「対偶」は「簡単（自然演繹）」に（で）「証明」できる。

（ⅰ）『返り点』については、『「返り点」の「付け方」を教へます（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post_3.html）』をお読み下さい。
（ⅱ）『返り点と括弧』については、『「一二点・上下点」について（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）』他をお読み下さい。

（01）
１　　（１）　Ａ→　Ｂ　仮定
　２　（２）　　　～Ｂ　仮定
　　３（３）　Ａ　　　　仮定
１２　（４）　　　　Ｂ　１３前件肯定
１２３（５）　Ｂ＆～Ｂ　４２＆導入
１２　（６）～Ａ　　　　３５背理法
１　　（７）～Ｂ→～Ａ　２６条件法
といふ「自然演繹（の妥当性）」は、次のやうに「説明（証明）」出来る。
（02）
（１）ＡならばＢである。であって、
（２）　　　　Ｂでない。であって、その上、
（３）Ａである。　　　　とする。
然るに、
（03）
（１）ＡならばＢである。であって、
（３）Ａである。ならば、
（４）　　　　Ｂである。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（１）ＡならばＢである。であって、
（２）　　　　Ｂでない。であって、その上、
（３）Ａである。　　　　とすると、
（５）ＢであってＢでない。
然るに、
（05）
（５）ＢであってＢでない。
といふこと（矛盾）は有り得ない。
従って、
（04）（05）により、
（06）
（１）ＡならばＢである。であって、
（２）　　　　Ｂでない。ならば、
（６）Ａであっては、ならない。
従って、
（06）により、
（07）
（１）ＡならばＢである。であって、
（２）　　　　Ｂでない。ならば、
（６）Ａでない。
従って、
（07）により、
（08）
（１）ＡならばＢである。ならば、
（７）ＢでないならばＡでない。
然るに、
（09）
（01）に於いて、
　Ａ＝～Ｂ
　Ｂ＝～Ａ
といふ「代入（置換）」を行ふと、
１　　（１）　～Ｂ→　～Ａ　仮定
　２　（２）　　　　～～Ａ　仮定
　　３（３）　～Ｂ　　　　　仮定
１２　（４）　　　　　～Ａ　１３前件肯定
１２３（５）　～Ａ＆～～Ａ　４２＆導入
１２　（６）～～Ｂ　　　　　３５背理法
１　　（７）～～Ａ→～～Ｂ　２６条件法
（10）
（09）に於いて、
　～～Ａ＝Ａ
　～～Ｂ＝Ｂ
といふ「代入（置換）」を行ふと、
１　　（１）～Ｂ→～Ａ　仮定
　２　（２）　　　　Ａ　仮定
　　３（３）～Ｂ　　　　仮定
１２　（４）　　　～Ａ　１３前件肯定
１２３（５）～Ａ＆　Ａ　４２＆導入
１２　（６）　Ｂ　　　　３５背理法
１　　（７）　Ａ→　Ｂ　２６条件法
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
（１）ＢでないならばＡでない。ならば、
（７）ＡならばＢである。
従って、
（08）（11）により、
（12）
① ＡならばＢである。ならば、ＢでないならばＡでない。
② ＢでないならばＡでない。ならば、ＡならばＢである。
然るに、
（13）
「ＰならばＱであり、ＱならばＰである。」ならば、その時に限って、「Ｐ＝Ｑ」である。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① ＡならばＢである。
② ＢでないならばＡでない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（15）
命題「AならばB」の対偶は「BでないならAでない」である。 論理記号を用いて説明すると、命題「A ⇒ B」の対偶は「¬B⇒ ¬A」（¬A は命題 A の否定）である。 通常の数学では、命題「AならばB」の真偽とその対偶「BでないならAでない」の真偽とは必ず一致する(すなわち真理値が等しい）。 対偶 (論理学) - Wikipedia, https://ja.wikipedia.org/wiki/対偶_(論理学)
従って、
（01）～（15）により、
（16）
（１）ＡならばＢである。であって、その上、
（２）　　　　Ｂでない。であって、その上、
（３）Ａである。　　　　ならば、
（４）ＢであってＢでない。といふ風に、「矛盾」する。
といふことを、「理解」出来る人に対しては、「AならばB」の真偽とその対偶「BでないならAでない」の真偽とは必ず一致する。といふ「定理」を、「自然演繹」で「簡単」に「説明（証明）」できる。
然るに、
（17）
① ＡならばＢである。
② ＢでないならばＡでない。
といふことは、
① ＡはＢである。
② Ｂ以外はＡでない。
といふことに、他ならない。
従って、
（14）（17）により、
（18）
① ＡはＢである。
② Ｂ以外はＡでない。
に於いて、
①＝②
従って、
（18）により、
（19）
③ ＢはＡである。
④ Ａ以外はＢでない。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（20）
② 東京が日本である。
③ 日本は東京である。
④ 東京以外は日本ではない。
といふ「日本語」は、三つとも、「ウソ」である。
然るに、
（21）
② 東京が日本の首都である。
③ 日本の首都は東京である。
④ 東京以外は日本の首都ではない。
といふ「日本語」は、三つとも、「本当」である。
従って、
（20）（21）により、
（22）
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
④ Ａ以外はＢでない。
に於いて、
②＝③＝④ である。
然るに、
（23）
② ＡがＢである。
ならば、
① ＡはＢでない。
といふことは、有り得ない。
従って、
（23）により、
（24）
② ＡがＢである。
ならば、
① ＡはＢである。
然るに、
（25）
誰でもが、一度は聞いたことがあるやうに、「逆は必ずしも真ではない（The converse is not necessarily true）」。
従って、
（24）（25）により、
（26）
② ＡがＢである。
ならば、
① ＡはＢである。
であるが、
① ＡはＢである。
としても、
① ＡはＢである。
の「逆」、すなはち、
③ ＢはＡである。
とは、限らない。
従って、
（22）（26）により、
（27）
① ＡはＢである。
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
④ Ａ以外はＢでない。
に於いて、必ずしも、
①＝②　ではないが、必ず、
　　②＝③＝④ である。
平成３０年０２月０５日、毛利太。