返り点に対する「括弧」の用法。: 9月 2020

2020年9月30日水曜日

∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）

（01）｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、１１２１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ　２　（２）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ　２　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　２ＵＥ　２　（４）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　３∨Ｉ　　５（５）　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ　　５（６）　　　　　　　　　　Ｇａ　　５ＵＥ　　５（７）　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　６∨Ｉ１　　（８）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　１２４５７∨Ｅ１　　（９）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　８ＵＩといふ「計算」は、１　　（１）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）　　　Ａ　２　（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　（３）　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ　２　（４）　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　３∨Ｉ　　５（５）　　　　　　　　　　　（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）　　　Ａ　　５（６）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　　　　　　　　　５＆Ｅ　　５（７）　　　　　　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　　６∨Ｉ１　　（８）　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　１２４５７∨Ｅ１　　（〃）　Ｆｂ∨Ｇｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　（８と同じ。）１　　（〃）　Ｆｃ∨Ｇｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　（８と同じ。）１　　（９）（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）　８８８＆Ｉといふ「計算」に、「等しい」。然るに、（02） ①（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）　∨　（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ②（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ） ③（　　　Ｇａ　＆　Ｆｂ　　　　＆　Ｆｃ　　　）に於いて、 ①と③ は、「同時に、真になる」ことが、「不可能」であるが、 ②と③ は、「同時に、真になる」ことが、「　可能」である。然るに、（03）｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、 ①（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）　∨　（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ②（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）といふ「式」は、それぞれ、 ① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）といふ「述語論理式」に、相当する。従って、（01）（02）（03）により、（04） ① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）に於いて、 ① ならば、② であるが、 ② ならば、① ではない。従って、（01）～（04）により、（05）（ⅰ）１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ　２　（２）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ　２　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　２ＵＥ　２　（４）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　３∨Ｉ　　５（５）　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ　　５（６）　　　　　　　　　　Ｇａ　　５ＵＥ　　５（７）　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　６∨Ｉ１　　（８）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　１２４５７∨Ｅ１　　（９）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　８ＵＩ（ⅱ）１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　Ａ１　　（２）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　１ＵＥ　３　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ　３　（４）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　３ＵＩ　３　（５）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　４∨Ｉ　　６（６）　　　　　　Ｇａ　　　　　　Ａ　　６（７）　　　∀ｘ（Ｇｘ）　　　　　６ＵＩ　　６（８）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　７∨Ｉ１　　（９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　１３５６８∨Ｅに於いて、（ⅰ）の「計算」は、「正しい」が、（ⅱ）の「計算」は、「正しく」ない。然るに、（06）この場合には、連式を証明しようとする自然な試みをさしとめるのはＵＩに対する制限である、かくして、１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　Ａ１　　（２）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　１ＵＥ　３　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　ＡＦａ∨Ｇａを（１）から結論し、そして第１の選言項Ｆａを（３）の行に仮定する。しかし（３）は「ａ」を含む故、ここで ∀ｘ（Ｆｘ）を結論することをさしとめられる（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１５６頁）。従って、（01）～（06）により、（07）いづれにせよ、１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　Ａ１　　（２）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　１ＵＥ　３　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａといふ「計算」は、「マチガイ」であるものの、何故、さうなのかと言ふと、 ①（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）　∨　（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ②（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ） ③（　　　Ｇａ　＆　Ｆｂ　　　　＆　Ｆｃ　　　）に於いて、 ①と③ は、「同時に、真になる」ことが、「不可能」であるが、 ②と③ は、「同時に、真になる」ことが、「　可能」であるからである。といふことになる。（08） ① ∀ｘ（遇ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）├ ∀ｘ（遇ｘ∨奇ｘ） ② ∀ｘ（遇ｘ∨奇ｘ）├ ∀ｘ（遇ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）に於いて、 ② を「逆の連式」とすると、「逆の連式」は妥当ではない。なぜならば、すべての正の整数は偶数であるか奇数であるが、すべての数が偶数ではなく、すべての数が奇数ではない。（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１５５頁改）然るに、（08）により、（09）さうであるならば、 ① ∀ｘ（遇ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）├ ∀ｘ（遇ｘ∨奇ｘ）の場合は、 ①（すべての正の整数は偶数である）か、または、（すべての正の整数は奇数である）。故に、（すべての正の整数は偶数か奇数である。）といふ「意味」になるものの、 ①（すべての正の整数は偶数である）か、または、（すべての正の整数は奇数である）。といふことはない。従って、（08）（09）により、（10） ① ∀ｘ（遇ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）├ ∀ｘ（遇ｘ∨奇ｘ） ② ∀ｘ（遇ｘ∨奇ｘ）├ ∀ｘ（遇ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）といふ「連式」に対する、「E.J.レモンの例」は、「適切」であるとは、言へない。令和０２年０９月３０Ｆ、毛利太。

2020年9月29日火曜日

『ド・モルガンの、馬の頭』の「述語論理（私の翻訳）」。

（01）「何々の」というのも重視したいものである。　すべての馬が動物であれば、馬の頭は動物の頭である。（ド・モルガンの例）。というようなものに備えて、「何々の」に対しても敏感であることが望ましい。（三上章、日本語の論理、1963年、３８頁）（02）ド・モルガンが明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名な、また簡単な論証がある。（１）すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１６７頁）（03）｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３人の対象」から成る世界を仮定する。従って、（03）により、（04）１（01）　　　Ｆａ　　Ａ１（02）∀ｘ（Ｆｘ）　１ＵＩといふ「計算」は、１（01）　　　Ｆａ　　　　Ａ１（02）Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ　１ＵＩといふ「計算」に、「等しい」。従って、、（04）により、（05）１（01）　　　男ａ　　Ａ１（02）∀ｘ（男ｘ）　１ＵＩといふ「計算」は、１（01）　　　男ａ　　　　Ａ１（02）男ａ＆男ｂ＆男ｃ　１ＵＩといふ「計算」に、「等しい」。然るに、（03）により、（06）１（01）　　　男ａ　　　　Ａ１（02）男ａ＆男ｂ＆男ｃ　１ＵＩといふ「計算」は、１（01）ａは男である。従って、１（02）すべての人間は男である。といふ、「意味」である。然るに、（07）１（01）トランプ大統領が男性である。からと言って、１（02）すべての人間が、男性である。といふわけではない。従って、（03）～（07）により、（08）１（01）　　　Ｆａ　　Ａ１（02）∀ｘ（Ｆｘ）　１ＵＩといふ「計算」は、「マチガイ（誤謬）」である。然るに、（09）１（１）　　　男ａ　　　　　Ａ　（２）　　　男ａ→男ａ　　１１ＣＰ　（３）∀ｘ（男ｘ→男ｘ）　２ＵＩ然るに、（10）　―「含意の定義」の証明 ― （ⅰ）１　　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ　２　　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ　　３　（４）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　３　（５）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　４∨Ｉ　２３　（６）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２５＆Ｉ　２　　（７）　　～～Ｐ　　　　　３６ＲＡＡ　２　　（８）　　　　Ｐ　　　　　７ＤＮ１２　　（９）　　　　　　Ｑ　　　１８ＭＰＰ１２　　（ア）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　９∨Ｉ１２　　（イ）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２ア＆Ｉ１　　　（ウ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２イＲＡＡ１　　　（エ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　ウＤＮ（ⅱ）１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ従って、（10）により、（11） ① 　Ｐ→Ｑ ② ～Ｐ∨Ｑに於いて、 ①＝② である（含意の定義）。従って、（11）により、（12） ① 　男ａ→男ａ ② ～男ａ∨男ａに於いて、 ①＝② である（含意の定義）。従って、（09）（12）により（13） ① ∀ｘ（　男ｘ→男ｘ） ② ∀ｘ（～男ｘ∨男ｘ）に於いて、 ①＝② である（含意の定義）。然るに、（03）（13）により、（14） ① ∀ｘ（　男ｘ→男ｘ） ② ∀ｘ（～男ｘ∨男ｘ）といふ「論理式」は、 ①（　男ａ→男ａ）＆（　男ｂ→男ｂ）＆（　男ｃ→男ｃ） ②（～男ａ∨男ａ）＆（～男ａ∨男ｂ）＆（～男ｃ∨男ｃ）といふ「論理式」に「等しい」。然るに、（03）（14）により、（15） ①（　男ａ→男ａ）＆（　男ｂ→男ｂ）＆（　男ｃ→男ｃ） ②（～男ａ∨男ａ）＆（～男ａ∨男ｂ）＆（～男ｃ∨男ｃ）といふ「論理式」は、 ① すべての人は、男であるならば、男である。 ② すべての人は、女であるか、または、男である。といふ、「意味」である。然るに、（16） ① すべての人は、男であるならば、男である。 ② すべての人は、女であるか、または、男である。といふ「命題」は、明らかに、「恒に真（トートロジー）」である。従って、（09）～（16）により、（17）１（１）　　　男ａ　　　　　Ａ　（２）　　　男ａ→男ａ　　１１ＣＰ　（３）∀ｘ（男ｘ→男ｘ）　２ＵＩといふ「計算」は、「妥当」である。従って、（17）により、（18）１（１）　　　男ａ　　　　　Ａ　（２）　　　男ａ→男ａ　　１１ＣＰ　（３）∀ｘ（男ｘ→男ｘ）　２ＵＩに対する、「代入例（ＳＩ）」として、１（１）　　　　馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　　　Ａ　（２）　　　（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　１１ＣＰ　（３）∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝　２ＵＩといふ「計算」も、「妥当」である。然るに、（19）により、（20） ① ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝といふ「述語論理式」は、 ① すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭である）ならば、（ｘは馬であって、あるｙがｘの頭である）｝。といふ「意味」である。然るに、（21） ① すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭である）ならば、（ｘは馬であって、あるｙがｘの頭である）｝。といふことは、 ① 馬の頭は、馬の頭である。といふことである。従って、（21）により、（22） ① すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭である）ならば、（ｘは動物であって、あるｙがｘの頭である）｝。といふのであれば、 ① 馬の頭は、動物の頭である。といふことになる。従って、（20）（21）（22）により、（23） ② 動＝動物として、 ① ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝ ② ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝に於いて、 ① 馬の頭は、　馬の頭である。 ② 馬の頭は、動物の頭である。といふ、ことになる。従って、（02）（12）（23）により、（24）１（１）　　　（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　　　Ａ　（２）　　　（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　１１ＣＰ　（３）∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝　２ＵＩといふ「計算」と、１（１）∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　Ａといふ「連式」から、 ② ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝といふ「述語論理式」が、「導出」できるならば、（１）すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。（〃）All horses are animals; Therefore all horses's heads are animals' heads. といふ「論証の妥当性」が、「証明」されたことになる。然るに、（25） □□□　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝１　　（１） ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　（２）　　（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　　Ａ　２　（３）　　　　　　 ∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ　２　（４）　　　　馬ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ１　　（５）　　　馬ａ→動ａ　　　　　　　　　　　　　　　　１ＵＥ１２　（６）　　　　　　　動ａ　　　　　　　　　　　　　　　　４５ＭＰＰ１２　（７）　　　（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　　　３６＆Ｉ１　　（８）　　　　馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　２７ＣＰ１　　（９）∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝　８ＵＩ然るに、（26）１２３　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝１　　（１）　　　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　（２）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）　　　　　　　　　　　　　Ａ　　３（３）　　　　　　馬ｂ＆頭ａｂ　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　３（４）　　　　　　馬ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ　　３（５）　　　　　　　　　頭ａｂ　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ１　　（６）　　　　　　馬ｂ→動ｂ　　　　　　　　　　　　　　　１ＵＥ１　３（７）　　　　　　　　　動ｂ　　　　　　　　　　　　　　　４６ＭＰＰ１　３（８）　　　　　　動ｂ＆頭ａｂ　　　　　　　　　　　　　　５７＆Ｉ１　３（９）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　　　　　　　　　　　　　８ＥＩ１２　（ア）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　　　　　　　　　　　　　２３９ＥＥ１　　（イ）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　　２アＣＰ１　　（ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝　イＵＩ（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１６７頁）従って、（25）（26）により、（27）「E.J.レモンの証明」よりも、「私の証明」の方が、「３行」だけ「短い」し、少なくとも、私自身にとっては、どちらかと言へば、「私の証明」の方が、「E.J.レモンの証明」よりも、「分かり易い」。令和０２年０９月２９日、毛利太。

2020年9月28日月曜日

『ド・モルガンの「馬の頭」の例』は、「大変、意外」である。ただし、

（01）ド・モルガンが明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名な、また簡単な論証がある。（１）すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。 ― １０行、中略、― １２３　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝１　　（１）　　　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　（２）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）　　　　　　　　　　　　　Ａ　　３（３）　　　　　　馬ｂ＆頭ａｂ　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　３（４）　　　　　　馬ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ　　３（５）　　　　　　　　　頭ａｂ　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ１　　（６）　　　　　　馬ｂ→動ｂ　　　　　　　　　　　　　　　１ＵＥ１　３（７）　　　　　　　　　動ｂ　　　　　　　　　　　　　　　４６ＭＰＰ１　３（８）　　　　　　動ｂ＆頭ａｂ　　　　　　　　　　　　　　５７＆Ｉ１　３（９）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　　　　　　　　　　　　　８ＥＩ１２　（ア）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　　　　　　　　　　　　　２３９ＥＥ１　　（イ）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　　２アＣＰ１　　（ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝　イＵＩ（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１６７頁改）然るに、（02）　　２（２）　馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　（８）（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　２２ＣＰといふ「同一律」は、「妥当」である。従って、（02）により、（03） □□□　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝１　　（１）　 ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　（２）　　　（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　　Ａ　２　（３）　　　　　　　∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ　２　（４）　　　　馬ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ１　　（５）　　　　馬ａ→動ａ　　　　　　　　　　　　　　　　１ＵＥ１２　（６）　　　　　　　　動ａ　　　　　　　　　　　　　　　　４５ＭＰＰ１２　（７）　　　（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　　　３６＆Ｉ１　　（８）　　　（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　２７ＣＰ１　　（９）∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝　８ＵＩといふ「計算」は、「妥当」である。従って、（01）（02）（03）により、（04） ① ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝ ② ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝といふ「推論」、すなはち、 ① すべてのｘについて（ｘが馬ならば、ｘは動物である）。故に、すべてのｘについて｛（あるｙが馬であって、ｘがｙの頭である）ならば、（あるｙは動物であって、ｘはｙの頭である）｝。 ② すべてのｘについて（ｘが馬ならば、ｘは動物である）。故に、すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭である）ならば、（ｘは動物であって、あるｙはｘの頭である）｝。といふ「推論」、すなはち、 ① すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。 ② すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。といふ「推論」は、「妥当」である。然るに、（05）（ⅲ）１　　　　（１）　∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝　Ａ１　　　　（２）　　　　（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　１ＵＥ　３　　　（３）　　　　　馬ａ→∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　４　　（４）　　　　　馬ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　３４　　（５）　　　　　　　　∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　　　３４ＭＰＰ　３４　　（６）　　　　　馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　　　４５１３４　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　動ａ＆∃ｙ頭ｙａ３６ＭＰＰ１３４　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　動ａ　　　　　　　　　７＆Ｅ１３　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　馬ａ→動ａ　　　　　　４８ＣＰ１　　　　（ア）　　　　（馬ａ→∃ｙ頭ｙａ）→（馬ａ→動ａ）　　　　　３９ＣＰ１　　　　（イ）　　　～（馬ａ→∃ｙ頭ｙａ）∨（馬ａ→動ａ）　　　　　ア含意の定義　　　ウ　（ウ）　　　～（馬ａ→∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　ウ　（エ）　　　～（～馬ａ∨∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　　ウ含意の定義　　　ウ　（オ）　　　　（馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　　エ、ド・モルガンの法則　　　ウ　（カ）　　　　（馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）∨（馬ａ→動ａ）　　　　オ∨Ｉ　　　　キ（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　（馬ａ→動ａ）　　　　Ａ　　　　キ（ク）　　　　（馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）∨（馬ａ→動ａ）　　　　キ∨Ｉ１　　　　（ケ）　　　　（馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）∨（馬ａ→動ａ）　　　　イウカキク∨Ｅ１　　　　（コ）　　～～（馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）∨（馬ａ→動ａ）　　　　ケＤＮ１　　　　（サ）　　　～（馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）→（馬ａ→動ａ）　　　　コ含意の定義１　　　　（シ）∀ｘ｛～（馬ｘ＆～∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ→動ｘ）｝　　　サＵＩ従って、（04）（05）により、（06） ③ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝├ ∀ｘ｛～（馬ｘ＆～∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ→動ｘ）｝といふ「推論」、すなはち、 ③ すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭である）ならば、（ｘは動物であって、あるｙはｘの頭である）｝。故に、すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭ではない）といふことが無いのであれば、（ｘが馬ならば、ｘは動物である）｝。といふ「推論」、すなはち、 ③ すべての馬の頭は動物の頭である。故に、頭が無い馬がゐないのであれば、すべての馬は動物である。といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（04）（06）により、（07） ② すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。 ③ すべての馬の頭は動物の頭である。故に、頭が無い馬がゐないのであれば、すべて馬は動物である。といふ「推論」は、両方とも。「妥当」である。然るに、（08） ②「生物学的（常識的）」には、「頭が無い馬」は存在しないが故に、 ②（文字通りに、）すべての馬の頭は動物の頭である。といふことになり、その一方で、 ③「論理的（非常識的）」には、「頭が無い馬」の存在は「否定できない」が故に、 ③（頭の無い馬がゐないのであれば、）すべて馬は動物である。といふ風にしか、言へないことになる。然るに、（09）　∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）の形の文が意味していることはＡのクラスにはどのようなｘも存在しないということであって、ｘがどこか特定のクラスの中に存在しているということをいっているのではない。（沢田允、現代論理学入門、1962年、１２４頁）従って、（06）（09）により、（10） ④ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）といふ「述語論理式」が、さうであるやうに、 ③ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝といふ「述語論理式」も、 ③ 馬には頭がある。とは、言ってはゐない。従って、（06）～（10）により、（11） ③ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝├ ∀ｘ｛～（馬ｘ＆～∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ→動ｘ）｝といふ「推論」からは、 ③（頭の無い馬がゐないのであれば、その限りに於いて、）すべて馬は動物である。といふ風にしか、言へないことになる。令和０２年０９月２８日、毛利太。

2020年9月26日土曜日

「無馬之頭而非動物之頭」の「述語論理」

（01）ド・モルガンが明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名な、また簡単な論証がある。（１）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。 ― １０行、中略、― １２３　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝１　　（１）　　　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　（２）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）　　　　　　　　　　　　　Ａ　　３（３）　　　　　　馬ｂ＆頭ａｂ　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　３（４）　　　　　　馬ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ　　３（５）　　　　　　　　　頭ａｂ　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ１　　（６）　　　　　　馬ｂ→動ｂ　　　　　　　　　　　　　　　１ＵＥ１　３（７）　　　　　　　　　動ｂ　　　　　　　　　　　　　　　４６ＭＰＰ１　３（８）　　　　　　動ｂ＆頭ａｂ　　　　　　　　　　　　　　５７＆Ｉ１　３（９）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　　　　　　　　　　　　　８ＥＩ１２　（ア）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　　　　　　　　　　　　　２３９ＥＥ１　　（イ）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　　２アＣＰ１　　（ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝　イＵＩ（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１６７頁改）然るに、（02）１　　（１）　　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　（２）　　　　　馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　（３）　　　　　　　　∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ　２　（４）　　　　　馬ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ１　　（５）　　　　　馬ａ→動ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　１ＵＥ１２　（６）　　　　　　　　動ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　４５ＭＰＰ１２　（７）　　　　　動ａ＆∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　　　　３６＆Ｉ１　　（８）　　　　　馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ→　　　動ａ＆∃ｙ頭ｙａ　　　２７ＣＰ　　９（９）　　　　（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）＆～（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　Ａ　　９（ア）　　　　（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ１　９（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　８アＭＰＰ　　９（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　～（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　９＆Ｅ１　９（エ）　　　　（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）＆～（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　イウ＆Ｉ１　　（オ）　　～｛（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）＆～（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）｝　９エＲＡＡ１　　（カ）∀ｘ～｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）＆～（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝　オＵＩ１　　（キ）～∃ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）＆～（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝　カ量化子の関係従って、（01）（02）により、（03） ① ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝ ② ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ～∃ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）＆～（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝といふ「連式（Sequents）」は、両方とも、「妥当」である。従って、（03）により、（04） ② すべてのｘについて（ｘが馬ならば、ｘは動物である）。故に、｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭であって）、尚且つ、（ｘが動物であって、あるｙがｘの頭）ではない。｝といふ、そのやうなｘは存在しない。といふ「推論」は、「妥当」である。然るに、（05） ② 馬者動物也。是以、無馬之頭而非動物之頭＝ ② 馬者動物也。是以、無〔馬之頭而非（動物之頭）〕⇒ ② 馬者動物也。是以、〔馬之頭而（動物之頭）非〕無＝ ② 馬は動物なり。是を以て、〔馬の頭にして（動物の頭に）非ざるは〕無し＝ ② 馬は動物である。そのため、馬の頭であって、動物の頭でない頭は、存在しない。従って、（03）（04）（05）により、（06） ② 馬者動物也。是以、無馬之頭而非動物之頭。といふ「漢文」は、 ② ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ～∃ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）＆～（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝といふ「述語論理式」に、「等しい」。令和０２年０９月２６日、毛利太。

2020年9月25日金曜日

「∃ｘ∀ｙ（Ｆｙｘ）」他を「展開」すると、

（01） ① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ） ② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）といふ「述語論理式」は、 ① ある人は、すべての人を愛してゐる（能動形）。 ② すべての人はある人によって、愛されてゐる（受動形）。といふ風に、読むことが出来る。然るに、（02） ① ある人Ａが、すべての人を愛してゐる。とするならば、 ② すべての人は、ある人Ａによって、愛されてゐる。然るに、（03） ② すべての人が、ある人Ａと、ある人Ｂの内の、どちらかによって愛されてゐる。とするならば、 ② すべての人がある人によって、愛されてゐる。としても、 ① ある人Ａが、すべての人を愛してゐる。とは、限らない。従って、（01）（02）（03）により、（04） ① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ） ② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）といふ「述語論理式」が、さうであるやうに、 ① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）といふ「述語論理式」に於いて、 ① ならば、② であるが、 ② ならば、① である。とは、限らない。従って、然るに、（05）なるほどつぎのことは証明できる。１２２　∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）├ ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）１　（１）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）　Ａ　２（２）　　∀ｙ（Ｆａｙ）　Ａ　２（３）　　　　　Ｆａｂ　　２ＵＥ　２（４）　　∃ｘ（Ｆｘｂ）　３ＥＩ　２（５）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）　４ＵＩ１　（６）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）　１２５ＥＥ（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１６５・１６６頁）然るに、（06）たとえば、１　（１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）　Ａ１　（２）　　∃ｘ（Ｆｘｂ）　１ＵＥ　３（３）　　　　　Ｆａｂ　　Ａ　３（４）　　∀ｙ（Ｆａｙ）　３ＵＩ　３（５）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）　３ＥＩ１　（６）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）　２３５ＥＥただ一つび誤った段階は（４）のそれである。（３）は「ｂ」を含み、その結果ＵＩの制限が破られている点に誤りがある。（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１６６頁改）従って、（04）（05）（06）により、（07）いづれにせよ、 ① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ） ② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）が、さうであるやうに、 ① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）に於いて、 ① ならば、② であるが、 ② ならば、① である。とは、限らない。然るに、（08） ①｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、 ① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）といふ『連言の、選言』は、（ⅰ）　Ｆ（ｘａ）＆Ｆ（ｘｂ）＆Ｆ（ｘｃ）（ⅱ）｛Ｆ（ｘａ）＆Ｆ（ｘｂ）＆Ｆ（ｘｃ）｝∨｛Ｆ（ｘａ）＆Ｆ（ｘｂ）＆Ｆ（ｘｃ）｝∨｛Ｆ（ｘａ）＆Ｆ（ｘｂ）＆Ｆ（ｘｃ）｝（ⅲ）｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝といふ「手順」で、「展開」出来る。（09） ②｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、 ② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）といふ『選言の、連言』は、（ⅰ）　Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）（ⅱ）｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝＆｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝＆｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝（ⅲ）｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝といふ「手順」で、「展開」出来る。従って、（07）（08）（09）により、（10） ① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝ ② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝に於いて、 ① ならば、② であるが、 ② ならば、① である。とは、限らない。然るに、（01）（10）により、（11）１　（１）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）　Ａ　２（２）　　∀ｙ（Ｆａｙ）　Ａ　２（３）　　　　　Ｆａｂ　　２ＵＥ　２（４）　　∃ｘ（Ｆｘｂ）　３ＥＩ　２（５）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）　４ＵＩ１　（６）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）　１２５ＥＥといふ「計算」は、「（12）～（16）」のやうな、「プロセス」であると、見做すことが、出来る。（12） ① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝に於いて、例へば、 ①｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝が「真」であるならば、 ① Ｆ（ａａ）は「真」であり、 ① Ｆ（ａｂ）も「真」であり、 ① Ｆ（ａｃ）も「真」である。然るに、（13） ① Ｆ（ａａ）は「真」であり、 ① Ｆ（ａｂ）も「真」であり、 ① Ｆ（ａｃ）も「真」である。ならば、 ①｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝は「真」であり、 ①｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝も「真」であり、 ①｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝も「真」である。然るに、（14） ①｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝は「真」であり、 ①｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝も「真」であり、 ①｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝も「真」である。ならば、 ②｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝は「真」である。然るに、（15） ①｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝が「真」であるとしても、 ①｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝が「真」であるとしても、「結論（14）」は、「変はらない」。従って、（10）～（15）により、（16） ① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝ ② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝に於いて、 ① ならば、② である。然るに、（06）により、（17）１　（１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）　Ａ１　（２）　　∃ｘ（Ｆｘｂ）　１ＵＥ　３（３）　　　　　Ｆａｂ　　Ａ　３（４）　　∀ｙ（Ｆａｙ）　３ＵＩ　３（５）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）　３ＥＩ１　（６）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）　２３５ＥＥといふ「間違った計算」の、１　（１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）　Ａ１　（２）　　∃ｘ（Ｆｘｂ）　１ＵＥ　３（３）　　　　　Ｆａｂ　　Ａ　３（４）　　∀ｙ（Ｆａｙ）　３ＵＩといふ「４行」は、（１）　Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝（２）｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝（３）Ｆ（ａｂ）（４）｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝といふ「４行」に、「相当」する。従って、（17）により、（18）（２）｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝（３）Ｆ（ａｂ）（４）｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝の場合は、「結果」として、（２）｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝といふ「前提（premise）」を、（４）｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝といふ風に、「書き換へ」てゐるが、固より、（２）と（４）は、「同じ」ではない。従って、（06）（17）（18）により、（19）（２）｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝（３）Ｆ（ａｂ）（４）｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝に「相当」する所の、１　（２）　　∃ｘ（Ｆｘｂ）　１ＵＥ　３（３）　　　　　Ｆａｂ　　Ａ　３（４）　　∀ｙ（Ｆａｙ）　３ＵＩといふ「計算」が、「マチガイ」である。といふことは、『明白』である。従って、（06）（17）～（19）により、（20）１　（１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）　Ａ１　（２）　　∃ｘ（Ｆｘｂ）　１ＵＥ　３（３）　　　　　Ｆａｂ　　Ａ　３（４）　　∀ｙ（Ｆａｙ）　３ＵＩ　３（５）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）　３ＥＩ１　（６）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）　２３５ＥＥといふ「間違った計算」は、 ① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝ ② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝といふ「等式」の、 ①｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝ ②｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝といふ「右辺」を見ることによって、「それがマチガイである。」といふことが、『明白』になる。（21） ③｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、 ③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）といふ『選言の、選言』は、（ⅰ）　Ｆ（ｘａ）∨Ｆ（ｘｂ）∨Ｆ（ｘｃ）（ⅱ）｛Ｆ（ｘａ）∨Ｆ（ｘｂ）∨Ｆ（ｘｃ）｝∨｛Ｆ（ｘａ）∨Ｆ（ｘｂ）∨Ｆ（ｘｃ）｝∨｛Ｆ（ｘａ）∨Ｆ（ｘｂ）∨Ｆ（ｘｃ）｝（（ⅲ）｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）∨Ｆ（ｃｂ）∨Ｆ（ｃｃ）｝（といふ「手順」で、「展開」出来る。（22） ④｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、 ④ ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）といふ『選言の、選言』は、（ⅰ）　Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）（ⅱ）｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝∨｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝∨｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝（ⅲ）｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝∨｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝∨｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝といふ「手順」で、「展開」出来る。然るに、（21）（22）により、（23）「結合法則」と「交換法則」により、 ③｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）∨Ｆ（ｃｂ）∨Ｆ（ｃｃ）｝ ④｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝∨｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝∨｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝に於いて、 ③＝④ である。然るに、（24） ③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ） ④ ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） ③ Ｆ＝愛す。 ④ Ｆ＝愛す。であるならば、 ③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）≡ある人は、ある人を愛す。 ④ ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）≡ある人は、ある人によって、愛される。に於いて、 ③ と ④ は、「同じこと」である。従って、（23）（24）により、（25） ③ ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） ④ ∃ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）といふ「述語論理式」がさうであるやうに、 ③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ） ④ ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）といふ「述語論理式」に於いて、 ① ならば、② であるが、 ② ならば、① である。従って、（04）（25）により、（26） ① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） ③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ） ④ ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）に於いて、 ①＝② ではないが、 ③＝④ である。令和０２年０９月２５日、毛利太。

2020年9月24日木曜日

「∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝」等を展開すると、

（01） ∨Ｅとのアナロジーは、特殊な場合として、ｍとｎのみを含む、２つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定することによって、明らかにされる。その場合には、この世界に対して、∃ｘ（Ｇｘ）はＧｍ∨Ｇｎに等しい。（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１４５頁）従って、（01）により、（02）｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、 ① ∃ｘ（Ｆｘ）≡Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃである。然るに、（02）により、（03） ① ∃ｘ（Ｆｘ）≡Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃであるならば、 ② ∀ｘ（Ｆｘ）≡Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃでなければ、ならない。然るに、（03）により、（04） ① ∃ｘ（Ｆｘ）≡Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃであって、 ② ∀ｘ（Ｆｘ）≡Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃであるならば、 ③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｙｘ）の場合は、「次（05）の手順」で、「展開」出来る。（05）（ⅰ）　Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨（ｃｘ）（ⅱ）｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨（ｃｘ）｝＆｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨（ｃｘ）｝＆｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨（ｃｘ）｝（ⅲ）｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨（ｃｃ）｝従って、（02）（04）（05）により、（06）｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、 ③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｙｘ）≡｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝といふ「等式」が、成立する。然るに、（04）（05）（06）により、（07）｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３人の対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、 ① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝といふ「述語論理式」は、（ⅰ）｛少年ｘ→（少女ａ＆愛ｘａ）∨（少女ｂ＆愛ｘｂ）∨（少女ｃ＆愛ｘｃ）｝（ⅱ）｛少年ｘ→（少女ａ＆愛ｘａ）∨（少女ｂ＆愛ｘｂ）∨（少女ｃ＆愛ｘｃ）｝＆｛少年ｘ→（少女ａ＆愛ｘａ）∨（少女ｂ＆愛ｘｂ）∨（少女ｃ＆愛ｘｃ）｝＆｛少年ｘ→（少女ａ＆愛ｘａ）∨（少女ｂ＆愛ｘｂ）∨（少女ｃ＆愛ｘｃ）｝（ⅲ）｛少年ａ→（少女ａ＆愛ａａ）∨（少女ｂ＆愛ａｂ）∨（少女ｃ＆愛ａｃ）｝＆｛少年ｂ→（少女ａ＆愛ｂａ）∨（少女ｂ＆愛ｂｂ）∨（少女ｃ＆愛ｂｃ）｝＆｛少年ｃ→（少女ａ＆愛ｃａ）∨（少女ｂ＆愛ｃｂ）∨（少女ｃ＆愛ｃｃ）｝といふ「手順」で、「展開」出来る。然るに、（08）少年ａ→（少女ａ＆愛ａａ）少年ｂ→（少女ｂ＆愛ｂｂ）少年ｃ→（少女ｃ＆愛ｃｃ）であるならば、「ある少年は、少女である」といふことになり、「矛盾」する。従って、（07）（08）により、（09）｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３人の対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、 ① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝といふ「述語論理式」は、 ②｛少年ａ→（少女ｂ＆愛ａｂ）∨（少女ｃ＆愛ａｃ）｝＆ ③｛少年ｂ→（少女ａ＆愛ｂａ）∨（少女ｃ＆愛ｂｃ）｝＆ ④｛少年ｃ→（少女ａ＆愛ｃａ）∨（少女ｂ＆愛ｃｂ）｝といふ「連言」に、「等しい」。然るに、（01）～（09）により、（10） ⑤ ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝といふ「述語論理式」は、（ⅰ） ⑤｛少女ｘ＆（少年ａ→愛ａｘ）＆｛少女ｘ＆（少年ｂ→愛ｂｘ）＆｛少女ｘ＆（少年ｃ→愛ｃｘ｝（ⅱ） ⑥｛少女ｘ＆（少年ａ→愛ａｘ）＆｛少女ｘ＆（少年ｂ→愛ｂｘ）＆｛少女ｘ＆（少年ｃ→愛ｃｘ）｝∨ ⑦｛少女ｘ＆（少年ａ→愛ａｘ）＆｛少女ｘ＆（少年ｂ→愛ｂｘ）＆｛少女ｘ＆（少年ｃ→愛ｃｘ）｝∨ ⑧｛少女ｘ＆（少年ａ→愛ａｘ）＆｛少女ｘ＆（少年ｂ→愛ｂｘ）＆｛少女ｘ＆（少年ｃ→愛ｃｘ）（ⅲ） ⑥｛少女ａ＆（少年ｂ→愛ｂａ）＆｛少女ａ＆（少年ｃ→愛ｃａ）｝∨ ⑦｛少女ｂ＆（少年ａ→愛ａｂ）＆｛少女ｂ＆（少年ｃ→愛ｃｂ）｝∨ ⑧｛少女ｃ＆（少年ａ→愛ａｃ）＆｛少女ｃ＆（少年ｂ→愛ｂｃ）｝といふ「手順」で、「展開」出来る。従って、（09）（10）により、（11）｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３人の対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、 ⑤ ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝といふ「述語論理式」は、 ⑥｛少女ａ＆（少年ｂ→愛ｂａ）＆｛少女ａ＆（少年ｃ→愛ｃａ）｝∨ ⑦｛少女ｂ＆（少年ａ→愛ａｂ）＆｛少女ｂ＆（少年ｃ→愛ｃｂ）｝∨ ⑧｛少女ｃ＆（少年ａ→愛ａｃ）＆｛少女ｃ＆（少年ｂ→愛ｂｃ）｝といふ「選言」に、「等しい」。然るに、（12） ②｛少年ａ→（少女ｂ＆愛ａｂ）∨（少女ｃ＆愛ａｃ）｝＆ ③｛少年ｂ→（少女ａ＆愛ｂａ）∨（少女ｃ＆愛ｂｃ）｝＆ ④｛少年ｃ→（少女ａ＆愛ｃａ）∨（少女ｂ＆愛ｃｂ）｝といふ「連言」が、「真である」といふことは、 ② は「真」であり、 ③ も「真」であり、 ④ も「真」である。といふ、ことである。然るに、（13） ②｛少年ａ→（少女ｂ＆愛ａｂ）∨（少女ｃ＆愛ａｃ）｝＆ ③｛少年ｂ→（少女ａ＆愛ｂａ）∨（少女ｃ＆愛ｂｃ）｝＆ ⑥｛少女ａ＆（少年ｂ→愛ｂａ）＆｛少女ａ＆（少年ｃ→愛ｃａ）｝∨ ⑦｛少女ｂ＆（少年ａ→愛ａｂ）＆｛少女ｂ＆（少年ｃ→愛ｃｂ）｝∨ に於いて、 ②と⑥ の場合、「ａは少年であり」、 ③と⑦ の場合、「ａは少女である」ため、一見すると、「矛盾」する。然る、（14） ②｛少年ａ→（少女ｂ＆愛ａｂ）∨（少女ｃ＆愛ａｃ）｝＆ ③｛少年ｂ→（少女ａ＆愛ｂａ）∨（少女ｃ＆愛ｂｃ）｝＆ ④｛少年ｃ→（少女ａ＆愛ｃａ）∨（少女ｂ＆愛ｃｂ）｝ ⑥｛少女ａ＆（少年ｂ→愛ｂａ）＆｛少女ａ＆（少年ｃ→愛ｃａ）｝∨ ⑦｛少女ｂ＆（少年ａ→愛ａｂ）＆｛少女ｂ＆（少年ｃ→愛ｃｂ）｝∨ ⑧｛少女ｃ＆（少年ａ→愛ａｃ）＆｛少女ｃ＆（少年ｂ→愛ｂｃ）｝に於いて、「ａ、ｂ、ｃ」は、「任意の名前（arbitrary name）」であって、「固有名（proper name）」ではない。従って、（13）（14）により、（15） ① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝≡ ②｛少年ａ→（少女ｂ＆愛ａｂ）∨（少女ｃ＆愛ａｃ）｝＆ ③｛少年ｂ→（少女ａ＆愛ｂａ）∨（少女ｃ＆愛ｂｃ）｝＆ ④｛少年ｃ→（少女ａ＆愛ｃａ）∨（少女ｂ＆愛ｃｂ）｝といふ「等式」に、「問題」は無いし、 ⑤ ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝≡ ⑥｛少女ａ＆（少年ｂ→愛ｂａ）＆｛少女ａ＆（少年ｃ→愛ｃａ）｝∨ ⑦｛少女ｂ＆（少年ａ→愛ａｂ）＆｛少女ｂ＆（少年ｃ→愛ｃｂ）｝∨ ⑧｛少女ｃ＆（少年ａ→愛ａｃ）＆｛少女ｃ＆（少年ｂ→愛ｂｃ）｝といふ「等式」にも、「問題」は無い。然るに、（16） ②｛少年ａ→（少女ｂ＆愛ａｂ）∨（少女ｃ＆愛ａｃ）｝＆ ③｛少年ｂ→（少女ａ＆愛ｂａ）∨（少女ｃ＆愛ｂｃ）｝＆ ④｛少年ｃ→（少女ａ＆愛ｃａ）∨（少女ｂ＆愛ｃｂ）｝といふ「命題」、すなはち、｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３人の対象から成る世界を取り扱っていると仮定した上での、 ②｛少年ａは、少女ｂか、少女ｃを愛す。｝そして、 ③｛少年ｂは、少女ａか、少女ｃを愛す。｝そして、 ④｛少年ｃは、少女ａか、少女ｂを愛す。｝といふ「命題」は、結局は、 ①｛すべての少年は、ある少女を愛す。｝といふ「意味」になる。（17） ⑥｛少女ａ＆（少年ｂ→愛ｂａ）＆｛少女ａ＆（少年ｃ→愛ｃａ）｝∨ ⑦｛少女ｂ＆（少年ａ→愛ａｂ）＆｛少女ｂ＆（少年ｃ→愛ｃｂ）｝∨ ⑧｛少女ｃ＆（少年ａ→愛ａｃ）＆｛少女ｃ＆（少年ｂ→愛ｂｃ）｝といふ「命題」、すなはち、｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３人の対象から成る世界を取り扱っていると仮定した上での、 ⑥｛少女ａは、ｂが少年であるならば、ｂによって愛され、そして、ｃが少年であるならば、ｃによって愛されるか、｝または、 ⑦｛少女ｂは、ａが少年であるならば、ａによって愛され、そして、ｃが少年であるならば、ｃによって愛されるか、｝または、 ⑧｛少女ｃは、ａが少年であるならば、ａによって愛され、そして、ｂが少年であるならば、ｂによって愛される｝。といふ「命題」は、結局は、 ⑤｛ある少女は、すべての少年によって、愛される。｝といふ、「意味」になる。従って、（15）（16）（17）により、（18） ① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝≡｛すべての少年は、ある少女を愛す。｝ ⑤ ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝≡｛ある少女は、すべての少年によって、愛される。｝であって、尚且つ、これらの「論理式」は、それぞれ、 ①｛少年ａ→（少女ｂ＆愛ａｂ）∨（少女ｃ＆愛ａｃ）｝＆｛少年ｂ→（少女ａ＆愛ｂａ）∨（少女ｃ＆愛ｂｃ）｝＆｛少年ｃ→（少女ａ＆愛ｃａ）∨（少女ｂ＆愛ｃｂ）｝ ⑤｛少女ａ＆（少年ｂ→愛ｂａ）＆少女ａ＆（少年ｃ→愛ｃａ）｝∨｛少女ｃ＆（少年ａ→愛ａｃ）＆少女ｃ＆（少年ｂ→愛ｂｃ）｝∨｛少女ｃ＆（少年ａ→愛ａｃ）＆少女ｃ＆（少年ｂ→愛ｂｃ）｝といふ風に、「展開」出来る。従って、（18）により、（19）例へば、 ⑨ 　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝≡｛象は鼻が長い。｝ ⑩ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝≡｛鼻は象が長い。｝といふ「述語論理式」であっても、それぞれ、「然るべき型」に、「展開」出来るに、違ひない。令和０２年０９月２４日、毛利太。

2020年9月23日水曜日

「線形論理（Linear logic）」って「何」ですか？

（01）（ⅰ）１　（１）（Ａ→Ｂ）＆（Ａ→Ｃ）　仮定　２（２）　Ａ　　　　　　　　　　仮定１　（３）　Ａ→Ｂ　　　　　　　　１＆Ｅ１２（４）　　　Ｂ　　　　　　　　２３ＭＰＰ　２（５）　　　　　　　Ａ→Ｃ　　１＆Ｅ１２（６）　　　　　　　　　Ｃ　　２５ＭＰＰ１２（７）　　　Ｂ＆Ｃ　　　　　　４６＆Ｉ１　（８）　Ａ→Ｂ＆Ｃ　　　　　　２７ＣＰ（ⅱ）１　　　　（１）Ａ→～（Ｂ⇔Ｃ）　　　　　　　　　仮定　２　　　（２）Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　仮定１２　　　（３）　　～（Ｂ⇔Ｃ）　　　　　　　　　１２ＭＰＰ１２　　　（４）　～｛（Ｂ→Ｃ）＆　（Ｃ→Ｂ）｝　３Ｄｆ.⇔ １２　　　（５）　　～（Ｂ→Ｃ）∨～（Ｃ→Ｂ）　　４ド・モルガンの法則１２　　　　（６）　　　（Ｂ→Ｃ）→～（Ｃ→Ｂ）　　５含意の定義　　３　　　（７）　　　（Ｂ→Ｃ）　　　　　　　　　Ａ１２３　　　（８）　　　　　　　　　～（Ｃ→Ｂ）　　６７ＭＰＰ１２３　　　（９）　　　　　　　　～（～Ｃ∨Ｂ）　　８含意の定義１２３　　　（ア）　　　　　　　　　（Ｃ＆～Ｂ）　　９ド・モルガンの法則１２　　　　（イ）　　　（Ｂ→Ｃ）→（Ｃ＆～Ｂ）　　３アＣＰ１　　　　　（ウ）Ａ→｛（Ｂ→Ｃ）→（Ｃ＆～Ｂ）｝　２イＣＰ　　　エ　　（エ）Ａ＆　（Ｂ→Ｃ）　　　　　　　　　仮定　　　エ　　（オ）Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ１　　エ　　（カ）　　　（Ｂ→Ｃ）→（Ｃ＆～Ｂ）　　ウオＭＰＰ　　　エ　　（キ）　　　（Ｂ→Ｃ）　　　　　　　　　エ＆Ｅ１　　エ　　（ク）　　　　　　　　　（Ｃ＆～Ｂ）　　カキＭＰＰ１　　　　　（ケ）Ａ＆　（Ｂ→Ｃ）→（Ｃ＆～Ｂ）　　エクＣＰ　　　　コ　（コ）Ａ＆（Ｃ∨～Ｂ）　　　　　　　　　仮定　　　　コ　（サ）Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　コ＆Ｅ　　　　コ　（シ）　　（Ｃ∨～Ｂ）　　　　　　　　　コ＆Ｅ　　　　コ　（ス）　　（～Ｂ∨Ｃ）　　　　　　　　　シ交換法則　　　　コ　（セ）　　　（Ｂ→Ｃ）　　　　　　　　　ス含意の定義　　　　コ　（ソ）Ａ＆　（Ｂ→Ｃ）　　　　　　　　　サセ＆Ｉ１　　　コ　（タ）　　　　　　　　　（Ｃ＆～Ｂ）　　ケソＭＰＰ１　　　　　（チ）Ａ＆（Ｃ∨～Ｂ）→（Ｃ＆～Ｂ）　　コタＣＰ　　　　　ツ（ツ）Ａ＆　Ｃ　　　　　　　　　　　　　仮定　　　　　ツ（テ）Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　ツ＆Ｅ　　　　　ツ（ト）　　　Ｃ　　　　　　　　　　　　　ツ＆Ｅ　　　　　ツ（ナ）　　　Ｃ∨～Ｂ　　　　　　　　　　ト∨Ｉ　　　　　ツ（ニ）Ａ＆（Ｃ∨～Ｂ）　　　　　　　　　テナ＆Ｉ１　　　　ツ（ヌ）　　　　　　　　　（Ｃ＆～Ｂ）　　チニＭＰＰ１　　　　　（ネ）　　　（Ａ＆Ｃ）→（Ｃ＆～Ｂ）　　ツヌＣＰ従って、（01）により、（02） ①（Ａ→Ｂ）＆（Ａ→Ｃ）├ Ａ→Ｂ＆Ｃ ②　　Ａ→～（Ｂ⇔Ｃ）├ Ａ＆Ｃ→Ｃ＆～Ｂといふ「連式（Sequents）」は、両方とも、「妥当（valid）」である。従って、（02）により、（03） ①（ＡならばＢであり）、尚且つ、（ＡならばＣである）。従って、Ａならば、ＢであってＣである。 ② Ａならば、（ＢとＣが、同時に、真である）ことない。従って、ＡであってＣであるならば、Ｃではあるが、Ｂではない。といふ「推論」は、「妥当（valid）」である。従って、（03）により、（04）Ａ＝１００円をもっている。Ｂ＝缶コーヒーが買える。Ｃ＝缶ジュースが買える、とするならば、 ①（１００円あれば、缶コーヒーが買え）、尚且つ、（１００円あれば、缶ジュースが買える）。　従って、１００円あれば、缶コーヒーと缶ジュースが買える。 ②　１００円あれば、（一度に、缶コーヒーと、缶ジュースの両方が買える）というわけではない。１００円で、缶ジュースを買うならば、缶ジュースは買えるが、缶コーヒーは買えない。といふ「推論」は、「妥当（valid）」である。然るに、（05） 1980年代後半に見出されて脚光を浴びた新しい論理体系に「線形論理」がある。線形論理の大きな特徴は「資源」の概念を扱えるという点にある。このことを説明するためにしばしば次のような例え話が引き合いに出される。100円の缶コーヒーと100円の缶ジュースが買える自動販売機があるとする。「100円をもっている」という命題をＡ、「缶コーヒーが買える」という命題をＢ、「缶ジュースが買える」という命題をＣとすると、この状況は「Ａ→Ｂ」および「Ａ→Ｃ」となる。古典論理ではこれから「Ａ→Ｂ＆Ｃ」が導かれるが、これは「100円あれば缶コーヒーと缶ジュースが両方買える」という意味になり、明らかに経済概念に合わない。本当は「100円あれば缶コーヒーと缶ジュースのどちらか一方のみが買える」とか「100円玉が2枚あれば缶コーヒーと缶ジュースが買える」という命題が出て来てほしい。線形論理ではこのような状況が正しく記述できるのである。このような例を敷延すれば、計算機やネットワーク上で複数のプログラム（プロセス）が共有資源にアクセスするような状況も同様であり、実際に、そのような状況を線形論理で扱うような研究も行われている（I. 記号論理学とは何か）。従って、（01）～（05）により、（06）『この状況は「Ａ→Ｂ」および「Ａ→Ｃ」となる。古典論理ではこれから「Ａ→Ｂ＆Ｃ」が導かれるが、これは「100円あれば缶コーヒーと缶ジュースが両方買える」という意味になり、明らかに経済概念に合わない。』とは言ふものの、 ①（Ａ→Ｂ）＆（Ａ→Ｃ）├ Ａ→Ｂ＆Ｃでは困る。といふのであれば、ただ単に、 ②　Ａ→～（Ｂ⇔Ｃ）├ Ａ＆Ｃ→Ｃ＆～Ｂといふ風に、書けば良い。といふことに、過ぎない。従って、（05）（06）により、（07）私としては、「100円の缶コーヒーと100円の缶ジュースが買える自動販売機があるとする。」といふ「以外の例」を、知りたい。と、思ってゐる。令和０２年０９月２２日、毛利太。

2020年9月22日火曜日

「弟子不必不如師」の「述語論理」。

（01） ① 弟子必不_レ如_レ師＝ ① 弟子必不〔如（師）〕⇒ ① 弟子必〔（師）如〕不＝ ① 弟子は必ず〔（師に）如か〕不＝ ① 弟子は必ず、師に及ばない。（02） ② 弟子不_二必不_一レ如_レ師＝ ② 弟子不［必不〔如（師）〕］⇒ ② 弟子［必〔（師）如〕不］不＝ ② 弟子は［必ずしも〔（師に）如か〕不んば］あら不＝ ② 弟子は必ずしも、師に及ばない。といふわけではない。従って、（01）（02）により、（03） ① 弟子必不_レ如_レ師。 ② 弟子不_二必不_一レ如_レ師。に於いて、 ②は、「①の否定」である。然るに、（04） ① 弟子は必ず、師に及ばない。であれば、 ① ∀ｘ∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ）≡ ① すべてのｘとすべてのｙについて（ｘがｙの弟子であって、ｙがｘの師匠であるならば、ｘはｙに及ばない）。といふ「述語論理式」に、相当する。従って、（01）～（04）により、（05） ② 弟子は必ずしも、師に及ばない。といふわけではない。であれば、 ② ～∀ｘ∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ）といふ「述語論理式」に、相当する。然るに、（06）（ⅱ）１　　（１）～∀ｘ∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ）　　Ａ１　　（２）∃ｘ～∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ）　　１量化子の関係１　　（３）∃ｘ∃ｙ～（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ）　　２量化子の関係　４　（４）　　∃ｙ～（弟子ａｙ＆師匠ｙａ→～及ａｙ）　　Ａ　　５（５）　　　　～（弟子ａｂ＆師匠ｂａ→～及ａｂ）　　Ａ　　５（６）　　～｛～（弟子ａｂ＆師匠ｂａ）∨～及ａｂ）　５含意の定義　　５（７）　　　　　（弟子ａｂ＆師匠ｂａ）＆　及ａｂ　　６ド・モルガンの法則　　５（８）　　　　　（弟子ａｂ＆師匠ｂａ＆及ａｂ）　　　７結合法則　　５（９）　　　∃ｙ（弟子ａｙ＆師匠ｙａ＆及ａｙ）　　　８ＥＩ　４　（ア）　　　∃ｙ（弟子ａｙ＆師匠ｙａ＆及ａｙ）　　　４５９ＥＥ　４　（イ）　∃ｘ∃ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ＆及ｘｙ）　　　アＥＩ１　　（ウ）　∃ｘ∃ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ＆及ｘｙ）　　　１４イＥＥ（ⅲ）１　　（１）　∃ｘ∃ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ＆及ｘｙ）　　　Ａ　２　（２）　　　∃ｙ（弟子ａｙ＆師匠ｙａ＆及ａｙ）　　　Ａ　　３（３）　　　　　（弟子ａｂ＆師匠ｂａ＆及ａｂ）　　　Ａ　　３（４）　　　　　（弟子ａｂ＆師匠ｂａ）＆　及ａｂ　　３結合法則　　３（５）　　～｛～（弟子ａｂ＆師匠ｂａ）∨～及ａｂ）　４ド・モルガンの法則　　３（６）　　　　～（弟子ａｂ＆師匠ｂａ→～及ａｂ）　　５含意の定義　　３（７）　　∃ｙ～（弟子ａｙ＆師匠ｙａ→～及ａｙ）　　６ＥＩ　２　（８）　　∃ｙ～（弟子ａｙ＆師匠ｙａ→～及ａｙ）　　２３７ＥＥ　２　（９）∃ｘ∃ｙ～（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ）　　８ＥＩ１　　（ア）∃ｘ∃ｙ～（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ）　　１２９ＥＥ１　　（イ）∃ｘ～∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ）　　ア量化子の関係１　　（ウ）～∀ｘ∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ）　　イ量化子の関係従って、（06）により、（07） ② ～∀ｘ∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ） ③ 　∃ｘ∃ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ＆及ｘｙ）に於いて、すなはち、 ② すべてのｘとすべてのｙについて（ｘがｙの弟子であって、ｙがｘの師匠であるならば、ｘはｙに及ばない）といふわけではない。 ③ 　　　あるｘとあるｙについて（ｘはｙの弟子であって、ｙはｘの師匠であっ、　　　ｘはｙに及んでゐる）。に於いて、 ②＝③ である。然るに、（08） ③ ∃ｘ∃ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ＆及ｘｙ）≡ ③ あるｘとあるｙについて（ｘはｙの弟子であって、ｙはｘの師匠であって、ｘはｙに及んでゐる）。といふことは、 ③ ある弟子は、師匠よりも優れてゐる。⇔ ③ ある師匠は、弟子に及ばない。といふ「意味」である。ｃｆ. 孔子は郯子・萇弘・師襄・老耼・を師としたが、郯子の仲間は、その徳のすぐれていること、孔子には及ばなかった。（明治書院、新釈漢文大系７０、1926年、８８頁）従って、（01）～（08）により、（09） ① 弟子不_二必不_一レ如_レ師。 ② 弟子は必ずしも、師に及ばない。といふわけではない。 ③ A disciple is not always inferior to his master. ④ ～∀ｘ∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ）に於いて、 ①＝②＝③＝④ である。然るに、（10）「論理」は、「すべての人類」にとって、「共通」である。従って、（09）（10）により、（11）「初めに（エンアルケー）」、 ④ ～∀ｘ∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ）といふ「論理（ロゴス）」が有って、その「翻訳」として、 ① 弟子不_二必不_一レ如_レ師。 ② 弟子は必ずしも、師に及ばない。といふわけではない。 ③ A disciple is not always inferior to his master. といふ「諸言語」が有るのかも知れない。と、思ったりするのであるが、果たして、「本当に、さうなのだらうか？」。令和０２年０９月２２日、毛利太。

「∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）」を「展開」すると、

（01）３　つぎの定理を証明せよ。（ａ）├ ∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、２０３頁）（02）　― 私による「解答」― １　（１）　　　　　Ｆα　　　　　Ａ　　（２）　　　　　Ｆα→Ｆα　　１１ＣＰ　３（３）　　　∀ｘＦｘ　　　　　Ａ　３（４）　　　　　Ｆα　　　　　３ＵＥ　３（５）　　　　　　　　Ｆα　　２４ＭＰＰ　　（６）　　　∀ｘＦｘ→Ｆα　　３５ＣＰ　　（７）∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）　６ＵＩ従って、（01）（02）により、（03）（ａ）├ ∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）といふ「連式」は、「定理（トートロジー）」である。然るに、（04）｛α、β、γ｝が｛変域（ドメイン）」である場合、（ａ）├ ∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）といふ「連式」は、 ①　（Ｆα∨Ｆβ∨Ｆγ）→Ｆｙ ② ～（Ｆα∨Ｆβ∨Ｆγ）∨Ｆｙ ③　（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆｙ ④｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆα｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆβ｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆγ｝といふ「形」に、「展開」できる。然るに、（05） ④｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆα｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆβ｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆγ｝といふ「それ」は、 ⑤ ＆Ｅ（連言除去） ⑥ ＆Ｅ（連言除去） ⑦ ∨Ｅ（選言除去） ⑧ 含意の定義（Ｄｆ.→） ⑨ ＆Ｉ（連言導入）により、 ⑩｛Ｆα→Ｆα｝＆｛Ｆβ→Ｆβ｝＆｛Ｆγ→Ｆγ｝といふ「型」に、「書き換へ」ことが出来る。然るに、（06） ⑩｛Ｆα→Ｆα｝＆｛Ｆβ→Ｆβ｝＆｛Ｆγ→Ｆγ｝といふ「式」は、 ⑩｛αがＦであるならば、αはＦであり｝＆｛βがＦであるならば、βはＦであり｝＆｛γがＦであるならば、γはＦである｝。といふ「意味」である。然るに、（07）｛α、β、γ｝が｛変域（ドメイン）」である場合、 ⑩｛Ｆα→Ｆα｝＆｛Ｆβ→Ｆβ｝＆｛Ｆγ→Ｆγ｝≡ ⑩｛αがＦであるならば、αはＦであり｝＆｛βがＦであるならば、βはＦであり｝＆｛γがＦであるならば、γはＦである｝。といふことは、 ⑩ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）≡すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＦである）。といふことに、他ならない。（08）「Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、２０３頁」でいふ所の『定理（theorem）』とは『恒真式（トートロジー）』に他ならない。然るに、（09） ⑩ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）≡すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＦである）。といふ「同一律」は、『恒真式（トートロジー）』である。従って、（01）～（09）により、（10）１　（１）　　　　　Ｆα　　　　　Ａ　　（２）　　　　　Ｆα→Ｆα　　１１ＣＰ　３（３）　　　∀ｘＦｘ　　　　　Ａ　３（４）　　　　　Ｆα　　　　　３ＵＥ　３（５）　　　　　　　　Ｆα　　２４ＭＰＰ　　（６）　　　∀ｘＦｘ→Ｆα　　３５ＣＰ　　（７）∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）　６ＵＩといふ「計算」、並びに、 ①　　（Ｆα∨Ｆβ∨Ｆγ）→Ｆｙ ② 　～（Ｆα∨Ｆβ∨Ｆγ）∨Ｆｙ ③　（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆｙ ④｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆα｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆβ｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆγ｝といふ「それ」により、（ａ）├ ∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）といふ「連式」は、『定理（恒真式）』である。令和０２年０９月２２日、毛利太。

2020年9月20日日曜日

「量化子（quantifiers）の関係」。

（01） ① 　∀ｘ（　Ｆｘ）≡すべてのｘはＦである。 ② 　∀ｘ（～Ｆｘ）≡すべてのｘはＦでない。 ③ ～∀ｘ（　Ｆｘ）≡すべてのｘはＦである。といふわけではない。 ④ ～∀ｘ（～Ｆｘ）≡すべてのｘはＦでない。といふわけではない。 ⑤ ～∃ｘ（～Ｆｘ）≡　　あるｘがＦでない。といふことはない。 ⑥ ～∃ｘ（　Ｆｘ）≡　　あるｘがＦである。といふことはない。 ⑦　 ∃ｘ（～Ｆｘ）≡　　あるｘはＦでない。 ⑧　 ∃ｘ（　Ｆｘ）≡　　あるｘはＦである。に於いて、 ①＝⑤ ②＝⑥ ③＝⑦ ④＝⑧ であって、 ①≠⑤ ②≠⑥ ③≠⑦ ④≠⑧ ではない。従って、（01）により、（02）（ⅰ）　∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）（ⅱ）　∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（　Ｆｘ）（ⅲ）～∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ 　∃ｘ（～Ｆｘ）（ⅳ）～∀ｘ（～Ｆｘ）⇔　 ∃ｘ（　Ｆｘ）といふ「等式」は、すべて、「背理法（ＲＡＡ）」によって、「証明」出来る。然るに、（03）（ａ）ｘは男である（　Ｆｘ）。（ｂ）ｘは女でない（～Ｆｘ）。に於いて、（ａ）＝（ｂ）である。従って、（02）（03）により、（04）（ⅰ）　∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）（ⅱ）　∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（　Ｆｘ）の場合は、（ⅰ）　∀ｘ（　男ｘ）⇔ ～∃ｘ（～男ｘ）（ⅱ）　∀ｘ（～女ｘ）⇔ ～∃ｘ（　女ｘ）といふ「代入」を行へば、（ⅰ）＝（ⅱ）であって、（ⅲ）～∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ 　∃ｘ（～Ｆｘ）（ⅳ）～∀ｘ（～Ｆｘ）⇔　 ∃ｘ（　Ｆｘ）の場合も、（ⅲ）～∀ｘ（　男ｘ）⇔ 　∃ｘ（～男ｘ）（ⅳ）～∀ｘ（～女ｘ）⇔　 ∃ｘ（　女ｘ）といふ「代入」を行へば、（ⅲ）＝（ⅳ）である。従って、（02）（03）（04）により、（05）（ⅰ）　∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）（ⅲ）～∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ 　∃ｘ（～Ｆｘ）といふ「２通り」を、「証明」すれば、（ⅰ）　∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）（ⅱ）　∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（　Ｆｘ）（ⅲ）～∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ 　∃ｘ（～Ｆｘ）（ⅳ）～∀ｘ（～Ｆｘ）⇔　 ∃ｘ（　Ｆｘ）といふ「４通り」を、「証明」したことになる。然るに、（06）（ⅰ）１　　（１）　∀ｘ（　Ｆｘ）　　Ａ１　　（２）　　　　　Ｆａ　　　１ＵＥ　３　（３）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ　　４（４）　　　　～Ｆａ　　　Ａ１　４（５）　Ｆａ＆～Ｆａ　　　３４＆Ｉ　　４（６）～∀ｘ（　Ｆｘ）　　１５ＲＡＡ　３　（７）～∀ｘ（　Ｆｘ）　　３４６ＥＥ１３　（８）　∀ｘ（　Ｆｘ）＆　　　　　　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　１７＆Ｉ１　　（９）～∃ｘ（～Ｆｘ）　　３８ＲＡＡ（ⅱ）１　　（１）～∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ　２　（２）　　　　～Ｆａ　　　Ａ　２　（３）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　２ＥＩ１２　（４）～∃ｘ（～Ｆｘ）＆　　　　　　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　１３＆Ｉ１　　（５）　　　～～Ｆａ　　　２４ＲＡＡ１　　（６）　　　　　Ｆａ　　　５ＤＮ１　　（７）　∀ｘ（　Ｆｘ）　　６ＵＩ従って、（06）により、（07）（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）といふ「等式」が、成立する。然るに、（08）（ⅲ）１　　（１）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　Ａ　２　（２）　～∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　　Ａ　　３（４）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　３ＥＩ　２３（５）　～∃ｘ（～Ｆｘ）＆　　　　　　　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　２４＆Ｉ　２　（６）　　　　～～Ｆａ　　　３５ＲＡＡ　２　（７）　　　　　　Ｆａ　　　６ＤＮ　２　（８）　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　７ＵＩ１２　（９）　～∀ｘ（　Ｆｘ）＆　　　　　　　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　１８＆Ｉ１　　（ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ）　　２９ＲＡＡ１　　（イ）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　アＤＮ（ⅳ）１　　（１）　∃ｘ（～Ｆｘ）　Ａ　２　（２）　　　　～Ｆａ　　Ａ　　３（３）　∀ｘ（　Ｆｘ）　Ａ　　３（４）　　　　　Ｆａ　　１ＵＥ　２３（５）　～Ｆａ＆Ｆａ　　２４＆Ｉ１　３（６）　～Ｆａ＆Ｆａ　　１２５ＥＥ１　　（７）～∀ｘ（　Ｆｘ）　３６ＲＡＡ従って、（08）により、（09）（ⅲ）～∀ｘ（Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（～Ｆｘ）といふ「等式」が、成立する。従って、（07）（09）により、（10）（ⅰ）　∀ｘ（Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）（ⅲ）～∀ｘ（Ｆｘ）⇔ 　∃ｘ（～Ｆｘ）といふ「等式」が、成立する。従って、（05）（10）により、（11）（ⅰ）　∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）（ⅱ）　∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（　Ｆｘ）（ⅲ）～∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ 　∃ｘ（～Ｆｘ）（ⅳ）～∀ｘ（～Ｆｘ）⇔　 ∃ｘ（　Ｆｘ）といふ「等式（量化子の関係）」が、成立する。然るに、（12）（ⅴ）１　（１）～∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　Ａ１　（２）∃ｘ～～（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　１量化子の関係１　（３）　　∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　２ＤＮ　４（４）　　　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　Ａ１　（５）　　　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　３４４ＥＥ　　（６）　～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　３５ＲＡＡ　　（７）　∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　６量化子の関係　　（８）　　　～（Ｆａ＆～Ｆａ）　７ＵＥ　　（９）　　　　～Ｆａ∨　Ｆａ　　８ド・モルガンの法則　　（ア）　　　　　Ｆａ→　Ｆａ　　９含意の定義　　（イ）　　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｆｘ）　アＵＩ従って、（12）により、（13）（ⅴ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）≡すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＦである）。といふ「命題（同一律）」は、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（14）（ⅵ）１（１）　　　Ｆａ　　　　　Ａ　（２）　　　Ｆａ→Ｆａ　　１１ＣＰ　（３）∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）　２ＵＩ従って、（12）（13）（14）により、（15）（ⅴ）１　（１）～∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　Ａ１　（２）∃ｘ～～（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　１量化子の関係１　（３）　　∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　２ＤＮ　４（４）　　　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　Ａ１　（５）　　　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　３４４ＥＥ　　（６）　～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　３５ＲＡＡ　　（７）　∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　６量化子の関係　　（８）　　　～（Ｆａ＆～Ｆａ）　７ＵＥ　　（９）　　　　～Ｆａ∨　Ｆａ　　８ド・モルガンの法則　　（ア）　　　　　Ｆａ→　Ｆａ　　９含意の定義　　（イ）　　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｆｘ）　アＵＩといふ「計算」は、（ⅵ）１（１）　　　Ｆａ　　　　　Ａ　（２）　　　Ｆａ→Ｆａ　　１１ＣＰ　（３）∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）　２ＵＩといふ「計算」で、「済ませる」ことが、出来る。令和０２年０９月２０日、毛利太。

2020年9月19日土曜日

「（Ｅ.Ｊ.レモンの）メタ定理Ⅱ」と「真理表」について。

（01）１　　（１）　Ｐ→　Ｑ　Ａ　２　（２）　Ｐ→～Ｑ　Ａ　　３（３）　Ｐ　　　　Ａ１　３（４）　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ　２３（５）　　　～Ｑ　２３ＭＰＰ１２３（６）　Ｑ＆～Ｑ　４５＆Ｉ１２　（７）～Ｐ　　　　３６ＲＡＡといふ「計算」は、１　　（１）Ｐであるならば、Ｑである。と「仮定」し、　２　（２）Ｐであるならば、Ｑでない。と「仮定」し、その上、　　３（３）Ｐである。　　　　　　　　と「仮定」したところ、１　３（４）　　　　　　　　Ｑである。となって、その上、　２３（５）　　　　　　　　Ｑでない。となって、１２３（６）Ｑであると、Ｑでない。とが、「同時に、真」になってしまったので、止むを得ず、１２３といふ「３つの仮定」の内の、取り敢へず、　　３　を「除いて」、１２だけを「残して」、同時に、　　　（７）Ｐである。を、「否定」して、Ｐでない。とした。といふ「意味」である。従って、（01）により、（02）１　　（１）　Ｐ→　Ｑ　Ａ　２　（２）　Ｐ→～Ｑ　Ａ　　３（３）　Ｐ　　　　Ａ１　３（４）　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ　２３（５）　　　～Ｑ　２３ＭＰＰ１２３（６）　Ｑ＆～Ｑ　４５＆Ｉ１２　（７）～Ｐ　　　　３６ＲＡＡといふ「命題計算」は、「日常言語による推論」が、「ベース」にあるため、「自然演繹（natural deducation）」と言ふに、十分に、値する。然るに、（03）Ｇｏｏ辞書しんりち‐ひょう〔‐ヘウ〕【真理値表】の解説数学や論理学で、いくつかの命題を論理演算子で合成して新しい命題を作ったとき、もとの命題と合成された命題の真偽の関係を示す表。真理表。真偽表。従って、（02）（03）により、（04）１　　（１）　Ｐ→　Ｑ　Ａ　２　（２）　Ｐ→～Ｑ　Ａ　　３（３）　Ｐ　　　　Ａ１　３（４）　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ　２３（５）　　　～Ｑ　２３ＭＰＰ１２３（６）　Ｑ＆～Ｑ　４５＆Ｉ１２　（７）～Ｐ　　　　３６ＲＡＡといふ「計算」は、その一方で、【真理表】を用ひても、「（機械的に）証明」出来る。然るに、（01）～（04）により、（05）「日常言語」で、「自然に演繹」出来る「事柄」を、「（機械的に）証明」する「必要」は無い。といふ「意味」では、この場合、【真理表】は、「不要」である。然るに、（06）メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的Ｗｆｆ（論理式）は定理として導出可能である。証明のアウトライン。仮定により、「真理表テスト」のもとにおいてトートロージーであるようなｗｆｆＡを選ぶ。（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１０７頁改）（07）１　証明を発見する練習の追加として、またつぎの節でその結果が必要となるので、つぎの連式を証明せよ。（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１０５頁）　―「Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩」には、「解答」が載ってゐないので、私による、証明。― （ａ）Ｐ＆Ｑ├ Ｐ→Ｑ１（１）　Ｐ＆Ｑ　Ａ１（２）　　　Ｑ　１＆Ｅ１（３）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ１（４）　Ｐ→Ｑ　３含意の定義（ｂ）～Ｐ＆Ｑ├ Ｐ→Ｑ１（１）～Ｐ＆Ｑ　Ａ１（２）～Ｐ　　　１＆Ｅ１（３）～Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ１（４）　Ｐ→Ｑ　３含意の定義（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→Ｑ１（１）～Ｐ＆～Ｑ　Ａ１（２）～Ｐ　　　　１＆Ｅ１（３）～Ｐ∨　Ｑ　２∨Ｉ１（４）　Ｐ→　Ｑ　３含意の定義（ｄ）Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ＆Ｑ）１　（１）　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ　２（２）　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ１　（３）　　　～Ｑ　　１＆Ｅ　２（４）　　　　Ｑ　　２＆Ｅ１２（５）　～Ｑ＆Ｑ　　３４＆Ｉ１　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　２５ＲＡＡ（ｅ）～Ｐ＆Ｑ├ ～（Ｐ＆Ｑ）１　（１）　～Ｐ＆Ｑ　　Ａ　２（２）　　Ｐ＆Ｑ　　Ａ１　（３）　～Ｐ　　　　１＆Ｅ　２（４）　　Ｐ　　　　２＆Ｅ１２（５）　～Ｐ＆Ｐ　　３４＆Ｉ１　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　２５ＲＡＡ（ｆ）～Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ＆Ｑ）１　（１）　～Ｐ＆～Ｑ　　Ａ　２（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ１　（３）　～Ｐ　　　　　１＆Ｅ　２（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ１２（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ１　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）　２５ＲＡＡ（ｇ）Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ∨Ｑ１（１）Ｐ＆～Ｑ　Ａ１（２）Ｐ　　　　１＆Ｅ１（３）Ｐ∨Ｑ　　２∨Ｉ（ｈ）～Ｐ＆Ｑ├ Ｐ∨Ｑ１（１）～Ｐ＆Ｑ　Ａ１（２）　　　Ｑ　１＆Ｅ１（３）　Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ（ｉ）Ｐ＆Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ（１）　Ｐ＆Ｑ　　　Ａ（２）　　　Ｑ　　　１＆Ｅ（３）～Ｐ∨Ｑ　　　２∨Ｉ（４）　Ｐ→Ｑ　　　３含意の定義（５）　Ｐ　　　　　１＆Ｅ（６）～Ｑ∨Ｐ　　　５∨Ｉ（７）　Ｑ→Ｐ　　　６含意の定義（８）（Ｐ→Ｑ）＆　　　（Ｑ→Ｐ）　　４７＆Ｉ（９）　Ｐ⇔Ｑ　　　８Ｄｆ.⇔ （ｊ）Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）１　（１）　　Ｐ＆～Ｑ　Ａ　２（２）　　Ｐ⇔　Ｑ　Ａ　２（３）　（Ｐ→　Ｑ）＆　　　　　　（Ｑ→　Ｐ）　２Ｄｆ.⇔ 　２（４）　　Ｐ→　Ｑ　　３＆Ｅ１　（５）　　　　～Ｑ　　１＆Ｅ１２（６）　～Ｐ　　　　　４５ＭＴＴ１　（７）　　Ｐ　　　　　１＆Ｅ１２（８）　～Ｐ＆Ｐ　　　６７＆Ｉ１　（９）～（Ｐ⇔　Ｑ）　２８ＣＰ（ｋ）～Ｐ＆Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）１　（１）　　～Ｐ＆Ｑ　Ａ　２（２）　　　Ｐ⇔Ｑ　Ａ　２（３）　　（Ｐ→Ｑ）＆　　　　　　　（Ｑ→Ｐ）　２Ｄｆ.⇔ 　２（４）　　　Ｑ→Ｐ　　３＆Ｅ１　（５）　　　　～Ｐ　　１＆Ｅ１２（６）　　～Ｑ　　　　４５ＭＴＴ１　（７）　　　　　Ｑ　　１＆Ｅ１２（８）　　～Ｑ＆Ｑ　　６７＆Ｉ１　（９）　～（Ｐ⇔Ｑ）　２８ＲＡＡ（ｌ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ１（１）～Ｐ＆～Ｑ　　Ａ１（２）～Ｐ　　　　　１＆Ｅ１（３）～Ｑ　　　　　１＆Ｅ１（４）　Ｐ→Ｑ　　　２含意の定義１（５）　Ｑ→Ｐ　　　３含意の定義１（６）（Ｐ→Ｑ）＆　　　　（Ｑ→Ｐ）　　４５＆Ｉ１（７）　Ｐ⇔Ｑ　　　６Ｄｆ.⇔ 従って、（06）（07）により、（08）メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的Ｗｆｆ（論理式）は定理として導出可能である。といふ「メタ定理」を「理解」するためには、「命題計算」と、「真理表」の、両方を、「理解してゐる」必要が有る。然るに、（09）真理表は習熟しやすいものなので、この節でのわれわれの取り扱いは手早くやれるだろう。（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１０５頁）然るに、（10）特に第２章の第４、第５節と、第４章第２節は、本書の他の部分よりも遥かに難しい。普通の読者はとばす（つまり早く読み通す）のが賢明であろう。（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、序ⅱ）従って、（11）幸いに、私自身は、メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的Ｗｆｆ（論理式）は定理として導出可能である。といふ「メタ定理」を「理解」してゐる、つもりでゐるものの、確かに、私自身の「経験」から言っても、「①真理表」＜「②命題計算」＜「③メタ定理Ⅱ」の「順」で、「左から右へ行く程、難しい」。（12）以下の証明はややこみあっている（The proof that follows is rather involved）。（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１０７頁）といふくらひなので、メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的Ｗｆｆ（論理式）は定理として導出可能である。といふことに関する「証明」は、「いくぶん、複雑である」。令和０２年０９月１９日、毛利太。

2020年9月16日水曜日

『「鼻は象が長い。」といふわけでない。』の「述語論理」。

（01）｛象、兎、馬｝を｛変域（ドメイン）｝とすると、｛鼻は、象が長い。｝｛耳は、兎が長い。｝｛顔は、馬が長い。｝従って、（01）により、（02） ① 鼻は象が長い。⇔ 鼻は象は長く、象以外（兎、馬）は長くない。 ② 耳は兎が長い。⇔ 耳は兎は長く、兎以外（象、馬）は長くない。 ③ 顔は馬が長い。⇔ 顔は馬は長く、馬以外（象、兎）は長くない。然るに、（03）１　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝　Ａ１　　　　（２）　　∃ｙ｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）＆（鼻ｙａ＆～象ａ→～長ｙ）｝　Ａ　３　　　（３）　　　　　（鼻ｙａ＆象ａ→長ｂ）＆（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ）　　Ａ　　４　　（４）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　５　（５）　　∃ｙ（兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　６（６）　　　　　兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　６（７）　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ　　　　６（８）　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ　　　　６（９）　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ　　　　６（ア）　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ＆～象ａ　　　　　　　　　　　　　８９＆Ｉ　３　　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ　　　３＆Ｅ　３　　６（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　アイＭＰＰ　　　　６（エ）　　　　　兎ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７９＆Ｉ　３　　６（オ）　　　　　兎ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　ウエ＆Ｉ　３　　６（カ）　　∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　オＥＩ　３　５　（キ）　　∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　５６カＥＥ　３　５　（ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　キＥＩ　３４　　（ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　４５クＥＥ１　４　　（コ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　２３ケＥＥ従って、（03）（04）（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。然るに、（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）。従って、（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）。といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（04）により、（05）（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙは長く、ｙがｘの鼻であって、ｘが象でないならば、ｙは長くない。｝然るに、（ⅱ）あるｘとあるｙについて｛ｘは兎であって、象ではなく、ｙはｘの鼻である。｝従って、（ⅲ）あるｘとあるｙについて｛ｘは兎であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない。｝従って、（02）（05）により、（06）（ⅰ）鼻は象が長い（鼻は象が長く、象以外は長くない）。然るに、（ⅱ）ある兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、（ⅲ）鼻が長くない、兎が存在する。といふ「推論」は、「妥当」である。然るに、（07）（ⅱ）１　　（１）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆　（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝　Ａ１　　（２）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆　（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝　１量化子の関係１　　（３）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆　（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝　１量化子の関係　４　（４）　　∀ｙ～｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）＆　（鼻ｙａ＆～象ａ→～長ｙ）｝　Ａ　４　（５）　　　　～｛（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）＆　（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ）｝　４ＵＥ　４　（６）　　　　　～（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）∨～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ）　　５ド・モルガンの法則　４　（７）　　　　　　（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ）　　６含意の定義　　８（８）　　　　　　（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　４８（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ）　　７８ＭＰＰ　４８（ア）　　　　　　　　　　　　　　　～（～（鼻ｂａ＆～象ａ）∨～長ｂ）　　４８含意の定義　４８（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ｂａ＆～象ａ）＆　長ｂ　　　ア、ド・モルガンの法則　４８（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ｂａ＆～象ａ＆長ｂ）　　　　イ結語法則　４８（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ）　　　　ウ交換法則　４　（オ）　　　　　　（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→（～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ）　　　　８エＣＰ　４　（カ）　　　∀ｙ｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）→（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ）｝　　　オＵＩ　４　（キ）　∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝　　　カＥＩ１　　（ク）　∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝　　　キＥＩ１　　（ケ）　∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝　　　３４クＥＥ（ⅲ）１　　（１）　∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝　　　Ａ　２　（２）　　　∀ｙ｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）→（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ）｝　　　Ａ　２　（３）　　　　　　（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→（～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ）　　　　２ＵＥ　　４（４）　　　　　　（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２４（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ）　　　　３４ＭＰＰ　２４（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ｂａ＆～象ａ＆長ｂ）　　　　５交換法則　２４（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ｂａ＆～象ａ）＆長ｂ　　　　６結合法則　２４（８）　　　　　　　　　　　　　　　～（～（鼻ｂａ＆～象ａ）∨～長ｂ）　　７ド・モルガンの法則　２　（９）　　　　　　（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ）　　４８ＣＰ　２　（ア）　　　　　～（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）∨～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ）　　９含意の定義　２　（イ）　　　　～｛（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）＆　（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ）｝　ア、ド・モルガンの法則　２　（ウ）　　∀ｙ～｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）＆　（鼻ｙａ＆～象ａ→～長ｙ）｝　イＵＩ　２　（エ）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆　（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝　ウＥＩ１　　（カ）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆　（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝　１２エＥＥ１　　（キ）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆　（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝　カ量化子の関係１　　（ク）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆　（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝　キ量化子の関係従って、（07）により、（08） ② ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ ③ 　∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆　長ｙ）｝に於いて、 ②＝③ である。従って、（05）（07）（08）により、（09） ② すべてのｘとあるｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙは長く、ｙがｘの鼻であって、ｘが象でないならば、ｙは長くない。｝といふわけではない。 ③ あるｘとすべてのｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙが長いならば、他のｘは象ではなく、ｙはｘの鼻であって、ｙは長い。｝に於いて、 ②＝③ である。然るに、（10） ③ あるｘとすべてのｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙが長いならば、他のｘは象ではなく、ｙはｘの鼻であって、ｙは長い。｝といふことは、 ③ 鼻が長い象がゐるのであれば、象以外にも、鼻が長い動物はゐる。といふ、ことである。従って、（02）（09）（10）により、（11） ② 鼻は象が長い（鼻は象が長く、象以外は長くない。）といふわけではない。 ③ 鼻が長い象がゐるのであれば、象以外にも、鼻が長い動物はゐる。に於いて、 ②＝③ である。然るに、（12）１　　　　（１）∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝　Ａ　２　　　（２）　　∀ｙ｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）→（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ）｝　Ａ　２　　　（３）　　　　　（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→（～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｙ）　　２ＵＥ　　４　　（４）　∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　５　（５）　　　∃ｙ（象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　６（６）　　　　　　象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　６（７）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ　　　　６（８）　　　～（鼻ｂａ＆象ａ）∨長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　７∨Ｉ　　　　６（９）　　　　　（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　８含意の定義　２　　６（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｙ）　　３９ＭＰＰ　２　　６（イ）　　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ）　　アＥＩ　２　５　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ）　　５６イＥＥ　２　５　（エ）　　　　　　　　　　　　　∃ｘ∃ｙ（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）　　ウＥＩ１　　５　（オ）　　　　　　　　　　　　　∃ｘ∃ｙ（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）　　１２エＥＥ従って、（12）により、（13）（ⅰ）∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（　象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）。従って、（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）。といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（13）により、（14）（ⅰ）あるｘとすべてのｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙが長いならば、ｘは象ではなく、ｙはｘの鼻であって、ｙは長い。｝然るに、（ⅱ）あるｘとあるｙについて｛ｘは象であって、ｙはｘの鼻であって、長い。）従って、（ⅲ）あるｘとあるｙについて｛ｘは象ではなく、ｙはｘの鼻であって、長い。）といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（14）により、（15）（ⅰ）鼻が長い象がゐるのであれば、象以外にも、鼻が長い動物がゐる。然るに、（ⅱ）鼻が長い象はゐる。従って、（ⅲ）象以外にも、鼻が長い動物がゐる。といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（11）～（15）により、（16）（ⅰ）鼻は象が長い（鼻は象が長く、象以外は長くない。）といふわけではない。従って、（ⅱ）鼻が長い象がゐるのであれば、象以外にも、鼻が長い動物はゐる。然るに、（ⅲ）鼻が長い象はゐる。従って、（ⅳ）象以外にも、鼻が長い動物がゐる。といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（01）～（16）により、（17） ① 鼻は象が長い。　　　　　　　　　　⇔ 　∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。 ② 鼻は象が長い。といふわけではない。⇔ ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。 ③ 鼻は象が長い。といふわけではない。⇔　 ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。然るに、（18）「現状」に於いて、 ① 　∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。 ② ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。 ③　 ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。といふ「述語論理（Predicate logic）」に対して、「関心」を持ってゐる、「日本語の文法の、研究者」は、おそらくは、皆無に近い。令和０９年１６日、毛利太。

2020年9月15日火曜日

「選言除去（∨Ｉ）」の「証明」。

（01）論理式Ｐ，Ｑ，Ｒについて、Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ，Ｐ∨Ｑがすべて真であるような任意の解釈のもとでＲは必ず真になります。これは「選言除去」と呼ばれる推論規則です。（選言除去 | 述語論理 | 論理 | 数学 | ワイズ）然るに、（02）１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定　　　４　（４）Ｐ　　　仮定１　　４　（５）　　Ｒ　１４ＭＰＰ　　　　６（６）　　Ｑ　仮定　２　　６（７）　　Ｒ　２６ＭＰＰ１２３　　（８）　　Ｒ　３４５６７選言除去に於いて、「仮定の規則」により、１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定といふ「３つの仮定」は、「３つとも、真」である。然るに、（03）１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定　　　４　（４）Ｐ　　　仮定１　　４　（５）　　Ｒ　１４ＭＰＰ　　　　６（６）　　Ｑ　仮定　２　　６（７）　　Ｒ　２６ＭＰＰ１２３　　（８）　　Ｒ　３４５６７選言除去に於ける、１２３　　（８）　　Ｒ　３４５６７選言除去に於いて、１２３　　（８）　　偽　３４５６７選言除去である。とする。然るに、（04）１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定　　　４　（４）Ｐ　　　仮定１　　４　（５）　　Ｒ　１４ＭＰＰ　　　　６（６）　　Ｑ　仮定　２　　６（７）　　Ｒ　２６ＭＰＰ１２３　　（８）　　Ｒ　３４５６７選言除去に於ける、「５つのＲ」の内、「１つのＲが、偽である。」ならば、「５つのＲは、すべて、偽である。」従って、（04）により、（05）１　　　　（１）Ｐ→偽　仮定　２　　　（２）Ｑ→偽　仮定　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定　　　４　（４）Ｐ　　　仮定１　　４　（５）　　偽　１４ＭＰＰ　　　　６（６）　　Ｑ　仮定　２　　６（７）　　偽　２６ＭＰＰ１２３　　（８）　　偽　３４５６７選言除去である。然るに、（06）「→」の「マトリックス（真理表）」により、１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定に於いて、１　　　　（１）真→偽　仮定　２　　　（２）真→偽　仮定であるならば、その時に限って、１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定といふ「２つの仮定」は、「２つとも、偽である。」従って、（02）（05）（06）により、（07）１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定といふ「３つの仮定」は、「３つとも、真である。」が故に、１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定といふ「２つの仮言命題」を、１　　　　（１）真→偽　仮定　２　　　（２）真→偽　仮定であることは、無い。従って、（04）（07）（08）１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定といふ「２つの仮言命題」を、１　　　　（１）真→偽　仮定　２　　　（２）真→偽　仮定とすることは、出来ない。といふのであれば、１　　　　（１）偽→偽　仮定　２　　　（２）偽→偽　仮定であると、「せざるを得ない」。然るに、（09）１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定に於いて、１　　　　（１）偽→偽　仮定　２　　　（２）偽→偽　仮定であるならば、１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定に於いても、１　　　　（１）偽→偽　仮定　２　　　（２）偽→偽　仮定　　３　　（３）偽∨偽　仮定であると、「せざるを得ない」。然るに、（10）「∨」の「マトリックス（真理表）」により、　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定に於いて、　　３　　（３）偽∨偽　仮定であるならば、　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定は、「偽」である。従って、（02）～（10）により、（11）１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定　　　４　（４）Ｐ　　　仮定１　　４　（５）　　Ｒ　１４ＭＰＰ　　　　６（６）　　Ｑ　仮定　２　　６（７）　　Ｒ　２６ＭＰＰ１２３　　（８）　　Ｒ　３４５６７選言除去に於ける、１２３　　（８）　　Ｒ　３４５６７選言除去に於いて、１２３　　（８）　　偽　３４５６７選言除去である。とすると、１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定といふ「３つの仮定」が、「同時に、３つとも、真である。」といふことは、「有り得ない。」従って、（02）（11）により、（12）１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定　　　４　（４）Ｐ　　　仮定１　　４　（５）　　Ｒ　１４ＭＰＰ　　　　６（６）　　Ｑ　仮定　２　　６（７）　　Ｒ　２６ＭＰＰ１２３　　（８）　　Ｒ　３４５６７選言除去に於いて、１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定といふ「３つの仮定」は、「３つとも、真」であると、するのであれば、１２３　　（８）　　Ｒ　３４５６７選言除去に於いて、　　　　　　　　　　Ｒ＝偽　である。とすることは、出来ず、それ故、必然的に、　　　　　Ｒ＝真　である。従って、（12）により、（13）Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ，Ｐ∨Ｑ├ Ｒといふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。従って、（01）（13）により、（14）論理式Ｐ，Ｑ，Ｒについて、Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ，Ｐ∨Ｑがすべて真であるような任意の解釈のもとでＲは必ず真になります。これは「選言除去」と呼ばれる推論規則です。（選言除去 | 述語論理 | 論理 | 数学 | ワイズ）といふ「説明」は、正しい（Ｑ.Ｅ.Ｄ）。令和０２年０９月１５日、毛利太。

2020年9月14日月曜日

「象は鼻が長い。」の「述語論理」の「説明」。

―「先程（令和０２年０９月１４日）の記事」を補足します。― （01）（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、（〃）兎は、鼻以外（耳）も長い。といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（01）により、（02）（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、（ⅲ）兎は象であるとすると、「矛盾」する。従って、（02）により、（03）（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、（ⅲ）兎は象ではない。といふ「推論」は、「妥当」である。然るに、（04）１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ　２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ　　３　　　（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１　　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ　２　　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　２ＵＥ　　　６　　（６）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　６　　（７）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ　　　６　　（８）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ１　　６　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４８ＭＰＰ　２　６　　（ア）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５７ＭＰＰ１　　６　　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　６　　（エ）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　長ｂ＆耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　　オ（カ）　　　　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ　２　６　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　ア＆Ｅ　２　６　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　キＵＥ　２　６　オ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　オクＭＰＰ１　　６　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ア＆Ｅ１　　６　　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　コＵＥ１２　６　オ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　ケサＭＰＰ　　　　　オ（ス）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ１２　６　オ（セ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　シス＆Ｉ１２　６　　（ソ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　エオセＥＥ１２３　　　（タ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　３６ソＥＥ１２　　　　（チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３タＲＡＡ１２　　　　（ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ量化子の関係１２　　　　（テ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツＵＥ１２　　　　（ト）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ、ド・モルガンの法則１２　　　　（ナ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ト含意の定義１２　　　　（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナＵＩ然るに、（05）（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）といふ「述語論理式」は、（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。｝（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）といふ「意味」である。然るに、（06）（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。｝（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）といふことは、要するに、（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。（ⅲ）兎は象ではない。といふ、ことである。従って、（04）（05）（06）により、（07）（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、（ⅲ）兎は象ではない。といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当」である。然るに、（08）（ⅰ）象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。とするならば、（ⅰ）象は、鼻（と耳）が長い。としても、「矛盾」しない。然るに、（09）（ⅰ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。といふのであれば、これだけでは、（ⅱ）兎の鼻は、長いのか、長くないのか。といふことに関しては、「不明」である。従って、（04）～（09）により、（10）（ⅰ）象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、（ⅲ）兎は象ではない。といふ「推論」は、「妥当」ではない。然るに、（11）１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａではなく、１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝　Ａとするならば、（ⅰ）象は鼻は長い。となって、（ⅰ）象は鼻は長い。といふことは、（ⅰ）象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。といふ、ことである。然るに、（04）（11）により、（12）１　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝　Ａ　２（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａといふ「仮定」からは、１２（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　ナＵＩ１２（〃）兎は象でない。といふ「結論」を、得ることは、出来ない。従って、（10）（11）（12）により、（13）（ⅰ）象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、（ⅲ）兎は象ではない。といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当」ではない。従って、（01）～（13）により、（14）（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、（ⅲ）兎は象ではない。といふ「推論」が、「日本語」として、「妥当」であると、するならば、 ① 象は鼻が長い。 ② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。に於いて、 ①＝② である。といふことを、「否定」することは、出来ない。然るに、（15）（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、（ⅲ）兎は象ではない。といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。従って、（14）（15）により、（16） ① 象は鼻が長い。 ② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。に於いて、 ①＝② である。といふことを、「否定」することは、出来ない。令和０２年０９月１４日、毛利太。

「象の鼻が長い」等の「述語論理」。

―「昨日（令和０２年０９月１３日）の記事」を書き直します。― （01） ①｛象、兎、馬、犬｝であれば、象は、動物であり、兎も、動物であり、馬も、動物であり、犬も、動物である。従って、（01）により、（02） ①｛象、兎、馬、犬｝であれば、 ① 象が動物である。とは、言へない。然るに、（03） ①｛象、机、車、家｝であれば、象は、動物であり、机は、動物ではなく車も、動物ではなく、家も、動物ではない。従って、（03）により、（04） ①｛象、机、車、家｝であれば、 ① 象が動物である。然るに、（05） ①｛象、机、車、家｝於いて、象は、動物であり、机は、動物ではなく、車も、動物ではなく、家も、動物ではない。といふことは、 ① 象は動物であり、象以外（机、車、家）は動物ではない。といふことに、他ならない。従って、（01）～（05）により、（06） ① ＡがＢである。ならば、そのときに限って、 ② ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。然るに、（07）（ⅰ）１　　（１）　～Ａ→～Ｂ　仮定　２　（２）　　　　　Ｂ　仮定　　３（３）　～Ａ　　　　仮定１　３（４）　　　　～Ｂ　１３前件肯定１２３（５）　　Ｂ＆～Ｂ　２４＆導入１２　（６）～～Ａ　　　　３５背理法１２　（７）　　Ａ　　　　６二重否定１　　（８）　　Ｂ→　Ａ　２７条件法（ⅱ）１　　（１）　　Ｂ→　Ａ　仮定　２　（２）　　　　～Ａ　仮定　　３（３）　　Ｂ　　　　仮定１　３（４）　　　　　Ａ　１３前件肯定１２３（５）　　～Ａ＆Ａ　２４＆導入１２　（６）　～Ｂ　　　　３５ＲＡＡ１　　（７）　～Ａ→～Ｂ　２６条件法従って、（07）により、（08） ① ～Ａ→～Ｂ≡Ａでないならば、Ｂでない。 ② 　Ｂ→　Ａ≡Ｂであるならば、Ａである。に於いて、 ①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。従って、（09） ① Ａ以外はＢでない。 ② ＢはＡである。に於いて、 ①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。従って、（06）（09）により、（10） ① ＡがＢである。 ② ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。 ③ ＡはＢであり、ＢはＡである。に於いて、 ①＝②＝③ である。従って、（10）により、（11） ① Ｃは、ＡがＢである。 ② Ｃは、ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。 ③ Ｃは、ＡはＢであり、ＢはＡである。に於いて、 ①＝②＝③ である。従って、（11）により、（12） ① Ｃは、ＡがＢである。 ② Ｃは、ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。 ③ Ｃは、ＡはＢであり、ＢはＡである。に於いて、Ｃ＝タゴール記念会Ａ＝私Ｂ＝理事長といふ「代入（Substitutions）」を行ふと、 ① タゴール記念会は、私が理事長である。 ② タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長でない。 ③ タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は私である。に於いて、 ①＝②＝③ である。然るに、（13）よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、　理事長は、私です。と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、　タゴール記念会は、私が理事です。と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）従って、（12）（13）により、（14）三上章先生は、 ① タゴール記念会は、私が理事長である。 ② タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長でない。 ③ タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は私である。に於いて、 ①＝③ である。といふことには、気付いてゐるが、 ①＝② である。といふことには、気付いてゐない。従って、（14）により、（15） ① 象は鼻が長い。 ② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。 ③ 象は鼻は長く、長いのは鼻である。に於いて、 ①＝② である。といふことには、気付いてゐない。然るに、（16） ① 君が行く。 ⑤ 君が行く道。に於いて、 ① 君（体言）が（格助詞）行く（終止形）。 ⑤ 君（体言）が（準体助詞）行く（連体形）道。である。従って、（15）（16）により、（17） ① 象の鼻が長い。 ⑤ 象の鼻が長いこと。に於いても、 ① 鼻が（格助詞） ⑤ 鼻が（準体助詞）である。従って、（17）により、（18） ① 象の鼻が長い。 ⑤ 象の鼻が長いこと。であるならば、 ① 鼻が（格助詞） ⑤ 鼻が（準体助詞）に於いて、 ①＝⑤ ではないため、「注意」が、「必要」である。然るに、（10）により、（19） ① 象の鼻が長い。 ② 象の鼻は長く、象の鼻以外は長くない。に於いて、 ①＝② である。従って、（19）により、（20）（ⅰ）象の鼻が長い。然るに、（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、（ⅲ）兎の鼻は長くない。といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（20）により、（21）（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。｝然るに、（ⅱ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、象ではななく、ｙはｘの鼻である。）従って、（ⅲ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない。）といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（21）により、（22）（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。然るに、（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）。従って、（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）。といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（22）により、（23）１　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝　Ａ１　　　　（２）　　∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ）｝　１ＵＥ　３　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ　　　３＆Ｅ　　５　　（５）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　６　（６）　　∃ｙ（兎ａ＆～象ａ＆鼻ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　７（７）　　　　　兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　７（８）　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ　　　　７（９）　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ　３　　７（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　４９ＭＰＰ　　　　７（イ）　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ　３　　７（ウ）　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　アイ＆Ｉ　３　　７（エ）　　　　　兎ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　８ウ＆Ｉ　３　　７（オ）　　∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　エＥＩ　３　６　（カ）　　∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　６７オＥＥ　３　６　（キ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　カＥＩ　３５　　（ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　５６キＥＥ１　５　　（ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　２３クＥＥといふ「推論」は、「妥当」である。従って、（19）～（23）により、（24）（ⅰ）象の鼻が長い。然るに、（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、（ⅲ）兎の鼻は長くない。といふ「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。然るに、（10）により、（25） ① 鼻は象が長い。 ② 鼻は象は長く、象以外は長くない。に於いて、 ①＝② である。従って、（25）により、（26）（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、（ⅲ）兎の鼻は長くない。といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（26）により、（27）（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。｝然るに、（ⅱ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、象ではななく、ｙはｘの鼻である。）従って、（ⅲ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない。）といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（27）により、（28）（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。然るに、（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）。従って、（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）。といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（28）により、（29）１　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝　Ａ１　　　　（２）　　∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ）｝　１ＵＥ　３　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ　　　３＆Ｅ　　５　　（５）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　６　（６）　　∃ｙ（兎ａ＆～象ａ＆鼻ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　７（７）　　　　　兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　７（８）　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ　　　　７（９）　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ　３　　７（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　４９ＭＰＰ　　　　７（イ）　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ　３　　７（ウ）　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　アイ＆Ｉ　３　　７（エ）　　　　　兎ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　８ウ＆Ｉ　３　　７（オ）　　∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　エＥＩ　３　６　（カ）　　∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　６７オＥＥ　３　６　（キ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　カＥＩ　３５　　（ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　５６キＥＥ１　５　　（ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　２３クＥＥといふ「推論」は、「妥当」である。従って、（25）～（29）により、（30）（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、（ⅲ）兎の鼻は長くない。といふ「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。然るに、（10）により、（31） ① 象は鼻が長い。 ② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。に於いて、 ①＝② である。従って、（31）により、（32）（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、（ⅲ）兎は象ではない。といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（32）により、（33）（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝然るに、（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。｝従って、（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。｝といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（33）により、（34）（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（34）により、（35）１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ　２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ　　３　　　（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１　　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ　２　　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　２ＵＥ　　　６　　（６）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　６　　（７）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ　　　６　　（８）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ１　　６　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４８ＭＰＰ　２　６　　（ア）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５７ＭＰＰ１　　６　　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　６　　（エ）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　耳ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　　オ（カ）　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ　２　６　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　ア＆Ｅ　２　６　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　キＵＥ　２　６　オ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　オクＭＰＰ１　　６　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ア＆Ｅ１　　６　　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　コＵＥ１２　６　オ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　ケサＭＰＰ　　　　　オ（ス）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ１２　６　オ（セ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　シス＆Ｉ１２　６　　（ソ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　エオセＥＥ１２３　　　（タ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　３６ソＥＥ１２　　　　（チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３タＲＡＡ１２　　　　（ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ量化子の関係１２　　　　（テ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツＵＥ１２　　　　（ト）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ、ド・モルガンの法則１２　　　　（ナ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ト含意の定義１２　　　　（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナＵＩといふ「推論」は、「妥当」である。従って、（31）～（35）により、（36）（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、（ⅲ）兎は象ではない。といふ「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。然るに、（37） ① 象は鼻が長い。 ③ 象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。に於いて、 ①＝③ であるならば、１　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａといふ「仮定」は、１　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝　Ａといふ「仮定」と、「交換」することになる。然るに、（35）（37）により、（38）１　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝　Ａといふ「仮定」からは、１２（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　ナＵＩ１２（〃）すべての兎は、象ではない。　　　　　ナＵＩといふ「結論」を、得ることが、出来ない。従って、（36）（37）（38）により、（39）（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、（ⅲ）兎は象ではない。といふ「推論」を、「妥当」であると、する一方で、 ① 象は鼻が長い。 ② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。に於いて、 ①＝② ではないと、することは、出来ない。然るに、（40） 5つ星のうち5.0 この名著が切れているとは！ 2011年11月4日に日本でレビュー済み Amazonで購入この名著が切れているとは嘆かわしい！「は」主題説によって本質的な日本語論を展開し、日本語論争を巻き起こした、こういう古典とも言える本は常に手に入る状態であってほしい。（「三上章、象は鼻が長い、1960年」の、カスタマーレビュー）然るに、（41）「三上章、象は鼻が長い、1960年」には、 ① ＡがＢである。 ② ＡはＢであり、ＢはＡである。 ③ ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。に於いて、 ①＝②＝③ である。といふことに対する、「言及」が無い。それ故、（42）私自身は、「三上章、象は鼻が長い、1960年」といふ「著作」が、「名著」であるとは、少しも、思はない。然るに、（43） 2016年12月29日に日本でレビュー済み Amazonで購入「日本文法入門」とあるので、特に中身を確認せず手にとったのが良くありませんでした。結論から言うと、この本は決してゴロ寝して読むレベルのカジュアルな本ではなく、ある程度の日本語文法知識（たとえそれが西洋から輸入されたものであっても）を得て、そこそこ文法を体系的に捉えられる人が手にとって読む本だろうと感じました。包摂判断・類概念といった専門用語からはじまり、さまざまな学者の説も交えているので、初学者にとってはちんぷんかんぷんでした。（「三上章、象は鼻が長い、1960年」の、カスタマーレビュー）然るに、（44）「三上章、象は鼻が長い、1960年」といふ「著作」は、正直にいって、私にとっても、「ちんぷんかんぷん」である。令和０２年０９月１４日、毛利太。

2020年9月12日土曜日

「代入（置換）」について。

（01）　―「排中律」の「証明」― １　（１）　～（～Ｐ∨Ｐ）　　Ａ　２（２）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　２（３）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　Ａ１２（４）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１３＆Ｉ１　（５）　　～～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ１　（６）　　　　Ｐ　　　　　５ＤＮ１　（７）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　６∨Ｉ１　（８）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１７＆Ｉ　　（９）～～（～Ｐ∨Ｐ）　　１８ＲＡＡ　　（ア）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　９ＤＮ然るに、（02）～真≡「真ではない」≡「偽である」～偽≡「偽ではない」≡「真である」従って、（02）により、（03） ① ～Ｐ∨Ｐ ② ～Ｐ∨Ｐに於いて、Ｐ＝真Ｐ＝偽といふ「代入（Substitutions）」を行ふと、 ① ～Ｐ∨Ｐ≡「Ｐは偽であるか、または、真である。」 ② ～Ｐ∨Ｐ≡「Ｐは真であるか、または、偽である。」然るに、（04） ①「Ｐは偽であるか、または、真である。」 ②「Ｐは真であるか、または、偽である。」といふことは、「恒に、真である。」従って、（03）（04）により、（05） ① ～Ｐ∨Ｐ ② ～Ｐ∨Ｐといふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（06） ① ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）≡「（Ｐ→Ｑ）は偽であるか、または、真である。」 ② ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）≡「（Ｐ→Ｑ）は真であるか、または、偽である。」然るに、（07） ①「（Ｐ→Ｑ）は偽であるか、または、真である。」 ②「（Ｐ→Ｑ）は真であるか、または、偽である。」といふことは、「恒に、真である。」従って、（06）（07）により、（08） ① ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ② ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。従って、（05）（08）により、（09） ① ～Ｐ∨Ｐ ② ～Ｐ∨Ｐといふ「論理式」が、「恒真式（トートロジー）」であるならば、Ｐ＝（Ｐ→Ｑ）Ｐ＝（Ｐ→Ｑ）といふ「代入（Substitutions）」を行った「結果（Substitution instances）」である所の、 ① ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ② ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）といふ「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」である。（10） ① ２×３ ② ２×（１＋２）であれば、「その数値（６）」に於いて、 ①＝② である。従って、（10）により、（11） ① Ａ×Ｂ ② Ａ×（Ｃ＋Ｄ）に於いて、 ①＝② であるならば、Ｂ＝（Ｃ＋Ｄ）である。従って、（10）（11）により、（12）「四則演算」がそうであるやうに、「命題計算」に於いても、 ① Ｐ＆Ｑ ② Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）に於いて、 ①＝② であるならば、「その真理値（真・偽）」に於いて、Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）である。然るに、（13）（ⅰ）１（１）　Ｐ＆Ｑ　　　　Ａ１（２）　　　Ｑ　　　　１＆Ｅ　（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ　１２ＣＰ（ⅱ）１（１）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　　　　　Ａ１（２）　　　（Ｑ∨Ｒ）　　　　　　　　１＆Ｅ　（３）（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ）　１２ＣＰ従って、（13）により、（14） ①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ ②（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ）といふ「２つの論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。従って、（12）（13）（14）により、（15） ①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑといふ「論理式」が、「恒真式」であるならば、Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）といふ「代入（置き換へ）」を行った「結果」である所の、 ②（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ）といふ「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）に於いて、「左辺の真理値（真・偽）」と、「右辺の真理値（真・偽）」は、「等しい」。従って、（15）により、（16）「逆」に言へば、 ②（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ）といふ「論理式」が、「恒真式（トートロジー）」であるならば、（Ｑ∨Ｒ）＝Ｑといふ「Substitution（Replacement）」を行った「結果」である所の、 ①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑといふ「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、（Ｑ∨Ｒ）＝Ｑに於いて、「左辺の真理値（真・偽）」と、「右辺の真理値（真・偽）」は、「等しい」。令和０２年０９月１２日、毛利太。

2020年9月10日木曜日

「括弧」と「返り点」と「漢文の、目による直読」。

（01） ① 如揮快刀断乱麻＝ ① 如〔揮（快刀）断（乱麻）〕に於いて、如〔　〕⇒〔　〕如揮（　）⇒（　）揮断（　）⇒（　）断といふ「移動」を行ふと、 ① 〔（快刀）揮（乱麻）断〕如＝ ① 〔（快刀を）揮って（乱麻を）断つが〕如し。（02） ② 如揮快刀断乱麻者＝ ② 如〔揮（快刀）断（乱麻）者〕。に於いて、如〔　〕⇒〔　〕如揮（　）⇒（　）揮断（　）⇒（　）断といふ「移動」を行ふと、 ② 〔（快刀）揮（乱麻）断者〕如＝ ② 〔（快刀を）揮って（乱麻を）断つ者が〕如し。従って、（01）（02）により、（03） ① 如揮快刀断乱麻。 ② 如揮快刀断乱麻者。に対する「括弧」は、両方とも、 ①〔（　）（　）〕 ②〔（　）（　）〕であって、「同じ」になる。然るに、（04） ① 如_下揮_二快刀_一断_中乱麻_上⇒ ① 快刀_一揮_二乱麻_上断_中如_下＝ ① 快刀_一を揮_二って乱麻_上を断_中つが如_下し。然るに、（05） ② 如_下揮_二快刀_一断_二乱麻_一者_上⇒ ② 快刀_一揮_二乱麻_一断_二者_上如_下＝ ② 快刀_一を揮_二って乱麻_一を断_二つ者_上が如_下し。従って、（04）（05）により、（06） ① 如揮快刀断乱麻。 ② 如揮快刀断乱麻者。に対する「返り点」は、それぞれ、 ① 下二一中上 ② 下二一二一上であって、「同じ」ではない。然るに、（07） ① 如_下揮_二快刀_一断_中乱麻_上。 ② 如_下揮_二快刀_一断_二乱麻_一者_上。ではなく、 ① 如_下揮_二快刀_一断_二乱麻_一＃_上。 ② 如_下揮_二快刀_一断_二乱麻_一者_上。であるならば、 ① 如揮快刀断乱麻＃。 ② 如揮快刀断乱麻者。に対する「返り点」は、それぞれ、 ① 下二一二一上 ② 下二一二一上であって、「同じ」になる。然るに、（08） ① 如揮快刀断乱麻＃。に於いて、 ① ＃は「ダミー」であって、「意味も、音も無い」ものと、する。加へて、（09） ① 如揮快刀断乱麻＃。に於いて、 ① ＃は、「省く」ことが出来る、とする。従って、（07）（08）（09）（10） ① 如_下揮_二快刀_一断_二乱麻_一_上。 ② 如_下揮_二快刀_一断_二乱麻_一者_上。であるため、この場合は、 ① 如揮快刀断乱麻。 ② 如揮快刀断乱麻者。に対する「返り点」は、両方とも、 ① 下二一二一上 ② 下二一二一上といふ風に、「同じ」になる。然るに、（11） ① 如_下揮_二快刀_一断_二乱麻_一_上。 ② 如_下揮_二快刀_一断_二乱麻_一者_上。といふ「返り点」は、 ① 如_〔揮_（快刀_）断_（乱麻_）_〕。 ② 如_〔揮_（快刀_）断_（乱麻_）者_〕。と書いても、「同じ」ことであり、 ① 如_〔揮_（快刀_）断_（乱麻_）_〕。 ② 如_〔揮_（快刀_）断_（乱麻_）者_〕。といふ「それ」は、 ① 如〔揮（快刀）断（乱麻）〕 ② 如〔揮（快刀）断（乱麻）者〕。といふ「括弧」と、「同じ」である。従って、（10）（11）により、（12） ①〔（　）（　）〕といふ「括弧」は、 ① 下二一二一上といふ「返り点」に「相当」する。然るに、（13）「返り点」は、「その発想」として、（ⅰ）「漢文訓読」の「語順」を表し、尚且つ、（ⅱ）飽くまでも、「漢字」に付く。従って、（11）（12）（13）により、（14）「返り点」の「発想」からすれば、 ① 如_下揮_二快刀_一断_二乱麻_一_上。 ② 如_下揮_二快刀_一断_二乱麻_一者_上。に於いて、 ② に関しては、「有り得る」が、 ① に関しては、「有り得ない」。然るに、（15） ① 如揮快刀断乱麻。 ② 如揮快刀断乱麻者。といふ「漢文」に於ける、「補足構造」は「共通」であって、「括弧」を用ひて、それ「表す」とすると、 ① 如〔揮（快刀）断（乱麻）〕。 ② 如〔揮（快刀）断（乱麻）者〕。といふ「形」になる。然るに、（16）　漢語における語順は、国語と大きく違っているところがある。すなわち、その補足構造における語順は、国語とは全く反対である。しかし、訓読は、国語の語順に置きかえて読むことが、その大きな原則となっている。それでその補足構造によっている文も、返り点によって、国語としての語順が示されている（鈴木直治、中国語と漢文、1975年、２９６頁）。従って、（15）（16）により、（17） ② 如揮快刀断乱麻者。といふ「漢文」の、 ② 如〔揮（快刀）断（乱麻）者〕。といふ「補足構造」が、「分かった時点」で、 ② 〔（快刀）揮（乱麻）断者〕如＝ ② 〔（快刀を）揮って（乱麻を）断つ者が〕如し。といふ「訓読の語順」が、「一意的に、定まる」ことになる。従って、（17）により、（18）例へば、 ③ 欲雖人之所不能無然多而不節未有不失其本心者（孟子集注）。といふ「漢文」の、 ③ 欲雖｛人之所［不〔能（無）〕］｝然多而不（節）未｛有［不〔失（其本心）〕者］｝。といふ「補足構造」が、「分かった時点」で、 ③ 欲｛人之［〔（無）能〕不］所｝雖然多而（節）不未｛［〔（其本心）失〕不者］有｝不＝ ③ 欲は｛人の［〔（無き）能は〕不る］所なりと｝雖へども、然れども、多くして（節せ）ざれば未だ｛［〔（其の本心を）失は〕不る者］有ら｝不。といふ「訓読の語順」が、「一意的に、定まる」ことになる。然るに、（19） ③ 欲雖人之所不能無然多而不節未有不失其本心者。といふ「漢文」を、 ③ 欲は人の無き能は不る所なりと雖へども、然れども、多くして、節せざれば、未だ其の本心を失は不る者有ら不。と「訓読」出来さえすれば、 ③ 欲は人の無き能は不る所なりと雖へども、然れども、多くして、節せざれば、未だ其の本心を失は不る者有ら不。といふ「語順」を下に、 ③ 欲雖_二人之所_一レ不_レ能_レ無然多而不_レ節未_レ有_上不_レ失_二其本心_一者_上。といふ「返り点」を、付けることが、出来る。然るに、（20）徂徠は、書を千遍読めば意味はおのずとわかる（「読書千遍、其義自見」）とはどういうことか、幼時にはわからなかったと云う。意味がわからないのに読めるはずがなく、読めればわかっているはずだと思ったからである。しかし後になって、中華では文字列をそのままの順で読むために、意味がわからなくとも読めること、それに対して。日本では中華の文字をこちらの言語の語順に直して読むために意味がとれなければ読めないことに気づく（勉誠出版、続「訓読」論、2010年、１７頁）。（21）徂徠は「題言十則」のなかで以下のように述べている。中華の人多く言へり、「読書、読書」と。予は便ち謂へり、書を読むは書を看るに如かず、と。此れ中華と此の方との語言同じからざるに縁りて、故に此の方は耳口の二者、皆な力を得ず、唯だ一双の眼のみ、三千世界の人を合はせて、総て殊なること有ること莫し。ここでの「読書」は、文脈からして音読であろう（勉誠出版、「訓読」論、2008年、２７・２４４頁）従って、（19）（20）（21）により、（22） ③ 欲雖人之所不能無然多而不節未有不失其本心者。といふ「漢文」に対して、 ③ 欲雖_二人之所_一レ不_レ能_レ無然多而不_レ節未_レ有_上不_レ失_二其本心_一者_上。といふ「返り点」を付けるためには、 ③ 欲雖人之所不能無然多而不節未有不失其本心者。といふ「漢文」が、 ③ 欲雖｛人之所［不〔能（無）〕］｝然多而不（節）未｛有［不〔失（其本心）〕者］｝。といふ風に、見えるまで、「ひたすら、見る」しかない。然るに、（23） ③ 欲雖人之所不能無然多而不節未有不失其本心者。といふ「漢文」が、 ③ 欲雖｛人之所［不〔能（無）〕］｝然多而不（節）未｛有［不〔失（其本心）〕者］｝。といふ風に、見える人であれば、 ④ 我非欲揮快刀断乱麻者。といふ「漢文」くらひは、それを「見た瞬間に」、 ④ 我は快刀を揮って乱麻を断たんと欲する者に非ず。といふ風に、「訓読」出来ることになる。然るに、（24） ④ 我非欲揮快刀断乱麻者。といふ「漢文」を「見ると同時」に、 ④ 我は快刀を揮って乱麻を断たんと欲する者に非ず。といふ風に、「訓読」出来るのであれば、その人は、 ④ 我非欲揮快刀断乱麻者。といふ「漢文」を「目によって、直読」してゐることなる。然るに、（25） p.9に「また、訓読ということには、大きな限界があるものなのであって、先人は、目による直読によって、その限界を乗り越えて来ていたのであることを忘れてはならない。」ｐ.385に「わが国における漢学の発達は、右のように、目による直読式の読法が、大きな基礎になっていたのであって、訓点による読誦は、この直読による暗記を助けるためのものであったともいうことができる」と書かれている。（ｐ.7から9に同じ趣旨の事が書いてある）私は、著者のいう『目による直読式の読法』の基本的な読み方・考え方を知りたくて、様々な本を物色していますが残念な事に出会えません。（「鈴木直治、中国語と漢文、1975年」のカスタマーレビュウー）従って、（23）（24）（25）により、（26）『目による直読式の読法』の基本的な読み方を、マスターするには、取り敢へず、例へば、 ④ 我非欲揮快刀断乱麻者。等の「漢文（白文）」に対して、 ④ 我非［欲〔揮（快刀）断（乱麻）〕者］。といふ「括弧」を、付ける「練習」をすれば良い。（27）「ある程度」、それが出来るようになったならば、 ④ 我非欲揮快刀断乱麻者。といふ「漢文（白文）」を見たら、そのまま、 ④ 我は快刀を揮って乱麻を断たんと欲する者に非ず。といふ風に、読むように、すれば良い。令和０２年０９月１０日、毛利太。

「恒真式（トートロジー）」と「推論の規則」。

（01）　―「含意の定義」の「証明」― （ⅰ）１　　　　（１）　　　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ　２　　　（２）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ　２　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ１２　　　（４）　　　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ　２　　　（５）　　　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ１２　　　（６）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　４５＆Ｉ１　　　　（７）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ　　８　　（８）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　Ａ　　　９　（９）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　９∨Ｉ　　８９　（イ）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆　　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　８ア＆Ｉ　　８　　（ウ）　　～～Ｐ　　　　　９イＲＡＡ　　８　　（エ）　　　　Ｐ　　　　　ウＤＮ　　　　オ（オ）　　　　　　　Ｑ　　Ａ　　　　オ（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　オ＆Ｉ　　８　オ（キ）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆　　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　８カ＆Ｉ　　８　　（ク）　　　　　　～Ｑ　　オキＲＡＡ　　８　　（ケ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　エク＆Ｉ１　８　　（コ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　７ケ＆Ｉ１　　　　（サ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　８コＲＡＡ１　　　　（シ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　サＤＮ（ⅱ）１　　　　　（１）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　Ａ　２　　　　（２）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ　　３　　　（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　　　Ｑ　　Ａ　２　　　　（８）　　　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ　２　７　　（９）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ　　　７　　（ア）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　　　Ｐ　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　　　～Ｑ　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　ウエ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　　　～～Ｑ　　エカＲＡＡ１　　　ウ　（ク）　　　　　　　Ｑ　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　　　Ｐ→　Ｑ　　ウクＣＰ（02）　―「ド・モルガンの法則」の「証明」― （ⅰ）１　　　（１）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　Ａ　２　　（２）　～（　Ｐ∨　Ｑ）　Ａ　　３　（３）　　　　Ｐ　　　　　Ａ　　３　（４）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　３∨Ｉ　２３　（５）　～（　Ｐ∨　Ｑ）＆　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ）　２４＆Ｉ　２　　（６）　　　～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ　　　７（７）　　　　　　　Ｑ　　Ａ　　　７（８）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　７∨Ｉ　２　７（９）　～（　Ｐ∨　Ｑ）＆　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ）　２８＆Ｉ　２　　（ア）　　　　　　～Ｑ　　７ＲＡＡ　２　　（イ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　６イ＆Ｉ１２　　（ウ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　１ウ＆Ｉ１　　　（エ）～～（　Ｐ∨　Ｑ）　２エＲＡＡ１　　　（オ）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　オＤＮ（ⅱ）１　　　（１）　　　Ｐ∨　Ｑ　　Ａ　２　　（２）　　～Ｐ＆～Ｑ　　Ａ　　３　（３）　　　Ｐ　　　　　Ａ　２　　（４）　　～Ｐ　　　　　２＆Ｅ　２３　（５）　　　Ｐ＆～Ｐ　　３４＆Ｉ　　３　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　Ａ　２　　（８）　　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ　２　７（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ　　　７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ１　　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ（03）　―「排中律」の「証明（Ⅰ）」― 　１（１）　～（～Ｐ∨Ｐ）　　Ａ　１（２）　～～Ｐ＆～Ｐ　　　１ド・モルガンの法則　　（３）～～（～Ｐ∨Ｐ）　　１２ＲＡＡ　　（４）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　３ＤＮ（04）　―「排中律」の「証明（Ⅱ）」― １　（１）　～（～Ｐ∨Ｐ）　　Ａ　２（２）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　２（３）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　Ａ１２（４）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１３＆Ｉ１　（５）　　～～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ１　（６）　　　　Ｐ　　　　　５ＤＮ１　（７）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　６∨Ｉ１　（８）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１７＆Ｉ　　（９）～～（～Ｐ∨Ｐ）　　１８ＲＡＡ　　（ア）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　９ＤＮ然るに、（05）（ⅰ）１（１）～Ｐ∨Ｐ　Ａ１（２）　Ｐ→Ｐ　１含意の定義（ⅱ）１（１）　Ｐ→Ｐ　Ａ１（２）～Ｐ∨Ｐ　１含意の定義従って、（05）により、（06） ① ～Ｐ∨Ｐ（排中律） ② 　Ｐ→Ｐ（同一律）に於いて、 ①＝② である。然るに、（07）１（１）　Ｐ　　　Ａ　（２）　Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ　（３）～Ｐ∨Ｐ　２含意の定義に於いて、　（１）の場合は、「Ｐなので、　Ｐである。」といふ「意味」であり、　（２）の場合は、「Ｐならば、　Ｐである。」といふ「意味」であり、　（３）の場合は、「Ｐでないか、Ｐである。」といふ「意味」である。然るに、（08）　（１）「Ｐなので、　Ｐである。」　（２）「Ｐならば、　Ｐである。」　（３）「Ｐでないか、Ｐである。」に於いて、　（１）は、さうではないが、　（２）は、「恒に、真である。」　（３）も、「恒に、真である。」従って、（06）（07）（08）により、（09） ① ～Ｐ∨Ｐ（排中律） ② 　Ｐ→Ｐ（同一律）に於いて、 ① は、「恒真式（トートロジー）」であって、 ② も、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（07）により、（10）１（１）　Ｐ　　　Ａ　（２）　Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ　（３）～Ｐ∨Ｐ　２含意の定義であるため、＃（１）　Ｐ＃（２）　Ｐ→Ｐ＃（３）～Ｐ∨Ｐに於いて、上から順に、＃＝１＃＝＃＝である。従って、（09）（10）により、（11）「恒真式（トートロジー）」とは、『それ証明する際に、「仮定（＃）の数」が「０個」となる所の、「論理式」である。』然るに、（12）（ⅰ）１（１）　　Ｐ　　　　　　　Ａ１（２）　　Ｐ∨Ｐ　　　　　１∨Ｉ　（３）　　Ｐ→（Ｐ∨Ｐ）　１２ＣＰ　（４）　～Ｐ∨（Ｐ∨Ｐ）　３含意の定義　（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｐ　　４結合法則　（〃）　（排中律）∨Ｐ　　４結合法則（ⅱ）１　　（１）　　Ｐ＆Ｐ　　　　Ａ１　　（２）　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ　　　（３）　（Ｐ＆Ｐ）→Ｐ　１２ＣＰ　　　（４）～（Ｐ∨Ｐ）∨Ｐ　３含意の定義　５　（５）～（Ｐ∨Ｐ）　　　Ａ　５　（６）～Ｐ∨～Ｐ　　　　５ド・モルガンの法則　５　（７）　　　～Ｐ　　　　６冪等律　５　（８）　　　～Ｐ∨Ｐ　　７∨Ｉ　　９（９）　　　　　　　Ｐ　Ａ　　９（ア）　　　　～Ｐ∨Ｐ　９∨Ｉ　　　（イ）　　　～Ｐ∨Ｐ　　＿５８９ア∨Ｅ　　　（〃）　　　　排中律　　＿５８９ア∨Ｅ（ⅲ）１（１）～（～Ｐ＆Ｐ）　　　　　　　　Ａ１（２）　　Ｐ∨～Ｐ　　　　　　　　　２ド・モルガンの法則　（３）～（～Ｐ＆Ｐ）→（Ｐ∨～Ｐ）　１２ＣＰ　（４）　（～Ｐ＆Ｐ）∨（Ｐ∨～Ｐ）　３含意の定義　（〃）　　　（矛盾）∨（排中律）　　３含意の定義従って、（11）（12）により、（13）例へば、 ① Ｐ→（Ｐ∨Ｐ） ②（Ｐ＆Ｐ）→Ｐ ③（～Ｐ＆Ｐ）∨（Ｐ∨～Ｐ）といふ「３つの論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（14）（ⅳ）１　（１）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　Ａ　２（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ１２（３）　　　Ｑ　　　　　　　　１２ＭＰＰ１　（４）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　２３ＣＰ　　（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　１５ＣＰ従って、（09）（11）（14）により、（15） ④（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ④（Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（16）［規則］１　代入の規則一つの恒真式の命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７３頁）従って、（15）（16）により、（17） ④ Ｐ→Ｐ（同一律）に於いて、Ｐ＝Ｐ→Ｑといふ「代入」行った「結果」である所の、 ④（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（18） ① Ａが、「恒真式（トートロジー）」であって、 ② Ａ＝Ｂ　であるならば、当然、Ｂも、「恒真式（トートロジー）」である。従って、（18）により、（19）「ある恒真式（トートロジー）」と、「等しい論理式」は、「その論理式」も「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（20）（ⅰ）１　（１）Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　Ａ　２（２）Ｐ＆Ｑ　　　　　Ａ　２（３）Ｐ　　　　　　　２＆Ｅ１２（４）　　　Ｑ→Ｒ　　１３ＭＰＰ　２（５）　　　Ｑ　　　　２＆Ｅ１２（６）　　　　　Ｒ　　４５ＭＰＰ１　（７）　Ｐ＆Ｑ→Ｒ　　２６ＣＰ（ⅱ）１　　（１）　Ｐ＆Ｑ→Ｒ　　Ａ　２　（２）　Ｐ　　　　　　Ａ　　３（３）　　　Ｑ　　　　Ａ　２３（４）　Ｐ＆Ｑ　　　　２３＆Ｉ１２３（５）　　　　　Ｒ　　１４ＭＰＰ１２　（６）　　　Ｑ→Ｒ　　３５ＣＰ１　　（７）Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　２６ＣＰ従って、（20）により、（21） ④ Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ⑤（Ｐ＆Ｑ）→Ｒに於いて、 ④＝⑤ である。然るに、（22） ④ Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ⑤（Ｐ＆Ｑ）→Ｒに於いて、Ｐ＝（Ａ→Ｂ）Ｑ＝　ＡＲ＝　Ｂといふ「代入（Substitution）」を行ふと、 ④ （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ） ⑤（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ従って、（21）（22）により、（23） ④ （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ） ⑤（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂに於いて、 ④＝⑤ である。従って、（15）（17）（19）（23）により、（24） ④ （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ） ⑤（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂといふ「論理式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（25）２　推論の規則論理式「Ａ」と「Ａ→Ｂ」が共に真ならば、論理式Ｂも真である。（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７３頁）従って、（24）（25）により、（26） ⑤（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ　といふ「論理式」は「恒真式」であって、 ⑤ 論理式「Ａ→Ｂ」と「Ａ」が共に真ならば、論理式Ｂも真である。従って、（25）（26）により、（27）２　推論の規則論理式「Ａ」と「Ａ→Ｂ」が共に真ならば、論理式Ｂも真である。論理式「Ａ→Ｂ」と「Ａ」が共に真ならば、論理式Ｂも真である。といふ「規則」は、 ⑤（Ａ＆（Ａ→Ｂ））→Ｂ　といふ「論理式」は「恒真式」である。 ⑤（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ　といふ「論理式」は「恒真式」である。といふことと、「同じこと」である。令和０２年０９月１０日、毛利太。

2020年9月9日水曜日

「（E.J.レモンの）自然演繹の規則」と「公理系ＰＬ」。

（01）標準的な命題論理に対して健全で完全な公理系はいろいろなものが作れます。一つの具体例を示してみましょう。　公理系ＰＬ公理１　（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ公理２　　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）公理３　（Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨Ｐ）公理４　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｐ∨Ｒ）→（Ｑ∨Ｒ））推論規則　Ｐ→ＱとＰからＱを導いてもよい。定義１　　Ｐ＆Ｑは～（～Ｐ∨～Ｑ）の略記である。定義２　　Ｐ→Ｑは～Ｐ∨Ｑの略記である。（矢野茂樹、まったくゼロからの論理学、2020年、１６７頁改）然るに、（02）１　　（１）　Ｐ∨Ｐ　　　　Ａ　２　（２）　Ｐ　　　　　　Ａ　　３（３）　　　Ｐ　　　　Ａ１　　（４）　Ｐ　　　　　　１２２３３∨Ｅ　　　（５）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ　１４ＣＰ従って、（01）（02）により、（03）「公理系ＰＬ（公理１）」が「恒真式（トートロジー）」であることを、「仮定の規則（Ａ）」と「∨‐除去（∨Ｅ）」と「条件的証明（ＣＰ）」で、「証明」出来る。（04）１（１）Ｐ　　　　　　　Ａ１（２）Ｐ∨Ｑ　　　　　１∨Ｉ　（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　１２ＣＰ従って、（01）（04）により、（05）「公理系ＰＬ（公理２）」が「恒真式（トートロジー）」であることを、「仮定の規則（Ａ）」と「∨‐導入（∨Ｉ）」と「条件的証明（ＣＰ）」で、「証明」出来る。（06）１　　（１）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　Ａ　２　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ　２　（３）　Ｑ∨Ｐ　　　　　　　　２∨Ｉ　　４（４）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ　　４（５）　Ｑ∨Ｐ　　　　　　　　４∨Ｉ１　　（６）　　　　　　　Ｑ∨Ｐ　　１２３４５∨Ｅ　　　（７）（Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨Ｐ）　１６ＣＰ従って、（01）（06）により、（07）「公理系ＰＬ（公理３）」が「恒真式（トートロジー）」であることを、「仮定の規則（Ａ）」と「∨‐導入（∨Ｉ）」と「∨‐除去（∨Ｅ）」と「条件的証明（ＣＰ）」で、「証明」出来る。（08）１　　　（１）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　　（２）　Ｐ∨Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１　３　（４）　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　１３ＭＰＰ１　３　（５）　Ｑ∨Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　４∨Ｉ　　　６（６）　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　６（７）　Ｑ∨Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　６∨Ｉ１２　　（８）　Ｑ∨Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　２３５６７∨Ｅ１　　　（９）（Ｐ∨Ｒ）→（Ｑ∨Ｒ）　　　　　　　　　２８ＣＰ　　　　（ア）（Ｐ→Ｑ）→（（Ｐ∨Ｒ）→（Ｑ∨Ｒ））　１９ＣＰ従って、（01）（08）により、（09）「公理系ＰＬ（公理４）」が「恒真式（トートロジー）」であることを、「仮定の規則（Ａ）」と「肯定肯定式（ＭＰＰ）」と「∨‐導入（∨Ｉ）」と「∨‐除去（∨Ｅ）」と「条件的証明（ＣＰ）」で、「証明」出来る。然るに、（10）（ⅰ）１　（１）Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　Ａ　２（２）Ｐ＆Ｑ　　　　　Ａ　２（３）Ｐ　　　　　　　２＆Ｅ１２（４）　　　Ｑ→Ｒ　　１３ＭＰＰ　２（５）　　　Ｑ　　　　２＆Ｅ１２（６）　　　　　Ｒ　　４５ＭＰＰ１　（７）　Ｐ＆Ｑ→Ｒ　　２６ＣＰ（ⅱ）１　　（１）　Ｐ＆Ｑ→Ｒ　　Ａ　２　（２）　Ｐ　　　　　　Ａ　　３（３）　　　Ｑ　　　　Ａ　２３（４）　Ｐ＆Ｑ　　　　２３＆Ｉ１２３（５）　　　　　Ｒ　　１４ＭＰＰ１２　（６）　　　Ｑ→Ｒ　　３５ＣＰ１　　（７）Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　２６ＣＰ従って、（10）により、（11） ① Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒに於いて、 ①＝② である。然るに、（12） ① Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒに於いて、Ｐ＝（Ａ→Ｂ）Ｑ＝　ＡＲ＝　Ｂといふ「代入（Substitution）」を行ふと、 ① （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ） ②（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ然るに、（13） ① Ａ→Ａ≡「ＡならばＡである。」といふ「論理式」は、「同一律（トートロジー）」である。従って、（13）により、（14） ①　（Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）≡「（ＡならばＢである）ならば（ＡならばＢである）。」であっても、「同一律（トートロジー）」である。然るに、（15） ②（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ　≡「（（ＡならばＢである）であってＡ）であるならばＢである。」は、「肯定肯定式（ＭＰＰ）」である。従って、（10）～（15）により、（16） ①　（Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）≡　「（ＡならばＢである）ならば（ＡならばＢである）。」 ②（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ　≡「（（ＡならばＢである）であってＡ）であるならばＢである。」に於いて、 ①＝② であって、尚且つ、 ① は「恒真式（トートロジー）」であって、 ② は「肯定肯定式（ＭＰＰ）」である。従って、（16）により、（17）「肯定肯定式（ＭＰＰ）」は、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（01）（16）（17）により、（18）「公理系ＰＬ（推論規則）」は、「肯定肯定式（ＭＰＰ）」である。従って、（01）（18）により、（19）「公理系ＰＬ（推論規則）」が「恒真式（トートロジー）」であることを、「仮定の規則（Ａ）」と「＆‐除去（＆Ｅ）」と「肯定肯定式（ＭＰＰ）」と「条件的証明（ＣＰ）」と「＆‐導入（＆Ｉ）」で、「証明」出来る。（20）（ⅰ）１　　　（１）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ　２　　（２）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ１　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ　　４　（４）　　～Ｐ　　　　　　Ａ１　４　（５）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　３４＆Ｉ　　４　（６）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１５ＲＡＡ１　　　（７）　　　　　　Ｑ　　　１＆Ｅ　　　８（８）　　　　　～Ｑ　　　Ａ１　　８（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ　　　８（ア）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１９ＲＡＡ　２　　（イ）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２４６８ア∨Ｅ１２　　（ウ）　　（Ｐ＆　Ｑ）＆１　　　（エ）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２ウＲＡＡ（ⅱ）１　　　（１）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ　２　　（２）　　～Ｐ　　　　　　Ａ　２　　（３）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　２∨Ｉ１２　　（４）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　１３＆Ｉ１　　　（５）　～～Ｐ　　　　　　２４ＲＡＡ１　　　（６）　　　Ｐ　　　　　　５ＤＮ　　７　（７）　　　　　～Ｑ　　　Ａ　　７　（８）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　７∨Ｉ１　７　（９）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　１８＆Ｉ１　　　（ア）　　　　～～Ｑ　　　７９ＲＡＡ１　　　（イ）　　　　　　Ｑ　　　アＤＮ１　　　（ウ）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　６イ＆Ｉ従って、（20）により、（21） ① Ｐ＆Ｑ ② ～（～Ｐ∨～Ｑ）に於いて、 ①＝② である。従って、（01）（20）（21）により、（22）「公理系ＰＬ（定義１）」は、仮定の規則（Ａ）」と「＆‐除去（＆Ｅ）」と「＆‐導入（＆Ｉ）」と「背理法（ＲＡＡ）」と「∨‐除去（∨Ｅ）」と「∨‐導入（∨Ｉ）」と「二重否定（ＤＮ）」で、「証明」出来る。然るに、（23）（ⅰ）１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　Ａ　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　Ａ　２（３）　　Ｐ　　　　２＆Ｅ　２（４）　　　　～Ｑ　２＆Ｅ１２（５）　　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　４５＆Ｉ１　（７）　　　～～Ｑ　４６ＲＡＡ１　（８）　　　　　Ｑ　７ＤＮ１　（９）　～Ｐ∨　Ｑ　８∨Ｉ（ⅱ）１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エキＲＡＡ１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ従って、（23）により、（24） ① 　Ｐ→Ｑ ② ～Ｐ∨Ｑに於いて、 ①＝② である。従って、（01）（23）（24）により、（25）「公理系ＰＬ（定義２）」は、「仮定の規則（Ａ）」と「＆‐除去（＆Ｅ）」と「肯定肯定式（ＭＰＰ）」と「＆‐導入（＆Ｉ）」と「背理法（ＲＡＡ）」と「二重否定（ＤＮ）」と「∨‐導入（∨Ｉ）」と「∨‐除去（∨Ｅ）」と「条件的証明（ＣＰ）」で、「証明」出来る。従って、（01）～（25）により、（26）　公理系ＰＬ公理１　（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ公理２　　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）公理３　（Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨Ｐ）公理４　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｐ∨Ｒ）→（Ｑ∨Ｒ））推論規則　Ｐ→ＱとＰからＱを導いてもよい。定義１　　Ｐ＆Ｑは～（～Ｐ∨～Ｑ）の略記である。定義２　　Ｐ→Ｑは～Ｐ∨Ｑの略記である。の全ては、『（E.J.レモンの）自然演繹の規則』で、「証明」出来る。然るに、（16）（17）（18）により、（27）もう一度、確認すると、 ①　（Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）≡　「（ＡならばＢである）ならば（ＡならばＢである）。」 ②（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ　≡「（（ＡならばＢである）であってＡ）であるならばＢである。」に於いて、 ①＝② であって、尚且つ、 ① は「恒真式（トートロジー）」であって、 ② は「肯定肯定式（ＭＰＰ）」　であって、 ② は「公理系ＰＬ（推論規則）」である。然るに、（01）～（09）により、（28）公理１　（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ公理２　　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）公理３　（Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨Ｐ）公理４　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｐ∨Ｒ）→（Ｑ∨Ｒ））は、全て、「恒真式（トートロジー）」であるし、公理２　　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）の場合は、『（E.J.レモンの）自然演繹の規則』でいふ所の、「∨‐導入の規則（∨Ｉ）」である。従って、（27）（28）により、（29）「公理（Axioms）」も、「規則（Rules）」も、結局は、「恒真式（tautology）」である。然るに、（30）もし証明をやってみたいのであれば、もっと証明がやりやすい公理系として「自然演繹」と呼ばれる公理系がありますから、それをお薦めします。（矢野茂樹、まったくゼロからの論理学、2020年、１７０頁）然るに、（31）自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系Ｌは、証明の構文規則に関する「10個の基本的規則（Primitive rules）」だけを持つ。（ウィキペディア改）従って、（29）（30）（31）（32）「自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。」とは、言ふものの、「規則（Rules）」も、「公理（Axioms）」の「一種」である。令和０２年０９月０９日、毛利太。

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