　～Ｑ　　　　Ａ
　　３４（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　３４＆Ｉ
　２３４（６）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　２５＆Ｉ
　２３　（７）　　　～～Ｑ　　　　４６ＲＡＡ
　２３　（８）　　　　　Ｑ　　　　７ＤＮ
　２　　（９）　　Ｐ→　Ｑ　　　　３８ＣＰ
１２　　（ア）　　　　　　　　Ｒ　１９ＭＰＰ
１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ　２ア
（ⅳ）
１　　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ→　Ｑ　　　　Ａ
　　３　（３）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　Ａ
　　３　（４）　　Ｐ　　　　　　　３＆Ｅ
　２３　（５）　　　　　Ｑ　　　　２４ＭＰＰ
　　３　（６）　　　　～Ｑ　　　　３＆Ｅ
　２３　（７）　　Ｑ＆～Ｑ　　　　５６＆Ｉ
　２　　（８）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　３７ＲＡＡ
１２　　（９）　　　　　　　　Ｒ　１８ＭＰＰ
１　　　（ア）　（Ｐ→　Ｑ）→Ｒ　２９ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
①   　Ｐ→（Ｑ  →Ｒ）
②   （Ｐ＆  Ｑ）→Ｒ
③   （Ｐ→  Ｑ）→Ｒ
④ ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるが、
①＝③ ではなく、それ故、
②＝④ ではない。
従って、
（05）により、
（06）
②　 （Ｐ＆  Ｑ）→Ｒ
④ ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に於いて、
②＝④ ではない。
然るに、
（07）
「日本語の語順」に従ふのであれば、
②（Ｐ＆Ｑ　）→　Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ～）～→Ｒ
といふ「論理式」に於いて、
②＝④ ではない。
然るに、
（08）
②（Ｐ＆Ｑ　）→　Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ～）～→Ｒ
といふ「論理式」は、
②（Ｐであって、Ｑである）ならばＲである。
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
といふ「日本語」に、相当する。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
②（Ｐ＆Ｑ　）→　Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ～）～→Ｒ
といふ「論理式」と、
②（Ｐであって、Ｑである）ならばＲである。
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
といふ「日本語」に於いて、
②＝④ ではない。
然るに、
（10）
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
ではなくて、
④  Ｐであって（Ｑでない、ではない）ならばＲである。
であると、する。
然るに、
（11）
④（Ｑでない、ではない）
といふことは、「二重否定律（ＤＮ）」により、
④（Ｑである）
に、他ならない。
従って、
（10）（11）により、
（12）
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
ではなくて、
④  Ｐであって（Ｑでない、ではない）ならばＲである。
であると、するならば、
④  Ｐであって（Ｑである）ならばＲである。
といふ「意味」になる。
然るに、
（13）
②（Ｐであって、Ｑである）ならばＲである。
④  Ｐであって（Ｑである）ならばＲである。
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（09）（13）により、
（14）
②（Ｐ＆Ｑ　）→　Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ～）～→Ｒ
といふ「論理式」と、
②（Ｐであって、Ｑである）ならばＲである。
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
といふ「日本語」に於いて、
②＝④ ではない。
にも拘はらず、その一方で、
②（Ｐであって、Ｑである）ならばＲである。
④  Ｐであって（Ｑである）ならばＲである。
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（14）により、
（15）
④（Ｐ＆Ｑ～）～→Ｒ
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
といふ「論理式」と「日本語」から、「括弧」を除くことは、出来ない。
然るに、
（16）
任意の表述の否定は、その表述を、～（　）という空所にいれて書くことにしよう。：しかし丸括弧はその内部が連言でないかぎり削除しよう（W.O.クワイン 著、杖下隆英 訳、現代論理入門、1972年、１５頁）。
従って、
（06）（16）により、
（17）
任意の表述の否定は、必ず、～（　）という空所、または、～｛　｝という空所にいれて書くことにするならば、
④ ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」は、
④ ～｛Ｐ＆～（Ｑ）｝→Ｒ
といふ風に、書くことになる。
然るに、
（18）
④ ～｛Ｐ＆～（Ｑ）｝→Ｒ
に於いて、
～｛　｝→｛　｝～
～（　）→（　）～
といふ「移動」を行ふと、
④ ～｛Ｐ＆～（Ｑ）｝→Ｒ⇒
④｛Ｐ＆（Ｑ）～｝ ～→Ｒ＝
④｛Ｐであって（Ｑで）でない｝ではないならばＲである。
といふ「命題論理訓読」が、成立する。
然るに、
（19）
④ 無_ニ生而不_一レ知則聖人也＝
④ 無｛生而不（知）｝則聖人也。
に於いて、
無｛　｝→｛　｝無
不（　）→（　）不
といふ「移動」を行ふと、
④ 無｛生而不（知）｝則聖人也⇒
④ ｛生而（知）不｝無則聖人也＝
④ ｛生れながらにして（知ら）不ること｝無くんば則ち聖人なり。
といふ「漢文訓読（は作例）」が、成立する。
然るに、
（20）
しかし、正確さに欠けることはあるにしても、われわれの直観は健全であった。つまり。むやみに括弧が多くなることは我慢できないのである。
採用してもよい自然で実際的な規則は、最も外側の括弧を省略することである。そしていまひとつ、括弧を減らす有効で実際的な方法がある。
結合記号に一定のランクをつけることにしよう（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、５９頁）。
従って、
（20）により、
（21）
「論理式」であっても、「理論上、あるべき括弧」の、そのすべてを、「省略」せずに書いてゐる。といふわけではない。
従って、
（18）～（21）により、
（22）
例へば、
④ 無生而不知則聖人也。
といふ「漢文」に対して、
④ 無_ニ生而不_一レ知則聖人也。
といふ「返り点」を、加へることは、
例へば、
④ ～Ｐ＆～Ｑ→Ｒ
といふ「論理式」に対して、
④ ～｛Ｐ＆～（Ｑ）｝→Ｒ
といふ「括弧」を付けることに、相当する。
然るに、
（23）
「論理式」には、予め、「必要最低限の括弧」が付いてゐるが、「漢文の原文（白文）」には、「返り点（括弧）」が「全く付いてゐない」。
然るに、
（24）
博士課程後期に六年間在学して訓読が達者になった中国の某君があるとき言った。「自分たちは古典を中国音で音読することができる。しかし、往々にして自ら欺くことがあり、助詞などいいかげんに飛ばして読むことがある。しかし日本式の訓読では、「欲」「将」「当」「謂」などの字が、どこまで管到して（かかって）いるか、どの字から上に返って読むか、一字もいいかげんにできず正確に読まなければならない」と、訓読が一字もいやしくしないことに感心していた。これによれば倉石武四郎氏が、訓読は助詞の類を正確に読まないと非難していたが、それは誤りで、訓読こそ中国音で音読するよりも正確な読み方なのである（原田種成、私の漢文 講義、1995年、２７頁）。
従って、
（23）（24）により、
（25）
「漢文の原文（白文）」には、「返り点（括弧）」が「全く付いてゐない」からと言って、「漢文の原文（白文）」に、「管到（括弧）」が無い。
といふことには、ならない。
然るに、
（26）
しばしばとりあげられる〈語順〉の問題、元来はまっすぐに書かれた漢文に返り点をつけた、転倒しながら読むのは不自然だという考え方、などは、むしろ些少なことにすぎないかもしれない。かえって、語と語との修飾や支配の関係を、まったく構造を異にする日本語という言語と対比させることによって、はっきりとうかびあがらせる効用があるというべきである。
是以、大学始教、必使_下学者即_二凡天下之物_一、 莫_上レ不_下因_二其已知之理_一、而益々極_レ之、以求_上レ至_二乎其極_一。
そこで大学での始めの教えは、学習者が天下の物すべてについて、彼がすでに知っている理を手がかりとしてますますこれをきわめ、そしてその極点にまで到達することを求めるようにせしめる（原文では、「求めないことはいっさいないように、ぜともせしめる」）のである。
このよう複雑な文章でも、返り点があることによって、簡明直截に文字のかかり方を知ることができる。

（平凡社、日本語の歴史２、2007年、１５５・１５６頁改）
（27）
例へば、
是以大学始教必使学者即凡天下之物莫不因其已知之理而益極之以求至乎其極。
といふ「漢文」を、
是以、大学始教、必使〈学者即（凡天下之物）、莫｛不［因（其已知之理）、而益極（之）、以求〔至（乎其極）〕］｝〉⇒
是以、大学始教、必〈学者（凡天下之物）即、｛［（其已知之理）因、而益（之）極、以〔（乎其極）至〕求］不｝莫〉使＝
是を以て、大学の始教は、必ず〈学者をして（凡そ天下の物に）即きて、｛［（其の已に知るの理に）因って、益々（之を）極め、以て〔（其の極に）至るを〕求め］不るを｝莫から〉使む。
といふ風に、「訓読」したとしても、
是以、大学始教、必使〈学者即（凡天下之物）、莫｛不［因（其已知之理）、而益極（之）、以求〔至（乎其極）〕］｝〉。
是以、大学始教、必〈学者（凡天下之物）即、｛［（其已知之理）因、而益（之）極、以〔（乎其極）至〕求］不｝莫〉使。
に於ける、
〈　（　）｛　［　（　）（　）〔　（　）　〕　］　｝　〉
〈　（　）｛　［　（　）（　）〔　（　）　〕　］　｝　〉
といふ「補足構造」は、「不変」であって、尚且つ、「括弧・返り点」があることによって、
是以大学始教必使学者即凡天下之物莫不因其已知之理而益極之以求至乎其極。
のやうな「複雑な文章」でも、
是以、大学始教、必使〈学者即（凡天下之物）、莫｛不［因（其已知之理）、而益極（之）、以求〔至（乎其極）〕］｝〉。
のやうに「簡明直截」に「文字のかかり方」を知ることができるが故に、「転倒しながら読む」のは不自然だという考え方、などは、むしろ「些少なこと」にすぎない。
令和０３年０３月３１日、毛利太。

「二項述語における、量記号の変換規則」。

（01）
１（１）∀ｘ（Ｆｘ）　Ａ
１（２）　　　Ｆａ　　１ＵＥ
１（３）∃ｘ（Ｆｘ）　１ＵＩ
といふ「計算」は、
　（１）すべてのｘがＦである。 ならば、
　（２）任意のａは、Ｆであり、
　（〃）任意のａが、Ｆである。 ならば、
　（３）　あるｘは、Ｆである。
といふ「意味」であって、この「計算」は「正しい」。
然るに、
（02）
１　（１）∃ｘ（Ｆｘ）　Ａ
　２（２）　　　Ｆａ　　Ａ
　２（３）∀ｘ（Ｆｘ）　２ＵＩ
１　（４）∀ｘ（Ｆｘ）　１２３ＥＥ
といふ「計算」は、
　　（１）あるｘが、Ｆである。 ならば、
　　（２）あるａは、Ｆであり、
　　（〃）あるａが、Ｆである。 ならば、
　　（３）すべてのｘがＦである。
といふ「意味」であって、この「計算」は、明らかに、「間違ひ」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ）⇒ ∃ｘ（Ｆｘ）
（ⅱ）∃ｘ（Ｆｘ）⇒ ∀ｘ（Ｆｘ）
といふ「量記号の変換」に於いて、 に於いて、
（ⅰ）は、「正しく」、
（ⅱ）は、「間違ひ」である。
然るに、
（04）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
といふ、「二項述語」は、「括弧」を「省略」しない場合は、
① ∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
② ∃ｙ｛∀ｘ（Ｆｘｙ）｝
といふ「形」をしてゐる。
従って、
（03）（04）により、
（05）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ）⇒ ∃ｘ（Ｆｘ）
といふ「量記号の変換」が「正しい」のであれば、
（ⅰ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
（ⅱ）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」も、当然、「正しい」。
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）
１（１）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝　Ａ
１（２）　　　∀ｙ（Ｆａｙ）　　１ＵＥ
１（３）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝　２ＥＩ
といふ「述語計算」は、「正しく」、
（ⅱ）
１　（１）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝　Ａ
　２（２）　　　∀ｙ（Ｆａｙ）　　Ａ（代表的選言項）
　２（３）　　　　　　Ｆａｂ　　　２ＵＥ
　２（４）　　　∃ｙ（Ｆａｙ）　　３ＥＩ
　２（５）∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝　５ＥＩ
１　（６）∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝　１２５ＥＥ
といふ「述語計算」も、「正しい」。
従って、
（05）（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
（ⅱ）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
であるため、「推移律」により、
（ⅲ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」は、「正しい」。
然るに、
（08）
１　　（１）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝　Ａ
１　　（２）　　　∀ｙ（Ｆａｙ）　　１ＵＥ
１　　（３）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝　２ＥＩ
　４　（４）　　　∀ｙ（Ｆａｙ）　　Ａ（３の代表的選言項で、それ自体は連言。Ｆａｙであって、Ｆｘｂではない点に、注意せよ。）
　４　（５）　　　　　　Ｆａｂ　　　４ＵＥ（４を＆Ｅ）
　４　（６）　　　∃ｘ（Ｆｘｂ）　　５ＥＩ（５に∨Ｉ）
　４　（７）∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝　６ＵＩ
１　　（８）∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝　３４７ＥＥ
１　　（９）　　　∃ｘ（Ｆｘｂ）｝　８ＵＥ
　　ア（ア）　　　　　　Ｆａｂ　　　Ａ
　　ア（イ）　　　∃ｙ（Ｆａｙ）　　アＥＩ
１　　（ウ）　　　∃ｙ（Ｆａｙ）　　９アイＥＥ
１　　（エ）∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝　ウＥＩ
従って、
（08）により、
（09）
１　　（１）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝　Ａ
１　　（３）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝　２ＥＩ
１　　（８）∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝　３４７ＥＥ
１　　（エ）∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝　ウＥＩ
であって、それ故、
（ⅳ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」は、「正しい」。
従って、
（07）（09）により、
（10）
すぐに、思ひ付くところの、
（ⅲ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒　　　　　　　　　　　　  ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」に加へて、
（ⅳ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」も、「正しい」。
然るに、
（11）
「沢田允、現代論理学入門、1962年、１４６頁」によると、
① ∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
② ∀ｙ｛∀ｘ（Ｆｘｙ）｝
③ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
④ ∃ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（12）
① ∀ｘ｛∀ｙ（愛ｘｙ）｝
② ∀ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝
③ ∃ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝
④ ∃ｙ｛∃ｘ（愛ｘｙ）｝
であるならば、例へば、
① ∀ｘ｛∀ｙ（愛ｘｙ）｝≡すべての人は、すべての人を愛す。
② ∀ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝≡すべての人は、すべての人に愛される。
③ ∃ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝≡ある人は、ある人を愛す。
④ ∃ｙ｛∃ｘ（愛ｘｙ）｝≡ある人は、ある人に愛される。
である。
然るに、
（13）
① すべての人は、すべての人を愛す。
といふことは、
② すべての人は、すべての人に愛される。
といふことに、他ならない。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① ∀ｘ｛∀ｙ（愛ｘｙ）｝≡すべての人は、すべての人を愛す。
② ∀ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝≡すべての人は、すべての人に愛される。
③ ∃ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝≡ある人は、ある人を愛す。
④ ∃ｙ｛∃ｘ（愛ｘｙ）｝≡ある人は、ある人に愛される。
であるならば、確かに、「命題」としては、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（10）～（14）により、
（15）
「二項述語における、量記号の変換規則」とは、
∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
∀ｙ｛∀ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝
といふ「規則」を、いふ。
令和０３年０３月３０日、毛利太。

１２２ ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）├ ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）

（01）
１２２　∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）├ ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
１　（１）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）　Ａ
　２（２）　　∀ｙ（Ｆａｙ）　Ａ
　２（３）　　　　　Ｆａｂ　　１ＵＥ
　２（４）　　∃ｘ（Ｆｘｂ）　３ＥＩ
　２（５）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）　４ＵＩ
１　（６）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）　１２５ＥＥ
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１６５頁）
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（03）
｛ｘとｙ｝は｛人間｝であって、
｛人間｝は、｛ａ、ｂ、ｃ｝の｛３人｝であるとする。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）愛ａａ≡ａはａ自身を愛す。
（ⅱ）愛ａｂ≡ａはｂ　　を愛す。
（ⅲ）愛ａｃ≡ａはｃ　　を愛す。
とするならば、
① ある人（ａ）は、すべての人（ａ、ｂ、ｃ）を愛す。
然るに、
（05）
（ⅰ）愛ａａ≡ａはａ自身を愛す。
（ⅱ）愛ａｂ≡ａはｂ　　を愛す。
（ⅲ）愛ａｃ≡ａはｃ　　を愛す。
とするならば、
（ⅰ）ａは、ａ自身によって、愛され、
（ⅱ）ｂは、ａによって、　　愛され、
（ⅲ）ｃは、ａによって、　　愛される。
然るに、
（06）
（ⅰ）ａは、ａ自身によって、愛され、
（ⅱ）ｂは、ａによって、　　愛され、
（ⅲ）ｃは、ａによって、　　愛される。
といふのであれば、
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人（ａ）に愛される。
従って、
（03）～（06）により、
（07）
① ある人（ａ）は、すべての人（ａ、ｂ、ｃ）を愛す。
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人（ａ）に愛される。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（08）
（ⅰ）愛ｃａ≡ｃが、ａを愛し、
（ⅱ）愛ｂｂ≡ｂが、ｂを愛し、
（ⅲ）愛ａｃ≡ａが、ｃを愛す。
といふのであれば、
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、別々の、ある人（ｃ、ｂ、ａ）に愛される。
といふことになるものの、この場合は、
① ある人（ａ）は、　ある人（ｃ）だけを愛し、
② ある人（ｂ）は、自分自身（ｂ）だけを愛し、
③ ある人（ｃ）は、　ある人（ａ）だけを愛す。
といふことに、過ぎない。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）≡ある人はすべての人を愛す。
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）≡すべての人はある人に愛される。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（01）（02）（09）
（10）
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（11）
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛変域｝であるとして、
１（１）∀ｘ（Ｆｘ）　Ａ
１（２）　　　Ｆａ　　１ＵＥ
１（３）∃ｘ（Ｆｘ）　２ＥＩ
といふ「計算」は、
１（１）Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ　Ａ
１（２）Ｆａ　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）Ｆａ∨Ｆｂ　　　　２∨Ｉ
１（４）Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ　３∨Ｉ
といふ「計算」と「同じ」であって、この「計算」は、「正しい」。
然るに、
（12）
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛変域｝であるとして、
１　（１）∃ｘ（Ｆｘ）　Ａ
　２（２）　　　Ｆａ　　Ａ
　２（３）∀ｘ（Ｆｘ）　２ＵＩ
１　（４）∀ｘ（Ｆｘ）　１２３ＥＥ
といふ「計算」は、
１　（１）Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ　Ａ
　２（２）Ｆａ　　　　　　　Ａ
　２（３）Ｆａ＆Ｆｂ　　　　２＃＆Ｉ　（はデタラメである。）
　２（４）Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ　３＃＆Ｉ　（はデタラメである。）
１　（５）Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ　１２４ＥＥ（はマチガイである。）
といふ「計算」と「同じ」であって、この「計算」は、「マチガイ」である。
（13）
（ⅰ）すべてのｘ（∀ｘ）がＦであるならば、　あるｘ（∃ｘ）はＦであるが、
（ⅱ）あるｘ（∃ｘ）がＦであるとしても、すべてのｘ（∀ｘ）はＦである。といふわけではない。
といふことから、
１　（１）∃ｘ（Ｆｘ）　Ａ
　２（２）　　　Ｆａ　　Ａ
　２（３）∀ｘ（Ｆｘ）　２ＵＩ
１　（４）∀ｘ（Ｆｘ）　１２３ＥＥ
といふ「計算」は、「マチガイ」であるものの、
１　（１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）　Ａ
１　（２）　　∃ｘ（Ｆｘａ）　１ＵＥ
　３（３）　　　　　Ｆｂａ　　Ａ
　３（４）　　∀ｙ（Ｆｂｙ）　３ＵＩ？
　３（５）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）　２３５ＥＥ
といふ「計算」も、
１　（２）　　∃ｘ（Ｆｘａ）　１ＵＥ
　３（３）　　　　　Ｆｂａ　　Ａ
　３（４）　　∀ｙ（Ｆｂｙ）　３ＵＩ？
に於いて、「同じマチガイ」を犯してゐる。
すなはち、
（14）
１　（１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）　Ａ
１　（２）　　∃ｘ（Ｆｘａ）　１ＵＥ
　３（３）　　　　　Ｆｂａ　　Ａ
　３（４）　　∀ｙ（Ｆｂｙ）　３ＵＩ？
　３（５）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）　２３５ＥＥ
に於ける、ただひとつの誤った段階は（４）のそれである。―（３）は「ａ」を含み、その結果ＵＩの制限（eigenvariable 条件）が破られる点に誤りがある。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１６５頁改）
従って、
（01）（09）（14）により、
（15）
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）≡ある人はすべての人を愛す。
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）≡すべての人はある人に愛される。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
といふ、ことになる。
令和０３年０３月２６日、毛利太。

「ＵＩに対する制限（eigenvariable 条件）」の「例外」。

（01）
１２.∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１３９頁）
従って、
（01）により、
（02）
沢田允先生が書いてゐることが、「本当」であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　Ａ
１　　（２）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　１ＵＥ
　３　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ（２の選言項・左）
　３　（４）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　３ＵＩ（は、マチガイ？）
　３　（５）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ（２の選言項・右）
　　６（７）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　６ＥＩ（であって、ＵＩではないので、正しい。）
　　６（８）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　７∨Ｉ
１　　（９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　２３５６８∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　（１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　　（２）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　２ＵＥ
　２　　（４）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　３∨Ｉ
　２　　（５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　４ＵＩ
　　６　（６）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　　７（７）　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　　　７（８）　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　７∨Ｉ
　　　７（９）　　　　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　８ＵＩ（は、完全なマチガイ。）
１　　　（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　１２５７９∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
１　　（９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　２３５６８∨Ｅ
といふ「∨Ｅによる結論」を得る際の、
　３　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ（２の選言項・左）
　３　（４）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　３ＵＩ（は、マチガイ？）
といふ、「（２度ではなく）１度だけ」の「ＵＩ」であっても、「eigenvariable 条件」を「満たしてゐない」するならば、
沢田允先生が書いてゐることは、「本当」ではなく、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② ではないし、
② ならば、① でもない。
といふことに、ならざるを得ない。
然るに、
（05）
｛すべてのｘ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、
② Ｇａ
が「真」であるならば、それだけで、
② ∃ｘ（Ｇｘ）≡Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ
は、「真」である。
然るに、
（06）
② ∃ｘ（Ｇｘ）
が「真」であるならば、それだけで、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は、「真」である。
然るに、
（07）
① Ｇａ
が「真」であるとしても、その上、
① Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」であることによって、
① Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」であるか、または、
① Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
が「真」でなければ、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
は、「真」であるとは、限りない。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
沢田允先生が書いてゐる通り、確かに、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
② ならば、① ではない。
といふことは、「正しい」。
然るに、
　― 以下の説明は、述語論理に慣れてゐない方にとっては、いくぶん、ややこしくなります。―
（09）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
が「真」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∀ｘ（Ｆｘ）
は「真」であり、
② ∀ｘ（Ｆｘ）
が「真」であれば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（10）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｆａ＆Ｆｂ
が「真」であれば、
① Ｇｃ
が「真」になり、このとき、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
が「真」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（11）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｆａ
が「真」であれば、
① Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」になり、このとき、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
が「真」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（12）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｆ＃
が「３つ」とも「偽」であれば、
① Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
は「偽」であるとしても、
① Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」になり、このとき、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
が「真」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
然るに、
（13）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｆｘ）
が「真」であれば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（14）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｇａ＆Ｇｂ
が「真」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｆｘ）
が「真」であれば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（15）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｇａ
が「真」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｆｘ）
が「真」であれば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（16）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｇ＃
が「３つ」とも「偽」であれば、
① Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ
は「偽」であるとしても、
① Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
が「真」になり、このとき、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∀ｘ（Ｆｘ）
は「真」であり、
② ∀ｘ（Ｆｘ）
が「真」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
従って、
（05）（09）～（16）により、
（17）
｛すべてのｘ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、沢田允先生が書いてゐる通り、確かに、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、「正しい」。
従って、
（01）（08）（17）により、
（18）
沢田允先生が書いてゐる通り、確かに、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（18）により、
（19）
（ⅰ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　Ａ
１　　（２）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　１ＵＥ
　３　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ（２の選言項・左）
　３　（４）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　３ＵＩ（は、１回目であるため、マチガイではない。）
　３　（５）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ（２の選言項・右）
　　６（７）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　６ＥＩ（であって、ＵＩではないので、正しい。）
　　６（８）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　７∨Ｉ
１　　（９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　２３５６８∨Ｅ
といふ「計算」は、「正しい」と、せざるを得ない。
令和０３年０３月２５日、毛利太。

├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）の「なるほど、分かったぞ！（エウレカ）」。

（01）
１１２　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　１ＵＥ
　２　（４）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　３∨Ｉ
　２　（５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　４ＵＩ
　　６（６）　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　６（７）　　　　　　　　　　Ｇａ　　６ＵＥ
　　６（８）　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　７∨Ｉ
　　６（９）　　　　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　８ＵＩ
１　　（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　１２５６９∨Ｅ
「すべてのものがＦをもつか、あるいはすべてのものがＧをもつ。」ならば、「すべてのものはＦあるいはＧをもつ。」
証明は ∨Ｅ による。（５）と（９）の行において、ＵＩを用いる際に、仮定された選言（１）のいずれの選言項にも「ａ」が含まれず、
従って、制限が満たされていることに注意する。
　逆の連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） は妥当ではない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５頁改）
従って、
（01）により、
（02）
E.J.レモンが述べてゐるやうに、「結論」として、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（03）
｛すべてのもの｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとする。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ）≡「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）が性質Ｆを持つ。」といふことは、
（〃）∀ｘ（Ｆｘ）≡「ａはＦを持ち、ｂもＦを持ち、ｃもＦを持つ。」といふことである。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅱ）「ａは性質Ｆを持たない（ａはＦでない）。」
とするならば、それだけで、
（ⅱ）～∀ｘ（Ｆｘ）≡「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）が、性質Ｆを持つ。」といふわけではない。
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｆを持つ。」か、あるいは「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｇを持つ。」 然るに、
（ⅱ）「ａは性質Ｆを持たない。」 従って、
（ⅲ）「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）が、性質Ｇを持つ。」
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（07）
（ⅲ）「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）が、性質Ｇを持つ。」といふのであれば、必然的に、
（ⅳ）「ａは性質Ｇを持つ。」
従って、
（06）（07）により、
（08）
（ⅰ）「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｆを持つ。」か、あるいは「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｇを持つ。」 然るに、
（ⅱ）「ａは性質Ｆを持たない。」 従って、「選言三段論法」により、
（ⅲ）「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）が、性質Ｇを持つ。」が故に、「ａは性質Ｇを持つ。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）「すべてのもの（ｂ，ａ，ｃ）は、性質Ｆを持つ。」か、あるいは「すべてのもの（ｂ，ａ，ｃ）は、性質Ｇを持つ。」 然るに、
（ⅱ）「ｂは性質Ｆを持たない。」 従って、「選言三段論法」により、
（ⅲ）「すべてのもの（ｂ，ａ，ｃ）が、性質Ｇを持つ。」が故に、「ｂは性質Ｇを持つ。」
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
（ⅰ）「すべてのもの（ｃ，ａ，ｂ）は、性質Ｆを持つ。」か、あるいは「すべてのもの（ｃ，ａ，ｂ）は、性質Ｇを持つ。」 然るに、
（ⅱ）「ｃは性質Ｆを持たない。」 従って、「選言三段論法」により、
（ⅲ）「すべてのもの（ｃ，ａ，ｂ）が、性質Ｇを持つ。」が故に、「ｃは性質Ｇを持つ。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
（ⅰ）「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｆを持つ。」か、あるいは「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｇを持つ。」 然るに、
（ⅱ）「ａか、ｂか、ｃの、いづれかが、性質Ｆを持たない。」 が故に、
（ⅲ）「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）が、性質Ｇを持つ。」
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（11）により、
（12）
①「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｆを持つ。」か、あるいは「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｇを持つ。」
②「ａか、ｂか、ｃの、いづれかが、性質Ｆを持たない。」ならば、「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｇを持つ。」
に於いて、
① ならば、② である。
従って、
（02）（12）により、
（13）
「記号」で書くと、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（14）
１　　　　（１）　　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　　　（２）　　∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）～～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　２ＤＮ
　２　　　（４）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　５　　（６）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　５∨I
１　　　　（７）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　１２４５６∨Ｅ
１　　　　（８）　～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　７含意の定義
　　　９　（９）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　９量化子の関係
１　　９　（イ）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　８アＭＰＰ
１　　　　（ウ）　∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　９イＣＰ
　　　　エ（オ）　　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　エ（カ）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　オＥＩ
１　　　エ（キ）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　ウカＭＰＰ
１　　　エ（ク）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　キＵＥ
１　　　　（ケ）　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　　　　エクＣＰ
１　　　　（コ）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　ケＵＩ
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、すなはち、
①「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｆを持つ。」か、あるいは「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｇを持つ。」
②「ａか、ｂか、ｃの、いづれかが、性質Ｆを持たない。」ならば、「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｇを持つ。」
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、「述語計算（Predicate calculus）」としても、「正しい」。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１　　　　　（１）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　Ａ
１　　　　　（２）　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　～（Ｆａ∨Ｇａ）　　Ａ
　　４　　　（４）　　　　Ｆａ　　　　　　Ａ
　　４　　　（５）　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　４∨Ｉ
　３４　　　（６）　　～（Ｆａ∨Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｆａ∨Ｇａ）　　３５＆Ｉ
　３　　　　（７）　　　～Ｆａ　　　　　　４６ＲＡＡ
１３　　　　（８）　　　　　　　Ｇａ　　　２７ＭＰＰ
１３　　　　（９）　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　８∨Ｉ
１３　　　　（ア）　　～（Ｆａ∨Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｆａ∨Ｇａ）　　３９＆Ｉ
１　　　　　（イ）　～～（Ｆａ∨Ｇａ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）　　　（Ｆａ∨Ｇａ）　　イＤＮ
１　　　　　（オ）　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　ウＵＩ
（ⅱ）
１　　　　　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨　Ｇｘ）　　Ａ
１　　　　　（２）　　　Ｆａ∨　Ｇａ　　　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　～Ｆａ＆～Ｇａ　　　Ａ
　　４　　　（４）　　　Ｆａ　　　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　～Ｆａ　　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　　　Ｆａ＆～Ｇａ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　　　Ｇａ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　　　　　～Ｇａ　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　　Ｇａ＆～Ｇａ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　～Ｆａ　　　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　　～Ｇａ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　～Ｆａ＆～Ｇａ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　エ　（ク）　　　　　～～Ｇａ　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　（ケ）　　　　　　　Ｇａ　　　クＤＮ
１　　　　　（コ）　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　エケＣＰ
１　　　　　（サ）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　コＵＩ
従って、
（16）により、
（17）
① ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、「述語計算（Predicate calculus）」としても、「正しい」。
然るに、
（19）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふことは、
② すべてのもの（ｘ）は、Ｆであるか、または、Ｇである。
といふ、ことである。
従って、
（03）（19）により、
（20）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
②「すべてのもの（ｘ）は、Ｆであるか、または、Ｇである。」
といふのであれば、例へば、
① ａはＦではあるが、Ｇではなく、
① ｂはＦではあるが、Ｇではなく、
① ｃはＦではあるが、Ｇではない。
といふ場合には、「真（本当）」である。
然るに、
（21）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
①「すべてのもの（ｘ）は、Ｆである。」か、または「すべてのもの（ｘ）は、Ｇである。」
といふのであれば、この場合も、
① ａはＦではあるが、Ｇではなく、
① ｂはＦではあるが、Ｇではなく、
① ｃはＦではあるが、Ｇではない。
といふ場合には、「真（本当）」である。
然るに、
（22）
② ａはＦではあるが、Ｇではなく、
② ｂはＧではあるが、Ｆではなく、
② ｃはＧではあるが、Ｆではない。
であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
②「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、Ｆであるか、または、Ｇである。」
としては、「真（本当）」であるが、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
①「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、Ｆである。」か、または「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、Ｇである。」
としては、「偽（ウソ）」である。
従って、
（18）～（21）により、
（22）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
従って、
（01）（02）（22）により、
（23）
E.J.レモンが述べてゐるやうに、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（24）
１１２　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　１ＵＥ
　２　（４）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　３∨Ｉ
　２　（５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　４ＵＩ
　　６（６）　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　６（７）　　　　　　　　　　Ｇａ　　６ＵＥ
　　６（８）　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　７∨Ｉ
　　６（９）　　　　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　８ＵＩ
１　　（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　１２５６９∨Ｅ
「すべてのものがＦをもつか、あるいはすべてのものがＧをもつ。」ならば、「すべてのものはＦあるいはＧをもつ。」
証明は ∨Ｅ による。（５）と（９）の行において、ＵＩを用いる際に、仮定された選言（１）のいずれの選言項にも「ａ」が含まれず、
従って制限が満たされていることに注意する。
　逆の連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） は妥当ではない。
なぜなら、
「すべての正の整数は、偶数であるか、または、奇数である」が、
「すべての正の整数が偶数であるか、または、すべての正の整数が奇数である」というわけではない。
この場合には、
この連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）を証明しようとする自然な試みをさしとめるのは、ＵＩに対する制限である。
１　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　Ａ
１　（２）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　１ＵＥ
　３（３）　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａを（１）から結論し、そして第１の選言項 Ｆａ を（３）の行に仮定する。しかし（３）は ａ を含む故、ここで、
　　　　　∀ｘ（Ｆｘ）を結論することをさしとめられる。この段階が許されるとするならば、
　　　　　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）を ∨Ｉ によって結論し、つぎに Ｇａ からも同じことを結論することができるであろう。
　　　　　そして ∨Ｅ によって不当な連式が作り出されるであろう。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５・１５６頁改）
従って、
（24）により、
（25）
E.J.レモンも、述べてゐる通り、
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　Ａ
１　　（２）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　１ＵＥ
　３　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　３　（４）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　３ＵＩ
　３　（５）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　Ｇａ　　　　　　Ａ
　　６（７）　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　６ＵＩ
　　６（８）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　７∨Ｉ
１　　（９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　２３５６８∨Ｅ
といふ「計算（11）」は、実際には、「 マチガイ」である。
従って、
（01）～（25）により、
（26）
（ａ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　１ＵＥ
　２　（４）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　３∨Ｉ
　２　（５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　４ＵＩ
　　６（６）　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　６（７）　　　　　　　　　　Ｇａ　　６ＵＥ
　　６（８）　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　７∨Ｉ
　　６（９）　　　　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　８ＵＩ
１　　（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　１２５６９∨Ｅ
（ｂ）
１　　　　（１）　　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　　　（２）　　∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）～～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　２ＤＮ
　２　　　（４）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　５　　（６）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　５∨I
１　　　　（７）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　１２４５６∨Ｅ
１　　　　（８）　～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　７含意の定義
　　　９　（９）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　９量化子の関係
１　　９　（イ）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　８アＭＰＰ
１　　　　（ウ）　∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　９イＣＰ
　　　　エ（オ）　　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　エ（カ）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　オＥＩ
１　　　エ（キ）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　ウカＭＰＰ
１　　　エ（ク）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　キＵＥ
１　　　　（ケ）　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　　　　エクＣＰ
１　　　　（コ）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　ケＵＩ
（ｃ）
１　　　　　（１）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　Ａ
１　　　　　（２）　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　～（Ｆａ∨Ｇａ）　　Ａ
　　４　　　（４）　　　　Ｆａ　　　　　　Ａ
　　４　　　（５）　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　４∨Ｉ
　３４　　　（６）　　～（Ｆａ∨Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｆａ∨Ｇａ）　　３５＆Ｉ
　３　　　　（７）　　　～Ｆａ　　　　　　４６ＲＡＡ
１３　　　　（８）　　　　　　　Ｇａ　　　２７ＭＰＰ
１３　　　　（９）　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　８∨Ｉ
１３　　　　（ア）　　～（Ｆａ∨Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｆａ∨Ｇａ）　　３９＆Ｉ
１　　　　　（イ）　～～（Ｆａ∨Ｇａ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）　　　（Ｆａ∨Ｇａ）　　イＤＮ
１　　　　　（オ）　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　ウＵＩ
（ｄ）
１　　　　　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨　Ｇｘ）　　Ａ
１　　　　　（２）　　　Ｆａ∨　Ｇａ　　　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　～Ｆａ＆～Ｇａ　　　Ａ
　　４　　　（４）　　　Ｆａ　　　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　～Ｆａ　　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　　　Ｆａ＆～Ｇａ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　　　Ｇａ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　　　　　～Ｇａ　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　　Ｇａ＆～Ｇａ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　～Ｆａ　　　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　　～Ｇａ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　～Ｆａ＆～Ｇａ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　エ　（ク）　　　　　～～Ｇａ　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　（ケ）　　　　　　　Ｇａ　　　クＤＮ
１　　　　　（コ）　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　エケＣＰ
１　　　　　（サ）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　コＵＩ
といふ「計算」が「正しい」。といふことと、
（ｅ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　Ａ
１　　（２）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　１ＵＥ
　３　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　３　（４）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　３ＵＩ
　３　（５）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　Ｇａ　　　　　　Ａ
　　６（７）　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　６ＵＩ
　　６（８）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　７∨Ｉ
１　　（９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　２３５６８∨Ｅ
といふ「計算」が「マチガイ」である。
といふこととに関しては、今の私は、「少しの疑ひ」も、持ってはゐない。
令和０３年０３月２４日、毛利太。

「述語論理の、最大の難所（eigenvariable 条件）」の具体例（Ⅱ）。

（01）
１１２　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　１ＵＥ
　２　（４）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　３∨Ｉ
　２　（５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　４ＵＩ
　　６（６）　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　６（７）　　　　　　　　　　Ｇａ　　６ＵＥ
　　６（８）　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　７∨Ｉ
　　６（９）　　　　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　８ＵＩ
１　　（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　１２５６９∨Ｅ
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５頁）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　　　　　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨　Ｇｘ）　　Ａ
１　　　　　（２）　　　Ｆａ∨　Ｇａ　　　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　～Ｆａ＆～Ｇａ　　　Ａ
　　４　　　（４）　　　Ｆａ　　　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　～Ｆａ　　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　　　Ｆａ＆～Ｇａ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　　　Ｇａ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　　　　　～Ｇａ　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　　Ｇａ＆～Ｇａ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　～Ｆａ　　　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　　～Ｇａ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　～Ｆａ＆～Ｇａ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　エ　（ク）　　　　　～～Ｇａ　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　（ケ）　　　　　　　Ｇａ　　　クＤＮ
１　　　　　（コ）　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　エケＣＰ
１　　　　　（サ）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　コＵＩ
（ⅱ）
１　　　　　（１）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　Ａ
１　　　　　（２）　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　～（Ｆａ∨Ｇａ）　　Ａ
　　４　　　（４）　　　　Ｆａ　　　　　　Ａ
　　４　　　（５）　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　４∨Ｉ
　３４　　　（６）　　～（Ｆａ∨Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｆａ∨Ｇａ）　　３５＆Ｉ
　３　　　　（７）　　　～Ｆａ　　　　　　４６ＲＡＡ
１３　　　　（８）　　　　　　　Ｇａ　　　２７ＭＰＰ
１３　　　　（９）　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　８∨Ｉ
１３　　　　（ア）　　～（Ｆａ∨Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｆａ∨Ｇａ）　　３９＆Ｉ
１　　　　　（イ）　～～（Ｆａ∨Ｇａ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）　　　（Ｆａ∨Ｇａ）　　イＤＮ
１　　　　　（オ）　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　ウＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
（01）（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（ Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「連式」が「妥当」であるため、次の「計算」は、「妥当」である。
１　　　　（１）　　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　　　（２）　　∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）～～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　２ＤＮ
　２　　　（４）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　５　　（６）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　５∨I
１　　　　（７）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　１２４５６∨Ｅ
１　　　　（８）　～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　７含意の定義
　　　９　（９）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　９量化子の関係
１　　９　（イ）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　８アＭＰＰ
１　　　　（ウ）　∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　９イＣＰ
　　　　エ（オ）　　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　エ（カ）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　オＥＩ
１　　　エ（キ）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　ウカＭＰＰ
１　　　エ（ク）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　キＵＥ
１　　　　（ケ）　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　　　　エクＣＰ
１　　　　（コ）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　ケＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
１　　　　（ウ）　∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　９イＣＰ
　　　　エ（オ）　　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　エ（カ）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　オＥＩ
１　　　エ（キ）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　ウカＭＰＰ
１　　　エ（ク）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　キＵＥ
１　　　　（ケ）　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　　　　エクＣＰ
１　　　　（コ）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　ケＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」である。
従って、
（06）により、
（07）
１　（１）　∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２（２）　　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　２（３）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　２ＥＩ
１２（４）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　１３ＭＰＰ
１２（５）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　４ＵＥ
１　（６）　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　　　　　２５ＣＰ
１　（７）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　　６ＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」である。
従って、
（07）により、
（08）
１　（１）　∃ｘ（～偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）　Ａ
　２（２）　　　　～偶数ａ　　　　　　　　　　Ａ
　２（３）　∃ｘ（～偶数ｘ）　　　　　　　　　２ＥＩ
１２（４）　　　　　　　　　　∀ｘ（奇数ｘ）　１３ＭＰＰ
１２（５）　　　　　　　　　　　　　奇数ａ　　４ＵＥ
１　（６）　　　～偶数ａ→奇数ａ　　　　　　　２５ＣＰ
１　（７）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　　　　　　６ＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
　２（２）　　　～偶数ａ　　Ａ
　２（３）∃ｘ（～偶数ｘ）　２ＥＩ
といふ「２行」は、
（２）「任意の数ａ」が「偶数」ではないので、
（３）「偶数ではない数ｘ」が存在する。
といふことを、述べてゐる。
然るに、
（10）
１２（４）∀ｘ（奇数ｘ）　１３ＭＰＰ
１２（５）　　　奇数ａ　　４ＵＥ
といふ「２行」は、
（４）「すべての数」は「奇数」であるため、
（５）「任意の数ａ」は「奇数」である。
といふことを、述べてゐる。
従って、
（09）（10）により、
（11）
　２（２）　　　～偶数ａ　　Ａ
　２（３）∃ｘ（～偶数ｘ）　２ＥＩ
１２（４）∀ｘ（　奇数ｘ）　１３ＭＰＰ
１２（５）　　　　奇数ａ　　４ＵＥ
といふ「４行」は、
（ａ）「任意の数ａ」が「偶数」ではないので、「偶数ではない数ｘ」が存在する。
（ｂ）「すべての数」は「奇数」であるため、　「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふことを、述べてゐる。
然るに、
（12）
（ａ）「任意の数ａ」が「偶数」ではないので、「偶数ではない数ｘ」が存在する。
（ｂ）「すべての数」は「奇数」であるため、　「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふ「命題」は、明らかに、「真」である。
然るに、
（13）
（ｂ）「すべての数」は「奇数」であるため、「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふ「命題」に対して、
（ｃ）　　「ある数」は「奇数」であるため、「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふ「命題」は、「真」では、有り得ない。
然るに、
（14）
（ｃ）「ある数」は「奇数」であるため、「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふ「命題」は、「真」では、有り得ないが、仮に、
（ｃ）「ある数」は「奇数」であるため、「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふ「命題」が、「真」であるならば、
１　（１）　∃ｘ（～偶数ｘ）→∃ｘ（奇数ｘ）　Ａ
　２（２）　　　　～偶数ａ　　　　　　　　　　Ａ
　２（３）　∃ｘ（～偶数ｘ）　　　　　　　　　２ＥＩ
１２（４）　　　　　　　　　　∃ｘ（奇数ｘ）　１３ＭＰＰ
１２（５）　　　　　　　　　　　　　奇数ａ　　Ａ
１　（６）　　　～偶数ａ→奇数ａ　　　　　　　２５ＣＰ
１　（７）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　　　　　　６ＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」である。
といふことに、ならざるを得ない。
従って、
（13）（14）により、
（15）
１　（１）　∃ｘ（～偶数ｘ）→∃ｘ（奇数ｘ）　Ａ
　２（２）　　　　～偶数ａ　　　　　　　　　　Ａ
　２（３）　∃ｘ（～偶数ｘ）　　　　　　　　　２ＥＩ
１２（４）　　　　　　　　　　∃ｘ（奇数ｘ）　１３ＭＰＰ
１２（５）　　　　　　　　　　　　　奇数ａ　　４ＵＥ
１　（６）　　　～偶数ａ→奇数ａ　　　　　　　２５ＣＰ
１　（７）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　　　　　　６ＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」ではない。
然るに、
（16）
１　（１）　∃ｘ（～偶数ｘ）→∃ｘ（奇数ｘ）　Ａ
　２（２）　　　　～偶数ａ　　　　　　　　　　Ａ
　２（３）　∃ｘ（～偶数ｘ）　　　　　　　　　２ＥＩ
１２（４）　　　　　　　　　　∃ｘ（奇数ｘ）　１３ＭＰＰ
１２（５）　　　　　　　　　　　　　奇数ａ　　Ａ
１　（６）　　　～偶数ａ→奇数ａ　　　　　　　２５ＣＰ
１　（７）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　　　　　　６ＵＩ
といふ「計算（マチガイ）」は、「eigenvariable 条件」に対する「違反の、具体例」である。
然るに、
（17）
矢田部俊介先生曰く：
「ＵＩに対する制限（eigenvariable 条件）」は、「述語論理最大の難所」であって、これ本当にねぇ、わけわかんないですよね。僕は、初めてこれを習ったとき、見たとき、何のことか、全く理解できなかったんですよ。
との、ことである。
令和０３年０３月２３日、毛利太。

「述語論理の、最大の難所（eigenvariable 条件）」の具体例。

（01）
矢田部俊介先生曰く：
「ＵＩに対する制限（eigenvariable 条件）」は、「述語論理最大の難所」であって、これ本当にねぇ、わけわかんないですよね。僕は、初めてこれを習ったとき、見たとき、何のことか、全く理解できなかったんですよ。
然るに、
（02）
１　　　　（１）　　∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）　Ａ
　２　　　（２）　　∀ｘ（偶ｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）～～∀ｘ（偶ｘ）　　　　　　　　２ＤＮ
　２　　　（４）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　　　　　　　　∀ｘ（奇ｘ）　Ａ
　　５　　（６）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）　５∨I
１　　　　（７）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）　１２４５６∨Ｅ
１　　　　（８）　～∀ｘ（偶ｘ）→∀ｘ（奇ｘ）　７含意の定義
　　　９　（９）　∃ｘ（～偶ｘ）　　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　～∀ｘ（偶ｘ）　　　　　　　　９量化子の関係
１　　９　（イ）　　　　　　　　　∀ｘ（奇ｘ）　８アＭＰＰ
１　　　　（ウ）　∃ｘ（～偶ｘ）→∀ｘ（奇ｘ）　９イＣＰ
　　　　エ（オ）　　　　～偶ａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　エ（カ）　∃ｘ（～偶ｘ）　　　　　　　　オＥＩ
１　　　エ（キ）　　　　　　　　　∀ｘ（奇ｘ）　ウカＭＰＰ
１　　　エ（ク）　　　　　　　　　　　　奇ａ　　キＵＥ
１　　　　（ケ）　　　　～偶ａ→奇ａ　　　　　　エクＣＰ
１　　　　（コ）　∀ｘ（～偶ｘ→奇ｘ）　　　　　ケＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）
② ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
に於いて、
① ならば、② である。
従って、
（03）により、
（04）
「日本語」で言ふと、
①「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」
②「すべての数は、偶数でないならば、奇数である。」
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（05）
①「すべての数は偶数である。」
②「ある数ｘは、偶数でない。」
に於いて、
① と ② は、「矛盾」する。
従って、
（05）により、
（06）
①「すべての数は偶数である。」
②「ある数ｘは、偶数でない。」
に於いて、
② であるならば、① ではない。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
①「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」
であるとして、
②「任意の数が、偶数でない。」ならば、　「すべての数は奇数である。」
ｃｆ.
「選言三段論法（Disjunctive syllogism）」
然るに、
（08）
②「すべての数が奇数である。」ならば、　「任意の数は、奇数である。」
従って、
（07）（08）により、
（09）
①「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」
であるとして、
②「任意の数が、偶数でない。」ならば、　「任意の数は、奇数である。」
従って、
（09）により、
（10）
①「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」
であるとして、
②「すべての数（任意の数）は、偶数でないならば、奇数である。」
従って、
（02）～（10）により、
（11）
①「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」
②「すべての数（任意の数）は、偶数でないならば、奇数である。」
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、「日本語」で考へたとしても、「妥当」である。
ｃｆ.
① は、当然、「普通の数学」としては、「偽（ウソ）」であるが、
② は、当然、「普通の数学」としても、「真（本当）」であるが、
然るに、
（12）
① ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）
③ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∃ｘ（奇数ｘ）
に於いて、
① ではなく、
③ であるため、「次の計算（13）」は、「マチガイ」である。
（13）
１　　　　　（１）　　∀ｘ（偶ｘ）∨∃ｘ（奇ｘ）　Ａ
　２　　　　（２）　　∀ｘ（偶ｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（３）～～∀ｘ（偶ｘ）　　　　　　　　２ＤＮ
　２　　　　（４）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∃ｘ（奇ｘ）　３∨Ｉ
　　５　　　（５）　　　　　　　　　∃ｘ（奇ｘ）　Ａ
　　５　　　（６）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∃ｘ（奇ｘ）　５∨I
１　　　　　（７）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∃ｘ（奇ｘ）　１２４５６∨Ｅ
１　　　　　（８）　～∀ｘ（偶ｘ）→∃ｘ（奇ｘ）　７含意の定義
　　　９　　（９）　∃ｘ（～偶ｘ）　　　　　　　　Ａ
　　　９　　（ア）　～∀ｘ（偶ｘ）　　　　　　　　９量化子の関係
１　　９　　（イ）　　　　　　　　　∃ｘ（奇ｘ）　８アＭＰＰ
１　　　　　（ウ）　∃ｘ（～偶ｘ）→∃ｘ（奇ｘ）　９イＣＰ
　　　　エ　（エ）　　　　～偶ａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　エ　（オ）　∃ｘ（～偶ｘ）　　　　　　　　エＥＩ
１　　　エ　（カ）　　　　　　　　　∃ｘ（奇ｘ）　ウオＭＰＰ
　　　　エ　（キ）　　　　　　　　　　　　奇ａ　　Ａ
１　　　　　（ク）　　　　～偶ａ→奇ａ　　　　　　エキＣＰ
１　　　　　（ケ）　∀ｘ（～偶ｘ→奇ｘ）　　　　　クＵＩ（は、マチガイである。）
（14）
（ⅰ）
｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３つ｝が｛すべての数｝であるとして、
Ａ君は、｛ａ｝だけしか持ってゐなくて、
Ｂ君は、｛ａ，ｂ，ｃ｝のすべてを持ってゐるとする。
（ⅱ）
Ａ君は、｛ａ｝を、テーブルの上に置いたとして、
それ見て、
Ｂ君も、｛ａ｝を、テーブルの上に置いたとして、このときは、
（ⅲ）
｛ａ｝＝｛ａ｝
なので、「セーフ」である。
といふ、「ルール」があるとする。
（15）
（ⅳ）
｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３つ｝が｛すべての数｝であるとして、
Ａ君は、｛ａ｝だけしか持ってゐなくて、
Ｂ君は、｛ｂ｝だけしか持ってゐないとする。
（ⅴ）
Ａ君は、｛ａ｝を、テーブルの上に置いたとして、
それ見た、
Ｂ君は、止むを得ず、
　　　　｛ｂ｝を、テーブルの上に置いたとして、このときは、
｛ａ｝≠｛ｂ｝
なので、「アウト」とする。
といふ、「ルール」があるとする。
然るに、
（02）（13）（14）（15）により、
（16）
（13）に於ける、
　　　　エ　（エ）　　　　～偶ａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　エ　（キ）　　　　　　　　　　　　奇ａ　　Ａ
といふ「行」を、
　　　　エ　（エ）　　　　～偶ａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　エ　（キ）　　　　　　　　　　　　奇ｂ　　Ａ
といふ風に、書き直すならば、
（ⅴ）
Ａ君は、｛ａ｝を、テーブルの上に置いたとして、
それ見た、
Ｂ君は、止むを得ず、
　　　　｛ｂ｝を、テーブルの上に置いたとして、このときは、
｛ａ｝＝｛ｂ｝
ではないので、「アウト」である。
といふ「比喩」を、用ひることが、出来る。
従って、
（02）（11）～（16）により、
（17）
① ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
② ∀ｘ（偶数ｘ）∨∃ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
① は、「ルール（eigenvariable 条件）」を満たしてゐるが、
② は、「ルール（eigenvariable 条件）」を満たしてゐない。
令和０３年０３月２３日、毛利太。

「述語論理」は「難解である」。

　―「昨日（令和０３年０３月２２日）の記事」を、書き直します。―
（01）
（ⅰ）「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」然るに、
（ⅱ）「すべての数は偶数である。」ではない。従って、
（ⅲ）「すべての数は奇数である。」
といふ「推論」は、「選言三段論法（Disjunctive syllogism）」である。
従って、
（01）により、
（02）
「記号」で書くと、
（ⅰ）　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）。然るに、
（ⅱ）～∀ｘ（Ｆｘ）。従って、
（ⅲ）　∀ｘ（Ｇｘ）。
といふ「推論」は、「選言三段論法（Disjunctive syllogism）」である。
然るに、
（03）
演繹定理（Deduction theorem）は次のように表現される。
定理２．２　Ａ と Ｂ は論理式で、Γ は論理式の有限の列であるとする。もし、
　Γ，Ａ├ Ｂ
ならば、
　Γ├ Ａ→Ｂ
である（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、４０頁）。
従って、
（02）（03）により、
（03）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）， ～∀ｘ（Ｆｘ）├ ∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→ ∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
① は、「三段論法」として「妥当」であり、
② は、「演繹定理」として「妥当」である。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１　　　　（１）　～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　　　（２）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）　～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　２量化子の関係
１２　　　（４）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　１３ＭＰＰ
１　　　　（５）　∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　２４ＣＰ
　　６　　（６）　∃ｘ（～Ｆｘ＆～Ｇｘ）　　　　Ａ
　　　７　（７）　　　　～Ｆａ＆～Ｇａ　　　　　Ａ
　　　７　（８）　　　　～Ｆａ　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　７　（９）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　８ＥＩ
　　６　　（ア）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　６７９ＥＥ
１　６　　（イ）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　５アＭＰＰ
１　６　　（ウ）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　イＵＩ
　　　７　（エ）　　　　　　　　　　　～Ｇａ　　７＆Ｅ
１　６７　（オ）　　　　　　　　Ｇａ＆～Ｇａ　　ウエ＆Ｉ
１　６　　（カ）　　　　　　　　Ｇａ＆～Ｇａ　　６７オＥＥ
１　　　　（キ）～∃ｘ（～Ｆｘ＆～Ｇｘ）　　　　６カＲＡＡ
１　　　　（ク）∀ｘ～（～Ｆｘ＆～Ｇｘ）　　　　キ量化子の関係
１　　　　（ケ）　　～（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　　　クＵＥ
１　　　　（コ）　　　　　Ｆａ∨　Ｇａ　　　　　ケ、ド・モルガンの法則
１　　　　（サ）　　∀ｘ（Ｆｘ∨　Ｇｘ）　　　　コＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
③ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
従って、
（03）（05）
（06）
② 　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
③ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ 　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「連式（Sequents）」は、「妥当」である。
従って、
（06）により、
（07）
④ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→ ∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」であり、それ故、「推移律」により、
④ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
（ⅰ）　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）。然るに、
（ⅱ）～∀ｘ（Ｆｘ）。従って、
（ⅲ）　∀ｘ（Ｇｘ）。
といふ「推論（選言三段論法）」が「妥当」である。が故に、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に対して、その「逆の連式」に関しては、
逆の連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） は妥当ではない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５頁）
従って、
（09）により、
（10）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない。
従って、
（10）により、
（11）
１　　（１）∀ｘ（偶ｘ∨奇ｘ）　　　　　Ａ
１　　（２）　　　偶ａ∨奇ａ　　　　　　１ＵＥ
　３　（３）　　　偶ａ　　　　　　　　　Ａ
　３　（４）∀ｘ（偶ｘ）　　　　　　　　３ＵＩ
　３　（５）∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　奇ａ　　　　　　Ａ
　　６（７）　　　　　　　∀ｘ（奇ｘ）　６ＵＩ
　　６（８）∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）　７∨Ｉ
１　　（９）∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）　２３５６８∨Ｅ
といふ「計算（11）」は、実際には、「 マチガイ」である。
すなはち、
（12）
「すべての正の整数は、偶数であるか、または、奇数である」が、
「すべての正の整数が偶数であるか、または、すべての正の整数が奇数である」というわけではない。
この場合には、
この連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）を証明しようとする自然な試みをさしとめるのは、ＵＩに対する制限である。
１　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　Ａ
１　（２）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　１ＵＥ
　３（３）　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａを（１）から結論し、そして第１の選言項 Ｆａ を（３）の行に仮定する。しかし（３）は ａ を含む故、ここで、
　　　　　∀ｘ（Ｆｘ）を結論することをさしとめられる。この段階が許されるとするならば、
　　　　　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）を ∨Ｉ によって結論し、つぎに Ｇａ からも同じことを結論することができるであろう。
　　　　　そして ∨Ｅ によって不当な連式が作り出されるであろう。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５・１５６頁）
然るに、
（13）
京都大学文学部・矢田部俊介先生は、ユーチューブの中で、「ＵＩに対する制限（eigenvariable 条件）」は、「述語論理最大の難所」であって、「これ本当にねぇ、わけわかんないですよね。僕は、初めてこれを習ったとき、見たとき、何のことか、全く理解できなかったんですよねこれ。」といふ風に、言はれてゐる。
尚且つ、
（14）
１　　（１）∀ｘ（偶ｘ∨奇ｘ）　　　　　Ａ
１　　（２）　　　偶ａ∨奇ａ　　　　　　１ＵＥ
　３　（３）　　　偶ａ　　　　　　　　　Ａ
　３　（４）∀ｘ（偶ｘ）　　　　　　　　３ＵＩ
の場合は、「ＵＩに対する制限（eigenvariable 条件）」は、「∨Ｅ（選言除去の規則）」との「合はせ技」なので、「猶のこと、難しい」。
（15）
「E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英、論理学初歩」の「書評」を見ると、「難解です。」と書かれてゐる方がゐるものの、「E.J.レモン 著、論理学初歩」は、「それなりに難解」である上に、「惜しむらく」は、「練習問題」に対する「解答」が無いことである。
令和０３年０３月２３日、毛利太。

「幾らかのフランス人は寛大である」の「述語論理」（Ⅵ）。

（01）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）　　　├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ），∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
③ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ），∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
といふ「連式（Sequents）」を、見ていくことにする。
（02）
ｘ＝人
Ｆ＝フランス人である。
Ｇ＝寛大である。
とするならば、
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
といふ「連式」は、
① ある人はフランス人である。ある人は寛大である。故に、あるフランス人は寛大である。
といふ「意味」になる。
然るに、
（03）
① ∃ｘ（Ｆｘ）≡ある人はフランス人であって、
① ∃ｘ（Ｇｘ）≡ある人は寛大である。としても、
①「ある人ｘと、ある人ｘ」が、「同一人物」である「必然性」は無い。
然るに、
（04）
この連式を証明しようとする自然な試みが、ＥＥの制限に照らして、どのように失敗するかを見ておくことは有益である。わらわれはつぎのように証明をはじめるであろう。
１　　 （１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
１　　　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　　（３）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　１＆Ｅ
　４　　（４）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　５　（５）　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　４５　（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　　　　　４５＆Ｉ
　４５　（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　　　　６ＥＩ
存在命題（２）および（３）に対して、われわれは代表的選言項（４）および（５）を仮定して、それらから、
　∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
を導出した。しかしＥＥを適用するどのようなくわだても今度はうまく行かない。
　４５　（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　　　　６ＥＩ
の行の結論は（４）と（５）に依存し、そのいずれにも「ａ」が現れているからである。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５４頁）
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
① ある人はフランス人である。ある人は寛大である。故に、あるフランス人は寛大である。
といふ「連式（推論）」は、「妥当」ではない。
然るに、
（06）
１　　　（１）∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　２　　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｆａ→Ｇａ　　Ａ
　　　４（４）　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　　３４（５）　　　　　　Ｇａ　　３４ＭＰＰ
　　３４（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　４５＆Ｉ
　　３４（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　６ＥＩ
存在命題（１）および（２）に対して、われわれは代表的選言項（３）および（４）を仮定して、それらから、
　∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
を導出した。しかしＥＥを適用するどのようなくわだても今度はうまく行かない。
　　３４（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　４５＆Ｉ
の行の結論は（３）と（４）に依存し、そのいずれにも「ａ」が現れているからである。
従って、
（03）～（06）により、
（07）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
① ある人はフランス人である。ある人は寛大である。故に、あるフランス人は寛大である。
といふ「連式（推論）」と「同じ理由」により、
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ），∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② あるｘについて、ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である。あるｘはフランス人である。故に、あるフランス人は寛大である。
といふ「連式（推論）」は、「妥当」ではない。
然るに、
（08）
「幾らかのフランス人は寛大である（Some Frenchmen are generous.」を、正しく、
② ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）とするのは、よくある間違い（common mistake）である。しかし、
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）は、
それがフランス人であるならば、寛大であるようなものが存在することを主張するのであって、
これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。しかるに、
「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１２４頁改）
然るに、
（09）
（ⅱ）
１　　　（１）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　２含意の定義
　　４　（４）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　４　（５）∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　４ＥＩ
　　４　（６）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　５∨Ｉ
　　　７（７）　　　　　　　Ｇａ　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　７ＥＩ
　　　７（９）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　８∨Ｉ
　２　　（ア）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　３４６７９∨Ｅ
１　　　（イ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　１２アＥＥ
（ⅲ）
１　　　　（１）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　　　（２）∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　　３　　（３）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　４含意の定義
　　３　　（６）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　５ＥＩ
　２　　　（７）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　２３６ＥＥ
　　　８　（８）　　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　　　９（９）　　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　　　　９（ア）　　　　　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　９∨Ｉ
　　　　９（イ）　　　　　　　　Ｆａ→Ｇａ　　ア含意の定義
　　　　９（ウ）　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　イＥＩ
　　　８　（エ）　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　８９ウＥＥ
１　　　　（オ）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　１２７８エ∨Ｅ
従って、
（09）により、
（10）
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）          ≡あるｘについて、ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である。
③ ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）≡あるｘはフラン人ではないか、または、あるｘは寛大である。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（11）
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） 　　　　 ≡あるｘについて、ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である。
③ ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）≡あるｘはフラン人ではないか、または、あるｘは寛大である。
に於いて、
②＝③ である。
といふのであれば、
＞「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない。
といふことは、「当然」である。
然るに、
（12）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
１　　（３）　　　Ｆａ→Ｇａ　　Ａ
　　４（４）　　　Ｆａ　　　　　Ａ
１　４（５）　　　　　　Ｇａ　　３４ＭＰＰ
１　４（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　４５＆Ｉ
１　４（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　６ＥＩ
１２　（８）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　２４７ＥＥ
従って、
（12）により、
（13）
③ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ），∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
③ すべてｘについて、ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である。あるｘはフランス人である。故に、あるｘはフランス人は寛大である。
といふ「連式」は、「妥当」である。
従って、
（07）（11）（13）により、
（14）
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ），∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② あるｘについて、ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である。あるｘはフランス人である。故に、あるフランス人は寛大である。
といふ「連式（推論）」は、「妥当」ではなく、その一方で、
③ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ），∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
③ すべてｘについて、ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である。あるｘはフランス人である。故に、あるフランス人ｘは寛大である。
といふ「連式」は、「妥当」である。
従って、
（14）により、
（15）
② 　　あるフランス人は寛大である。
③ すべてのフランス人は寛大である。
といふ「日本語」は、
② ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
③ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「述語論理式」に、相当する。
然るに、
（16）
③ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）≡すべてのフランス人は寛大である。
といふのであれば、
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）≡    あるフランス人は寛大である。
であるはずであると、思はれがちであって、それ故、
＞「幾らかのフランス人は寛大である（Some Frenchmen are generous.」を、正しく、
② ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）とするのは、よくある間違い（common mistake）である。
といふ、ことになる。
令和０３年０３月２１日、毛利太。

∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）

　―「昨日（令和０３年０３月１９日）の記事」を書き直します。―
（01）
（ⅰ）
１　　（１）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　Ａ
１　　（２）　　　～偶数ａ→奇数ａ　　１ＵＥ
１　　（３）　　～～偶数ａ∨奇数ａ　　２含意の定義
　４　（４）　　～～偶数ａ　　　　　　Ａ
　４　（５）　　　　偶数ａ　　　　　　４ＤＮ
　４　（６）　　　　偶数ａ∨奇数ａ　　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　奇数ａ　　Ａ
　　７（８）　　　　偶数ａ∨奇数ａ　　７∨Ｉ
１　　（９）　　　　偶数ａ∨奇数ａ　　３４６７８∨Ｅ
１　　（ア）　∀ｘ（偶数ｘ∨奇数ｘ）　９ＵＩ
（ⅱ）
１　　（１）　∀ｘ（偶数ｘ∨奇数ｘ）　Ａ
１　　（２）　　　　偶数ａ∨奇数ａ　　１ＵＥ
　３　（３）　　　　偶数ａ　　　　　　Ａ
　３　（４）　　～～偶数ａ　　　　　　３ＤＮ
　３　（５）　　～～偶数ａ∨奇数ａ　　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　奇数ａ　　Ａ
　　６（７）　　～～偶数ａ∨奇数ａ　　６∨Ｉ
１　　（８）　　～～偶数ａ∨奇数ａ　　２３５６７∨Ｅ
１　　（９）　　　～偶数ａ→奇数ａ　　８含意の定義
１　　（ア）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　９ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
② ∀ｘ（　偶数ｘ∨奇数ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべての自然数は、偶数でないならば、奇数である。
② すべての自然数は、偶数であるか、　　奇数である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
② ∀ｘ（偶数ｘ∨奇数ｘ）
② すべての自然数は、偶数であるか、奇数である。
といふことは、
②「１、２、３、４、５、６、７、８、９、・・・・・」
といふ「普通の状態」を言ふ。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
① すべての自然数は、偶数でないならば、奇数である。
といふことも、
①「１、２、３、４、５、６、７、８、９、・・・・・」
といふ「普通の状態」を言ふ。
然るに、
（05）
② ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）
② すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。
といふことは、
②「２、４、６、８、・・・」または「１、３、５、７、・・・」
といふ「異常な状態」を言ふ。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）      ≡すべての自然数は、偶数でないならば、奇数である。
② ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）≡すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。
に於いて、
① ならば、② である。
といふことには、ならず、それ故、
① ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）├ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）
といふ「連式（推論）」は、「妥当」ではない。
然るに、
（07）
（ⅰ）「Ａか、または、Ｂである。」然るに、
（ⅱ）「Ａでない。」故に、
（ⅲ）「Ｂである。」
といふ「推論（選言三段論法）」は「妥当」である。
然るに、
（08）
演繹定理（Deduction theorem）は次のように表現される。
定理２．２　Ａ と Ｂ は論理式で、Γ は論理式の有限の列であるとする。もし、
　Γ，Ａ├ Ｂ
ならば、
　Γ├ Ａ→Ｂ
である（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、４０頁）。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① Ａ∨Ｂ，～Ａ├ Ｂ
② Ａ∨Ｂ├ ～Ａ→Ｂ
に於いて、
① は、「三段論法」として、「妥当」であり、
② は、「演繹定理」として、「妥当」である。
従って、
（09）により、
（10）
① ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）， ～∀ｘ（偶数ｘ）├ ∀ｘ（奇数ｘ）
② ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ～∀ｘ（偶数ｘ）→ ∀ｘ（奇数ｘ）
に於いて、
① は、「三段論法」として、「妥当」であり、
② は、「演繹定理」として、「妥当」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１　　（１）　～∀ｘ（偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）　Ａ
１　　（２）～～∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）　１含意の定義
　３　（３）～～∀ｘ（偶数ｘ）　　　　　　　　　Ａ
　３　（４）　　∀ｘ（偶数ｘ）　　　　　　　　　３ＤＮ
　３　（５）　　　　　偶数ａ　　　　　　　　　　３ＵＥ
　３　（６）　　　～～偶数ａ　　　　　　　　　　５ＤＮ
　３　（７）　　　～～偶数ａ∨奇数ａ　　　　　　６∨Ｉ
　３　（８）　　　　～偶数ａ→奇数ａ　　　　　　７含意の定義
　３　（９）　∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　　　　　８ＵＩ
　 ア（ア）　　　　　　　　　　∀ｘ（奇数ｘ）　Ａ
　　ア（イ）　　　　　　　　　　　　　奇数ａ　　アＵＥ
　　ア（ウ）　　　　　　　～～偶数ａ∨奇数ａ　　イ∨Ｉ
　　ア（エ）　　　　　　　　～偶数ａ→奇数ａ　　ウ含意の定義
　　ア（オ）　　　　　∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　エＵＩ
１　　（カ）　∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　　　　　１３９アオ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）　∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　　　　　Ａ
１　　（２）　　　　～偶数ａ→奇数ａ　　　　　　１ＵＥ
１　　（３）　　　～～偶数ａ∨奇数ａ　　　　　　２含意の定義
　４　（４）　　　～～偶数ａ　　　　　　　　　Ａ
　４　（５）　　　　　偶数ａ　　　　　　　　　４ＤＮ
　４　（６）　　∀ｘ（偶数ｘ）　　　　　　　　５ＵＩ（はマチガイである。）
　４　（７）～～∀ｘ（偶数ｘ）　　　　　　　　６ＤＮ
　４　（８）～～∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）　７∨Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　奇数ａ　　　　　　Ａ
　　９（ア）　　　　　∀ｘ（奇数ｘ）　　　　　９ＵＩ（はマチガイである。）
１　　（イ）～～∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）　３４８９イ∨Ｅ
１　　（ウ）　～∀ｘ（偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）　イ含意の定義
従って、
（11）により、
（12）
③ ～∀ｘ（偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
といふ「連式（推論）」は、「妥当」である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
② 　∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ～∀ｘ（偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）
③ ～∀ｘ（偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）├ 　∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
といふ「連式（推論）」は、「妥当」である。
従って、
（13）により、
（14）
「推移律」により、
④ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
といふ「連式（推論）」は、「妥当」である。
従って、
（14）により、
（15）
④ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）「すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。」従って、
（ⅱ）「すべての自然数は偶数でないならば、　　　　　　　  　　奇数である。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（16）
（ⅰ）「すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。」として、
（ⅱ）「ａ＝３ である。」とする。
然るに、
（17）
（ⅱ）「ａ＝３」は「奇数」である。
従って、
（16）（17）により、
（18）
（ⅰ）「すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。」として、
（ⅱ）「ａ＝３（奇数）である。」ならば、　  「すべての自然数は偶数である。」ではなく、
（ⅲ）「すべての自然数は奇数である。」
然るに、
（19）
（ⅲ）「すべての自然数が奇数である。」ならば、必然的に、
（ⅳ）「ａ＝３ は奇数であって、偶数ではない。」
従って、
（15）～（19）により、
（20）
（ⅰ）「すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。」従って、
（ⅱ）「　任意の自然数は偶数でないならば、　　　　　　　　　  奇数である。」
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
（06）（15）（20）により、
（21）
① ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）├ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）
④ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
に於いて、
① は、「妥当」ではないが、それとは「逆」の、
④ は、「妥当」である。
令和０３年０３月２０日、毛利太。

∃ｘ（～偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）（Ⅱ）

　―（14）以後に、「昨日（令和０３年０３月１８日）の記事」の「続き」を書きます。―
従って、
（01）～（10）により、
（11）
果たして、
① ∀ｘ（　Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（11）により、
（12）
① ∀ｘ（　Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）≡すべての整数は偶数であるか、または、すべての整数が奇数である。
② ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）≡ある整数が偶数でないならば、　　　　すべての整数は奇数である。
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
① ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）≡すべての整数は、偶数であるか、または、奇数である。
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）≡すべての整数は、偶数でないならば、　　奇数である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（13）
① ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）≡すべての整数は、偶数であるか、または、奇数である。
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）≡すべての整数は、偶数でないならば、　　奇数である。
といふ「命題」は、「真（本当）」であるが、言ふ迄もなく、
① ∀ｘ（　Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）≡すべての整数は偶数であるか、または、すべての整数が奇数である。
② ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）≡ある正数が偶数でないならば、　　　　すべての整数は奇数である。
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」である。

　―「以後」が「続き」です。―
然るに、
（14）
① ∀ｘ（　Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ），～∀ｘ（　Ｆｘ）├ ∀ｘ（Ｇｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ），　∃ｘ（～Ｆｘ）├ ∀ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① は、「選言三段論法」であって、「選言三段論法」は「妥当」である。
② は、「 肯定肯定式 」であって、「 肯定肯定式 」は「妥当」である。
ｃｆ.
① Ａか、あるいは、Ｂである。然るに、Ａでない。故に、Ｂである（選言三段論法）。
② Ａであるならば、Ｂである。然るに、Ａである。故に、Ｂである（ 肯定肯定式 ）。
然るに、
（15）
そこで演繹定理（Deduction theorem）は次のように表現される。
定理２．２　Ａ と Ｂ は論理式で、Γ は論理式の有限の列であるとする。もし、
　Γ，Ａ├ Ｂ
ならば、
　Γ├ Ａ→Ｂ
である（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、４０頁）。
従って、
（14）（15）により、
（16）
「演繹定理」により、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）， ～∀ｘ（Ｆｘ）├ ∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→ ∀ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→ ∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（18）
１　　（１）　～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
１　　（２）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　１含意の定義
　３　（３）～～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　３　（４）　　∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　３ＤＮ
　３　（５）　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　３ＵＥ
　３　（６）　　　～～Ｆａ　　　　　　　　　５ＤＮ
　３　（７）　　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　６∨Ｉ
　３　（８）　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　　　　７含意の定義
　３　（９）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　８ＵＩ
　  ア（ア）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　ア（イ）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　アＵＥ
　　ア（ウ）　　　　　　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　イ∨Ｉ
　　ア（エ）　　　　　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　ウ含意の定義
　　ア（オ）　　　　　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　エＵＩ
１　　（カ）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　１３９アオ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　Ａ
１　　（２）　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　　　　１ＵＥ
１　　（３）　　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　２含意の定義
　４　（４）　　　～～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　４　（５）　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　４ＤＮ
　４　（６）　　∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　５ＵＩ（はマチガイである。）
　４　（７）～～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　６ＤＮ
　４　（８）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　７∨Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　Ｇａ　　　　　　Ａ
　　９（ア）　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　　　　　９ＵＩ（はマチガイである。）
１　　（イ）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　３４８９イ∨Ｅ
１　　（ウ）　～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　イ含意の定義
従って、
（18）により、
（19）
③ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「推論」は、「妥当」であるが、逆に、
③ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
② 　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
③ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ 　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「２つの推論」は、「妥当」である。
従って、
（20）により、
（21）
「推移律」により、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（12）（13）（21）により、
（22）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）「すべての整数は偶数であるか、または、すべての整数が奇数である。」従って、
（ⅱ）「すべての整数は偶数でないならば、　　　　　　　　　奇数である。」
（〃）「すべての整数は奇数でないならば、　　　　　　　　　偶数である。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（23）
「実際の数学（の世界）」であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）≡すべての整数は偶数であるか、または、すべての整数が奇数である。
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　≡すべての整数は偶数であるか、または、奇数である。
に於いて、
① は「偽（ウソ）」あって、
② が「真（本当）」である。
然るに、
（24）
（ⅱ）
１　　（１）　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　Ａ
１　　（２）　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　１ＵＥ
　３　（３）　　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　３　（４）　　～～Ｆａ　　　　　３ＤＮ
　３　（５）　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　　６（７）　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　６∨I
１　　（８）　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　２３５６７∨Ｅ
１　　（９）　　　～Ｆａ→Ｇａ　　８含意の定義
１　　（ア）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　９ＵＩ
（ⅲ）
１　　（１）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
１　　（２）　　　～Ｆａ→Ｇａ　　１ＵＥ
１　　（３）　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　２含意の定義
　４　（４）　　～～Ｆａ　　　　　Ａ
　４　（５）　　　　Ｆａ　　　　　４ＤＮ
　４　（６）　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　　７（８）　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　７∨Ｉ
１　　（９）　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　３４６７８∨Ｅ
１　　（ア）　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　９ＵＩ
従って、
（24）により、
（25）
② ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「推論」は、「妥当」であって、その上、
③ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「推論」も、「妥当」である。
従って、
（25）により、
（26）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）「すべての整数は偶数であるか、または、奇数である。」従って、
（ⅱ）「すべての整数は偶数でないならば、　　奇数である。」
（〃）「すべての整数は奇数でないならば、　　偶数である。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（27）
「実際の数学（の世界）」であっても、
② ∀ｘ（  Ｆｘ∨Ｇｘ）≡すべての整数は偶数であるか、または、奇数である。
③ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）≡すべての整数は偶数でないならば、　　奇数である。
に於いて、
② は「真（本当）」あって、
③ は「真（本当）」である。
従って、
（22）（23）（26）（27）により、
（28）
「実際の数学（の世界）」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）≡すべての整数は偶数であるか、または、すべての整数が奇数である。
② ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　≡すべての整数は偶数であるか、または、奇数である。
③ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　≡すべての整数は偶数でないならば、　　奇数である。
に於いて、
① は「偽（ウソ）」であって、
② は「真（本当）」であって、
③ も「真（本当）」であるものの、
「述語論理」としては、
① ならば、③ であって、
② ならば、③ である。
令和０３年０３月１９日、毛利太。

∃ｘ（～偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）

（01）
１１２　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　１ＵＥ
　２　（４）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　３∨Ｉ
　２　（５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　４ＵＩ
　　６（６）　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　６（７）　　　　　　　　　　Ｇａ　　６ＵＥ
　　６（８）　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　７∨Ｉ
　　６（９）　　　　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　８ＵＩ
１　　（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　１２５６９∨Ｅ
　― 中略、―
逆の連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）は妥当ではない。
　― 中略、―、例へば、
「すべての正の整数は、偶数であるか、または、奇数である」が、 「すべての正の整数が偶数であるか、または、すべての正の整数が奇数である」というわけではない。
この場合には、
この連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）を証明しようとする自然な試みをさしとめるのは、ＵＩに対する制限である。
１　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　Ａ
１　（２）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　１ＵＥ
　３（３）　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａを（１）から結論し、そして第１の選言項 Ｆａ を（３）の行に仮定する。しかし（３）は ａ を含む故、ここで、
　　　　　∀ｘ（Ｆｘ）を結論することをさしとめられる。この段階が許されるとするならば、
　　　　　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）を ∨Ｉ によって結論し、つぎに Ｇａ からも同じことを結論することができるであろう。
　 　　　　　そして ∨Ｅ によって不当な連式が作り出されるであろう。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５・１５６頁）
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（02）により、
（03）
「二重否定律」により、
① ～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～～Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（03）により、
（04）
「含意の定義」により、
① ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（04）により、
（05）
「量化子の関係」により、
① ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１　　（１）　∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
１　　（２）～∃ｘ（～Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　１含意の定義
　３　（３）～∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　３　（４）∀ｘ～（～Ｆｘ）　　　　　　　　３量化子の関係
　３　（５）　　　～～Ｆａ　　　　　　　　　４ＵＥ
　３　（６）　　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　５∨Ｉ
　３　（７）　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　　　　６含意の定義
　３　（８）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　７ＵＩ
　　９（９）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　９（ア）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　９ＵＥ
　　９（イ）　　　　　　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　ア∨Ｉ
　　９（ウ）　　　　　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　イ含意の定義
　　９（エ）　　　　　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　ウＵＩ
１　　（オ）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　２３８９エ∨Ｅ
従って、
（06）により、
（07）
① ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、果たして、
① ならば、② である。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１　　（１）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　Ａ
１　　（２）　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　　　　１ＵＥ
１　　（３）　　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　２含意の定義
　４　（４）　　　～～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　４　（５）∀ｘ（～～Ｆｘ）　　　　　　　　４ＵＩ（はマチガイである。）
　４　（６）～∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　５量化子の関係
　４　（７）～∃ｘ（～Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　６∨Ｉ
　　８（８）　　　　　　　　Ｇａ　　　　　　Ａ
　　８（９）　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　　　　　８ＵＩ（はマチガイである。）
　　８（ア）～∃ｘ（～Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　９∨Ｉ
１　　（イ）～∃ｘ（～Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　１４７８ア∨Ｅ
１　　（ウ）　∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　イ含意の定義
従って、
（08）により、
（09）
① ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、果たして、
② ならば、① ではない。
従って、
（05）（07）（09）により、
（10）
① ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
果たして、
（ａ）∀ｘ（　Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）
（ｂ）∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
従って、
（01）（11）により、
（12）
（ａ）∀ｘ（　Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）≡すべての正の整数は偶数であるか、または、すべての正の整数が奇数である。
（ｂ）∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）≡ある正の整数が偶数でないならば、　　　　すべての正の整数は奇数である。
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） であって、尚且つ、
（ａ）∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）≡すべての正の整数は、偶数であるか、または、奇数である。
（ｂ）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）≡すべての正の整数は、偶数でないならば、　　奇数である。
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
然るに、
（13）
（ａ）∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）≡すべての正の整数は、偶数であるか、または、奇数である。
（ｂ）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）≡すべての正の整数は、偶数でないならば、　　奇数である。
といふ「命題」は、「真（本当）」であるが、言ふ迄もなく、
（ａ）∀ｘ（　Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）≡すべての正の整数は偶数であるか、または、すべての正の整数が奇数である。
（ｂ）∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）≡ある正の数が偶数でないならば、　　　　　すべての正の整数は奇数である。
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」である。
令和０３年０３月１８日、毛利太。

「消去法」の「論理学」。

（01）
　―「含意の定義」の「証明」。―
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　～Ｐ∨Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（02）
１　（１）　　犯人ａ∨　　　犯人ｂ∨犯人ｃ　　Ａ
１　（２）～～犯人ａ∨　　　犯人ｂ∨犯人ｃ　　１ＤＮ
１　（３）～～犯人ａ∨　～～犯人ｂ∨犯人ｃ　　２ＤＮ
１　（４）～～犯人ａ∨（～～犯人ｂ∨犯人ｃ）　２結合法則
１　（５）　～犯人ａ→（～～犯人ｂ∨犯人ｃ）　４含意の定義
　６（６）　～犯人ａ＆～犯人ｂ　　　　　　　　Ａ
　６（７）　～犯人ａ　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１６（８）　　　　　　　～～犯人ｂ∨犯人ｃ　　５７ＭＰＰ
１６（９）　　　　　　　　～犯人ｂ→犯人ｃ　　８含意の定義
　６（ア）　　　　　　～犯人ｂ　　　　　　　　６＆Ｅ
１６（イ）　　　　　　　　　　　　　犯人ｃ　　９アＭＰＰ
１　（ウ）（～犯人ａ＆～犯人ｂ）→　犯人ｃ　　６イＣＰ
（03）
（ⅰ）
　―「ド・モルガンの法則」の「証明」。―
１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
（ⅱ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
１　　（１）　（～犯人ａ＆～犯人ｂ）→犯人ｃ　Ａ
１　　（２）～（～犯人ａ＆～犯人ｂ）∨犯人ｃ　１含意の定義
　２　（３）～（～犯人ａ＆～犯人ｂ）　　　　　Ａ
　２　（４）　　　犯人ａ∨　犯人ｂ　　　　　　２ド・モルガンの法則
　２　（５）　　　犯人ａ∨　犯人ｂ∨　犯人ｃ　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　　　　　　犯人ｃ　Ａ
　　６（７）　　　　　　　　犯人ｂ∨　犯人ｃ　６∨Ｉ
　　６（８）　　　犯人ａ∨　犯人ｂ∨　犯人ｃ　７∨Ｉ
１　　（９）　　　犯人ａ∨　犯人ｂ∨　犯人ｃ　２３５６８∨Ｅ
従って、
（02）（05）により、
（06）
（ⅰ）
１　（１）　　犯人ａ∨　　　犯人ｂ∨犯人ｃ　　Ａ
１　（２）～～犯人ａ∨　　　犯人ｂ∨犯人ｃ　　１ＤＮ
１　（３）～～犯人ａ∨　～～犯人ｂ∨犯人ｃ　　２ＤＮ
１　（４）～～犯人ａ∨（～～犯人ｂ∨犯人ｃ）　２結合法則
１　（５）　～犯人ａ→（～～犯人ｂ∨犯人ｃ）　４含意の定義
　６（６）　～犯人ａ＆～犯人ｂ　　　　　　　　Ａ
　６（７）　～犯人ａ　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１６（８）　　　　　　　～～犯人ｂ∨犯人ｃ　　５７ＭＰＰ
１６（９）　　　　　　　　～犯人ｂ→犯人ｃ　　８含意の定義
　６（ア）　　　　　　～犯人ｂ　　　　　　　　６＆Ｅ
１６（イ）　　　　　　　　　　　　　犯人ｃ　　９アＭＰＰ
１　（ウ）（～犯人ａ＆～犯人ｂ）→　犯人ｃ　　６イＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　（～犯人ａ＆～犯人ｂ）→犯人ｃ　Ａ
１　　（２）～（～犯人ａ＆～犯人ｂ）∨犯人ｃ　１含意の定義
　２　（３）～（～犯人ａ＆～犯人ｂ）　　　　　Ａ
　２　（４）　　　犯人ａ∨　犯人ｂ　　　　　　２ド・モルガンの法則
　２　（５）　　　犯人ａ∨　犯人ｂ∨　犯人ｃ　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　　　　　　犯人ｃ　Ａ
　　６（７）　　　　　　　　犯人ｂ∨　犯人ｃ　６∨Ｉ
　　６（８）　　　犯人ａ∨　犯人ｂ∨　犯人ｃ　７∨Ｉ
１　　（９）　　　犯人ａ∨　犯人ｂ∨　犯人ｃ　２３５６８∨Ｅ
従って、
（06）により、
（07）
①    犯人ａ∨　犯人ｂ∨  犯人ｃ
②（～犯人ａ＆～犯人ｂ）→犯人ｃ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」が「正しい」のであれば、そのときに限って、
①「犯人は、ａであるか、ｂであるか、ｃである。」然るに、
②「犯人は、ａではなく、ｂでもない。」従って、
③「犯人は、ｃである。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
「含意の定義」や「ド・モルガンの法則」などを、知らないとしても、
①「犯人は、ａであるか、ｂであるか、ｃである。」然るに、
②「犯人は、ａではなく、ｂでもない。」従って、
③「犯人は、ｃである。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
といふことは、何処の国の、幼児であっても、知ってゐる。
従って、
（08）（09）により、
（10）
あるいは、我々は、自覚の有る無しに拘はらず、「含意の定義、ド・モルガンの法則」等の「論理法則」を、「生得的に知ってゐる」のかも、知れない。
令和０３年０３月１７日、毛利太。

「矛盾・韓非子」の「述語論理」（Ⅷ）。

（01）
楚人有鬻盾与矛者。誉之曰、吾盾之堅、莫能陥也。又誉其矛曰、吾矛之利、於物無不陥也。或曰、以子之矛、陥子之盾、何如。其人弗能応也＝
楚の国の人で盾と矛とを売る者がいた。その人が自分の盾を誉めて言った。 私のこの堅い盾を突き通すことが出来るものは何も無い。 また、自分の矛を誉めて言った。 私のこの鋭い矛は、どんな物でも突き通さないものは無い。或るひとが言った。 あなたの矛で、あなたの盾を突いたらどうなるのか。 盾と矛を売る、その人は、答えることが、出来なかった（韓非子・矛盾）。
（02）
（ⅰ）
１　　　（１）∃ｘ（吾矛ｘ＆∀ｙ（～吾盾ｙ＆盾ｙ→陥ｘｙ）｝　Ａ
　２　　（２）　　　吾矛ａ＆∀ｙ（～吾盾ｙ＆盾ｙ→陥ａｙ）　　Ａ
　２　　（３）　　　吾矛ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　（４）　　　　　　　∀ｙ（～吾盾ｙ＆盾ｙ→陥ａｙ）　　２＆Ｅ
　２　　（５）　　　　　　　　　　～吾盾ｂ＆盾ｂ→陥ａｂ　　　４ＵＥ
　　６　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　～陥ａｂ　　　Ａ
　２６　（７）　　　　　　　　～（～吾盾ｂ＆盾ｂ）　　　　　　５６ＭＴＴ
　２６　（８）　　　　　　　　　　吾盾ｂ∨～盾ｂ　　　　　　　７ド・モルガンの法則
　２６　（９）　　　　　　　　　　～盾ｂ∨吾盾ｂ　　　　　　　８交換法則
　２６　（ア）　　　　　　　　　　　盾ｂ→吾盾ｂ　　　　　　　９含意の定義
　２　　（イ）　　　　～陥ａｂ→（盾ｂ→　吾盾ｂ）　　　　　　６アＣＰ
　　　ウ（ウ）　　　　～陥ａｂ＆　盾ｂ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　ウ（エ）　　　　～陥ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　２　ウ（オ）　　　　　　　　　（盾ｂ→　吾盾ｂ）　　　　　　イエＭＰＰ
　　　ウ（カ）　　　　　　　　　　盾ｂ　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　２　ウ（キ）　　　　　　　　　　　　　　吾盾ｂ　　　　　　　オカＭＰＰ
　２　　（ク）　　　　　　　　　　～陥ａｂ＆盾ｂ→吾盾ｂ　　　ウキＣＰ
　２　　（ケ）　　　　　　　∀ｙ（～陥ａｙ＆盾ｙ→吾盾ｙ）　　クＵＩ
　２　　（コ）　　　吾矛ａ＆∀ｙ（～陥ａｙ＆盾ｙ→吾盾ｙ）　　３ケ＆Ｉ
　２　　（サ）∃ｘ｛吾矛ｘ＆∀ｙ（～陥ｘｙ＆盾ｙ→吾盾ｙ）｝　コＥＩ
１　　　（シ）∃ｘ｛吾矛ｘ＆∀ｙ（～陥ｘｙ＆盾ｙ→吾盾ｙ）｝　１２サＥＥ
（ⅱ）
１　　　（１）∃ｘ｛吾矛ｘ＆∀ｙ（～陥ｘｙ＆盾ｙ→吾盾ｙ）｝　Ａ
　２　　（２）　　　吾矛ａ＆∀ｙ（～陥ａｙ＆盾ｙ→吾盾ｙ）　　Ａ
　２　　（３）　　　吾矛ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　（４）　　　　　　　∀ｙ（～陥ａｙ＆盾ｙ→吾盾ｙ）　　２＆Ｅ
　２　　（５）　　　　　　　　　　～陥ａｂ＆盾ｂ→吾盾ｂ　　　４ＵＥ
　　６　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　～吾盾ｂ　　　Ａ
　２６　（７）　　　　　　　　～（～陥ａｂ＆盾ｂ）　　　　　　５６ＭＴＴ
　２６　（８）　　　　　　　　　　陥ａｂ∨～盾ｂ　　　　　　　７ド・モルガンの法則
　２６　（９）　　　　　　　　　　～盾ｂ∨陥ａｂ　　　　　　　８交換法則
　２６　（ア）　　　　　　　　　　　盾ｂ→陥ａｂ　　　　　　　９含意の定義
　２　　（イ）　　　　　～吾盾ｂ→（盾ｂ→陥ａｂ）　　　　　　６アＣＰ
　　　ウ（ウ）　　　　　～吾盾ｂ＆　盾ｂ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　ウ（エ）　　　　　～吾盾ｂ　　　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　２　ウ（オ）　　　　　　　　　　（盾ｂ→陥ａｂ）　　　　　　イエＭＰＰ
　　　ウ（カ）　　　　　　　　　　　盾ｂ　　　　　　　　　　　ウ＆Ｉ
　２　ウ（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　陥ａｂ　　　オカＭＰＰ
　２　　（ク）　　　　　　　　　　～吾盾ｂ＆盾ｂ→陥ａｂ　　　ウキＣＰ
　２　　（ケ）　　　　　　　∀ｙ（～吾盾ｙ＆盾ｙ→陥ａｙ）　　クＵＩ
　２　　（コ）　　　吾矛ａ＆∀ｙ（～吾盾ｙ＆盾ｙ→陥ａｙ）　　２ケ＆Ｉ
　２　　（シ）∃ｘ（吾矛ｘ＆∀ｙ（～吾盾ｙ＆盾ｙ→陥ｘｙ）｝　コＥＩ
１　　　（ス）∃ｘ（吾矛ｘ＆∀ｙ（～吾盾ｙ＆盾ｙ→陥ｘｙ）｝　１２シＥＥ
従って、
（02）により、
（03）
① ∃ｘ（吾矛ｘ＆∀ｙ（～吾盾ｙ＆盾ｙ→陥ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛吾矛ｘ＆∀ｙ（～陥ｘｙ＆盾ｙ→吾盾ｙ）｝
に於いて、すなはち、
① あるｘは吾の矛であって、すべてのｙについて、ｙが吾の盾以外の盾であるならば、ｘはｙを陥す。
② あるｘは吾の矛であって、すべてのｙについて、ｘがｙを陥すことがなく、ｙが盾であるならば、ｙは吾の盾である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
① 私の矛は、私の盾以外の、すべての盾を陥す。
② 私の矛が陥さない盾は、私の盾だけである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
① 私の矛は、私の盾を含む、すべての盾を陥す。
② 私の盾は、私の矛を含む、すべて矛を陥さない。
といふことは、「矛盾」であるが、
（06）
① 私の矛は、私の盾以外の、すべての盾を陥す。
② 私の矛が陥さない盾は、私の盾だけである。
といふことは、「矛盾」ではない。
従って、
（06）により、
（07）
吾矛之利、於非吾盾之盾無不陥也＝
吾矛之利、於〔非（吾盾）之盾〕無〔不（陥）〕也⇒
吾矛之利、〔（吾盾）非之盾〕於〔（陥）不〕無也＝
吾が矛の利なること、〔（吾が盾に）非さるの盾〕於いて〔（陥さ）不る〕無きなり＝
私のこの鋭い矛は、〔（私の盾）以外の盾に〕於いて〔（陥さ）ないことが〕無いのである。
であれば、「矛盾」しない。
（08）
因みに、
① 私のこの鋭い矛は、私の盾以外の盾において、貫さないことが無いのである（原文）。
② 我那尖銳的戟不會穿透我的盾牌以外的盾牌（グーグル翻訳）。
であるが、「私には、②が、全く、理解できない。」
（09）
① 吾矛之利、於非吾盾之盾無不陥也。
② 我那尖銳的戟不會穿透我的盾牌以外的盾牌。
といふ場合が、さうであるやうに、「漢文と、中国語は、完全に別物である」に違ひない。
令和０３年０３月１６日、毛利太。

「矛盾・韓非子」の「述語論理」（Ⅶ）。

（01）
 ― 矛盾・韓非子 ―
楚人有鬻盾与矛者。誉之曰、吾盾之堅、莫能陥也。又誉其矛曰、吾矛之利、於物無不陥也。或曰、以子之矛、陥子之盾、何如。其人弗能応也＝
楚人有［鬻〔盾与（矛）〕者］。誉（之）曰、吾盾之堅、莫（能陥）也。又誉（其矛）曰、吾矛之利、於（物）無〔不（陥）〕也。或曰、以（子之矛）、陥（子之盾）、何如。其人弗〔能（応）〕也⇒
楚人［〔盾（矛）与〕鬻者］有。（之）誉曰、吾盾之堅、（能陥）莫也。又（其矛）誉曰、吾矛之利、（物）於〔（陥）不〕無也。或曰、（子之矛）以、（子之盾）陥、何如。其人〔（応）能〕也弗＝
楚人に［〔盾と（矛）とを〕鬻ぐ者］有り。（之を）誉めて曰く、吾が盾の堅きこと、（能く陥す）莫きなり。又た（其の矛を誉めて）曰く、吾が矛の利なること、（物に）於いて〔（陥さ）不る〕無きなり。或ひと曰く、（子之矛を）以て、（子之盾を）陥さば、何如。其の人〔（応ふる）能は〕弗るなり＝
楚の国の人で盾と矛とを売る者がいた。その人が自分の盾を誉めて言った。 私のこの堅い盾を突き通すことが出来るものは何も無い。 また、自分の矛を誉めて言った。 私のこの鋭い矛は、どんな物でも突き通さないものは無い。或るひとが言った。 あなたの矛で、あなたの盾を突いたらどうなるのか。 其の盾と矛を売る人は、答えることが、出来なかった。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　　　　（１）　∃ｘ｛盾ｘ＆　∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙｘ）｝　Ａ
　２　　　（２）　∃ｙ｛矛ｙ＆～∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｙｘ）｝　Ａ
　　３　　（３）　　　　矛ｂ＆～∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ）　　Ａ
　　３　　（４）　　　　矛ｂ　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３　　（５）　　　　　　　～∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ）　　３＆Ｅ
　　３　　（６）　　　　　　　∀ｘ～（盾ｘ＆～陥ｂｘ）　　５含意の定義
　　３　　（７）　　　　　　　　　～（盾ａ＆～陥ｂａ）　　６ＵＥ
　　３　　（８）　　　　　　　　　　～盾ａ∨　陥ｂａ　　　７ド・モルガンの法則
　　３　　（９）　　　　　　　　　　　盾ａ→　陥ｂａ　　　８含意の定義
　　３　　（ア）　　　　　　　　∀ｘ（盾ｘ→　陥ｂｘ）　　９ＵＩ
　　３　　（イ）　　　　矛ｂ＆　∀ｘ（盾ｘ→　陥ｂｘ）　　４ア＆Ｉ
　　３　　（ウ）　∃ｙ（矛ｙ＆　∀ｘ（盾ｘ→　陥ｙｘ）｝　イＥＩ
　２　　　（エ）　∃ｙ（矛ｙ＆　∀ｘ（盾ｘ→　陥ｙｘ）｝　２３ウＥＥ
　　　オ　（オ）　　　　盾ａ＆　∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙａ）　　Ａ
　　　オ　（カ）　　　　盾ａ　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
　　　オ　（キ）　　　　　　　　∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙａ）　　オ＆Ｅ
　　　オ　（ク）　　　　　　　　　　　矛ｂ→～陥ｂａ　　　キＵＥ
　　　　ケ（ケ）　　　　矛ｂ＆　∀ｘ（盾ｘ→　陥ｂｘ）　　Ａ
　　　　ケ（コ）　　　　矛ｂ　　　　　　　　　　　　　　　ケ＆Ｅ
　　　　ケ（サ）　　　　　　　　∀ｘ（盾ｘ→　陥ｂｘ）　　ケ＆Ｅ
　　　　ケ（シ）　　　　　　　　　　　盾ａ→　陥ｂａ　　　サＵＥ
　　　オケ（ス）　　　　　　　　　　　　　　～陥ｂａ　　　クコＭＰＰ
　　　オケ（セ）　　　　　　　　　　　　　　　陥ｂａ　　　カシＭＰＰ
　　　オケ（ソ）　　　　　　　　　　～陥ｂａ＆陥ｂａ　　　スセ＆Ｉ
　２　オ　（タ）　　　　　　　　　　～陥ｂａ＆陥ｂａ　　　エケソＥＥ
１２　　　（チ）　　　　　　　　　　～陥ｂａ＆陥ｂａ　　　１オタＥＥ
１　　　　（ツ）～∃ｙ（矛ｙ＆　∀ｘ（盾ｘ→　陥ｙｘ）｝　２チＲＡＡ（背理法）
（ⅲ）
１　　　　（１）～∃ｙ（矛ｙ＆　∀ｘ（盾ｘ→　陥ｙｘ）｝　Ａ
１　　　　（２）∀ｙ～（矛ｙ＆　∀ｘ（盾ｘ→　陥ｙｘ）｝　１含意の定義
１　　　　（３）　　～（矛ｂ＆　∀ｘ（盾ｘ→　陥ｂｘ）｝　１ＵＥ
１　　　　（４）　　　～矛ｂ∨～∀ｘ（盾ｘ→　陥ｂｘ）　　３ド・モルガンの法則
　５　　　（５）　　　～矛ｂ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　５　　　（６）　　　～矛ｂ∨　∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ）　　５∨Ｉ
　　７　　（７）　　　　　　　～∀ｘ（盾ｘ→　陥ｂｘ）　　Ａ
　　７　　（８）　　　　　　　∃ｘ～（盾ｘ→　陥ｂｘ）　　７量化子の関係
　　　９　（９）　　　　　　　　　～（盾ａ→　陥ｂａ）　　Ａ
　　　９　（ア）　　　　　　　　　～（～盾ａ∨陥ｂａ）　　９含意の定義
　　　９　（イ）　　　　　　　　　　　盾ａ＆～陥ｂａ　　　ア、ド・モルガンの法則
　　　９　（ウ）　　　　　　　　∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ）　　イＥＩ
　　７　　（エ）　　　　　　　　∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ）　　７９ウＥＥ
　　７　　（オ）　　　～矛ｂ∨　∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ）　　エ∨Ｉ
１　　　　（カ）　　　～矛ｂ∨　∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ）　　４５６７オ∨Ｅ
１　　　　（キ）　　～｛矛ｂ＆～∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ）｝　カ、ド・モルガンの法則
１　　　　（ク）∀ｙ～｛矛ｙ＆～∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｙｘ）｝　キＵＩ
１　　　　（ケ）～∃ｙ｛矛ｙ＆～∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｙｘ）｝　ク量化子の関係
従って、
（02）により、
（03）
①　 ∃ｘ｛盾ｘ＆　∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙｘ）｝
②　 ∃ｙ｛矛ｙ＆～∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｙｘ）｝
③ ～∃ｙ（矛ｙ＆　∀ｘ（盾ｘ→　陥ｙｘ）｝
に於いて、すなはち、
① あるｘは盾であって、すべてのｙについて、ｙが矛ならば、ｙはｘを陥さない。
② あるｙは矛であって、ｘは盾であって、ｙはｘを陥さないといふ、そのやうなｘは存在しない（二重否定）。
③ ｙは矛であって、すべてのｘについて、ｘが盾であるならば、ｙはｘを陥す、といふ、そのやうなｙは存在しない。
に於いて、
①と② は「矛盾」し、
　　② の「否定」は、
③ である。
従って、
（03）により、
（04）
① いかなる矛をも、陥さない盾が存在する。
② いかなる盾をも、陥す矛が存在する。
③ いかなる盾をも、陥す矛は存在しない。
に於いて、
①と② は「矛盾」し、
　　② の「否定」は、
③ である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① 吾盾之堅、莫（能陥）也。
② 吾矛之利、於（物）無〔不（陥）〕也。
③ 不｛有［無〔不（陷）〕之矛］｝也。
に於いて、
①と② は、「矛盾」し、
②と③ も、「矛盾」する。
といふことは、「述語論理」としても、「正しい」。
ｃｆ.
③ 不有無不陷之矛也＝
③ 不｛有［無〔不（陷）〕之矛］｝也⇒
③ ｛［〔（陷）不〕無之矛］有｝不也＝
③ ｛［〔（陷さ）不る〕無きの矛は］有ら｝不る也。
令和０３年０３月１５日、毛利太。

「パースの法則」は、普通に「恒真式（トートロジー）」である。

（01）
１（１）Ｐ　　　仮定
　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ
といふ「計算」は、
Ｐ（１）の行で「Ｐ」　　を「真」であると「仮定」したところ、
Ｐ（１）の行で「Ｐ」　　が得られたので、
　（２）の行で「Ｐ→Ｐ」は「真」であるといふ「結論」を得た。
といふ「意味」である。
（02）
　　１（１）Ｐ＆Ｑ　　　仮定
　　１（２）Ｐ　　　　　１＆Ｅ
　　　（３）Ｐ＆Ｑ→Ｐ　１２ＣＰ
といふ「計算」は、
Ｐ＆Ｑ（１）の行で「Ｐ＆Ｑ」　　を「真」であると「仮定」したところ、
Ｐ＆Ｑ（２）の行で「Ｐ」　　　　が得られたので、
　　　（３）の行で「Ｐ＆Ｑ→Ｐ」は「真」であるといふ「結論」を得た。
といふ「意味」である。
（03）
　　　１　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　仮定
　　　　２　　（２）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　仮定
　　　　２　　（３）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　２含意の定義
　　　１２　　（４）　　　　　　　　Ｐ　　　１３ＭＰＰ
　　　１　　　（５）　　～Ｐ∨Ｑ→　Ｐ　　　２４ＣＰ
　　　１　　　（６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　５含意の定義
　　　　　７　（７）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　　７　（８）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　７ド・モルガンの法則
　　　　　７　（９）　　Ｐ　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　　　　ア（ア）　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　　　１　　　（イ）　　Ｐ　　　　　　　　　６７９アア∨Ｅ
　　　　　　　（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１ウＣＰ
といふ「計算」は、
（Ｐ→Ｑ）→Ｐ（１）の行で「（Ｐ→Ｑ）→Ｐ」　　　　を「真」であると「仮定」したところ、　
（Ｐ→Ｑ）→Ｐ（イ）の行で「Ｐ」　　　　　　　　　　が得られたので、
　　　　　　　（ウ）の行で「（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ」は「真」あるといふ「結論」を得た。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
①├　　　　　　　　Ｐ→Ｐ≡　　ＰならばＰである：同一律。
②├　　　　　　Ｐ＆Ｑ→Ｐ≡　　ＰであってＱであるならば、Ｐである：連言除去。
③├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
といふ「３つの連式（Sequents）」は、３つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
さて演繹定理ですがどのようなものかと言いますと、
　Γ，Ａ├ Ｂ ⇔ Γ├ Ａ→Ｂ
という命題です。
（演繹定理 - 暇人の暇人による暇人のためのブログ）
従って、
（05）により、
（06）
　Γ，Ａ├ Ｂ ⇔ Γ├ Ａ→Ｂ
に於いて、
　Γ＝空集合
　Ａ＝（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
　Ｂ＝Ｐ
であるとして、
（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）├ Ｐ ⇔ ├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
は、「演繹定理」である。
従って、
（03）（06）により、
（07）
　　　１　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　仮定
　　　　２　　（２）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　仮定
　　　　２　　（３）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　２含意の定義
　　　１２　　（４）　　　　　　　　Ｐ　　　１３ＭＰＰ
　　　１　　　（５）　　～Ｐ∨Ｑ→　Ｐ　　　２４ＣＰ
　　　１　　　（６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　５含意の定義
　　　　　７　（７）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　　７　（８）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　７ド・モルガンの法則
　　　　　７　（９）　　Ｐ　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　　　　ア（ア）　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　　　１　　　（イ）　　Ｐ　　　　　　　　　６７９アア∨Ｅ
　　　　　　　（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１ウＣＰ
といふ「証明」は、「演繹定理」による「証明」である。
然るに、
（08）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
である所の「パースの法則」は、「演繹定理」によって「証明」出来る。
然るに、
（10）
パースの法則は直観論理や中間命題論理では成立せず、演繹定理だけからでは導くことができない（ウィキペディア）。
従って、
（09）（10）により、
（11）
├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
である所の「パースの法則」が、演繹定理だけからでは導くことができない（ウィキペディア）。
といふのは、「マチガイ」であるに、違ひない。
令和０３年０３月１３日、毛利太。

「あるフランス人は寛大である。」の述語論理（Ⅴb）。

―「昨日（令和０３年０３月１２日）の記事」を書き直します。―
（01）
① あるフランス人は寛大である。
② フランス人であって、尚且つ、寛大な人がゐる。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
ｘ＝人
Ｆ＝フランス人である。
Ｇ＝寛大である。
として、
② フランス人であって、尚且つ、寛大な人がゐる。
③ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① あるフランス人は寛大である。
② フランス人であって、尚且つ、寛大な人がゐる。
③ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（04）
③ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
④ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
③＝④ ではない。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① あるフランス人は寛大である。
④ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
①＝④ ではなく、
従って、
（06）
「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく、
∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）とするのは、よくある間違いである。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１２４頁）
然るに、
（07）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
といふ「３つの式」を比較すると、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない。
といふことは、「見ただけで、すぐに分かる」。
すなはち、
（08）
｛ａ、ｂ、ｃ｝といふ｛３人｝が、｛変域（ドメイン）｝であるならば、
（ⅱ）
１　（１）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）→（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　Ａ
　２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）　　　　　　　　　　　　Ａ
　２（３）　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　２（４）　Ｆａ∨Ｆｂ　　　　　　　　　　　　　　　　３∨Ｉ
　２（〃）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）　　　　　　　　　　　　４∨Ｉ
１２（５）　　　　　　　　　　　（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　１５ＭＰＰ
１　（６）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　２６ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　Ａ
　２　（２）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（４）　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　　　　　　　　　　　３＃＆Ｉ（は不可。）
　　３（５）　Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　４＃＆Ｉ（は不可。）
　２　（６）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）　　　　　　　　　　　　２３ＥＥ
１２　（７）　　　　　　　　　　　（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　１６ＭＰＰ
１　　（８）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）→（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　２７ＣＰ
であって、それ故、
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② である。ではない。
といふことは、固より、「当然」である。
然るに、
（09）
（ⅱ）
１　（１）∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２（２）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　２ＵＥ
　２（４）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　２ＥＩ
１２（５）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　１２ＭＰＰ
１　（６）∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　２５ＣＰ
（ⅲ）
１　　　　　（１）　∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
１　　　　　（２）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　１ＵＥ
　３　　　　（３）～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　３　　　　（４）∃ｘ～（Ｆｘ）　　　　　　　　３含意の定義
　　５　　　（５）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　５　　　（６）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　５∨Ｉ
　　５　　　（７）　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　５含意の定義
　　　８　　（８）　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　５　９　（ア）　　　　　　　Ｇａ　　　　　　７９ＭＰＰ
　　５　９　（イ）　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　　　　　アＥＩ
　　５８　　（ウ）　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　　　　　８９イＥＥ（に於いて、９は８に戻ったが、５が残ったので、マチガイである。）
　　５　　　（エ）　∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　８ウＣＰ
　３　　　　（オ）　∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　３５エＥＥ
　　　　　カ（カ）　　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　　　　カ（キ）～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　∨Ｉ
　　　　　カ（ク）　∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　キ含意の定義
１　　　　　（ケ）　∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　２３オカク∨Ｅ
従って、
（08）（09）により、
（10）
「述語計算」の「結果」も、果たして、
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② である。ではない。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１　　（１）　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）　　　　　　　Ｆａ→Ｇａ　　Ａ
　　３（３）　　　　∀ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　　３（４）　　　　　　　Ｆａ　　　　　３ＵＥ
　２３（５）　　　　　　　　　　Ｇａ　　２４ＭＰＰ
　２３（６）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　５ＥＩ
１　３（７）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　１２６ＥＥ
１　　（８）∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　３７ＣＰ
（ⅲ）
１　　　　（１）　∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
１　　　　（２）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　１含意の定義
　３　　　（３）～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　３　　　（４）∃ｘ～（Ｆｘ）　　　　　　　　３量化子の関係
　　５　　（５）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　５　　（６）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　５∨Ｉ
　　５　　（７）　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　６含意の定義
　　５　　（８）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　７ＥＩ
　３　　　（９）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　４５８ＥＥ
　　　ア　（ア）　　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　　　イ（イ）　　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　　　　イ（ウ）　　　　　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　イ∨Ｉ
　　　　イ（エ）　　　　　　　　Ｆａ→Ｇａ　　ウ含意の定義
　　　　イ（オ）　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　エＥＩ
１　　　　（カ）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　２３９イオ∨Ｅ
従って、
（11）により、
（12）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（10）（12）により、br> （13）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではなく、尚且つ、
①＝③ である。
従って、
（13）により、
（14）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
① ならば、② ではないが、
② ならば、① である。
然るに、
（15）
（ⅰ）
１　　　（１）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　Ａ
　　３　（３）　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　　　４（４）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　２　４（５）　　　　　　　Ｇａ　　　　　　２４ＭＰＰ
　２　４（６）　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　　　　　５ＥＩ
　２３　（７）　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　　　　　３４６ＥＥ（に於いて、４は３に戻ったが、２が残ったので、マチガイである。）
　２　　（８）　∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　３７ＣＰ
１　　　（９）　∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　１２８ＥＥ
（ⅱ）
１　　　（１）　∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
１　　　（２）～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　１含意の定義
　３　　（３）～∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　３　　（４）∀ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　３量化子の関係
　３　　（５）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　４ＵＥ
　３　　（６）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　５∨Ｉ
　３　　（７）　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　６含意の定義
　３　　（８）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　７ＥＩ
　　９　（９）　　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　　　ア（イ）　　　　　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　ア∨Ｉ
　　　ア（ウ）　　　　　　　　Ｆａ→Ｇａ　　イ含意の定義
　　　ア（エ）　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　ウＥＩ
　　９　（オ）　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　９アエＥＥ
１　　　（カ）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　２３８９オ∨Ｅ
従って、
（15）により、
（16）
「述語計算」の「結果」としても、
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
① ならば、② ではないが、
② ならば、① である。
従って、
（10）（12）（16）により、
（17）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
①＝③ であって、
尚且つ、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない。
が故に、
② ならば、① であるが、
① ならば、② ではない。
従って、
（17）により、
（18）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
①＝② ではないし、
②＝③ ではないが、
①＝③ である。
然るに、
（19）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
①＝② ではない。
といふことは、「直観的」には、「不思議な感じ（somewhat surprising）」である。
然るに、
（20）
固より、
② ∃ｘ（Ｆｘ）≡　　あるｘはＦである。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）≡すべてのｘはＦである。
に於いて、
②＝③ でないことは、「当然」であるため、
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
②＝③ ではない。
といふことは、「当然」である。
従って、
（21）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
といふ「論理式」に於いて、「述語論理」は、「不思議」でもあり、「当然」でもある。
といふ、ことになる。
令和０３年０３月１２・１３日、毛利太。

「述語計算（による推論）」の具体例×５。

（01）
何故嫌われる？
　　∀ε＞0,　∃δ＞0　s.t.　∀x∈R, 0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-b|＜ε
高校数学ではこの様な述語論理を取り扱う機会は少ないので、大学数学まで手を出すド変態計算好きでもない限り意味が不明である。
また、高校数学の問題は様々な公式や定理を駆使して解を導く所謂「パズル問題」であったが、この論法を使いこなすのに求められるのはとにかく「理解度」である。高校数学のノリを大学数学に持ち込み出鼻を挫かれる大学生は少なくない（ε-δ論法とは）。
然るに、
（02）

日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。そこに含まれている仕事は翻訳の仕事に違いないけれども、しかしそこへ翻訳が行われる形式言語は、自然言語のシンタックスとは幾らか違ったシンタックスをもっており、また限られた述語―論理的結合記号、変数、固有名、述語文字、および２つの量記号―しかもたない。その言語のおもな長所は、記法上の制限にもかかわらず、非常に広範な表現能力をもっていることである。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）
（03）
具体的には、例へば、
（ⅰ）ある人は「吾輩は猫である」と「三四郎」の著者であるが、「吾輩は猫である」の著者は一人しかゐない。然るに、漱石は「吾輩は猫である」の著者である。従って、漱石が「吾輩は猫である」と「三四郎」の著者である。
（ⅱ）吾輩は猫であるが、名前は無い。然るに、タマには名前がある。従って、吾輩は猫であるが、タマではない。
（ⅲ）象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
（ⅳ）鼻は象が長い。然るに、兎は象ではないが、兎には鼻がある。　従って、兎の鼻は、長くない。
（ⅴ）タゴール記念会は、私が理事長であって、理事長は私である。然るに、小倉氏は、私ではない。従って、タゴール記念会の理事長は、小倉氏ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、『日本語』としてだけでなく、「次（04）以下」に示す通り、『述語計算』としても「妥当」である。

（04）
１　　　（１）∃ｘ｛吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ＆∀ｙ（吾輩猫ｙ→ｘ＝ｙ）｝　Ａ
　２　　（２）　　　吾輩猫ａ＆三四郎ａ＆∀ｙ（吾輩猫ｙ→ａ＝ｙ）　　Ａ
　２　　（３）　　　　　　　　三四郎ａ　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　（４）　　　　　　　　　　　　　∀ｙ（吾輩猫ｙ→ａ＝ｙ）　　２＆Ｅ
　２　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　吾輩猫ｂ→ａ＝ｂ　　　４ＵＥ
　　６　（６）∃ｙ（漱石ｙ＆吾輩猫ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　７（７）　　　漱石ｂ＆吾輩猫ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　　　　　　吾輩猫ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　２　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　５８ＭＰＰ
　２　７（ア）　　　漱石ａ＆吾輩猫ａ　　　　　　　　　　　　　　　　７９＝Ｅ
　２　７（イ）　　　漱石ａ＆吾輩猫ａ＆三四郎ａ　　　　　　　　　　　３ア＆Ｉ
　２　７（ウ）∃ｘ（漱石ｘ＆吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ）　　　　　　　　　　イＥＩ
　２６　（エ）∃ｘ（漱石ｘ＆吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ）　　　　　　　　　　６７ウＥＥ
１　６　（オ）∃ｘ（漱石ｘ＆吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ）　　　　　　　　　　１２エＥＥ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）∃ｘ｛吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ＆∀ｙ（吾輩猫ｘ→ｘ＝ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｙ（漱石ｙ＆吾輩猫ｙ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ（漱石ｘ＆吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）あるｘは｛「吾輩は猫である」の著者であって、「三四郎」の著者であって、すべてのｙについて、ｙが「吾輩は猫である」の著者であるならば、ｘはｙと「同一」である｝。然るに、
（ⅱ）あるｙは（漱石であって、「吾輩は猫である」の著者である）。従って、
（ⅲ）あるｘは（漱石であって、「吾輩は猫である」の著者であって、「三四郎」の著者である）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）ある人は「吾輩は猫である」と「三四郎」の著者であるが、「吾輩は猫である」の著者は一人しかゐない。然るに、
（ⅱ）漱石は、「吾輩は猫である」の著者である。従って、
（ⅲ）漱石が、「吾輩は猫である」と「三四郎」の著者である。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。

（07）
１　　　（１）　　∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝　　　　Ａ
　２　　（２）　　∃ｘ｛タマｘ＆　　　　∃ｙ（名前ｙｘ）｝　　　　Ａ
　　３　（３）　　　　　吾輩ａ＆猫ａ＆～∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　Ａ
　　　４（４）　　　　　タマａ＆　　　　∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　Ａ
　　３　（５）　　　　　　　　　　　　～∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　３＆Ｅ
　　　４（６）　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　４＆Ｅ
　　３４（７）　　　～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　５６＆Ｉ
　２３　（８）　　　～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　２４７ＥＥ
１２　　（９）　　　～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　１３８ＥＥ
１　　　（ア）　～∃ｘ｛タマｘ＆　　　　∃ｙ（名前ｙｘ）｝　　　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　∀ｘ～｛タマｘ＆　　　　∃ｙ（名前ｙｘ）｝　　　　ア量化子の関係
１　　　（ウ）　　　～｛タマａ＆　　　　∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　イＵＥ
１　　　（エ）　　　　～タマａ∨　　　～∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　ウ、ド・モルガンの法則
１　　　（オ）　　　　～∃ｙ（名前ｙａ）∨～タマａ　　　　　　　　エ交換法則
１　　　（カ）　　　　　∃ｙ（名前ｙａ）→～タマａ　　　　　　　　オ含意の定義
１　　４（キ）　　　　　　　　　　　　　　～タマａ　　　　　　　　６カＭＰＰ
１２　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　～タマａ　　　　　　　　２４キＥＥ
　　３　（ケ）　　　　　吾輩ａ＆猫ａ　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１２３　（コ）　　　　　吾輩ａ＆猫ａ＆～タマａ　　　　　　　　　　クケ＆Ｉ
１２３　（サ）　　∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ）　　　　　　　　　コＥＩ
１２　　（シ）　　∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ）　　　　　　　　　１３サＥＥ
１２　　（〃）あるｘは（吾輩であって猫であるが、タマではない）。　１３サＥＥ
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ｛タマｘ＆　　　　∃ｙ（名前ｙｘ）｝。従って、
（ⅲ）∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）あるｘは（吾輩であって、猫であるが、あるｙが、ｘの名前であることはない）。然るに、
（ⅱ）あるｘは（タマであって、　　　　　　あるｙは、ｘの名前である）。従って、
（ⅲ）あるｘは（吾輩であって、猫であるが、タマではない）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）吾輩は猫であるが、名前は無い。然るに、
（ⅱ）タマには名前がある。従って、
（ⅲ）吾輩は猫であるが、タマではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。

（10）
１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　　３　　　（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　２ＵＥ
　　　６　　（６）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　（７）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　（８）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４８ＭＰＰ
　２　６　　（ア）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５７ＭＰＰ
１　　６　　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　６　　（エ）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　長ｂ＆耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　オ（カ）　　　　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
　２　６　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　ア＆Ｅ
　２　６　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　キＵＥ
　２　６　オ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　オクＭＰＰ
１　　６　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ア＆Ｅ
１　　６　　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　コＵＥ
１２　６　オ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　ケサＭＰＰ
　　　　　オ（ス）　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
１２　６　オ（セ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　シス＆Ｉ
１２　６　　（ソ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　エオセＥＥ
１２３　　　（タ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　３６ソＥＥ
１２　　　　（チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３タＲＡＡ
１２　　　　（ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ量化子の関係
１２　　　　（テ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツＵＥ
１２　　　　（ト）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ、ド・モルガンの法則
１２　　　　（ナ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ト含意の定義
１２　　　　（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（11）により、
（12）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。

（13）
１　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝　Ａ
１　　　　（２）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝　１ＵＥ
　３　　　（３）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ）　　Ａ
　３　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ　　　３＆Ｅ
　　５　　（５）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５　　（６）　　　兎ｂ→～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ）　　　　　　　　　　　　　　　１ＵＥ
　　　７　（７）　　　兎ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５７　（８）　　　　　　～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ）　　　　　　　　　　　　　　　６７ＭＰＰ
　　５７　（９）　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　５７　（ア）　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ）　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　　イ（イ）　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　イ（ウ）　　　　　　　　　　　～～鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　イＤＮ
　３　７　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　～（～象ｂ＆　長ａ）　　　　　　４ウＭＴＴ
　３　７　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ｂ∨～長ａ　　　　　　　エ、ド・モルガンの法則
　３　７　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ→～長ａ　　　　　　　オ含意の定義
　３　７　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　　　　　　９カＭＰＰ
　３　７イ（ク）　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ＆～長ａ　　　　　　　　　　　　イキ＆Ｉ
　３　７イ（ケ）　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　クＥＩ
　３５７　（コ）　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　アイケＥＥ
１　５７　（サ）　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　２３コＥＥ
１　５　　（シ）　　　兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　７サＣＰ
１　５　　（ス）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝　　　　　　　　　　　　　　シＵＩ
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝。
といふ「三段論法（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならばｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長ければｘはｙの鼻ではない｝。然るに、
（ⅱ）　　　　すべてのｙについて｛ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく、あるｘはｙの鼻である｝。従って、
（ⅲ）　　　　すべてのｙについて｛ｙが兎であるならば、あるｘはｙの鼻であって、ｘは長くない｝。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（14）により、
（15）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は、長くない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。

（16）
１　　　　　（１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝　Ａ
１　　　　　（２）　　　Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　　Ｔ会の会員ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　　　　（４）　　　　　　　　　　∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　３４ＭＰＰ
　　５　　　（５）　　　　　　　　　　　　　私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ）　　　Ａ
　　５　　　（６）　　　　　　　　　　　　　私ｂ＆理事長ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　５　　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ）　　　５＆Ｅ
　　５　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　理事長ｃａ→ｂ＝ｃ　　　　７ＵＥ
　　　９　　（９）　　　　　∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ア　（ア）　　　　　　　　小倉ｃ＆～私ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ア　（イ）　　　　　　　　小倉ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　ア　（ウ）　　　　　　　　　　　　～私ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　　　 　　 ｂ＝ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　アエ（オ）　　　　　　　　　　　　～私ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウエ＝Ｅ
　　５　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　私ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　５　アエ（キ）　　　　　　　　　　　　～私ｂ＆私ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オカ＆Ｉ
　　５　ア　（ク）　　　　　　　　　　　　　　ｂ≠ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エキＲＡＡ
　　５　ア　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～理事長ｃａ　　　　　　　　８クＭＴＴ
　　５　ア　（コ）　　　　　　　　小倉ｃ＆～理事長ｃａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イケ＆Ｉ
　　５　ア　（サ）　　　　　∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　コＥＩ
　　５９　　（シ）　　　　　∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９アサＥＥ
１３　９　　（ス）　　　　　∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４５シＥＥ
１　　９　　（セ）　　　Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　３スＣＰ
１　　９　　（シ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝　　　　　　　　　　　　　セＵＩ
従って、
（16）により、
（17）
（ⅰ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
（ⅱ）∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ）
（ⅲ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］。｝
（ⅱ）あるｚは（小倉氏であって、ｚは私ではない。）
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｚは（小倉氏であって、ｚはｘの理事長ではない）。｝
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（17）により、
（18）
（ⅰ）タゴール記念会は、私が理事長であって、理事長は私である。然るに、
（ⅱ）小倉氏は、私ではない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会の理事長は、小倉氏ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
令和０３年０３月１０日、毛利太。